1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες δείχνουν τις εβδοµαδιαίες πωλήσεις (σε εκατονδάδες ) των εργαζόµενων πριν από την εφαρµογή του εκπαιδευτικού προγράµµατος (πίνακας 1) και µετά από την εφαρµογή του εκπαιδευτικού προγράµµατος (πίνακας 2). Σηµειώστε ότι το ανώτατο όριο της κάθε τάξης συµπεριλαµβάνετε στην τάξη. ΠΙΝΑΚΑΣ 1 : πριν από το πρόγραµµα το πρόγραµµα ΠΙΝΑΚΑΣ 2: µετά από Πωλήσεις Αριθµός Πωλήσεις Αριθµός πωλητών πωλητών 1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 α) Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα συχνοτήτων, να βρείτε το µέσο και την διάµεσο και για τις δύο κατανοµές. β) Με βάση τις απαντήσεις σας στο α), ερµηνεύστε την αποτελεσµατικότητα του εκπαιδευτικού προγράµµατος. γ) Για την κάθε κατανοµή, να βρείτε την διακύµανση και την τυπική απόκλιση. Ποια κατανοµή παρουσιάζει µεγαλύτερη σχετική διασπορά και γιατί; δ) Οι πωλήσεις του Χρήστου Παπαδάκι ήταν 1100 ευρώ πριν και µετά από το πρόγραµµα. Πότε τα κατάφερε σχετικά καλύτερα (πριν η µετά από το πρόγραµµα); 2. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Για ένα µεγάλο εργοστάσιο που παράγει κονσέρβες ξέρουµε ότι το καθαρό βάρος (σε γραµµάρια) των κονσερβών ακολουθεί µια κανονική κατανοµή µε µέσο 250 γρ. και τυπική απόκλιση 5 γρ. Μια κονσέρβα θεωρείται «ελαττωµατική» εάν το βάρος της διαφέρει από το µέσο περισσότερο από 9,8 γραµµάρια. α) Να βρείτε την πιθανότητα να είναι µια κονσέρβα ελαττωµατική. β) Εάν παίρνουµε ένα τυχαίο δείγµα µε n=10 κονσέρβες, βρείτε τις πιθανότητες να έχουµε 0 ελαττωµατικές, 1 ελαττωµατική, 2 ελαττωµατικές και τουλάχιστον 3 ελαττωµατικές κονσέρβες. γ) Πόσες ελαττωµατικές κονσέρβες αναµένονται να υπάρχουν στο δείγµα. 3. (Εξεταστ. Σεπ. 2004) Οι πωλήσεις της εταιρίας ΧΥΖ για την περίοδο 1986-1996 δίνονται παρακάτω ΈΤΟΣ 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
ΠΩΛΗΣΕΙΣ (δισεκατοµµύρια δρχ.) 4.2 5.3 6.9 7.2 7.5 8.3 9.5 11.0 12.7 14.4 16.3 (α) Ένας οικονοµικός αναλυτής δηµοσιεύει ένα άρθρο σε εφηµερίδα ισχυριζόµενος ότι κατά µέσο όρο οι µέσες πωλήσεις της ΧΥΖ για την περίοδο 1986-1996 ήταν 8,3 δις. δρχ. Τι µέτρο της κεντρικής τάσης χρησιµοποιεί ο αναλυτής; (β) Ένας αναγνώστης αποστέλλει ένα γράµµα στην εφηµερίδα ισχυριζόµενος ότι το άρθρο πάνω στην εταιρία ΧΥΖ ήταν παραπλανητικό µια και οι µέσες πωλήσεις της εταιρίας κατά την περίοδο 1986-96 ήταν 9,39 δις. δρχ. και όχι 8,3. Ποίος έχει δίκιο, ο αναλυτής ή ο αναγνώστης; Αν και οι δύο έχουν