Παραμαγνητικός συντονισμός B B teˆ teˆ B eˆ, όπου Έστω ηλεκτρόνιο σε μαγνητικό πεδίο cos sin x y z B, B. Θεωρούμε ότι η σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be, ˆz είναι ισχυρότερη από τη χρονοεξαρτώμενη συνιστώσα του, B ˆ ˆ costex sintey., θεωρούμε ότι B B, και κατά προτίμηση, B B. Το ηλεκτρόνιο είναι εγκλωβισμένο σε μια πολύ μικρή περιοχή του χώρου, έτσι ώστε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι δεν έχει κινητικούς βαθμούς ελευθερίας, και ο μοναδικός βαθμός ελευθερίας του είναι το σπιν του. i) Περιγράψτε, γενικά, πώς υπολογίζεται η χρονική εξέλιξη μιας τυχαίας αρχικής κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου. ii) Μελετήστε την περίπτωση του συντονισμού, όπου η κυκλική συχνότητα του εφαρμοζόμενου μαγνητικού πεδίου γίνεται ίση με την κυκλική συχνότητα περιστροφής (της μέσης τιμής) του σπιν, δηλαδή την περίπτωση όπου B. iii) Για την περίπτωση του προηγούμενου συντονισμού, αν η αρχική κατάσταση του σπιν είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή S ˆz με ιδιοτιμή, βρείτε τον σπίνορα που περιγράφει, στη βάση z;, z;, την κατάσταση του σπιν μια τυχαία χρονική στιγμή t και υπολογίστε την πιθανότητα να συμβεί, τη χρονική στιγμή t, αντιστροφή του σπιν στον άξονα z. Δείξτε ότι η πιθανότητα αυτή γίνεται περιοδικά ίση με τη μονάδα, οπότε έχουμε παραμαγνητικό συντονισμό. iv) Σε μια αντιστροφή του σπιν στον άξονα z, υπολογίστε πόσο αλλάζει η μέση ενέργεια του σπιν και εξηγήστε πώς, μετρώντας την ενεργειακή αυτή διαφορά, μπορούμε να υπολογίσουμε τον γυρομαγνητικό λόγο του σπιν του ηλεκτρονίου. v) Υπολογίστε την πιθανότητα του ερωτήματος iii αν το μαγνητικό πεδίο γίνει B B costeˆ sinteˆ B eˆ. x y z Λύση i) Παρατηρούμε ότι το μαγνητικό πεδίο έχει μια σταθερή συνιστώσα, την Be, ˆz που είναι παράλληλη στον άξονα z, με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα z, και μια συνιστώσα, την B costeˆ sin ˆ x tey, που περιστρέφεται αριστερόστροφα στο επίπεδο xy, δηλαδή κάθετα στον άξονα z. Πράγματι, καθώς η φάση t διατρέχει τον τριγωνομετρικό κύκλο, δηλαδή καθώς 3 t :, η χρονοεξαρτώμενη συνιστώσα εκτελεί την περιστροφή B eˆ B eˆ B eˆ B eˆ B eˆ, x y x y x δηλαδή κάνει μια πλήρη περιστροφή αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού (αριστερόστροφα).
