ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη, υποκρίιµη ροή προεγγίζει τοπικό αναβαθµό, όπως φαίνεται!!! Σχήµα 1 Μηκοτοµή Το διάγραµµα Ειδικής Ενέργειας για τον υγκεκριµένο αγωγό (δηλ για την υγκεκριµένη διατοµή και την παροχή Q) θα είναι :! mi Σχήµα 2 Διάγραµµα Ειδικής Ενέργειας όπου 1

= + V 2 (11) ή = + Q2 A 2 (12) και η ειδική ενέργεια την διατοµή α ( ) είναι (βλ Σχήµα 2) = + V 2 (13) Για την ανάλυη της ροής την περιοχή της τοπικής ανυψώεως, γράφουµε την εξίωη ενέργειας από (α) έως (), αµελώντας τοπικές απώλειες : z + + V 2 = z! +! + V 2! (14) όπου, λόγω της µικρής τιµής της κλίεως πυθµένα και της µικρής απόταης από (α) έως (), είναι : z! = z + "z (15) και = ύψος τοπικής ανυψώεως Από τις εξ (14) και (15) προκύπτει : + V 2 =! + V 2! + "z (16) Αλλά, από τον οριµό της ειδικής ενέργειας (βλ εξ (11)), προκύπτει: = + "z (17) ή = " #z (18) 2

Βάει της εξ (18) προκύπτουν τώρα τα ακόλουθα: (α1) Ειδική Ενέργεια τη µέγιτη ανύψωη,, µεγαλύτερη της Ελάχιτης Ειδικής Ενέργειας mi!! " V! 2! V! 2 mi! " Σχήµα 3 Διάγραµµα Ειδικής Ενέργειας και βάθη ροής τη µέγιτη ανύψωη () και τις διατοµές (α) και (κ) Για κάθε διατοµή κατάντη της (α) και ανάντη της (κ), η ειδική ενέργεια περιγράφεται από εξίωη αντίτοιχη της (18), δηλ "! = # $ z! (19) όπου! z " το τοπικό ύψος της ανυψώεως, 0! " z #! "z Εποµένως, ύµφωνα µε το Σχήµα 3, όλα τα τοπικά βάθη θα κυµαίνονται µεταξύ και ταδιακά µέχρις ότου πάρει την µικρότερη τιµή του, Το βάθος ροής θα µειώνεται, υπεράνω του υψηλότερου ηµείου του αναβαθµού και τη υνέχεια θα αυξάνει ταδιακά µέχρις ότου λάβει την τιµή! = = τη διατοµή (κ) Το προφίλ αυτό φαίνεται το Σχήµα 4 3

!" V 2!!!! Σχήµα 4 Προφίλ ελεύθερης επιφάνειας για την περίπτωη (α1) Το ερώτηµα που τίθεται αυτό το ηµείο είναι γιατί η µεταβολή του βάθους που περιγράψαµε αντιτοιχεί το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας του Σχήµατος 4, δηλαδή γιατί έχουµε ταπείνωη της τάθµης υπεράνω της µέγιτης ανύψωης του αναβαθµού Η απάντηη το ερώτηµα αυτό υναρτάται µε την ΓΕ υπεράνω του αναβαθµού Δεδοµένου ότι οι τοπικές απώλειες έχουν θεωρηθεί αµελητέες, η ΓΕ υπεράνω του αναβαθµού είναι πρακτικά οριζόντια Το γεγονός ότι η ΓΕ εµφανίζεται υπό κλίη το Σχήµα 4 έχει να κάνει µε τη χρήη τρεβλής κλίµακας το χήµα αυτό, δηλ άλλη κλίµακα κατά την οριζόντια και άλλη κατά την κατακόρυφη διεύθυνη Όπως φαίνεται το Σχήµα 3, το φορτίο ταχύτητας από την (α) έως την () διαρκώς αυξάνει και από την () έως την (κ) διαρκώς µειώνεται Δεδοµένου ότι η απόταη από την ΓΕ µέχρι την ελεύθερη επιφάνεια (η οποία ταυτίζεται µε την πιεζοµετρική γραµµή) είναι ίη µε το φορτίο ταχύτητας, 2 V /, προκύπτει ότι η τάθµη της ελεύθερης επιφάνειας θα µειώνεται από (α) έως () και θα αυξάνει από () έως (κ) Τα υπολογιτικά βήµατα για την επίλυη του προβλήµατος ροής υπεράνω τοπικού αναβαθµού, µε δεδοµένα την παροχή Q, τη διαµήκη κλίη του πυθµένα της διώρυγας S o, τη γεωµετρία της διατοµής (δηλ πλάτος πυθµένα b και κλίη πρανών υντελετή Mig, ακολουθούν την εξής ειρά : (i) 1 V : ZH ) και τον Υπολογιµός κριίµου βάθους,, από την υνθήκη κρίιµης ροής : Q 2 B ga 3 = 1 (110) Για την περίπτωη ορθογωνικής διατοµής, χρηιµοποιείται η απλουτευµένη χέη : 4

