Περίληψη Στην παρούσα εργασία επιχειρείται η επισκόπηση, αλλά και εφαρμογή, των μεθόδων που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των ορθομετρικών υψομέτρων στην τοπογραφική πρακτική. Βασικός στόχος είναι η μελέτη της ακρίβειας προσδιορισμού των ορθομετρικών υψομέτρων μέσω τεχνικών χωροστάθμησης με δέκτες GNSS. Ως γενίκευση όλων των μεθόδων που θα παρουσιαστούν, αποτελεί η μέθοδος της ολοκληρωμένης γεωδαισίας η οποία προσφέρει το σημαντικό πλεονέκτημα της ταυτόχρονης επεξεργασίας όλων των τύπων γεωδαιτικών δεδομένων και αποτελεί την κεντρική μέθοδο επίλυσης των διαφορετικών περιπτώσεων που παρουσιάζονται στη μελέτη. Το υπό μελέτη δίκτυο είναι εγκατεστημένο και μετρημένο με δέκτες GPS στην ευρύτερη περιοχή του Νομού Θεσσαλονίκης και επιχειρήθηκαν πέντε περιπτώσεις επίλυσης για την αξιολόγηση της ακρίβειας των αποτελεσμάτων. Abstract The present thesis attempts to review, and apply, the methods used for estimating orthometric heights in topographic practice. The main objective is to study the accuracy of determination of orthometric heights using the process of levelling with GNSS receivers. As a generalization of all the methods that will be presented, the method of integrated geodesy (or least square collocation) offers the significant advantage of simultaneous processing of all types of geodetic data, and constitutes the central method for solving each one of the different cases presented in the study. The study network is installed and measured by GPS receivers in the wider area of the Prefecture of Thessaloniki and five resolution cases were attempted to assess the accuracy of the results. 1
Ευχαριστίες Αρχικά ευχαριστώ τον καθηγητή κ. Δημήτρη Ρωσσικόπουλο για την ανάθεση, την καθοδήγηση και την υπομονή που επέδειξε όλο αυτό το διάστημα της εκπόνησης της παρούσας έρευνας. Επίσης ευχαριστώ τον καθηγητή κ. Ηλία Τζιαβό για την παροχή των δεδομένων του υπό μελέτη δικτύου. Στη συνέχεια ευχαριστώ τον καθηγητή κ. Αριστείδη Φωτίου και τον αναπληρωτή καθηγητή κ. Χρήστο Πικριδά για την συμμετοχή τους στην τριμελή εξεταστική επιτροπή. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον πατέρα μου για την στήριξη, την υπομονή και την συμπαράσταση που μου παρείχε σε όλο το διάστημα των σπουδών. 1/11/2014 Μουστάκας Δ. Παναγιώτης 2
Πρόλογος Εξέχουσα θέση στην επιστήμη της τοπογραφίας κατείχε ανέκαθεν το πρόβλημα του προσδιορισμού των ορθομετρικών υψομέτρων. Το πρόβλημα έγκειται στο γεγονός ότι ενώ η μέθοδος της γεωμετρικής χωροστάθμησης ήταν και παραμένει η πιο ακριβής, έχει το μειονέκτημα του υψηλού κόστους. Με την βοήθεια της εξέλιξης των συστημάτων GNSS, τα οποία δίνουν ακρίβειες παρεμφερείς με αυτές της γεωμετρικής χωροστάθμησης, δημιουργήθηκαν νέες στρατηγικές λύσης με στόχο την επίτευξη της αντίστοιχης ακρίβειας εκτίμησης των ορθομετρικών υψομέτρων. Οι τεχνικές αυτές έχουν ως κύριο γνώρισμα το ότι εκμεταλλεύονται όσο το δυνατόν περισσότερη πληροφορία που αφορά όλων των τύπων τα διαθέσιμα υψομετρικά δεδομένα και συνδυάζουν μετρήσεις γεωμετρικής χωροστάθμησης, γεωμετρικά υψόμετρα, καθώς και πρόσθετες πληροφορίες από το πεδίο βαρύτητας της γης. Στη συνέχεια της εργασίας γίνεται αναλυτική περιγραφή των μεθόδων της σημειακής προσαρμογής, αναλυτικής παρεμβολής, μεικτής μεθόδου, αλλά κυρίως της ολοκληρωμένης γεωδαισίας που περιλαμβάνει όλες τις προηγούμενες μεθόδους σε έναν ενιαίο αλγόριθμο. Στόχος της παρούσας μελέτης είναι η αξιολόγηση της ακρίβειας όλων αυτών των μεθόδων με την εφαρμογή τους στο διαθέσιμο δίκτυο της περιοχής της Βόλβης του Νομού Θεσσαλονίκης. 3
