47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα παράγραφο θα ορίσουμε την τοπολογία γινόμενο ή καρτεσιανή τοπολογία για μια τυχούσα οικογένεια τοπολογικών χώρων : I. Πριν από αυτό πρέπει να επεκτείνουμε τον ορισμό του καρτεσιανού γινομένου για οποιοδήποτε οικογένεια συνόλων. Αυτή η επέκταση βασίζεται στην παρατήρηση ότι, αν,..., είναι σύνολα τότε τα στοιχεία του καρτεσιανού γινομένου... δηλαδή οι άδες x,... x με x, k μπορούν να θεωρηθούν ως εκείνες οι συναρτήσεις f :,2,...,, ώστε f k k κάθε k,2,...,. k k k k, για Ορισμός 2. Έστω : I οικογένεια συνόλων. Το καρτεσιανό γινόμενο, είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων : : : I f I I f, για κάθε I. Αν για κάθε I, τότε το καρτεσιανό γινόμενο : I συμβολίζεται με I ( = το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : I ). Οι συμβολισμοί γενικά γράφεται είναι ταυτόσημοι. Ένα στοιχείο f και : I I x ή x και αυτό σημαίνει ότι, f x I, για κάθε I., Με αυτόν τον συμβολισμό x, ονομάζεται η - συντεταγμένη του στοιχείου x. Το σύνολο καλείται ο - παράγων του x x ( δηλαδή η απεικόνιση f f : : I προβολή στην - συντεταγμένη. I I. Για κάθε I η απεικόνιση ονομάζεται η Ακολούθως διατυπώνουμε το αξίωμα επιλογής.
48 Πρόταση 2.2 Έστω : I μη κενή οικογένεια μη κενών συνόλων, τότε. Δηλαδή, I και I για κάθε I. I Παρατήρηση 2.3 Αν I ή για κάποιο I τότε I. Έτσι στην συνέχεια θα θεωρούμε πάντοτε ( και χωρίς ρητά να το αναφέρουμε ) μη κενές οικογένειες μη κενών συνόλων ή τοπολογικών χώρων. Παραδείγματα 2.4. ) Το σύνολο ( διανυσματικός χώρος με πράξεις κατά σημείο ) των ακολουθιών πραγματικών αριθμών. R x : x R, Καθώς επίσης και ο διανυσματικός χώρος των ακολουθιών μιγαδικών αριθμών C z : z C,. 2) Περισσότερο γενικά, αν σύνολο τότε ο R είναι ο διανυσματικός χώρος όλων των συναρτήσεων f : 3) Τα σύνολα, 0, και, R. ( Αντίστοιχα ορίζεται και ο χώρος C.) είναι αντιστοίχως το σύνολο όλων των ακολουθιών με τιμές στο, το σύνολο όλων των ακολουθιών με τιμές στο 0, και το σύνολο όλων των ακολουθιών πραγματικών αριθμών x με x. για κάθε Στην επόμενη πρόταση συνοψίζονται κάποιες απλές και χρήσιμες ιδιότητες του Καρτεσιανού γινομένου καθώς και των προβολών, I. Πρόταση 2.5. Έστω : I οικογένεια συνόλων. Για κάθε I έστω A, B υποσύνολα του. Τότε :
49. (α) Αν A B, για κάθε I τότε A B (β) A B A B I I I (γ) A B A B I I I (δ) Αν F I, ορίζουμε ώστε x A για κάθε F. Τότε I I A να είναι το σύνολο όλων των x F I \ F A A. F I \ F F για κάθε I. Ειδικότερα, A A Απόδειξη. Καθώς οι ισχυρισμοί (α), (β), (γ) είναι απλοί αποδεικνύουμε μόνο τον (δ). με x A x x A x x F I \ F με x x x με x A x x x A. F για κάθε F A για κάθε F για κάθε F Ορισμός 2.6 Έστω,, I, οικογένεια τοπολογικών χώρων. Η τοπολογία γινόμενο ή καρτεσιανή τοπολογία επί του καρτεσιανού γινομένου I I είναι εκείνη η οποία έχει σαν βάση την οικογένεια, B U : U για κάθε I και I : U πεπερασμένο I U : U για κάθε F και F I πεπερασμένο F I \ F Είναι σαφές ότι ( χρησιμοποιώντας την πρόταση 2.5 ) η B ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της πρότασης.32 και έτσι είναι πράγματι μια βάση για μια
