Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 10 Απριλίου 2016 Με βάση την ομιλία (30.3.16) στην 8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα «Θεωρία Galois σε 30 λεπτά» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Παράρτημα Κεντρ. Μακδεδονίας
Βιβλιογραφία 1 Galois Theory, I. Stewart 2 Θεωρία Galois, Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/731/4/book Galois theory.
Με τι ασχολείται η Θεωρία του Galois Η Θεωρία του Galois ασχολείται με τις λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων x n + a n 1 x n 1 + + a 0 = 0. Το κύριο ερώτημα που θέλει να απαντήσει είναι πότε οι λύσεις τους, δηλ. οι ρίζες του πολυωνύμου f (x) = x n + a n 1 x n 1 + + a 0 εκφράζονται με ριζικά σε σχέση με τους συντελεστές της εξίσωσης.
Τι εκφράζεται με ριζικά: ότι γράφεται με τις πράξεις της πρόσθεσης/αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού/διαίρεσης και με την εξαγωγή ριζών, όπως ο μιγαδικός αριθμός Παράδειγμα 5 2 + 3 5 + 3 2 + 17. Ο τύπος για τις λύσεις της δευτεροβάθμιας (πολυωνυμικής) εξίσωσης εκφράζει τις ρίζες με ριζικά: ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = b ± b 2 4ac. 2a
Οι λύσεις της τριτοβάθμιας (πολυωνυμικής) εξίσωσης εκφράζονται με ριζικά. Για παράδειγμα έστω f (x) = x 3 + qx + r. Ο τύπος για τις ρίζες του f (x) είναι: y + z, ωy + ω 2 y, ω 2 y + ωz όπου και y = 3 z = 3 r 2 + r 2 4 + q3 27, r r 2 2 4 + q3 27 ω = 1 + 3. 2
Αντίστοιχος τύπος υπάρχει για τις ρίζες πολυωνύμων βαθμού 4. Ερώτημα Υπάρχει τύπος για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού 5; Ακόμα και αν δεν υπάρχει τύπος, μήπως οι ρίζες εκφράζονται με ριζικά; Τι χαρακτηρίζει τις πολυωνυμικές εξισώσεις που οι ρίζες τους εκφράζονται με ριζικά;
Είναι σημαντικό αυτό το πρόβλημα και για ποιους; Η επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων, δηλαδή εξισώσεων της μορφής f (x) = 0, όπου f (x) είναι ένα πολυώνυμο, απασχόλησε τους μαθηματικούς από την αρχαιότητα. Σε αυτήν την ομιλία, θα προσπαθήσουμε να καταλάβουμε την συνεισφορά του Evariste Galois.
Δευτεροβάθμιες εξισώσεις και Βαβυλώνιοι
Στο βιβλίο «Τα Στοιχεία» (300 π. Χ.) βρίσκουμε προβλήματα που αφορούν την εύρεση των x, y, για τα οποία ισχύει Σύγχρονη μέθοδος: x y = a και xy = b. x = a + y (y + a)y = b y 2 + ay b = 0 και τύπος δευτεροβάθμιας.
Ο Omar Khayyan (1048-1131) έδωσε λύσεις για κάποιες τριτοβάθμιες εξισώσεις με συντελεστές θετικούς ακέραιους χρησιμοποιώντας κωνικές τομές. Σημειώνουμε ότι οι αρνητικοί αριθμοί άρχισαν να χρησιμοποιούνται ευρέως τον 16ο αιώνα.
Το 1535 ο Niccolo Fontana (1500-1557) υπολόγισε τις ρίζες μερικών ειδικών περιπτώσεων τριτοβάθμιων αλγεβρικών εξισώσεων. Το 1539 ο Girolamo Cardano (1501-1576) δημοσίευσε στο βιβλίο του «Ars Magma» (Μέγα Εργο) τις λύσεις των εξισώσεων του Tartaglia, και άλλων 13 περιπτώσεων.
Η Ars Magna περιέχει μία μέθοδο επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων τέταρτου βαθμού η οποία επινοήθηκε από τον μαθητή του Cardano, τον Ferrari (1522-1565).
