Έλεγχος Αποθεμάτων υπό γνωστή χρονικά μεταβαλλόμενη ζήτηση Γιώργος Λυμπερόπουλος
Δυναμική Επιλογή Μεγέθους Παρτίδας (Dynamic Lo Sizing) Υποθέσεις/συμβολισμός Ο χρόνος είναι διαιρεμένος σε διακριτές χρονικές περιόδους =,, TT; TT = ορίζοντας προγραμματισμού Ζήτηση την περίοδο : λλ, =,, TT (μονάδες προϊόντος) Δεν επιτρέπονται ελλείψεις Άπειρος ρυθμός παραγωγής/αναπλήρωσης (στιγμιαία αναπλήρωση αποθέματος) Μηδενικός χρόνος αναπλήρωσης αποθέματος Μεταβλητό μοναδιαίο κόστος παραγωγής/παραγγελίας την περίοδο : cc, =,., TT ( ανά μονάδα προϊόντος) Σταθερό κόστος ετοιμασίας παραγωγής/παραγγελίας την περίοδο : KK, =,., TT ( ανά κύκλο παραγωγής/ παραγγελίας που ξεκινάει την περίοδο ) Κόστος (επιτόκιο) κεφαλαίου: ii ( ανά επενδεδυμένο ανά περίοδο) Αρχικό απόθεμα την περίοδο μηδέν: II 0 2
Δυναμική Επιλογή Μεγέθους Παρτίδας (Dynamic Lo Sizing) Υπολογισμός Κόστος διατήρησης αποθέματος την περίοδο : h = iicc ( ανά μονάδα προϊόντος ανά περίοδο) Απόφαση Υπολειπόμενο απόθεμα στο τέλος της περιόδου : II, =,, TT (μονάδες προϊόντος) Μέγεθος παρτίδας (ποσότητα αναπαραγγελίας) την περίοδο, =,, TT: QQ (μονάδες προϊόντος) 3
Μορφοποίηση προβλήματος (χωρίς περιορισμό δυναμικότητας) Συνέχεια: Εναλλακτικές πρακτικές και ευρετικές μέθοδοι επιλογής μεγέθους παρτίδας Βέλτιστη λύση Minimize = subjec o: I = I + Q λ Q M Y I, Q 0 Y {0,} M : πολύ ΜΕΓΑΛΟΣ αριθμός T G= hi + KY =,, T 4
Πρότυπο παράδειγμα I 0 = 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Toal λ 20 50 0 50 50 0 20 40 20 30 300 K 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 h Πηγή: Hopp, W. H., M. L. Spearman. 2000. Facory Physics: Foundaions of Manufacuring Managemen, 2E. McGraw- Hill, Boson, MA (κεφάλαιο 2). 5
Μέθοδος Παρτίδας προς Παρτίδα (Lo-for-Lo) Q = λ Y =, I = 0, =,, T G T = K = 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Toal λ 20 50 0 50 50 0 20 40 20 30 300 Q 20 50 0 50 50 0 20 40 20 30 300 I 0 Y 0 K Y 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 000 h I 0 G 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 000 6
Μέθοδος Σταθερής Ποσότητας Παραγγελίας (Fixed Order Quaniy) 2Kλ 2(00)(30) ΟΠΠ(=EOQ) = = = 75.46 75 h () 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Toal λ 20 50 0 50 50 0 20 40 20 30 300 Q 75 75 75 75 300 I 55 5 70 20 45 35 5 50 30 325 Y 4 K Y 00 00 00 00 400 h I 55 5 70 20 45 35 5 50 30 325 G 55 5 70 20 45 35 5 50 30 725 7
Μέθοδος Σταθερής Περιόδου Παραγγελίας (Fixed Order Period) 2Kλ 2(00)(30) EOQ 75 ΟΠΠ(=EOQ) = = = 75.46 75 TEOQ = = = 2.5 2 h () λ 30 + T Q = λ, =, T +, 2T +, ; 0, διαφορετικά EOQ n= n EOQ EOQ 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Toal λ 20 50 0 50 50 0 20 40 20 30 300 Q 70 60 60 60 50 300 I 50 50 0 40 30 80 Y 5 K Y 00 00 00 00 00 500 h I 50 50 0 40 30 80 G 50 50 0 40 30 680 8