Περιεχόμενα Περίληψη... 1 Ευχαριστίες... 2 Πρόλογος... 3 1. Γενικά περί της χωροστάθμησης με τα συστήματα παγκόσμιου προσδιορισμού θέσης GNSS... 5 1.1 Εισαγωγή... 5 1.2 Συστήματα υψών και επιφάνειες αναφοράς... 8 1.3 Οι μέθοδοι υπολογισμού των ορθομετρικών υψομέτρων... 10 Η μέθοδος της αναλυτικής παρεμβολής... 11 Η μέθοδος της σημειακής προσαρμογής... 13 Η μικτή μέθοδος... 14 Η μέθοδος της ολοκληρωμένης γεωδαισίας... 14 2. Ο υπολογισμός των υψομέτρων με τις τεχνικές της ολοκληρωμένης γεωδαισίας... 16 2.1 Εισαγωγή... 16 2.2 Οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας... 18 3. Η εφαρμογή στην περιοχή της Βόλβης... 23 3.1 Εισαγωγή... 23 3.2 Περίπτωση 1... 24 Επίλυση 1... 24 Επίλυση 2... 27 Επίλυση 3... 28 3.2 Περίπτωση 2... 29 Επίλυση 1... 29 Επίλυση 2... 31 Επίλυση 3... 32 3.3 Περίπτωση 3... 33 3.4 Περίπτωση 4... 35 Επίλυση 1... 35 Επίλυση 2... 37 3.5 Περίπτωση 5... 39 4. Συμπεράσματα... 41 Βιβλιογραφία... 42 4
1. Γενικά περί της χωροστάθμησης με τα συστήματα παγκόσμιου προσδιορισμού θέσης GNSS 1.1 Εισαγωγή Λόγω του χαμηλότερου κόστους έναντι της γεωμετρικής και της τριγωνομετρικής χωροστάθμησης, ο υπολογισμός ορθομετρικών υψομέτρων με την τεχνική της χωροστάθμησης με τα παγκόσμια συστήματα ναυσιπλοΐας (GNSS) έχει γίνει αρκετά δημοφιλής στην τοπογραφική πρακτική, ειδικά σε δίκτυα μεγάλης έκτασης. Κατά τη μέθοδο της χωροστάθμησης με τα συστήματα GNSS προσδιορίζονται τα γεωμετρικά υψόμετρα, που χρησιμοποιούν σαν επιφάνεια αναφοράς το παγκόσμιο γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς WGS84 και η ακρίβεια τους είναι της τάξης του εκατοστού. Η απλή σχέση που συνδέει τα ορθομετρικά με τα γεωμετρικά υψόμετρα είναι, όπου είναι οι αποχές του γεωειδούς. Αναλόγως τα δεδομένα που είναι διαθέσιμα για το πεδίο βαρύτητας ή/και τα ορθομετρικά υψόμετρα στην περιοχή που έχει μετρηθεί το δίκτυο GNSS, υπάρχουν διάφορες περιπτώσεις υπολογισμού των ορθομετρικών υψομέτρων. Αν για την περιοχή μελέτης είναι διαθέσιμα ορισμένα ορθομετρικά υψόμετρα, αλλά δεν υπάρχει καθόλου πληροφορία για τα υψόμετρα του γεωειδούς (αποχές γεωειδούς), τότε εφαρμόζεται η μέθοδος της αναλυτικής παρεμβολής (στα σημεία που έχουν και των δύο ειδών πληροφορία) για τον υπολογισμό των υψομέτρων του γεωειδούς. Στη συνέχεια βάσει των εκτιμήσεων που προκύπτουν για την επιφάνεια του γεωειδούς της περιοχής, γίνεται ο υπολογισμός των υπολοίπων σημείων του δικτύου GNSS για τα ορθομετρικά υψόμετρα. Μια διαφορετική περίπτωση είναι να υπάρχουν διαθέσιμα εκτός των προηγούμενων δύο κατηγοριών υψομέτρων και κάποια υψόμετρα γεωειδούς (για παράδειγμα από κάποιο παγκόσμιο γεωδυναμικό μοντέλο) για κάθε σημείο της περιοχής του δικτύου GNSS. Τότε συνορθώνοντας για τα σημεία του δικτύου που διαθέτουν τιμές και για τα τρία υψόμετρα (συνθετική παρατήρηση των διαφορών των τριών υψομέτρων) εκτιμάται η ποσότητα που οφείλεται στις διαφορές των συστημάτων αναφοράς. Με τη βοήθεια αυτής προκύπτουν οι διορθώσεις για κάθε άλλο σημείο του δικτύου, καθώς και τα ορθομετρικά υψόμετρα. Αντιμετωπίζοντας την προηγούμενη περίπτωση με ποιό αυστηρή προσέγγιση μπορεί η αναφερθείσα διόρθωση