δίκιο, ποια είναι τα σχετικά πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα των µεγεθών που δίνει ο καθένας; (γ) Ο οικονοµικός αναλυτής ισχυρίζεται ότι οι πωλήσεις της ΧΥΖ ήταν περισσότερο µεταβλητές κατά την περίοδο 1986-91 παρά στην περίοδο 1992-96. Είναι αυτό αληθές εάν η µεταβλητότητα µετράται από (α) το εύρος και (β) την τυπική απόκλιση (θεωρήστε τα δεδοµένα σαν δείγµατα και όχι πληθυσµούς); (δ) Να υπολογίσετε το πρώτο και τρίτο τεταρτηµόριο. Τι µπορείτε να σχολιάσετε σχετικά µε την συµµετρία της κατανοµής; 4. (Εξεταστ. Σεπ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία αποθηκεύει ανταλλακτικά σε δύο αποθήκες, µια στην Θεσσαλονίκη και µια στο Ηράκλειο. Ο αριθµός των ελαττωµατικών και αποδεκτών (µη ελαττωµατικών) τεµαχίων σε κάθε αποθήκη δίνεται ως εξής: Αποθήκη Αριθµός Ανταλλακτικών Ελαττωµατικά Αποδεκτά Σύνολο Θεσσαλονίκη 28 272 300 Hράκλειο 10 190 200 Αν ένα ανταλλακτικό της εταιρίας επιλέγεται τυχαία (δηλαδή αν κάθε ανταλλακτικό έχει πιθανότητα 1/500 να επιλεγεί), D και Α συµβολίζουν τα ενδεχόµενα "ελαττωµατικών" και "αποδεκτών" αντίστοιχα και Τ, Η συµβολίζουν τα ενδεχόµενα ότι το ανταλλακτικό έρχεται από Θεσσαλονίκη και Ηράκλειο αντίστοιχα. Να υπολογισθούν οι ακόλουθες πιθανότητες (α) P(D). (β) P(A ή T) και Ρ(Α και Τ). (γ) Ρ(Τ Α) και P(D H) (δ) Είναι το ενδεχόµενο D ανεξάρτητο από το ενδεχόµενο Η; Γιατί η γιατί όχι; Εάν ορίζουµε τις τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ ως εξής, Χ παίρνει τιµή 1 εάν το ανταλλακτικό είναι ελαττωµατικό και τιµή 0 εάν είναι αποδεκτό, Υ παίρνει τιµή 1 εάν το ανταλλακτικό είναι από Θεσσαλονίκη και τιµή 0 εάν είναι από Αθήνα. (ε) Να υπολογίσετε Ε(Χ), Ε(Υ), Ε(Χ Υ=1), cov(x,y). (ζ) Εάν παίρνουµε 10 ανταλλακτικά τυχαία ποια είναι η πιθανότητα περισσότερα από δυο να είναι από Θεσσαλονίκη. 5. (Εξεταστ. Σεπ. 2004) Σε νοσοκοµείο λαµβάνουν χώρα 3 θάνατοι ανά µήνα κατα µέσο όρο. Να υπολογίστε: (α) Την πιθανότητα να συµβούν 3 θάνατοι το πολύ σε ένα µήνα
(β) Την πιθανότητα να συµβούν τουλάχιστον 3 θάνατοι σε ένα µήνα. (γ) Την πιθανότητα να συµβούν 3 το πολύ θάνατοι σε 2 µήνες. (δ) Ποιά είναι η διακύµανση του αριθµού των θανάτων ανα µήνα. 6. (Εξεταστ. Σεπ. 2004) Απο οικογένειες µε 4 παιδειά στην κάθε µία και γνωρίζοντας ότι η πιθανότητα το παιδί να ειναι κοριτσι είναι 0,5 ζητείται να υπολογιστούν: (α) Οι Πιθανότητες να υπάρχουν τουλάχιστον δύο κορίτσια (β) Οι Πιθανότητες να υπάρχουν 2 ή 3 κορίτσια. (γ) Οι Πιθανότητες να υπάρχουν 4 κορίτσια. (δ) Να βρεθεί ο µέσος και η διακύµανση του αριθµού των κοριτσιών ανα οικογένεια σε δείγµα 80 οικογένειων. 