3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και C, =,,...,, τότε = για κάποιο. = λ με C και λ =, λ και λ λ [ Υπόδειξη. Για το (β) λ + λ + λ33 = ( λ + λ) + + λ33. λ + λ λ + λ Χρησιμοποιείστε επαγωγή στο.] ) Έστω τ.δ.χ. Αποδείξτε ότι: (α) Αν Κ κυρτό τότε e( Κ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο υποσύνολο του Κ, όπου BdΚ =Κ Κ ( = το σύνορο του Κ ). (β) Αν χώρος με νόρμα και C είναι ακραίο υποσύνολο της με C τότε C S. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση της παραγράφου 3. για το (α)]. 3) Έστω πραγματικός τοπικά κυρτός χώρος και Κ συμπαγές και κυρτό Αν Ε Κ, αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) Κ = co( Ε) και (ιι) για κάθε f sup f ( ) sup f ( ) =. 4) Έστω, Y τοπικά κυρτοί χώροι, Κ συμπαγές και κυρτό και T : Y γραμμική και συνεχής. Τότε κάθε ακραίο σημείο του T( Κ) είναι εικόνα κάποιου ακραίου σημείου του Κ. [Υπόδειξη: Το T( Κ ) είναι βέβαια συμπαγές και κυρτό. Έστω e T( ) σύνολο : ( ) Κ { } ({ }) Ε ( ) Κ. Το Κ = Κ T = = T Κ είναι συμπαγές και κυρτό, επομένως έχει ακραία σημεία. Έστω ακραίο σημείο του Κ. Δείξτε ότι το είναι ακραίο σημείο τουκ.] 5)Έστω τοπικά κυρτός χώρος και υποσύνολο του ώστε C co( ) συμπαγές. Τότε e( C). = είναι
4 [Περιγραφή της απόδειξης. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το είναι κλειστό και άρα συμπαγές. Για να αποδείξουμε τον ισχυρισμό είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι αν U είναι τυχούσα κλειστή κυρτή και ισορροπημένη περιοχή του, τότε e( C) + U ( πρβλ. την Πρόταση 3.. (νι)).έστω U μια τέτοια περιοχή. Επειδή το είναι συμπαγές μπορεί να καλυφθεί από ένα πεπερασμένο πλήθος συνόλων ( ) + U όπου, =,,...,. Τα σύνολα = co ( + U) είναι κυρτά και συμπαγή, επομένως το είναι κυρτό το οποίο περιέχεται στο C. Αποδεικνύεται εύκολα ότι το είναι συμπαγές ( πράγματι το κυρτό σύνολο είναι συμπαγές ως εικόνα του συμπαγούς Ω=... S μέσω της συνεχούς απεικόνισης =, όπου ( ) S t t R t t (,...,,,..., ) ϕ t t t περιέχει το συμπεραίνουμε ότι =,..., :, = ) και επειδή C = b, t, =,,..., και t =.. Αν e( C) τότε = tb, όπου Έπεται από την άσκηση (β) ότι = b για κάποιο. Επομένως + U, αφού το + U κλειστό κυρτό και έτσι + U. Δηλαδή e( C) + U.( Πρβλ. επίσης την άσκηση 9)] 6) Έστω Κ κυρτό υποσύνολο του ένα γνήσιο διανυσματικό υπόχωρο του R. Αποδείξτε ότι είτε Κ ή το Κ περιέχεται σε R. [ Υπόδειξη. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι Κ. ΈστωY η γραμμική θήκη του Κ και { e,..., e m} μια βάση του Y η οποία περιέχεται στο Κ. Προφανώς m. Αν m< τότε βέβαια το Κ έχει κενό εσωτερικό. Υποθέτομε ότι m= και θα αποδείξουμε ότι ( ) Έστω C co { e : m } { } = = Κ. Παρατηρούμε ότι το κυρτό σύνολο ae : a, =,,..., C. Έστω = e. Τότε το = ae : a < είναι μια ανοικτή περιοχή του και επίσης την άσκηση των παραγράφων 3., 3.3 ] D. C Κ. Πρβλ 7) Θεώρημα Καραθεοδωρή: Έστω Κ ένα κυρτό και συμπαγές υποσύνολο του R. Τότε κάθε Κ είναι ένας κυρτός συνδυασμός το πολύ + ακραίων σημείων του Κ.