να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες, την κυρίαρχη τάση, η οποία περιγράφει τις παραμέτρους μετασχηματισμού (μεταθέσεις και κλίμακα), και ένα στοχαστικό κομμάτι που περιγράφει το σήμα που απομένει από κάθε διαφορά. Σε αυτή την περίπτωση μπορούν να διακριθούν δύο μέθοδοι εκτίμησης: της πιστής σημειακής προσαρμογής (χωρίς σφάλματα) και της εξομαλυντικής σημειακής προσαρμογής (με σφάλματα). Η τρίτη και πιο ολοκληρωμένη αντιμετώπιση είναι η μικτή παρεμβολή στην οποία περιλαμβάνονται οι μεταβολές των συστημάτων αναφοράς ως εκτιμήσιμες παράμετροί μαζί με τα σήματα. Τέλος, η μέθοδος της ολοκληρωμένης γεωδαισίας αποτελεί την γενίκευση όλων αυτών των μεθόδων. Έχοντας διαθέσιμα τα δεδομένα των γεωμετρικών υψομέτρων από μετρήσεις με συστήματα GNSS, γνωστά κάποια ορθομετρικά υψόμετρα των κορυφών του 5
δικτύου από γεωμετρική χωροστάθμηση, αλλά και πληροφορία σχετική με το πεδίο βαρύτητας της περιοχής (υψόμετρα γεωειδούς κοντά στην περιοχή του δικτύου ή στις κορυφές του δικτύου), μπορεί να γίνει μέσω ενός ενιαίου αλγόριθμου η εκτίμηση των ορθομετρικών υψομέτρων, των αποχών του γεωειδούς και των παραμέτρων μετασχηματισμού για το σύνολο των κορυφών του δικτύου. Το σύστημα εξισώσεων της μεθόδου της ολοκληρωμένης γεωδαισίας έχει τη μορφή και η συνόρθωση του γίνεται με βάση το κριτήριο Ως εμφανίζονται τα άγνωστα ορθομετρικά υψόμετρα, είναι τα άγνωστα σήματα του πεδίου βαρύτητας και είναι οι άγνωστοι παράμετροι μετασχηματισμού των δύο συστημάτων. Στην παρούσα εργασία επιχειρήθηκε η εξαγωγή των αποτελεσμάτων συνόρθωσης ενός συγκεκριμένου κατακόρυφου δικτύου στην περιοχή της Μακεδονίας το οποίο έχει μετρηθεί σε κάθε κορυφή με δέκτη GNSS (γεωμετρικά υψόμετρα), αλλά υπάρχει μερική πληροφορία για τις άλλες δύο κατηγορίες υψομέτρων, δηλαδή για τα υψόμετρα του γεωειδούς (που αντλήθηκαν από το παγκόσμιο γεωδυναμικό μοντέλο EGM08) και τα ορθομετρικά υψόμετρα (που προήλθαν από γεωμετρικές χωροσταθμήσεις). Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται δηλαδή στην πρόγνωση των ορθομετρικών υψομέτρων ανάλογα το πλήθος, το είδος και την κατανομή της υπάρχουσας πληροφορίας στο δίκτυο, και παρατίθενται αποτελέσματα από διαφορετικές περιπτώσεις επίλυσης. Σκοπός είναι να προσδιοριστεί το πόσες παρατηρήσεις ορθομετρικών υψομέτρων (αλλά και υψομέτρων γεωειδούς) είναι οι ελάχιστες δυνατές, ανάλογα την κατανομή τους στο δίκτυο, ώστε οι διαφορές από τις (1) (2) Εικόνα 1 - Γεωγραφική απεικόνιση των κορυφών του δικτύου 6
γνωστές τιμές (μέση τετραγωνική απόκλιση) να δίνουν την ελάχιστη δυνατή τιμή και να μην απέχουν σημαντικά σε απόλυτη τιμή από τις περιπτώσεις όπου υπάρχει περισσότερη πληροφορία. ΚΩΔΙΚΟΣ ΓΥΣ φ λ h BM BASE H No (GRS80) NEGM08 2159 112036 40,636631106 23,468437894 126,735 85,114-0,43711 42,540 112042 40,654966556 23,421044750 107,941 66,330-0,43711 42,633 112043 40,664446025 23,366863081 116,024 74,460-0,43711 42,676 112044 40,666811700 23,338781667 83,558 42,190-0,43711 42,676 112046 40,667234889 23,264890539 131,448 89,743-0,43711 42,643 112053 40,714860878 23,384603053 197,814 156,456-0,43711 42,849 112080 40,707415906 23,281366333 352,353 310,575-0,43711 42,776 116043 40,645141981 23,216550756 135,807 94,200-0,43711 42,663 116051 40,670513072 23,140123183 117,221 75,570-0,43711 42,725 116053 40,671457700 23,113887972 117,793 76,370-0,43711 42,749 116060 