50 (μοναδική ) τοπολογία στον. Παρατηρήσεις 2.7.) Αν B είναι βάση στον τοπολογικό χώρο, για κάθε I, τότε η οικογένεια B U : U B για κάθε I και I : U πεπερασμένο I είναι και αυτή μια βάση για την ( γιατί;) 2) Το σύνολο U : U είναι υποβάση της τοπολογίας. ( Κάθε μέλος της βάσης B της είναι ίσο, σύμφωνα με την πρόταση 2.5 (δ), με μία πεπερασμένη τομή μελών της.) 3) Αν θέσουμε B ' U : U για κάθε I, τότε B B' και ( εύκολα I αποδεικνύεται ότι ) η B ' αποτελεί βάση για κάποια τοπολογία του τοπολογία αυτή είναι γενικά λεπτότερη της τοπολογίας γινόμενο ( αν το I είναι πεπερασμένο τότε προφανώς ταυτίζεται με την τοπολογία γινόμενο ) και ονομάζεται box τοπολογία. Η box τοπολογία δεν είναι δεν είναι τόσο σημαντική όσο η τοπολογία γινόμενο και δεν θα μας απασχολήσει ιδιαίτερα I. Η σε αυτές τις σημειώσεις. Στην συνέχεια, οποτεδήποτε θεωρούμε ένα καρτεσιανό γινόμενο τοπολογικών χώρων, θα υποθέτομε πάντοτε ότι είναι εφοδιασμένο με την τοπολογία γινόμενο, εκτός και αν ρητά αναφέρουμε κάτι διαφορετικό. Ορισμός 2.8. Έστω Y, τ.χ. και f : Y συνάρτηση. Η f λέγεται ανοικτή ( αντιστοίχως κλειστή ) αν για κάθε U ανοικτό ( αντιστοίχως F κλειστό ) έπεται ότι το f U ( αντιστοίχως το f F ) είναι ανοικτό ( αντιστοίχως κλειστό ) στον Y.
5 Πρόταση 2.9. Η προβολή : είναι συνεχής και ανοικτή απεικόνιση, για I κάθε J. Εν γένει δεν είναι κλειστή. Απόδειξη. Έστω U ανοικτό, τότε το U U είναι ανοικτό στον χώρο, συνεπώς η είναι συνεχής. Έστω aa U ανοικτό. Τότε το U γράφεται ως ένωση βασικών ανοικτών έστω I U Va U Va. Έτσι αρκεί να παρατηρήσουμε ότι αν V aa βασικό ανοικτό τότε V ανοικτό στον. Συνεπώς η είναι ανοικτή. Μια προβολή δεν είναι αναγκαία κλειστή απεικόνιση. Πράγματι, το σύνολο 2 F x, : x 0 είναι κλειστό στον x ανοικτό υποσύνολο του R. R ( γιατί; ), όμως F I 0, είναι Πρόταση 2.0. (α) Η τοπολογία γινόμενο είναι η μικρότερη τοπολογία ώστε κάθε προβολή να είναι συνεχής. (β) Αν τ.χ. τότε μια συνάρτηση f : of, είναι συνεχής για κάθε J. I είναι συνεχής αν και μόνο αν η ( Aν θέσουμε, f of, I, τότε η f δίνεται από την εξίσωση f x f x. ) I
52 Απόδειξη (α) έστω μια τοπολογία στον είναι συνεχής. Τότε για κάθε I και για κάθε U I ώστε κάθε προβολή : να I ανοικτό το U είναι ανοικτό στον χώρο,. Δηλαδή η περιέχει όλα τα μέλη της υποβάσης Σ I της τοπολογίας γινόμενο που περιγράψαμε στην παρατήρησης 2.7 (2), και άρα. (β) Αν f συνεχής τότε από την πρόταση 2.9 έχουμε το συμπέρασμα αφού η fo είναι σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Έστω U τυχόν ανοικτό υποβασικό ( U ανοικτό ). Τότε, f U f U of U μας για τις συναρτήσεις, ανοικτό στον από την υπόθεσή of, για I. Έτσι η f αντιστρέφει τα ανοικτά υποβασικά του χώρου σε ανοικτά υποσύνολα του και άρα είναι συνεχής. I Παρατηρήσεις 2.. ) Έστω : I οικογένεια τ.