Ο Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), το 1770 δίνει περισσότερο φως στις ήδη γνωστές λύσεις εξισώσεων 3 και 4 βαθμού και εισηγείται μεθόδους που μπορούν να εφαρμοστούν σε λύσεις βαθμού > 4. Ο Carl Friedrich Gauss (1777-1855), το 1799 απέδειξε το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας και μελέτησε ιδιαίτερα τις λύσεις της x n 1.
Η πεμπτοβάθμια δεν επιλύεται με ριζικά Ruffini (1765-1822), το 1799 (516 σελίδες) και 1813 (με αποδεικτικό κενό). Ο Abel (1802-1829), το 1824. Θεώρημα (Abel-Ruffini) Δεν υπάρχει τύπος για ΟΛΕΣ τις πεμπτοβάθμιες εξισώσεις.
Ποια πολυώνυμα επιλύονται με ριζικά; Ο Galois (1811-1832) υπέβαλλε την εργασία του στην Ακαδημία Επιστημών του Παρισιού τρεις φορές. Τρεις φορές απορρίφθηκε.
Επιστολή προς το φίλο του Auguste Chevallier (29 Μαίου 1832). Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis non sur la verite, mais sur l importance des theoremes. Apres cela il se trouvera, j espere, des gens qui trouvent leur profis a dechiffrer tout ce gachis. Je t embrasse avec effusion.
Το 1843 ένα αντίγραφο έφθασε στον Liouville (1809-1882), και δημοσιεύτηκε το 1846. Μαθηματικοί που συνέβαλλαν στην κατανόηση της Θεωρίας και στη γενίκευσή της: Leopold Kronecker (1823-1891) Richard Dedekind (1831-1916) Ο Arthur Cayley (1821-1895) Ο Emil Artin (1898-1962). Ο Wolfgang Krull (1899-1971). Οι S.U. Chase, D.K. Harrison και A. Rosenberg το 1968.
Τι ήταν γνωστό πριν από τον Galois; Παρατήρηση ( Lagrange) Το κοινό χαρακτηριστικό των μεθόδων για επίλυση πολυωνύμων f (x) με βαθμό 3 και 4, είναι ότι υπάρχουν συνδυασμοί των ριζών του f (x) που παίρνουν λίγες τιμές όταν μεταθέτουμε τις ρίζες. Το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση ριζών πολυωνύμων μικρότερου βαθμού για τα οποία υπάρχουν τύποι με ριζικά.
Συμμετρικά πολυώνυμα και Στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα Τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα είναι: e 1 (X 1,..., X n ) = X 1 + + X n e 2 (X 1,..., X n ) = X 1 X 2 + + X n 1 X n. e n (X 1,..., X n ) = X 1 X n Τι ήταν γνωστό ( Newton (1642-1727) ) Κάθε συμμετρικό πολυώνυμο είναι πολυωνυμικός συνδυασμός των στοιχειωδών συμμετρικών πολυωνύμων.
Για παράδειγμα, σε δύο μεταβλητές, έχουμε δύο στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα: e 1 (X 1, X 2 ) = X 1 + X 2 και e 2 (X 1, X 2 ) = X 1 X 2. Το πολυώνυμο είναι συμμετρικό και X 2 1 + X 2 2 X 2 1 + X 2 2 = (X 1 + X 2 ) 2 2X 1 X 2 = e 1 (X 1, X 2 ) 2 2e 2 (X 1, X 2 ).
Αν f (x) = x n + b 1 x n 1 + + b n = 0 και a 1,..., a n είναι οι ρίζες του f (x), τότε f (x) = x n + b 1 + + b n = (x a 1 ) (x a n ) και επομένως b i = ( 1) i e i (a 1,..., a n ), για i = 1,..., n. Συμπέρασμα Μία έκφραση που είναι συμμετρική ως προς τις ρίζες του f (x) = x n + b 1 x n 1 + + b n = 0, είναι αναγκαστικά πολυωνυμικός συνδυασμός των συντελεστών b 1,..., b n.