Εφόσον ο μοναδικός βαθμός ελευθερίας του ηλεκτρονίου είναι το σπιν του, η Χαμιλτονιανή του είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια του σπιν του ηλεκτρονίου μέσα στον εφαρμοζόμενο μαγνητικό πεδίο, δηλαδή Hˆ Uˆ ˆ B, όπου ˆ είναι η μαγνητική (διπολική) ροπή του σπιν του ηλεκτρονίου, η οποία είναι ˆ ˆ S, όπου είναι ο γυρομαγνητικός λόγος του σπιν του ηλεκτρονίου, που, όπως ξέρουμε, είναι αρνητικός, δηλαδή, αφού το ηλεκτρόνιο έχει αρνητικό φορτίο. Έτσι cos sin sin ˆ Hˆ S B Sˆ eˆ Sˆ eˆ Sˆ eˆ B teˆ teˆ B eˆ B costs ˆ ts ˆ B S ˆ x x y y z z x y z x y z Hˆ B costsˆ sintsˆ B Sˆ () x y z Θα δουλέψουμε στη βάση z;, z;, που είναι η βάση των ιδιοκαταστάσεων της προβολής του σπιν στον άξονα περιστροφής της χρονοεξαρτώμενης συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου, B costeˆ sin ˆ x tey. Στη βάση z;, z;, οι προβολές του σπιν, S ˆ, ˆ, ˆ x Sy S z, αναπαρίστανται από τους γνωστούς πίνακες i S x, Sy, S z i Έτσι, στη βάση z;, z;, η Χαμιλτονιανή () αναπαρίσταται από τον πίνακα H B costs sints B S x y z i Bcos t sint B i B cos sin t i t B cost isint B expit B exp it B B expit B B expit
B B H B B expit Έστω exp it () at t (3) bt ο σπίνορας που αναπαριστά, στη βάση z;, z;, την κατάσταση του σπιν τη χρονική στιγμή Schrodinger, δηλαδή t. Ο σπίνορας t πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση του B B exp it t a a i H t i t b B B b expit B B expit a a i b B B b expit Αν θέσουμε B (4) B (5) (θυμηθείτε ότι η ποσότητα B έχει διαστάσεις κυκλικής συχνότητας, δηλαδή αντίστροφου χρόνου, και ότι το είναι αρνητικό), η προηγούμενη εξίσωση πινάκων γράφεται expit a a i b b expit Επομένως a expit b a i b expit a b ia a exp it b (6)
ib expit a b (7) Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων (6) και (7) είναι συζευγμένο, με χρονοεξαρτώμενους συντελεστές. Για να το λύσουμε, θα κάνουμε έναν μετασχηματισμό, μια (χρονοεξαρτώμενη) στροφή στον σπίνορα (3) γύρω από τον άξονα z. Συγκεκριμένα, θα κάνουμε τον μετασχηματισμό t exp i C t at (8) Dt t bt exp i Θα συζητήσουμε τον μετασχηματισμό (8) στο τέλος της άσκησης. Ο μετασχηματισμός (8) γράφεται t exp i at Ct Dt t expi bt Επομένως t C t expi a t t Dt exp i b t Άρα t a exp i C (9) t b expi D () Αν παραγωγίσουμε τις (9) και () ως προς τον χρόνο, θα πάρουμε t t a i exp i C exp i C () t t b i expi D expi D () Με τη βοήθεια των (9), (), και (), η (6) γράφεται
exp t exp t i i i C i C exp i t C exp it exp i t D exp t exp t i C i i C exp i t C exp i t D C ic C D ic C D C i C i D (3) Με τη βοήθεια των (9), (), και (), η (7) γράφεται exp t exp t i i i D i D expi t exp i t C exp i t D exp t exp t i D i i D exp i t C exp i t D D id C D id D C D i C i D (4) Οι (3) και (4) είναι επίσης συζευγμένες, αλλά τώρα έχουν σταθερούς (χρονοανεξάρτητους) συντελεστές. Μπορούμε να τις γράψουμε σε μορφή πινάκων ως εξής: i i C C D D i i C i C D (5) D Ο πίνακας του συστήματος (5) είναι ο πίνακας i M (6) Από τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων ξέρουμε ότι η γενική λύση του συστήματος (5) είναι η C t C expmt (7) D t D Από τον μετασχηματισμό (8), παίρνουμε
