1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ 19 Φεβρουαρίου 013 ΤΑΞΗ Α Σημειώσεις Άλγεβρας Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο Εξίσωση με ένα άγνωστο λέμε την ισότητα δύο παραστάσεων μιας μεταβλητής. Πχ f(x) = g(x) όπου x μεταβλητή που παίρνει αριθμητικές τιμές και ονομάζεται άγνωστος της εξίσωσης. Λέμε ότι x A,όπου Α το σύνολο αναφοράς της μεταβλητής. Λύση ή ρίζα μιας εξίσωσης λέμε τη τιμή ρ του αγνώστου που την επαληθεύει δηλ. ισχύει f(ρ) = g(ρ). Μια εξίσωση που αληθεύει για όλες τις δυνατές τιμές (για κάθε x A)της μεταβλητής λέγεται ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ, ενώ όταν δεν υπάρχει λύση λέγεται Α ΥΝΑΤΗ. Επίλυση λέμε την διαδικασία εύρεσης της λύσης. Ισοδύναμες λέγονται οι εξισώσεις που έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων. Σχόλια. α. Προβλήματα στα οποία ζητάμε να υπολογίσουμε κάποια ποσότητα ή κάποιες ποσότητες ή τιμές μεταβλητών, οδηγούν στην επίλυση μιας εξίσωσης ή ανίσωσης ή συστήματος αυτών για το υπολογισμό τους. β. Το πρόβλημα που θέτει η διατύπωση : Να λυθεί η εξίσωση είναι : ο μετασχηματισμός της εξίσωσης, ανάλογα με την μορφή της και η εύρεση των τιμών του αγνώστου της (σύνολο λύσεων) ανάλογα με το σύνολο αναφοράς του. γ. Οι εξισώσεις που τελικά ισοδυναμούν με πολυωνυμικές εξισώσεις μεγαλύτερου ή ίσου βαθμού από ου επιλύονται με παραγοντοποίηση.
Μορφές εξισώσεων Ι. Οι πολυωνυμικές εξισώσεις Οι εξισώσεις αυτές διακρίνονται ως προς το βαθμό τους σε 1 ου βαθμού (π.χ. χ+ 7 = 9, και γενικά αχ+β = 0 με α 0 ) ου βαθμού ( π.χ. χ = 1, t +1 =0 και γενικά αχ +βχ +γ = 0 με α 0) 3 ου βαθμού αχ 3 +βχ +γχ+ δ = 0 με α 0 κλπ. ΙΙ. Οι ρητές εξισώσεις Είναι οι εξισώσεις που ο άγνωστος «εμφανίζεται» σε παρονομαστές και δεν περιέχουν ρίζες οποιασδήποτε τάξης. x + 1 πχ. 0 + =. x 1 x x+ 1 Επίλυση εξισώσεων των μορφών Ι και ΙΙ Η επίλυση των εξισώσεων αυτών (ανάγονται σε πολυωνυμικές) περιλαμβάνει τα εξής βήματα: 1ο βήμα: Εντοπίζουμε τις τιμές που μπορεί να πάρει ο άγνωστος (Σύνολο αναφοράς, περιορισμοί 1 ) Εύρεση ΕΚΠ παρονομαστών των όρων της εξίσωσης, (αν υπάρχουν) ο βήμα: Πολλαπλασιασμός κάθε όρου της με το ΕΚΠ των παρονομαστών (αν υπάρχουν) για απαλοιφή τους. 3ο βήμα: Εκτέλεση πράξεων και διαγραφών όρων 4ο βήμα: Επεξεργασία ανάλογα με τον βαθμό. 5ο βήμα: Έλεγχος λύσεων αν υπακούουν στους περιορισμούς(ανήκουν στο σύνολο αναφοράς) και αποδοχή λύσεως (ή λύσεων). 1 Αν οι παρονομαστές είναι όλοι αριθμοί σύνολο αναφοράς είναι το ΙR Αν ο βαθμός είναι μεγαλύτερος ή ίσος του ου τότε παραγοντοποιούμε την αρχική μορφή.