Μέθοδος Εξισορρόπησης Μονάδων Περιόδων (Par Period Balancing) Ιδέα: Μυωπική εξισορρόπηση κόστους διατήρησης αποθέματος και σταθερού κόστους ετοιμασίας G h ( n) Ολικό κόστος διατήρησης αποθέματος αν η παραγγελία που δοθεί την περίοδο καλύπτει n περιόδους, δηλαδή, Q h 2 3 2 + + n π.χ., G (3) = ( λ )(0) + ( λ )( h) + ( λ )( h + h ) = (20)(0) + (50)() + (0)(2) = 70 n = λ + λ + + λ h () n για το οποίο το G ( n) είναι πλησιέστερο στο K 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Toal λ 20 50 0 50 50 0 20 40 20 30 300 n = 0 0 0 0 n = 2 50 50 40 n = 3 70 70 80 n = 4 220 30 70 Q 80 0 30 h G ( ) n 80 30 300 9
Μέθοδος Εξισορρόπησης Μονάδων Περιόδων (συνέχεια) 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Toal λ 20 50 0 50 50 0 20 40 20 30 300 Q 80 0 80 30 300 I 60 0 60 0 60 20 220 Y 4 K Y 00 00 00 00 400 h I 60 0 60 0 60 20 220 G 60 0 60 0 60 20 00 620 0
Μέθοδος Silver-Meal (Ελαχίστου Κόστους ανά Περίοδο) G ( n) Ιδέα: Μυωπική ελαχιστοποίηση μέσου κόστους ανά περίοδο Μέσο κόστος διατήρησης αποθέματος συν σταθερό κόστος ετοιμασίας ανά περίοδο αν η παραγγελία που δοθεί την περίοδο καλύψει n περιόδους, δηλαδή, Q K+ ( λ2)( h) + ( λ3)( h+ h2 ) 00 + (50)() + (0)(2) π.χ., G (3) = = = 56.66 3 3 () ελάχιστο τέτοιο ώστε ( ) ( + ) n n G n G n = λ + λ + + λ + + n 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Toal λ 20 50 0 50 50 0 20 40 20 30 300 n = 00 00 00 00 n = 2 75 75 70 G ( n) n = 3 56.66 56.66 60 n = 4 80 57.5 67.5 Q 80 0 80 30 300
Μέθοδος Silver-Meal (συνέχεια) 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Toal λ 20 50 0 50 50 0 20 40 20 30 300 Q 80 0 80 30 300 I 60 0 60 0 60 20 220 Y 4 K Y 00 00 00 00 400 h I 60 0 60 0 60 20 220 G 60 0 60 0 60 20 00 620 Συμπτωματικά, δίνει το ίδιο ολικό κόστος με την εξισορρόπηση μονάδων περιόδων 2
G ( n) DLS: Άπειρη δυναμικότητα Μέθοδος Ελαχίστου Κόστους ανά Μονάδα Προϊόντος Ιδέα: Μυωπική ελαχιστοποίηση μέσου κόστους ανά μονάδα προϊόντος Μέσο κόστος διατήρησης αποθέματος συν σταθερό κόστος ετοιμασίας ανά μονάδα προϊόντος αν η παραγγελία που δοθεί την περίοδο καλύψει n περιόδους, δηλαδή, Q K+ ( λ2)( h) + ( λ3)( h+ h2) 00 + (50)() + (0)(2) π.χ., G (3) = = = 2.25 80 80 n () ελάχιστο n τέτοιο ώστε G ( n) G ( n+ ) = λ + λ + + λ + + n 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Toal λ 20 50 0 50 50 0 20 40 20 30 300 n = 5 2 0 5 n = 2 2.42.5 4 2.6 G ( n) n = 3 2.25.545 2.857 n = 4 2.462 2.888 Q 80 00 70 50 300 G. Liberopoulos: Producion Planning 3
Μέθοδος Ελαχίστου Κόστους ανά Μονάδα Προϊόντος (συνέχεια) 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Toal λ 20 50 0 50 50 0 20 40 20 30 300 Q 80 00 70 50 300 I 60 0 50 60 40 30 220 Y 4 K Y 00 00 00 00 400 h I 60 0 50 60 40 30 250 G 60 0 50 60 40 30 650 G. Liberopoulos: Producion Planning 4
Βέλτιστη Λύση Minimize G= hi + KY = subjec o: I = I + Q λ Q MY I, Q 0 Y {0,} M : πολύ ΜΕΓΑΛΟΣ αριθμός T =,, T Ιδιότητα Wagner-Whiin Q = 0 ή Q = λ ή Q = λ + λ + ή ή Q = λ + λ + + + λ +T Αναφορά Wagner, H.M., T.M. Whiin. 958. Dynamic version of he economic lo sizing model. Managemen Science 5 () 89-96 5