7. Για µια περίοδο πέντε εργάσιµων ηµερών οι τιµές κλεισίµατος των µετοχών Α και Β δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Μετοχή Ηµέρα 1 2 3 4 5 Α 850 1000 980 1100 1020 Β 200 180 210 190 220 (α) Ποια από τις δύο µετοχές παρουσιάζει µεγαλύτερο κίνδυνο; (Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε τον συντελεστή µεταβλητότητας). (β) Να βρεθεί ο συντελεστής συσχέτισης των τιµών των δύο µετοχών. Υπάρχει συσχέτιση µεταξύ τους; Αν ναι, τι είδους; (γ) Κάποιος επενδυτής που παρακολουθεί αυτές τις δύο µετοχές, αποφάσισε να αγοράσει και από τις δύο. Οι τιµές που πέτυχε ήταν 1030 δρχ για την Α και 210 δρχ. για τη Β. Για ποια από τις δύο µετοχές πέτυχε συγκριτικά καλύτερη τιµή; 8. Είναι τα παρακάτω συναρτήσεις πιθανοτήτων; ικαιολογήσετε την απάντηση σας. 1 για x = 2, 4, 6 για = 1, 1 x ( x x P = ) = 2 3 1 X x P = = 1 2 ( X x) για x = 24, 48 24 0 διαφορετικά 0 διαφορετικά Αν κάποια ή κάποιες από τις παραπάνω είναι συναρτήσεις πιθανότητας υπολογίστε, α) την αναµενόµενη τιµή της αντίστοιχης τυχαίας µεταβλητής. β) την διακύµανση της µεταβλητής. 9. Στην λέσχη του Πανεπιστηµίου, 42% των πελατών παραγγέλνουν το «σπέσιαλ», 61% όλων των γυναικών πελατών παραγγέλνουν το «σπέσιαλ», και οι µισοί πελάτες είναι γυναίκες. Επίσης, 24% των πελατών πληρώνουν ακόµα µε δραχµές. Εάν επιλέξουµε ένα πελάτη τυχαία, α) να βρείτε την πιθανότητα να είναι µία γυναίκα που παραγγέλνει το «σπέσιαλ»,
β) να βρείτε την πιθανότητα να είναι ένας άνδρας που δεν παραγγέλνει το «σπέσιαλ». γ) Εάν το γεγονός ότι κάποιος πληρώνει µε δραχµές είναι ανεξάρτητο από το φύλλο ποια είναι η πιθανότητα ο πελάτης που επιλέγουµε τυχαία να είναι άνδρας και να πληρώνει µε δραχµές. 10. Μία καπνοβιοµηχανία συσκευάζει τα τσιγάρα που παράγει σε πακέτα των 20 τσιγάρων. Η ποσοστιαία κατανοµή των πακέτων ως προς τον αριθµό των σκάρτων τσιγάρων είναι: Σκάρτα Τσιγάρα Χ) Ποσοστό πακέτων (%) 0 48 1 30 2 10 3 6 4 3 5 2 6 1 α) Επί 300 πακέτων πόσα περιέχουν 4 ή περισσότερα σκάρτα τσιγάρα? β) Να υπολογίσετε την σχετική διασπορά της κατανοµής 11. Σύνολο 250 εργατών µιας επιχείρησης έχει µέσο ηµεροµίσθιο 50 ευρώ και τυπική απόκλιση 2.5 ευρώ. Οι 100 από αυτούς έχουν µέσο ηµεροµίσθιο 45 ευρώ και τυπική απόκλιση 1.5 ευρώ. Να υπολογίσετε το µέσο ηµεροµίσθιο και την τυπική απόκλιση των υπολοίπων 150 εργατών 12. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει ο αριθµός κινητών τηλεφώνων ανά οικογένεια και το ποσοστό των οικογενειών σε κάθε κατηγορία για µια µεγάλη πόλη. ΑΡΙΘΜΟΣ ΚΙΝΗΤΩΝ ΤΗΛ. ΑΝΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΠΟΣΟΣΤΌ ΟΙΚΟΓΕΝΙΩΝ 0 1 2 3 4 0,05 0,20 0,45 0,25 0,05 α) Να γίνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης πιθανότητας (ή κατανοµή πιθανοτήτων). β) Εάν παίρνουµε µια οικογένεια τυχαία ποια είναι η πιθανότητα να έχει µεταξύ 1 και 3 κινητά; ( 1 αριθµός 3) γ) Εάν παίρνουµε τυχαία δυο οικογένειες, ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον η µια από της δύο να έχει τουλάχιστον 2 κινητά. δ) Να βρείτε το µέσο αριθµό κινητών ανά οικογένεια. ε) Εάν οι οικογένειες είναι ανεξάρτητες σχετικά µε την απόφαση τους να αποκτήσουν κινητά και παίρνουµε οκτώ οικογένειες τυχαία, ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον επτά από αυτά να έχουν τουλάχιστον 2 κινητά ανά οικογένεια;
13. 60% των φοιτητών του µαθήµατος της στατιστικής λατρεύει την Στατιστική, από τους φοιτητές που λατρεύουν την Στατιστική 48% έχουν υπολογιστή στο σπίτι τους αλλά µόνο 20% των φοιτητών που δεν λατρεύουν την στατιστική έχουν υπολογιστή στο σπίτι τους. α) Τι ποσοστό των φοιτητών έχουν υπολογιστή στο σπίτι τους; β) Εάν επιλέγουµε τυχαία έναν φοιτητή που έχει υπολογιστή στο σπίτι του, ποια είναι η πιθανότητα να λατρεύει την στατιστική; γ) Είναι τα δύο ενδεχόµενα (υπολογιστή και λατρεία για την στατιστική) ανεξάρτητα ενδεχόµενα ή όχι; Γιατί; δ) Εάν επιλέγουµε τυχαία 10 φοιτητές ποια είναι η πιθανότητα να λατρεύουν οι µισοί την στατιστική; ε) Ορίζουµε την τυχαία µεταβλητή Χ ως εξής X 1 = 0 εάν ο φοιτητής έχει υπολογιστή σε κάθε άλλη περίπτωση Βρείτε την συνάρτηση πιθανότητας (ή κατανοµή πιθανοτήτων) της µεταβλητής Χ. Εάν ορίζουµε µια καινούρια τυχαία µεταβλητή ως Y = 2X 5, βρείτε την µέση τιµή και την διακύµανση της µεταβλητής Υ. 14. α) Οι µισθοί των 200 υπαλλήλων µιας εταιρείας κυµαίνονται µεταξύ 1000 και 3000 ευρώ. Είναι γνωστό ότι : 10 υπάλληλοι παίρνουν µηνιαίο µισθό 1200 ευρώ ή λιγότερα 80 υπάλληλοι παίρνουν µηνιαίο µισθό 1400 ευρώ ή λιγότερα 130 υπάλληλοι παίρνουν µηνιαίο µισθό 1600 ευρώ ή λιγότερα 30 υπάλληλοι παίρνουν µηνιαίο µισθό µεγαλύτερο από 2000 ευρώ 10 υπάλληλοι παίρνουν µηνιαίο µισθό µεγαλύτερο από 2400 ευρώ Να φτιάξετε την κατανοµή των µισθών και να υπολογίσετε: α) Τον µέσο µισθό β) Τον διάµεσο µισθό γ)την σχετική διασπορά της κατανοµής των µισθών 15. Στους µισθούς όλων