= Q 2 3 (111) gb 2 (ii) Υπολογιµός κανονικού βάθους,, από την εξίωη Mig AR h 2/3 = Q S o 1/2 (112) (iii) Αν >, τότε η κλίη πυθµένα είναι ήπια (M), το πρόβληµα υπάγεται την περίπτωη (α) και υνεχίζουµε τη διαδικαία (iv) Υπολογιµός ελάχιτης ειδικής ενέργειας mi = + Q 2! A 2 ( ) (113) Για ορθογωνική διατοµή, η εξ (113) γίνεται: (v) mi = + 2 Υπολογιµός ειδικής ενέργειας της οµοιόµορφης ροής (114) Q 2 = +! A 2 ( ) (115) (vi) Υπολογιµός διαθέιµης ειδικής ενέργειας το υψηλότερο ηµείο του αναβαθµού : = " #z (116) αν > mi, τότε το πρόβληµα αντιµετωπίζεται κατά τα εκτεθέντα την παρούα περίπτωη (α1), µε = και = 5

(vii) Με γνωτή την τιµή εξιώεως, υπολογίζεται το βάθος ροής την () µε επίλυη της Q 2! + " A 2! ( ) = (117) Η επίλυη για το είναι µικρότερο του πρέπει να γίνει µε δοκιµές, λαµβάνοντας υπ όψιν ότι αυτό θα = και µεγαλύτερο του (viii) Το βάθος τη (κ) επιτρέφει ταδιακά την τιµή, δηλ! = (ix) Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας από (α) έως (κ) ορίζεται, καριφηµατικά, από τα 3 βάθη, και! = Αν απαιτείται µεγαλύτερη ακρίβεια, υπολογίζονται τιµές του βάθους,, από την εξίωη(12), βάει των τιµών της ειδικής ενέργειας που δίδει η εξ (19) (α2) Ειδική Ενέργεια τη µέγιτη ανύψωη,, «µικρότερη» της Ελάχιτης Ειδικής Ενέργειας mi!!! mi " " Σχήµα 5 Διάγραµµα Ειδικής Ενέργειας και τα προαρµοµένα βάθη Όταν η! ) είναι µικρότερη της (όπως αυτή υπολογίζεται από την εξ (18) και µε την υπόθεη ότι ώτε η νέα τιµή της ειδικής ενέργειας,, η ροή πρέπει να προαρµόει το βάθος της την (α), έτι mi, να ικανοποιεί την απαίτηη: 6