exp i C a a a D b b b exp i C a D b όπου, είναι ο αρχικός σπίνορας, δηλαδή ο σπίνορας που αναπαριστά, στη βάση z;, z;, την αρχική κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου μας. Έτσι, λοιπόν, από τη σχέση (7) υπολογίζουμε τα Αφού υπολογίσουμε τα Ct και Ct και Dt, υπολογίζουμε τα Dt. at και bt από τις σχέσεις (9) και (), αντίστοιχα, και βρίσκουμε τον ζητούμενο σπίνορα (3). ii) Θα εξετάσουμε την ειδική περίπτωση όπου, δηλαδή όταν η συχνότητα του μαγνητικού πεδίου,, είναι ίση με τη συχνότητα περιστροφής (της μέσης τιμής) του σπιν, B, γύρω από τη σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be. ˆz Τότε ο πίνακας (6) γράφεται M i (8) και το σύστημα (5) γράφεται i D C i C C D D D i C i C D (9) i D C () Αν παραγωγίσμουε τη (9) ως προς τον χρόνο και αντικαταστήσουμε το D από την (), θα πάρουμε i i i C D C C C C Η γενική λύση της προηγούμενης δ.ε. είναι η
exp i t C C C exp i t () Αν παραγωγίσουμε την () ως προς τον χρόνο, θα πάρουμε i exp i t i C C C exp i t Συγκρίνοντας την προηγούμενη εξίσωση με τη (9) παίρνουμε i exp i t i exp i C C t i D exp i t D C C exp i t () Με τη βοήθεια της (), και λαμβάνοντας υπόψη ότι, η (9) γράφεται t it it a exp i Cexp Cexp i t i t Cexp Cexp i t i t at Cexp Cexp (3) Με τη βοήθεια της (), και λαμβάνοντας υπόψη ότι, η () γράφεται t it it b exp i Cexp Cexp i t i t Cexp Cexp i t i t bt Cexp Cexp (4) Επομένως, στην περίπτωση του συντονισμού, η κατάσταση ας τη t του σπιν του ηλεκτρονίου μας, τη χρονική στιγμή t, συμβολίσουμε με αναπαρίσταται, στη βάση z;, z;, από τον σπίνορα t i t i t Cexp Cexp i t i (5) t Cexp Cexp
Οι σταθερές C, C αναπαριστά, στη βάση Ας κάνουμε έναν έλεγχο του σπίνορα (5) δείχνοντας ότι ικανοποιεί την εξίσωση του Schrodinger για την περίπτωση του συντονισμού. θα δείξουμε ότι i H, t υπολογίζονται από τον αρχικό σπίνορα,, ο οποίος z;, z;, την αρχική κατάσταση του σπιν. όπου είναι ο σπίνορας (5) και H ο πίνακας της Χαμιλτονιανής, δηλαδή ο πίνακας () στην περίπτωση όπου. Για B και B, ο πίνακας () γράφεται H Επομένως expi t exp it (6) i t i t exp it Cexp Cexp H exp i i t i t t Cexp Cexp i t i t Cexp Cexp expit expit i t i t Cexp Cexp Αν i t i t Cexp Cexp A expit B expit i t i t Cexp Cexp θα έχουμε i t i t i t A C exp C exp expi tc exp i t i t i t expi tc exp C exp C exp
i t i t Cexp Cexp i t i t Cexp Cexp i t i t A Cexp Cexp Και i t i t B expi tcexp expi tcexp i t i t C exp C exp i t i t i t C exp C exp C exp i t C exp i t i t Cexp Cexp i t i t B Cexp Cexp Επομένως i t i t Cexp Cexp A B i t i t Cexp Cexp Άρα i t i t Cexp Cexp A H B i t i t Cexp Cexp
i t i t Cexp Cexp H i t i (7) t Cexp Cexp Επίσης, με τη βοήθεια της (5) παίρνουμε i i t i i t Cexp Cexp t i i t i i t Cexp Cexp i t i t Cexp Cexp i i t i t Cexp Cexp Άρα i i t i t Cexp Cexp t i t i t Cexp Cexp i i t i t Cexp Cexp t i t i (8) t Cexp Cexp Συγκρίνοντας τις (7) και (8) βλέπουμε ότι i H, t δηλαδή ο σπίνορας (5) ικανοποιεί την εξίσωση του Schrodinger για την περίπτωση του συντονισμού. iii) Ας υποθέσουμε τώρα ότι η αρχική κατάσταση του σπιν είναι η ιδιοκατάσταση του τελεστή S ˆz με ιδιοτιμή, ή, αλλιώς, ότι τη χρονική στιγμή t, το ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε κατάσταση με σπιν στον άξονα z. Τότε παίρνουμε, και από την (5)