(Το Πρόγραμμα του Lagrange για τις ρίζες του f (x) = x n + b 1 x n 1 + + b n.) Κατασκευάζουμε πολυωνυμικούς συνδυασμούς των ριζών του f (x), u 1,..., u k, που δεν μεταβάλλονται «πολύ» όταν οι ρίζες του f (x) μετατίθενται. Χρησιμοποιούμε τα u 1,..., u k για να βρούμε μία συμμετρική έκφραση ως προς τις ρίζες του f (x), έστω g(x). Αν το g(x) έχει βαθμό < deg f (x) μπορούμε να λύσουμε για τα u 1,..., u k και έτσι τα u 1,..., u k εκφράζονται με ριζικά. Χρησιμοποιώντας νέα ριζικά των u 1,..., u k εκφράζουμε τις ρίζες του f (x) με ριζικά.
Εστω με ρίζες a 1, a 2 και έστω ότι x 2 + bx + c = 0 δ = a 1 a 2. Αν αντιμεταθέσουμε τις ρίζες τότε η δ γίνεται δ. Άρα, η δ 2 είναι συμμετρική. Επομένως: δ 2 = (a 1 a 2 ) 2 = a 2 1 2a 1 a 2 + a 2 = (a 1 + a 2 ) 2 4a 1 a 2 = b 2 4c δηλ. δ = b 2 4c είναι η ρίζα του x 2 (b 2 4c). Το σύστημα είναι: a 1 + a 2 = a 1 a 2 = και τα a 1, a 2 εκφράζονται με ριζικά. b b 2 4c
x 3 + bx 2 + cx + d = 0 Υπάρχουν 6 μεταθέσεις των τριών ριζών a 1, a 2, a 3. Αν ω = e 2πi/3 τότε η έκφραση u = (a 1 + ωa 2 + ω 2 a 3 ) 3 παίρνει ακριβώς δύο τιμές, τις u = (a 1 + wa 2 + w 2 a 3 ) 3 και v = (a 1 + w 2 a 2 + wa 3 ) 3. Επομένως οι εκφράσεις u + v και uv είναι συμμετρικές και είναι πολυωνυμικές εκφράσεις των συντελεστών b, c, d. Τα u και v προκύπτουν ως λύσεις μίας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και είναι ριζικά. Βρίσκουμε τις ρίζες a 1, a 2, a 3, λύνοντας το σύστημα a 1 + a 2 + a 3 = b a 1 + ωa 2 + ω 2 a 3 = 3 u a 1 + ω 2 a 2 + ωa 3 = 3 v.
Ο Lagrange παρατήρησε ότι το αντίστοιχο συμβαίνει με τις τέσσερις ρίζες της τεταρτοβάθμιας χρησιμοποιώντας την έκφραση (a 1 + ia 2 + i 2 a 3 + i 3 a 4 ) 4. Οταν όμως έγραψε την αντίστοιχη εξίσωση για την πεμπτοβάθμια, w = (a 1 + ζa 2 + ζ 2 a 3 + ζ 3 a 4 + ζ 4 a 5 ) 5 είδε ότι οι 120 μεταθέσεις δίνουν 24 διαφορετικές εκφράσεις......και δυστυχώς το 24 είναι μεγαλύτερο του 5...
Ποιος ήταν ο Galois;
Ne pleure pas, Alfred! J ai besoin de tout mon courage pour mourir a vingt ans!
Τι έκανε ο Galois; Ο Galois αναζήτησε τις συμμετρίες ανάμεσα στις ρίζες του f (x) και βρήκε την αντιστοιχία ανάμεσα στις συμμετρίες και σε ότι μπορεί να εκφραστεί με ριζικά (ως προς τους συντελεστές του f (x)). Για την αντιστοιχία αυτή ανακάλυψε βαθιά θωρήματα της Θεωρίας Ομάδων και της Θεωρίας Σωμάτων, κλάδους των Μαθηματικών που δεν είχαν ακόμη εφευρεθεί!