! = mi + "z (118) Εποµένως η ειδική ενέργεια την (α) πρέπει να αυξηθεί από την τιµή την (προοχή η ειδική ενέργεια αυξάνει αλλά η ολική ενέργεια πάντοτε µειώνεται την κατεύθυνη της ροής) Αύξηη της ειδικής ενέργειας υνεπάγεται και αύξηη του βάθους την (α) από ε, ύµφωνα µε το Σχήµα 5 Αυτό είναι δυνατό την περίπτωη υποκρίιµης ροής υπεράνω Μ-κλίεως, µέω του προφίλ Μ-1 Υπενθυµίζεται ότι την υποκρίιµη ροή, τυχόν διαταραχές (όπως εδώ η ανάγκη αυξήεως του βάθους) µεταδίδονται προς τα ανάντη Επιπλέον, τονίζεται ότι η ροή θα αυξήει το βάθος της τόο ώτε η ειδική της ενέργεια θα είναι οριακώς αρκετή για να καταλήξει την ελάχιτη ειδική ενέργεια µετά την αφαίρεη του (βλ εξ (18)), δηλαδή υπεράνω της µέγιτης υπερυψώεως του αναβαθµού Αυτό υνεπάγεται ότι η ροή θα διέλθει υπεράνω της διατοµής () µε το κρίιµο βάθος, Στη υνέχεια, όµως, η ροή δεν µπορεί να ανακτήει το βάθος ροής (να παραµείνει δηλ την υποκρίιµη ροή) και υνεχίζει την υπερκρίιµη περιοχή µε διαρκώς µειούµενα βάθη, έως ότου καταλήξει την (κ) µε το εναλλακτικό βάθος του!, δηλ το! ", δεδοµένου ότι η ειδική ενέργεια την (κ) είναι η ίδια µε αυτή της (α) Το προκύπτον προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας φαίνεται το Σχήµα 6 M!1!! M! 3!!! Σχήµα 6 Προφίλ ελεύθερης επιφάνειας για την περίπτωη (α2) Τέλος, την περιοχή της ροής κατάντη της διατοµής (κ) αρχίζει να αναπτύεται προφίλ Μ-3, δεδοµένου ότι το! " είναι µικρότερο του Σ αυτήν την περίπτωη, τα υπολογιτικά βήµατα ακολουθούν την εξής ειρά : (i) Υπολογιµός κριίµου βάθους,, από την εξ (110), ή την εξ (111) αν πρόκειται για ορθογωνικη διατοµή 7

(ii) Υπολογιµός κανονικού βάθους,, από την εξ (112) (iii) Αν >, τότε η κλίη πυθµένα είναι ήπια (M), οπότε το πρόβληµα υπάγεται την περίπτωη (α) και υνεχίζουµε τη διαδικαία (iv) Υπολογιµός από την εξ (113) ή (114) mi (v) Υπολογιµός ειδικής ενέργειας της οµοιόµορφης ροής από την εξ (115) (vi) αν Υπολογιµός διαθέιµης ειδικής ενέργειας το υψηλότερο ηµείο του αναβαθµού, από την εξ (116) < mi, τότε το πρόβληµα αντιµετωπίζεται ύµφωνα µε τα εκτεθέντα την παρούα περίπτωη (α2), ως κατωτέρω (vii) Υπολογιµός της απαιτούµενης ειδ ενέργειας,, τη διατοµή (α) από την εξ (118) (viii) Υπολογιµός του απαιτούµενου βάθους, της ειδικής ενέργειας, τη διατοµή (α) από την εξίωη (ix)! + Η επίλυη της εξ (16) για το Q 2 " A 2! ( ) =! (119) πρέπει να γίνει µε δοκιµές Καθοριµός του κριίµου βάθους ως βάθους ροής υπεράνω του υψηλοτέρου ηµείου της ανυψώεως, δηλ = (x) Υπολογιµός του! ", εναλλακτικού βάθους του, ως βάθους ροής την κατάντη διατοµή (κ), µέω της εξ (119) όπου το ύµβολο! " θα λάβει τη θέη του (xi) Προαρµογή καµπύλης Μ-1 ανάντη του και µέχρι του κανονικού βάθους (ολοκλήρωη) (xii) Προαρµογή καµπύλης Μ-3 κατάντη του! " και για µήκος που θα καθοριθεί από τις κατάντη υνθήκες ροής (ολοκλήρωη) Τέλος, ηµειώνεται ότι για τον υπολογιµό των βαθών και! ", η διαδικαία των δοκιµών διευκολύνεται από το γεγονός ότι το µεν > και το 0 <! " < #$%& όπου εναλ είναι το εναλλακτικό (υπερκρίιµο) βάθος του 8