i i Cexp Cexp C C i i C C Cexp Cexp C C C C Το σύστημα των δύο προηγούμενων εξισώσεων λύνεται εύκολα. Από τη η εξίσωση βλέπουμε ότι οι δύο σταθερές είναι ίσες, ενώ από την η εξίσωση βλέπουμε ότι το άθροισμά τους είναι μονάδα. Επομένως C C Επομένως, στην περίπτωση όπου η αρχική κατάσταση του σπιν είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή S ˆz με ιδιοτιμή, ο σπίνορας (5) γράφεται t i t i t exp exp i t i t exp exp i t i t exp exp i t i t exp exp it it it exp exp exp i t t exp cos i i t it it t t exp exp exp exp i sin it t exp cos it t i exp sin t it t exp cos (9) it t i exp sin
Παρατηρούμε ότι it t exp cos i t t it t t t exp cos i exp sin it t i exp sin cos t i i sin t cos t sin t t t Ο σπίνορας (9) είναι κανονικοποιημένος, ως οφείλει, αφού ο αρχικός σπίνορας είναι κανονικοποιημένος και η Χαμιλτονιανή () είναι ερμιτιανός τελεστής. Θα υπολογίσουμε τώρα την πιθανότητα, τη χρονική στιγμή t, το ηλεκτρόνιο να βρεθεί σε κατάσταση με σπιν στον άξονα z, δηλαδή την πιθανότητα να συμβεί, τη χρονική στιγμή t, αντιστροφή του σπιν στον άξονα z. Ο σπίνορας (9) γράφεται i t t i t t exp cos exp sin t i Ο σπίνορας αναπαριστά την κατάσταση z;, δηλαδή την κατάσταση όπου το σπιν στον άξονα z ή, καλύτερα, η προβολή του σπιν στον άξονα z είναι Επομένως, ο συντελεστής exp i t i sin t. είναι το πλάτος της ζητούμενης πιθανότητας. Έτσι, η ζητούμενη πιθανότητα ας τη συμβολίσουμε με t ; είναι Pt z; i exp sin i exp sin sin sin t P z it t it t t t Pt z; sin (3) Παρατηρήστε ότι τη χρονική στιγμή t, η πιθανότητα είναι μηδέν, κάτι αναμενόμενο, αφού τη χρονική στιγμή t η κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου
μας είναι η άλλη ιδιοκατάσταση, z;, του τελεστή S ˆz, η οποία είναι κάθετη στην ιδιοκατάσταση z; (δηλαδή z; z; Αντίθετα, τις χρονικές στιγμές όπου ), επομένως P z;. t n n t n B t n t, B B είναι t n n sin sin επομένως n P z;, t n, δηλαδή η πιθανότητα είναι μονάδα. P z;, η κατάσταση του σπιν είναι η κατάσταση z;, δηλαδή η Όταν t ιδιοκατάσταση του τελεστή S ˆz με ιδιοτιμή, και Pz; και S ˆ P z ; P z ; z. Τότε, Sˆ z, αφού P z;. Μπορεί να δειχθεί ότι όταν η κατάσταση του σπιν είναι ιδιοκατάσταση ενός από τους τελεστές Sˆ, Sˆ, S ˆ, η μέση τιμή των δύο άλλων τελεστών, στη συγκεκριμένη x y z ιδιοκατάσταση, είναι μηδέν. Με άλλα λόγια, όταν είναι καθορισμένη η προβολή του σπιν σε έναν από τους τρεις άξονες, xyz, οι μέσες τιμές της προβολής του σπιν στους δύο άλλους άξονες είναι μηδέν. Για την περίπτωσή μας, η προβολή του σπιν στον άξονα z είναι καθορισμένη. Επομένως, οι μέσες τιμές των δύο άλλων προβολών είναι μηδέν, δηλαδή Sˆ Sˆ. x y Έτσι, η μέση τιμή του σπιν στην ιδιοκατάσταση z;, δηλαδή όταν συμβεί αντιστροφή του σπιν, είναι ˆ S Sˆ eˆ Sˆ eˆ Sˆ eˆ Sˆ eˆ Sˆ eˆ Sˆ eˆ Sˆ eˆ eˆ ˆ S x x y y z z x x y y z z z z z eˆ z Η μέση τιμή της μαγνητικής ροπής του σπιν είναι τότε ˆ ˆ ˆ S S eˆ z