των υπαλλήλων µιας επιχείρησης δίνεται αύξηση 10% επί των συνολικών µηνιαίων αποδοχών τους. Να δείξετε ποία µεταβολή θα υποστούν : α) Ο µέσος µισθός β) Ο διάµεσος µισθός γ) Ο µισθός µεγίστης συχνότητας δ) Η τυπική απόκλιση 16. ίνονται οι παρακάτω κατανοµές συχνοτήτων Κατανοµή Α Κατανοµή Β Ηµερήσιες αµοιβές Αριθµός εργαζοµένων Ηµερήσιες αµοιβές Αριθµός εργαζοµένων (ευρώ) (ευρώ) 45-50 10 30-40 20
50-55 55-60 60-65 65-70 40 50 40 10 40-50 50-60 60-70 70-80 40 50 40 20 Ερώτηµα: Ενας εργαζόµενος από άποψη αποδοχών σε ποια κατανοµή θα προτιµούσε να τοποθετηθεί; Στην Α ή στην Β ; Αιτιολογείστε την απάντηση σας. 17. Ένας χρηµατιστής προτείνει 2 αξίες (µετοχές) στους πελάτες του (Εθνική Τράπεζα και Eurobank). Υποθέτουµε ότι η πιθανότητα να αυξηθεί η τιµή κάθε µιας από τις δυο αξίες µετά από ένα έτος είναι 0,6. Επιπλέον, η συµπεριφορά της τιµής της µίας αξίας είναι ανεξάρτητη από την συµπεριφορά της τιµής της άλλης µία. α) Ποια είναι η πιθανότητα να µην αυξηθεί η τιµή καµίας αξίας σε ένα έτος; β) Ποια είναι η πιθανότητα να αυξηθούν οι τιµές και των δυο αξιών σε ένα έτος; γ) Ποια είναι η πιθανότητα να αυξηθεί η τιµή της µίας µόνο αξίας σε ένα έτος; δ) Ορίζουµε µια τυχαία µεταβλητή Χ ως εξής Χ= αριθµός των αξιών των οποίον η τιµή αυξάνεται σε ένα έτος. Να βρείτε την κατανοµή πιθανοτήτων (συνάρτηση κατανοµής), την αναµενόµενη τιµή και την διακύµανση της τυχαίας µεταβλητής Χ. 18. α) Αποδείξτε ότι εάν 2 ενδεχόµενα Α και Β είναι αµοιβαία αποκλειόµενα τότε δεν µπορεί να είναι ανεξάρτητα. β) Το 20% των φοιτητών της Σχολής Κοινωνικών Επιστηµών πήγαν διακοπές (ή για εργασία) εκτός Κρήτης και υποθέτουµε ότι η Σχολή Κοινωνικών Επιστηµών έχει 25% των φοιτητών του Πανεπιστηµίου Κρήτης. Επίσης 30% όλων των φοιτητών του Πανεπιστηµίου Κρήτης πήγαν διακοπές (ή για εργασία) εντός Κρήτης. ια) Εάν επιλέξουµε τυχαία έναν φοιτητή που πήγε εκτός Κρήτης, ποια είναι η πιθανότητα να είναι φοιτητής της Σχολής κοινωνικών Επιστηµών; ιβ) Εάν επιλέξουµε τυχαία έναν φοιτητή που δεν είναι της Σχολής Κοινωνικών Επιστηµών, ποια είναι η πιθανότητα να πήγε εντός Κρήτης; ιγ) Εάν πάρουµε τυχαία 10 φοιτητές, ποια είναι η πιθανότητα τρεις από αυτούς να είναι φοιτητές της Σχολής Κοινωνικών Επιστηµών; 19. Σε ένα εργοστάσιο οι µηχανές Α, Β και Γ παράγουν το 25%, το 35% και το 40% της συνολικής παραγωγής. Μετά από έλεγχο βρέθηκε ότι το 5% των παραγοµένων τεµαχίων από το µηχάνηµα Α είναι ελαττωµατικό, επίσης το 4% και το 2% των παραγοµένων τεµαχίων