(β) Υπερκρίιµη ροή τα ανάντη επί Απότοµης Κλίεως Πυθµένα Έτω, τώρα, ότι οµοιόµορφη, υπερκρίιµη ροή προεγγίζει τοπικό αναβαθµό, όπως φαίνεται το Σχήµα 7!!! Σχήµα 7 Μηκοτοµή Η Ειδική Ενέργεια της ροής δίδεται πάλι από την εξ (13), αλλά η χέη βάθους = και ειδικής ενέργειας,, είναι αυτή που δίδεται το Σχήµα 8! mi Σχήµα 8 Διάγραµµα Ειδικής Ενέργειας Επίης, ιχύει η εξ (18) για την ειδ ενέργεια τη µέγιτη ανύψωη 9

(β1) Ειδική Ενέργεια τη µέγιτη ανύψωη,, µεγαλύτερη της Ελάχιτης Ειδικής Ενέργειας mi!!! " mi! " Σχήµα 9 Διάγραµµα Ειδικής Ενέργειας και βάθη ροής τη µέγιτη ανύψωη () και τις διατοµές (α) και (κ) Για κάθε διατοµή κατάντη της (α) και ανάντη της (κ), η ειδική ενέργεια περιγράφεται από την εξ (19) Εποµένως, ύµφωνα µε το Σχήµα 9, όλα τα τοπικά βάθη θα κυµαίνονται µεταξύ και Το βάθος ροής θα αυξάνει ταδιακά από έως την µέγιτη τιµή και τη υνέχεια θα µειώνεται ταδιακά µέχρι την τιµή! = " Το προφίλ φαίνεται το Σχήµα 10!" V 2!!!! Σχήµα 10 Προφίλ ελεύθερης επιφάνειας για την περίπτωη (β1) Τα υπολογιτικά βήµατα είναι τα ίδια µε αυτά που αναπτύχθηκαν την περίπτωη (α1), µε µόνη διαφορά ότι το βήµα (iii) θα προκύπτει < 10

(β2) Ειδική Ενέργεια τη µέγιτη ανύψωη,, «µικρότερη» της Ελάχιτης Ειδικής Ενέργειας mi!!!! "!!"µ!#$%!!! mi " " Σχήµα 11 Διάγραµµα Ειδικής Ενέργειας και τα προαρµοµένα βάθη Όταν µικρότερη της ανάντη, ώτε η τιµής της ειδικής ενέργειας την (α),, η ροή πρέπει να προαρµόει το βάθος της τα mi, να ικανοποιεί την εξ (118) Όµως, η προαρµογή αυτή δεν µπορεί να γίνει µε υπερκρίιµα βάθη, διότι ανακαλώντας τα προφίλ ελεύθερης επιφάνειας υπεράνω απότοµης κλίεως (S-1, S-2, S-3) διαπιτώνεται ότι δεν υπάρχει διαθέιµο προφίλ το οποίο εκκινεί από το κανονικό βάθος και οδηγεί τα κατάντη ε βάθη µικρότερα του κανονικού Η µετακίνηη της ειδικής ενέργειας από την τιµή την τιµή κατά µήκος του υπερκρίιµου κλάδου του διαγράµµατος ειδικής ενέργειας θα επέβαλλε µια τέτοια µείωη (βλ Σχ 11), η οποία όπως εξηγήθηκε, δεν είναι δυνατή Αντ αυτού, η ροή προαρµόζεται ε κατάλληλη θέη ανάντη της διατοµής (α), δηµιουργώντας υδραυλικό άλµα και περνώντας την περιοχή της υποκρίιµης ροής Σύµφωνα µε το Σχήµα 11, η ροή περνά την θέη Σ του διαγράµµατος ειδικής ενέργειας, µε νέο βάθος ροής το υζυγές του! "#µ"$%&,, και µε απώλειες ενέργειας λόγω του άλµατος, Ευρικόµενη η ροή την υποκρίιµη περιοχή, έχει τώρα την δυνατότητα να κινηθεί την απαιτούµενη τιµή,! = mi + "z, την διατοµή (α) διότι µπορεί να αξιοποιήει το προφίλ S-1 το οποίο δίδει την δυνατότητα αύξηης της ειδικής ενέργειας µε ταυτόχρονη αύξηη του βάθους, όπως επιτάει ο υποκρίιµος κλάδος του διαγράµµατος (Σχήµα 11) 11