χ. και για κάθε I, έστω υπόχωρος του. Τότε η τοπολογία γινόμενο του I A A συμπίπτει με τη σχετική τοπολογία του A η οποία επάγεται από την τοπολογία γινόμενο του I I. ( Γιατί;). 2) Υπενθυμίζουμε ότι: Αν τ.χ. x ακολουθία στον και x τότε, x x για κάθε περιοχή U του x υπάρχει 0 : 0 x U. Σημειώνουμε ότι: Αν και Y τ.χ. και f : Y συνεχής συνάρτηση, τότε για κάθε ακολουθία x : x x f x f x. (Γιατί; )
53 Πρόταση 2.2 Έστω και x I I κάθε I,, I οικογένεια τοπολογικών χώρων. Έστω ότι x x x συντεταγμένες στο x. x. Δηλαδή x και I x x I x ακολουθία στον. Τότε, x x για x αν και μόνο αν η x συγκλίνει κατά Απόδειξη. Οι προβολές είναι συνεχείς έτσι το συμπέρασμα έπεται από την πρόταση 2.0 σε συνδυασμό με την παρατήρηση 2. (2) Έστω U V βασική περιοχή του x, τότε x V F I \ F για κάθε F. Από την υπόθεσή μας έπεται ότι, για κάθε F υπάρχει : x V. Επειδή το F είναι πεπερασμένο υπάρχει το F x U. Κατά συνέπεια x 0 x. 0 max :. Έτσι αν Παραδείγματα 2.3. ) Μια βάση για την τοπολογία γινόμενο του διανυσματικού χώρου R αποτελείται από όλα τα σύνολα της μορφής UU 2... U R \.2,..., όπου και U,..., U ανοικτά υποσύνολα του R. Μία άλλη βάση για την ίδια τοπολογία του,..., a b a b R Όπου και ak b, για κάθε k k,2,...,. R συνιστούν τα σύνολα της μορφής \,2,.., 2) Ένα γενικότερο παράδειγμα του προηγουμένου είναι ο διανυσματικός χώρος R ( όπου σύνολο ) όλων των συναρτήσεων f : τοπολογία γινόμενο του R είναι τα σύνολα της μορφής R. Μία βάση για την U U R \,...,...
54 Όπου,,..., και U,..., U ανοικτά στον R. Τα U μπορούν να αντικατασταθούν βέβαια όπως και πριν από ανοικτά διαστήματα του R. Ανάλογα ισχύουν και για την τοπολογία γινόμενο του χώρου C των μιγαδικών συναρτήσεων f : C. Παρατηρούμε ότι, αν f : R, είναι ακολουθία συναρτήσεων και f : R συνάρτηση τότε όπως προκύπτει από την πρόταση 2.2, f f. Δηλαδή η f f f κατά σημείο επί του. f για κάθε 3) Σημαντικοί υπόχωροι του R είναι ο κύβος του Hlbert 0,, ο χώρος του Bare και το σύνολο,cator υπεραριθμήσιμο ) είναι ο κύβος το σύνολο είναι πεπερασμένο και τοπολογία γινόμενο του 0,. Σημαντικοί υπόχωροι του R ( με 0, και το γενικευμένο σύνολο Cator 0,. Αν, τότε ο R ταυτίζεται με τον R και η R είναι ίση με την ευκλείδεια τοπολογία. Το γεγονός ότι οι δύο τοπολογίες συμπίπτουν είναι φανερό γεωμετρικά όταν 2 ή 3 ( πρβλ. παράδειγμα.3 (4).) Για την γενική περίπτωση παραπέμπουμε στην παρατήρηση 2.20 (6) καθώς και στην άσκηση 6. 4) Έστω g : R R, ακολουθία συνεχών συναρτήσεων. Είναι τότε προφανής συνέπεια της πρότασης 2.0 ( β) ότι η συνάρτηση g : R R : g t g t, g t,..., g t,..., t R 2 Είναι συνεχής. Έπεται για παράδειγμα οι συναρτήσεις g t t, t,..., t,... 2,,...,,... f t t t t συνεχείς., h t t, t, t,... 2 3, και t,2, e t,cos t,,,...,,... είναι