Αμιγές πρόβλημα συνδυαστικής βελτιστοποίησης Y Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Απόφαση: Y = 0/, = 2,,T Παράδειγμα: (Y, Y 2, Y 3, Y 4, Y 5 ) = (,0,,,0) Λύση που αντιστοιχεί: Q = λ + λ 2, Q 2 = 0, Q 3 = λ 3, Q 4 = λ 4 + λ 5 # συνδυασμών προς εξέταση : 2 T Παράδειγμα: T = 60: # συνδυασμών = 5,76x0 7 2 4 συνδυασμοί 6
Διαδικασία Wagner-Whiin Πρόσθιος αλγόριθμος: Θεωρούμε διαδοχικά προβλήματα περιόδων, =,..., T Για κάθε πρόβλημα υπολογίζουμε: Z j ελάχιστο κόστος προβλήματος περιόδων τελευταία περίοδος παραγωγής στο πρόβλημα των περιόδων Για τον υπολογισμό των Z και j, ορίζουμε: G ( n) Ολικό κόστος διατήρησης αποθέματος συν κόστος ετοιμασίας αν η παραγγελία που δοθεί την περίοδο καλύπτει n περιόδους, δηλαδή, Q = λ + λ + + λ π.χ., G (3) = K + λ h + λ ( h + h ) 2 2 3 2 4 2 3 + + n Υπολογισμός των και : Z = 0, j = 0 0 Z Z = min { Z + G ( i+ )}, j = arg min { Z + G ( i+ )}, =,, T i= j,..., i i i= j,..., i i j 7
Διαδικασία Wagner-Whiin (συνέχεια) Τελευταία περίοδος με παραγωγή 2 3 4 5 6 7 8 9 0 λ 20 50 0 50 50 0 20 40 20 30 00 50 70 320 2 200 20 30 3 250 300 4 270 320 340 400 560 5 370 380 420 540 6 420 440 520 7 440 480 520 60 8 500 520 580 9 580 60 0 620 Z j 00 50 70 270 320 340 400 480 520 580 4 4 4 4 7 7/8 8 8
Διαδικασία Wagner-Whiin (συνέχεια) Υπολογισμοί Z = 0, j = 0 0 { } Z = min Z + G () = G () = K = 00, παραγωγή την περίοδο, j = Z 0 = Z + G (2) = K + hλ = 00 + 50 = 50 παραγωγή την περίοδο = 0 2 2 min, j2 Z + G2() = Z + K2 = 00 + 00 = 200 παραγωγή την περίοδο 2 Z + G (3) = K + hλ + ( h + h ) λ = 00 + 50 + 2 0 = 70 παραγωγή την περίοδο 0 2 2 3 3 min 2(2) 2 2λ3 00 00 0 20 παραγωγή την περίοδο 2, 3 Z2 + G3() = Z2 + K3 = 50 + 00 = 250 παραγωγή την περίοδο 3 Z = Z + G = Z + K + h = + + = j = Z Z + G (4) = G (4) = 320 παραγωγή την περίοδο 0 Z + G2(3) = 00 + G2(3) = 30 παραγωγή την περίοδο 2 4 = min, j4 Z2 + G3(2) = 50 + G3(2) = 300 παραγωγή την περίοδο 3 Z3 + G4() = 70 + 00 = 270 παραγωγή την περίοδο 4 = 4 9
Διαδικασία Wagner-Whiin (συνέχεια) Υπολογισμοί Z Z Z 3 4 5 j5 Z4 + G5() = 270 + 00 = 370 παραγωγή την περίοδο 5 6 0 Z = min + G (2) = 70 + 50 = 320 παραγωγή την περίοδο 4, = 4 = = Κατασκευή λύσης πηγαίνοντας προς τα πίσω : = 0 : j = 8 Q = λ + λ + λ = 90, Q = Q 0 8 8 9 0 9 7 4 4 5 6 7 5 6 7 3 2 3 2 3 0 = 0 GOTO = 7 = 7 : j = 4 Q = λ + λ + λ + λ = 30, Q = Q = Q = 0 GOTO = 3 = 3: j = Q = λ + λ + λ = 80, Q = Q = 0 20
Διαδικασία Wagner-Whiin (συνέχεια) 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Toal λ 20 50 0 50 50 0 20 40 20 30 300 Q 80 30 90 300 I 60 0 80 30 20 50 30 280 Y 3 K Y 00 00 00 300 h I 60 0 80 30 20 50 30 280 G 70 0 80 30 20 50 30 580 2
DLS: Πεπερασμένη δυναμικότητα Μορφοποίηση προβλήματος (με περιορισμό χωρητικότητας) Minimize G= hi + KY = subjec o: I = I + Q λ Q C Y =,, T I, Q 0 Y {0,} C : μέγιστη δυναμικότητα παραγωγής την περίοδο Συνθήκη εφικτότητας: T i i i= i= C λ, =,, T Ο τρόπος εύρεσης της βέλτιστης λύσης δεν είναι προφανής 22