τις µηχανές Β και Γ είναι ελαττωµατικό. Η συνολική παραγωγή φτάνει τα 5000 τεµάχια. Ένα τεµάχιο εξάγεται τυχαία και βρίσκεται ελαττωµατικό. Ποια είναι η πιθανότητα κατασκευής του από την µηχανή Β; 20. Μία έρευνα µεταξύ παντρεµένων ζευγαριών µε αντικείµενο το βαθµό ικανοποίησης από την µέχρι σήµερα συµβίωση, έδωσε τα εξής αποτελέσµατα (η κλίµακα ικανοποίησης είναι : 0 καθόλου ικανοποιηµένος έως 10 απόλυτα ικανοποιηµένος): Ερωτώµενος Μέγεθος δείγµατος Μέσος Βαθµός ικανοποίησης Άνδρας χωρίς παιδιά 58 8,4
Γυναίκα χωρίς παιδιά 83 7,7 Άνδρας µε παιδιά 72 5,9 Γυναίκα µε παιδιά 65 6,3 1) Ποιος είναι ο µέσος βαθµός ικανοποίησης για το σύνολο του δείγµατος; 2) Ποιος είναι ο µέσος βαθµός ικανοποίησης για τους άνδρες; 3) Ποιος είναι ο µέσος βαθµός ικανοποίησης για τις γυναίκες. 4) Ποιος είναι ο µέσος βαθµός ικανοποίησης γενικά για τους παντρεµένους µε παιδιά; 5) Ποιος είναι ο µέσος βαθµός ικανοποίησης γενικά για τους παντρεµένους χωρίς παιδιά; 21. Υποθέστε ότι σε µια εκλογική αναµέτρηση συµµετέχουν δυο υποψήφιοι, ο Μαυρίδης και ο Κοκκίνης. Τα 2/3 των κατοίκων της πόλης υποστηρίζουν τον Κοκκίνη, αλλά τα 5/9 των κατοίκων της ύπαιθρο υποστηρίζουν τον Μαυρίδη. Οι µισοί κάτοικοι ζουν στην ύπαιθρο και οι µισοί ζουν στην πόλη. Αν τυχαία αρχίσετε να µιλάτε µε κάποιον ψηφοφόρο που αποδεικνύεται ότι είναι ψηφοφόρος του Κοκκίνη, ποια είναι η πιθανότητα να κατοικεί αυτός ο ψηφοφόρος στην ύπαιθρο; 22. Υποθέτουµε ότι ο βαθµός που θα πάρει ένας φοιτητής σε κάποιες εξετάσεις είναι µια τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέσο όρο 550 και διακύµανση 900. 1) Εάν ο βαθµός που χρειάζεστε για να πετύχετε είναι 575, ποια είναι η πιθανότητα να τα καταφέρετε; 2) Εάν ο βαθµός που χρειάζεστε για να πετύχετε είναι 540, ποια είναι η πιθανότητα να τα καταφέρετε; 3) Στην περίπτωση (2), κάποιος σας προσφέρει 1000 εάν τα καταφέρετε. Ποια είναι η αναµενόµενη τιµή του ποσόν που θα πάρετε; 23. Οι βαθµοί διαγωνίσµατος µιας µεγάλης οµάδας φοιτητών ακολουθούν µια κανονική κατανοµή µε µέσο 7 και τυπική απόκλιση 1. Ανάµεσα σε ποιους αριθµούς βρίσκεται το ενδιάµεσο 50% των βαθµών. 24. Ένα σουβλατζίδικο πουλάει σουβλάκια σε τιµή 1,35 το καθένα. Οι ηµερήσιες πωλήσεις ακολουθούν µια κατανοµή µε µέσο 530 τεµάχια και τυπική απόκλιση 69. 1) Να βρείτε το µέσο ηµερήσιο εισόδηµα από την πώληση σουβλακιών. 2) Να βρείτε την τυπική απόκλιση του ηµερήσιο εισοδήµατος. 