5 [ Περιγραφή της απόδειξης. Προχωρούμε με επαγωγή στην διάσταση του χώρου. Αν =, τότε Κ = [ a, b] R και το αποτέλεσμα είναι προφανές. Υποθέτομε ότι το αποτέλεσμα ισχύει για χώρους διάστασης, όπου. Έστω Κ R κυρτό με Κ ( άσκηση 6 ) και ( συσχετισμένο) υπερεπίπεδο Y του R που διέρχεται από το και αφήνει το Κ σε έναν από τους δύο ημιχώρους που ορίζει το Y (θεώρημα Hah-Baach στις πεπερασμένες διαστάσεις). Η τομή του Κ με τοy είναι ένα συμπαγές και κυρτό υποσύνολο του Κ που είναι ακραίο υποσύνολο του Κ και βέβαια έχει κενό εσωτερικό. Το συμπέρασμα έπεται από την επαγωγική υπόθεση καθώς dimy =. (β) Αν Κ, θεωρούμε έν από τα z και. Η ( ) περίπτωση (α) ένα υπερεπίπεδοy που διέρχεται από το και αφήνει το Κ σε ένα από τους δύο ημιχώρους που ορίζει το Y. Έστω =Κ Y. Τότε το είναι συμπαγές κυρτό ακραίο υποσύνολο τουκ. Αν το είναι μονοσύνολο, τότε είναι ακραίο σημείο τουκ ( { } Κ. (α) Αν το BdΚ =Κ \ Κ θεωρούμε έν = ) και το είναι κυρτός συνδυασμός των z και (δύο ακραίων σημείων του Κ ) συνδυασμός το πολύ ακραίων σημείων του, άρα και του Κ. Επειδή το είναι κυρτός συνδυασμός των z και έπεται το συμπέρασμα.] να ακραίο σημείο z του Κ και την ευθεία (ε) που διέρχεται ε τέμνει το BdΚ σε ένα σημείο. Θεωρούμε όπως στην Αν, τότε επειδή dimy < από την επαγωγική υπόθεση το να είναι κυρτός 8) Έστω διανυσματικός χώρος ( ) κυρτή αν λ + ( λ) λ [,]. Έστω f : f (α) f λ λ f ( λ =. Κ κυρτό και f : R συνάρτηση. Η f λέγεται ) λ f ( ) ( λ) f ( ) + για κάθε, Κ και κάθε Κ R κυρτή συνάρτηση. Αποδείξτε ότι: ), όπου,..., Κ και λ, =,,...., ώστε
6 (β) Αν = R, Κ κυρτό συμπαγές και η f : R συνεχής κυρτή συνάρτηση τότε η f επιτυγχάνει την μέγιστη τιμή της σε ένα ακραίο σημείο του Κ. [ Υπόδειξη: Για το (β). Χρησιμοποιήστε το θεώρημα Καραθεοδωρή ( άσκηση 7).] 9) Έστω τ.δ.χ. και,..., κυρτά και συμπαγή υποσύνολα του τότε η κυρτή θήκη είναι συμπαγές υποσύνολο του. [Υπόδειξη. Το σύνολο Α= t : t,,, t = είναι κυρτό και προφανώς περιέχεται στο. Επειδή Α κυρτό και Α για κάθε =,,...,, έπεται ότι Α=. Παρατηρούμε ότι η απεικόνιση Φ :... S Α η οποία ορίζεται στην απόδειξη της άσκησης 5, είναι συνεχής και επί του Α] ) Ένας χώρος με νόρμα (, ) γνήσια κυρτή ) αν t ( ) λέγεται γνήσια κυρτός ( ή η νόρμα του λέγεται + t <, οποτεδήποτε και είναι διαφορετικά σημεία της S και < t <. Για ένα χώρο με νόρμα(, ) αποδείξτε τα ακόλουθα: (α) Ο είναι γνήσια κυρτός αν και μόνο αν κάθε S είναι ακραίο σημείο της, αν και μόνο αν για κάθε, ώστε, + = + έπεται ότι τα διανύσματα και ανήκουν στην ίδια ημιευθεία από το.( Δηλαδή το ένα από τα δύο είναι μη αρνητικό πολλαπλάσιο του άλλου.) (β) Συμπεράνατε ότι ο χώρος Baach l p, < p <+ είναι γνήσια κυρτός και ότι οι l, l και c δεν είναι γνήσια κυρτοί. [ Υπόδειξη. Για το (α). Το γεγονός ότι ο είναι γνήσια κυρτός αν και μόνο αν κάθε S είναι ακραίο σημείο της έπεται αμέσως από τους αντίστοιχους ορισμούς. Έστω ότι ο είναι γνήσια κυρτός και ότι, με + = +. Μπορούμε να υποθέσομε ότι =. Έστω + z =. Τότε + z = + + z = + + =. Άρα =. Επειδή, z S, έπεται
7 ότι = z =. Αντιστρόφως αν και είναι διαφορετικά στοιχεία της S τότε τα και δεν μπορεί να ανήκουν στην ίδια ημιευθεία από το, από όπου έπεται ότι + + < + = και άρα < και ο χώρος είναι γνήσια κυρτός.] ) (α) Έστω και Y χώροι με νόρμα και T : Y φραγμένος γραμμικός τελεστής. Αποδείξτε ότι αν ο Y είναι γνήσια κυρτός τότε ο δέχεται ισοδύναμη γνήσια κυρτή νόρμα. (β) Αποδείξτε ότι κάθε διαχωρίσιμος χώρος Baach δέχεται ισοδύναμη γνήσια κυρτή νόρμα. [ Υπόδειξη. Για το (α). Έστω Θέτομε T( ) η νόρμα του και η γνήσια κυρτή νόρμα του Y. = +,. Αποδείξτε ότι η είναι μια γνήσια κυρτή ισοδύναμη νόρμα επί του χώρου. Για το (β). Έστω { : } ακολουθία στην. Ορίζουμε έναν τελεστή : μια ασθενώς πυκνή T l θέτοντας T( ) ( ) = Αποδείξτε ότι ο T είναι γραμμικός φραγμένος και. Επειδή ο χώρος Hilbert είναι γνήσια κυρτός, από το (α) έχουμε το συμπέρασμα. Πρβλ επίσης και την απόδειξη του Λήμματος 4..5]. ) Έστω Κ συμπαγές και κυρτό υποσύνολο του Ευκλειδείου επιπέδου το σύνολο e( Κ ) είναι κλειστό υποσύνολο του Κ. [Υπόδειξη. Αν Κ = τότε το Κ περιέχεται σε μια ευθεία του αποτέλεσμα είναι προφανές. Έτσι μπορούμε να υποθέσουμε ότι έχουμε ότι e( Κ) BdΚ. Αποδείξτε ότι το ( ) ( συμπαγούς συνόλου ) BdΚ.] R. Αποδείξτε ότι R ( άσκηση 6 ) και το Κ. Από την άσκηση e Κ είναι κλειστό υποσύνολο του.