ˆ eˆ z Επειδή το ηλεκτρόνιο έχει αρνητικό φορτίο, ο γυρομαγνητικός λόγος του είναι αρνητικός, επομένως η μέση τιμή της μαγνητικής ροπής του σπιν του είναι προς τα θετικά του άξονα z, δηλαδή έχει την ίδια φορά με τη σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be. ˆz Έτσι, κατά τον συντονισμό B, όταν συμβαίνει αντιστροφή του σπιν στον άξονα z, η μαγνητική ροπή του σπιν του ηλεκτρονίου προσανατολίζεται ομόρροπα με τη σταθερή, και κυρίαρχη, συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be. ˆz Για τον λόγο αυτό, ο συντονισμός ονομάζεται παραμαγνητικός. n Δείξαμε ότι τις χρονικές στιγμές t, όπου n, συμβαίνει αντιστροφή B του σπιν στον άξονα z. Εξάλλου, με τη βοήθεια της σχέσης (5), η πιθανότητα (3) γράφεται Bt Bt Bt Pt z; sin sin sin Bt Pt z; sin (3) Με τη βοήθεια της τριγωνομετρικής ταυτότητας cos sin, η (3) γράφεται P z; t (3) cos Bt Τέλος, από τη σχέση (3), παρατηρήστε ότι η πιθανότητα t ; P z εξαρτάται μόνο από τη συχνότητα B, ενώ δεν εξαρτάται από τη συχνότητα συντονισμού B. iv) Θα υπολογίσουμε τώρα, πάλι για την περίπτωση του συντονισμού, και για τη δοσμένη αρχική κατάσταση z;, πόσο αλλάζει η μέση ενέργεια του σπιν όταν αυτό αντιστρέφεται. Η μέση ενέργεια του σπιν στην αρχική κατάσταση z; z; είναι E z; Hˆ z;. Όπως έχουμε εξηγήσει, τα εσωτερικά γινόμενα δεν εξαρτώνται από την αναπαράσταση, επομένως μπορούμε να υπολογίσουμε το εσωτερικό γινόμενο z; Hˆ z; στην αναπαράσταση με βάση τη βάση
z;, z;, όπου η κατάσταση z; αναπαρίσταται από τον σπίνορα οπότε το bra z; αναπαρίσταται από το διάνυσμα και η Χαμιλτονιανή () αναπαρίσταται από τον πίνακα (6), δηλαδή H expi t exp it Έτσι, η μέση ενέργεια του σπιν στην κατάσταση z; είναι expi t E z; expit expit E (33) z; Όταν συμβεί αντιστροφή του σπιν, η κατάσταση του σπιν είναι η κατάσταση z;. Μπορούμε (;) να μαντέψουμε ότι E. Ας το δούμε. z; Η μέση ενέργεια του σπιν στην αντιστραμμένη κατάσταση είναι E z; Hˆ z;. Με τον ίδιο τρόπο που υπολογίσαμε τη μέση ενέργεια στην z; κατάσταση z;, θα έχουμε expi t E z; expit expit E (34) z;
Έτσι, η μεταβολή της μέσης ενέργειας σε μια αντιστροφή του σπιν είναι, κατ απόλυτη τιμή, E B. flip flip E B (35) Μετρώντας την ενεργειακή διαφορά (35) και γνωρίζοντας το πλάτος B της σταθερής συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου, μπορούμε να υπολογίσουμε τον γυρομαγνητικό λόγο του ηλεκτρονίου από τη σχέση E flip (36) B Η μέθοδος αυτή λέγεται μέθοδος του παραμαγνητικού συντονισμού (paramagnetic resonance method). v) Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο μπορούμε να χειριστούμε και το μαγνητικό πεδίο B B costeˆ sinteˆ B eˆ, x y z το οποίο προκύπτει από το μαγνητικό πεδίο B B costeˆ sinteˆ B eˆ x y z αν κάνουμε τον μετασχηματισμό Στον συντονισμό, η πιθανότητα t ; εξαρτάται από τη συχνότητα. P z είναι ίδια με την πιθανότητα (3), αφού δεν Σχετικά με τον μετασχηματισμό (8), t exp i C t at Dt t bt exp i Μπορεί να δειχθεί ότι ο πίνακας expi U z expi στρίβει τους σπίνορες αριστερόστροφα στο επίπεδο xy (δηλαδή γύρω από τον άξονα z), κατά γωνία. t expi Επομένως, ο πίνακας στρίβει τους σπίνορες γύρω από t expi τον άξονα z κατά γωνία t, δηλαδή τους στρίβει δεξιόστροφα κατά γωνία t. Με
άλλα λόγια, ο μετασχηματισμένος σπίνορας a t bt στραμμένος δεξιόστροφα κατά γωνία C t D t το μαγνητικό πεδίο cos sin αλλά αριστερόστροφα. x y z είναι ο αρχικός σπίνορας t. Κατά την ίδια γωνία στρέφεται και B B teˆ teˆ B eˆ γύρω από τον άξονα z, Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstan@hotmail.com