3) Το ηµερήσιο κόστος (σε ) δίνεται από την συνάρτηση C=100+0,85X όπου Χ είναι τα τεµάχια που πουλήθηκαν. Να βρείτε το µέσο και την τυπική απόκλιση του κέρδους από τις πωλήσεις σουβλακιών. 25. Υποθέστε ότι διευθύνετε µια ασφαλιστική εταιρεία και ότι έχετε Ν πελάτες. Υπάρχει πιθανότητα π=0,05 οποιοδήποτε από τους πελάτες σας να υποβάλλει µια αίτηση αποζηµίωσης µέσα σε ένα χρόνο, οπότε και θα πρέπει να καταβάλετε C=10000. Από κάθε πελάτη εισπράττετε κάθε χρόνο ασφάλιστρα ύψους 500. 1) Ποια είναι η αναµενόµενη τιµή των κερδών σας κάθε χρόνο; 2) Υποθέστε ότι έχετε Ν=20 πελάτες. Ποια είναι η πιθανότητα να έχετε κέρδη 20000; Ποια είναι η πιθανότητα να έχετε κέρδη 10000, να µην έχετε κέρδη ούτε ζηµιά, να έχετε ζηµιά 10000, 20000, ή 30000 Ευρώ; 26. Έστω ότι οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ έχουν την ακόλουθη από κοινού συνάρτηση πιθανότητας:
Χ 6 8 10 f Y ( y) Υ 1 0,2 0,2 0,4 2 0,2 0,2 3 0,2 0 f X (x) 0,4 1 1) Συµπληρώστε το πίνακα. 2) Να βρείτε την µέση τιµή της Χ και την µέση τιµή της Υ. 3) Να βρείτε Ε(Υ Χ=6), Ε(Υ Χ=8), Ε(Υ Χ=10). Να υπολογίσετε τον µέσο των προηγουµένων υπό συνθήκη µέσων. Με τι ισούται; 4) Να βρείτε την συνδιακύµανση µεταξύ Χ και Υ. 5) Είναι Χ και Υ ανεξάρτητες; Αποδείξτε το. 27. Άσκηση 4.4 σελίδα 104 του βιβλίου του Χατζηνικολάου. 28. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Έχουµε 2 εργοστάσια παραγωγής ανταλλάκτικών αυτοκινήτων τα οποία ανήκουν σε µια εταιρία. Η κατανοµή των 40 παραγωµένων απο το Α εργοστάσιο και το αντιστοίχων 60 απο το Β δίνεται από τον πιο κάτω πίνακα: Βιοµ.\Σκάρτα 0 1 2 3 Σύνολο Α 7 14 11 8 40 Β 4 14 20 22 60 Σύνολο 11 28 31 30 100 α) Να βρεθεί ο µέσος των σκάρτων ανταλλακτικών που παράγονται στο Β εργοστάσιο. β) Να βρεθεί η διακύµανση των σκάρτων ανταλλακτικών που παράγονται στο εργοστάσιο. γ) Ποιά η πιθανότητα να έχουµε 3 σκάρτα παραγόµενα δεδοµένου οτι ανήκουν στο Β εργοστάσιο. δ) Είναι τα 2 ενδεχόµενα ανεξάρτητα; 29. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) ίνεται η κατανοµή Χ: -1 0 1 F(X): 0,3 0,3 0, 4 α) Να βρεθει ο µέσος της Ζ=2Χ+1 β) Να βρεθεί η διακύµανση της Ζ. γ) βρεθει ο µέσος της L=Χ 2 +X. δ) Έστω W=3Y+2 και Cov(X,Y) =0,04. Να βρεθεί το Cov(Z,W). 30. Μετά από ένοπλη ληστεία σε τράπεζα η αστυνοµία έχει συλλάβει 10 υποπτους από τοθς οποίους οι 4 είχαν πραγµατικά συµµετάσχει στη ληστεία. Ο ανακριτής διάλεγει για την εξέταση ένα άτοµο στην τύχη και στην συνέχεια ένα δεύτερο και ένα τρίτο. Ποιά η πιθανότητα τα 3 άτοµα που επιλέχθηκαν να είναι αθώα ή και τα τρία ένοχα.