Ξεκινώντας µε βάθος και ειδική ενέργεια τη διατοµή (α), η ροή θα χάνει ταδιακά ειδική ενέργεια µε αντίτοιχη µείωη του βάθους, µέχρις ότου καταλήξει την (και αντιτοίχως το βάθος ) υπεράνω της µέγιτης υπερυψώεως του mi αναβαθµού Στη υνέχεια, όµως, η ροή δεν µπορεί να ανακτήει τα βάθη ροής της (να παραµείνει δηλαδή την υποκρίιµη περιοχή) και υνεχίζει την υπερκρίιµη περιοχή µε διαρκώς µειούµενα βάθη, έως ότου καταλήξει την (κ) µε το εναλλακτικό βάθος του, δηλ το! ", δεδοµένου ότι η ειδ ενέργεια την (κ) είναι η ίδια µε αυτή της (α) Το προκύπτον προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας φαίνεται το Σχήµα 12 S!1!! S! 3!!!! Σχήµα 12 Προφίλ ελεύθερης επιφάνειας για την περίπτωη (β2) Επιηµαίνεται ότι η θέη του υδραυλικού άλµατος προκύπτει από την τοµή του προφίλ S-1, το οποίο ολοκληρώνεται προς τα ανάντη ξεκινώντας από το βάθος γραµµής παράλληλης προς τον πυθµένα και ε κατακόρυφη απόταη της γραµµής που εκφράζει όλες τις πιθανές θέεις του υζυγούς βάθους Τα υπολογιτικά βήµατα ακολουθούν την εξής ειρά :, και απ αυτόν δηλ (i) Υπολογιµός κριίµου βάθους,, από την εξ (110), ή την εξ (111) αν πρόκειται για ορθογωνική διατοµή (ii) Υπολογιµός κανονικού βάθους,, από την εξ (112) (iii) Αν <, τότε το πρόβληµα υπάγεται την περίπτωη (β) (iv) Υπολογιµός από την εξ (113) ή (114) mi (v) Υπολογιµός ειδικής ενέργειας της οµοιόµορφης ροής από την εξ (115) (vi) Υπολογιµός διαθέιµης ειδικής ενέργειας το υψηλότερο ηµείο του αναβαθµού, από την εξ (116) 12

αν < mi, τότε το πρόβληµα αντιµετωπίζεται ύµφωνα µε τα εκτεθέντα την περίπτωη (β2), ως κατωτέρω (vii) Υπολογιµός της απαιτούµενης ειδικής ενέργειας,, τη διατοµή (α) από την εξ (118) (viii) Υπολογιµός του απαιτούµενου υποκρίιµου βάθους, την εξ (119), τη διατοµή (α) από (ix) Υπολογιµός του εναλλακτικού, υπερκρίιµου βάθους,! " από την εξ (119) (x) όπου! " χρηιµοποιείται αντί του Καθοριµός του κριίµου βάθους ως βάθους ροής υπεράνω του υψηλοτέρου ηµείου της υπερυψώεως, δηλ (xi) Υπολογιµός του υζυγούς βάθους,, για το κανονικό και χάραξη γραµµής παράλληλης προς τον πυθµένα και ε κατακόρυφη απόταη απ αυτόν προκειµένου να προδιοριθούν οι πιθανές θέεις του υδραυλικού άλµατος (xii) Προαρµογή καµπύλης S-1 εκκινώντας από το και προς τα ανάντη, µέχρις ότου η καµπύλη να τµήει την γραµµή του βήµατος (xi) [ολοκλήρωη] Προδιοριµός, την θέη τοµής, της θέης του υδραυλικού άλµατος (xiii) Προαρµογή καµπύλης S-3, εκκινώντας από το! " και προς τα κατάντη, για µήκος που θα καθοριθεί από κατάντη υνθήκες [ολοκλήρωη] 13