Εστω η πολυωνυμική εξίσωση Οι ρίζες της είναι οι x 4 4x 2 5 = (x 2 + 1)(x 2 5) = 0 ±i, ± 5. Από τον κόσμο των ρητών δεν μπορούμε να ξεχωρίσουμε ανάμεσα στο i και στο i, ή ανάμεσα στις 5 και 5. Οι συμμετρίες των ριζών είναι οι αντιμεταθέσεις i i, 5 5 καθώς και οι συνδυασμοί τους. Εχουμε συνολικά 4 τέτοιες συμμετρίες. Αυτές εξηγούν το τι γίνεται και όχι οι 24 μεταθέσεις των αρχικών ριζών.
Θεώρημα του Galois Θεώρημα (Galois) Οι ρίζες ενός συγκεκριμένου πολυωνύμου εκφράζονται με ριζικά αν και μόνο αν η ομάδα συμμετριών των ριζών του πολυωνύμου είναι «επιλύσιμη». Τα ριζικά χτίζονται σταδιακά. Σε κάθε στάδιο αντιστοιχεί μία (ενδιάμεση) υποομάδα συμμετριών. Η εξαγωγή της l-στης ρίζας εμφανίζεται αν η αντίστοιχη ομάδα πηλίκων είναι κυκλική.
Εστω ότι είχαμε μία ομάδα συμμετριών 4 ριζών a, b, c, d με συμμετρίες a b, c d και συνδυασμούς (4 συμμετρίες συνολικά). Σύμφωνα με την αντιστοιχία του Galois, ότι παραμένει αναλλοίωτο από την συμμετρία a b, γράφεται ως πολυώνυμο των c, d. Αφού u = a + b και v = ab παραμένουν αναλλοίωτα, γράφονται και τα δύο ως πολυώνυμα των c, d. Ομως, τα a και b είναι ρίζες του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου: x 2 ux + v = (x a)(x b) και άρα προκύπτουν από τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, ως προς u και v. Επομένως, τα a και b εκφράζονται με ριζικά των c, d.
Αντίστοιχα, τα w = c + d, h = cd παραμένουν αναλλοίωτα από τις 4 συμμετρίες και σύμφωνα με την αντιστοιχία του Galois ανήκουν στο Q. Ομως, τα c και d είναι ρίζες του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου: x 2 wx + h = (x c)(x d) και προκύπτουν από τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, ως προς w και h. Επομένως, c, d εκφράζονται με ριζικά πάνω από το Q. Αφού a και b εκφράζονται με ριζικά των c, d, προκύπτει ότι a, b εκφράζονται με ριζικά πάνω από το Q. Τελικά όλες οι ρίζες εκφράζονται με ριζικά πάνω από το Q.
Αν δεν υπάρχουν «αρκετές» ενδιάμεσες υποομάδες συμμετριών τότε είναι αδύνατον να βρούμε τις ρίζες με ριζικά. Εστω f (x) = x 5 4x + 2. 4 2 0 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 Σχήμα: Το γράφημα του x 5 4x + 2. Το f (x) έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες. Χωρίς να υπολογίσουμε τις ρίζες, μπορούμε να δείξουμε ότι η ομάδα των συμμετριών τους είναι όλη η S 5. Η S 5 δεν είναι επιλύσιμη, και άρα οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου δεν εκφράζονται με ριζικά.
Εστω f (x) = x 5 2. 6 4 2 0 2 0.5 0 0.5 1 1.5 Σχήμα: Το γράφημα του x 5 2. Το f (x) έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα. Η ομάδα των συμμετριών τους έχει 10 στοιχεία και το πολυώνυμο f (x) = x 5 2 επιλύεται με ριζικά.
Εστω f (x) = x 5 1. 6 4 2 0 0.5 0 0.5 1 1.5 Σχήμα: Το γράφημα του x 5 1. Η ομάδα των συμμετριών έχει 4 στοιχεία. Το πολυώνυμο f (x) = x 5 1 επιλύεται με ριζικά. Οι ρίζες της μονάδας είναι το e 2πi/5 και οι δυνάμεις του. Με ριζικά, το e 2πi/5 γράφεται ως: 1 + 5 + 1 2 5. 4