Οι εξισώσεις 1 ου βαθμού α 0 η εξίσωση έχει μία μόνο λύση x = β α αx + β = 0 β 0 η εξίσωση είναι αδύνατη α = 0 β = 0 τότε η εξίσωση αληθεύει για όλες της τιμές του αγνώστου χ, για τις οποίες ορίζεται (ταυτότητα) 3 Οι εξισώσεις ου βαθμού Είναι οι εξισώσεις που καταλήγουν στην μορφή α +βx+γ = 0 με α 0. Επιδιώκουμε την παραγοντοποίηση τους και αν δεν είναι εφικτό τότε υπολογίζουμε την ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ = β 4αγ και έχουμε 4 ύο ρίζες πραγματικές τις αν > 0 β β 4αγ β+ β 4αγ x 1 = ή x = α α ύο ρίζες πραγματικές και ίσες αν = 0 β x 1 = x = α αν < 0 εν έχει πραγματικές ρίζες (Αδύνατη στο R) ΙΙΙ. Εξισώσεις ειδικών μορφών που ανάγονται σε πολυωνυμικές Εξισώσεις με απόλυτες τιμές Μορφή 1 η : f(x) = α αν α< 0 τότε είναι αδύνατη αν α 0 τότε ισοδυναμεί με τις f(x) = α ή f(x)= α Μορφή η : f(x) = g(x) {f(x) = g(x) ή f(x) = g(x)} αν g(x) < 0 τότε είναι αδύνατη Μορφή 3 η f(x) = g(x) 3 Στην μορφή αυτή καταλήγει κάθε εξίσωση όταν είναι ταυτότητα 4 Πάντα ελέγχουμε τις ρίζες ως προς τους περιορισμούς
αν g(x) 0 τότε ισοδυναμεί με τις f(x) = g(x) ή f(x)= g(x) Μορφή 4 η Γενική πx f(x) ± g(x) = h(x) ± φ(x). Τότε εργαζόμαστε διακρίνοντας περιπτώσεις για το πρόσημο των f(x), g(x), h(x) και φ(x). ΙV. Διώνυμες εξισώσεις Μορφή 1 η x ν = α, με α 0 ισοδυναμεί με τις x = ± ν α (ν Ν*) Μορφή η x ν+1 = α, με α 0 ισοδυναμεί με την x = ν+ 1 α (ν Ν*) Μορφή 3 η x ν+1 = α, με α > 0 ισοδυναμεί με την x = ν+ 1 α (ν Ν*) Μορφή 4 η x ν = α, με α > 0 είναι αδύνατη (ν Ν*) Μορφή 5 η Γενική Αx μ +Βx ν = 0. (μ, ν Ν*) Επιλύεται με παραγοντοποίηση και χρήση των προηγούμενων μορφών. V. Με χρήση βοηθητικού αγνώστου. πx. Να λύσετε την εξίσωση (x+ 1 x ) 3(x+ 1 ) + = 0. x Επίλυση Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x 0. Θέτουμε x+ 1 x =t ΙR και έχουμε t 3t+ = 0 (5) (t 1)(t )= 0 t=1 ή t=. Επομένως x+ 1 x =1 (1) ή x+ 1 = (). x (1) x +1=x x x +1=0 () x +1 =x x x +1 = 0 (x 1) = 0 x =1. 5 Η εξίσωση αυτή λέγεται επιλύουσα
VI. Εξισώσεις ειδικών μορφών που ανάγονται σε σύστημα Γενική μορφή Α + Β +Γ = 0 με Α, Β, Γ 0 Β = 0 Γ = 0 Μορφή 1 η. Α +Β +Γ = 0 όπου Α, Β, Γ εκφράσεις αγνώστων Επίλυση Α +Β +Γ = 0 Β= 0 Γ= 0 Μορφή η Α + Β + Γ = 0 Β= 0. Γ= 0 VII. Η εξίσωση Α 3 +Β 3 +Γ 3 =0 με Α+Β+Γ =0 Είναι ισοδύναμη με την ΑΒΓ=0 Α=ή Β=0 ή Γ=0 Πχ. Να λυθεί η εξίσωση (x 1) 3 (x+) 3 +(x+3) 3 = 0. Επειδή είναι (x 1) (x+) +(x+3) = 0 η εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις x 1 = 0 ή x+ = 0 ή x+3 = 0 x = 1 ή x = ή x = 3.