DLS: Πεπερασμένη δυναμικότητα Ευρετική διαδικασία 2 βημάτων για την επίλυση του προβλήματος Βήμα : Εύρεση αρχικής εφικτής λύσης. Χρήση μεθόδου παρτίδας προς παρτίδα για εύρεση αρχικής λύση 2. Ξεκινώντας από την πρώτη περίοδο και προχωρώντας προς τα εμπρός, σε περιόδους όπου η ζήτηση ξεπερνά την παραγωγική δυναμικότητα, η πλεονάζουσα ζήτηση μεταφέρεται προς τα πίσω σε περιόδους όπου υπάρχει πλεονάζουσα παραγωγική δυναμικότητα. 3. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για κάθε περίοδο όπου η ζήτηση ξεπερνά την παραγωγική δυναμικότητα, έως ότου το τροποποιημένο πρόγραμμα ζήτησης που προκύπτει είναι εφικτό. Βήμα 2: Βελτίωση αρχικής εφικτής λύσης. Έναρξη με την εφικτή λύση παρτίδας προς παρτίδα που αναπτύχθηκε στο βήμα. 2. Ξεκινώντας από την τελευταία περίοδο και προχωρώντας προς τα πίσω, εξετάζεται αν είναι οικονομικότερο να παραχθούν οι μονάδες που ζητούνται την τρέχουσα περίοδο σε προηγούμενες περιόδους όπου όπου υπάρχει πλεονάζουσα παραγωγική δυναμικότητα. 23
DLS: Πεπερασμένη δυναμικότητα Παράδειγμα Ικανοποίηση του ελέγχου εφικτότητας: Πηγή: Nahmias, S. 2009. Producion and Operaions Analysis, 6E. McGraw Hill, Boson MA (κεφάλαιο 7). 2 3 4 5 6 7 8 9 Toal λ 00 79 230 05 3 0 99 26 40 792 C 20 200 200 400 300 50 20 50 30 K 450 450 450 450 450 450 450 450 450 h 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i= i= λ i C i 00 79 409 54 57 527 626 752 792 20 320 520 920 220 270 390 440 470 i i i= i= C λ, =,, T 24
DLS: Πεπερασμένη δυναμικότητα Βήμα : Εύρεση αρχικής εφικτής λύσης 2 3 4 5 6 7 8 9 Toal λ 00 79 230 05 3 0 99 26 40 792 C 20 200 200 400 300 50 20 50 30 +30-30 λ () 00 09 200 05 3 0 99 26 40 +5 +40 +2-76 λ (2) 00 09 200 05 8 50 20 50 40 +0-0 λ (3) 00 09 200 05 28 50 20 50 30 Q 00 09 200 05 28 50 20 50 30 25
DLS: Πεπερασμένη δυναμικότητα Βήμα : Εύρεση αρχικής εφικτής λύσης 2 3 4 5 6 7 8 9 Toal λ 00 79 230 05 3 0 99 26 40 792 Q 00 09 200 05 28 50 20 50 30 792 I 30 25 65 86 0 26 Y K Y 450 450 450 450 450 450 450 450 450 4050 h I 60 50 30 72 20 432 G 450 50 450 450 500 580 622 470 450 4482 26
DLS: Πεπερασμένη δυναμικότητα Βήμα 2: Βελτίωση αρχικής εφικτής λύσης 2 3 4 5 6 7 8 9 Βελτίωση στο κόστος λ 00 79 230 05 3 0 99 26 40 C 20 200 200 400 300 50 20 50 30 Q 00 09 200 05 28 50 20 50 30 EC 20 9 295 272 +30-30 450 2 30 4 = 20 Q () 00 09 200 05 58 50 20 50 0 EC 20 9 295 242 30 +50-50 450 2 50 3 = 50 Q (2) 00 09 200 05 08 50 20 0 EC 20 9 295 92 50 30 +20-20 450 2 20 2 = 30 +50-50 450 2 50 = 350 Q (3) 00 09 200 05 58 0 20 EC 20 9 295 42 50 50 30 27
DLS: Πεπερασμένη δυναμικότητα Sep 2: Βελτίωση αρχικής εφικτής λύσης (συνέχεια) 2 3 4 5 6 7 8 9 Βελτίωση στο κόστος λ 00 79 230 05 3 0 99 26 40 C 20 200 200 400 300 50 20 50 30 Q (3) 00 09 200 05 58 0 20 EC 20 9 295 42 50 50 30 +58-58 450 2 58 = 34 Q (4) 00 09 200 263 0 20 EC 20 9 37 300 50 50 30 28
DLS: Πεπερασμένη δυναμικότητα Αποτίμηση βελτιωμένης λύσης 2 3 4 5 6 7 8 9 Toal λ 00 79 230 05 3 0 99 26 40 792 Q 00 09 200 263 20 792 I 30 58 55 45 66 40 694 Y K Y 450 450 450 450 450 2250 h I 60 36 30 290 332 80 388 G 450 50 450 766 30 290 782 80 3638 29