40,698323364 23,172976336 117,510 75,932-0,43711 42,704 116062 40,705198258 23,138173978 114,943 73,576-0,43711 42,720 116066 40,713457119 23,044471844 132,179 90,700-0,43711 42,757 116086 40,726242889 23,124643419 137,014 95,627-0,43711 42,763 187007 40,760912303 23,103430375 175,237 133,390-0,43711 42,872 187013 40,783919883 23,047022661 169,371 127,420-0,43711 42,933 187014 40,784487889 23,029384636 163,620 121,690-0,43711 42,938 187016 40,782147692 23,217263408 582,621 540,474-0,43711 43,158 187021 40,795016494 23,007389919 170,689 128,740-0,43711 42,977 187026 40,800096494 23,144673744 461,902 419,780-0,43711 43,105 187028 40,811191994 23,005697833 227,630 185,680-0,43711 43,016 187030 40,814246700 23,038886575 261,466 219,460-0,43711 43,027 187035 40,826867869 23,042828092 281,763 239,740-0,4371 43,071 187038 40,832691197 23,012274817 280,020 237,990-0,4371 43,069 338002 40,753017333 23,526008747 392,018 350,300-0,43711 42,910 338011 40,777844419 23,514973769 379,964 338,210-0,43711 43,018 347002 40,758635444 23,407394008 572,921 530,712-0,43711 43,033 347015 40,792359289 23,279869325 609,532 567,350-0,43711 43,295 347017 40,799185197 23,476547372 398,302 356,180-0,43711 43,137 347022 40,812210625 23,333165167 659,135 616,870-0,43711 43,383 352047 40,628663003 23,544834628 86,005 44,580-0,43711 42,457 352058 40,691657067 23,608723125 233,931 192,557-0,43711 42,475 352061 40,705769089 23,680268525 94,743 53,510-0,43711 42,291 352066 40,724382014 23,712763092 44,274 3,130-0,43711 42,234 352843 40,602685511 23,579164769 488,573 447,151-0,43711 42,424 Πίνακας 1 - Τα υψομετρικά δεδομένα στην περιοχή της Βόλβης 7
Διερευνήθηκαν συγκρίσεις αποτελεσμάτων από τις μεθόδους συνόρθωσης που αναφέρονται παραπάνω, δίνοντας έμφαση σε αυτή της ολοκληρωμένης γεωδαισίας λόγω του σημαντικού πλεονεκτήματος της ταυτόχρονης επεξεργασίας όλων των δεδομένων σε έναν ενιαίο αλγόριθμο. Για την υλοποίηση των αλγόριθμων και τον υπολογισμό των μεγεθών χρησιμοποιήθηκε το λογισμικό Matlab έκδοση 7 της εταιρίας Mathworks. Το υπό μελέτη δίκτυο αποτελείται από 35 σημεία και υπάρχει διαθέσιμη όλη η πληροφορία των υψομέτρων, η οποία θα χρησιμεύσει για την σύγκριση των αποτελεσμάτων που θα προκύψουν από τις διαφορετικές επιλύσεις, δηλαδή για την αξιολόγηση της ακρίβειας της μεθόδου. Τα δεδομένα δόθηκαν από τον καθηγητή κ. Ηλία Ν. Τζιαβό και εμφανίζονται στον πίνακα 1. Ο σχετικός χάρτης της γεωγραφικής κατανομής των σημείων δίνεται στην εικόνα 1. 1.2 Συστήματα υψών και επιφάνειες αναφοράς Ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα της γεωδαισίας αποτελούσε ανέκαθεν η επιλογή της κατάλληλης επιφάνειας αναφοράς στην οποία θα αναφέρονται οι παρατηρήσεις των υψομέτρων. Οι δύο βασικότερες επιφάνειες που χρησιμοποιούνται στη γεωδαισία είναι το ελλειψοειδές εκ περιστροφής (ΕΕΠ) και το γεωειδές. Η πρώτη επιφάνεια αποτελεί ένα θεωρητικό-γεωμετρικό σχήμα, ενώ η δεύτερη είναι άμεσα σχετισμένη με το πεδίο βαρύτητας της γης και την ισοδυναμική επιφάνεια που αντιστοιχεί στη μέση στάθμη της θάλασσας που ονομάζεται γεωειδές. Συγκεκριμένα η κάθετη απόσταση από το σημείο της γήινης επιφάνειας μέχρι την επιφάνεια του ΕΕΠ ονομάζεται γεωμετρικό ή γεωδαιτικό υψόμετρο και η απόσταση κατά μήκος της κατακόρυφου από το γεωειδές μέχρι το εν λόγω σημείο, ορθομετρικό υψόμετρο. Η μέτρηση του πρώτου πραγματοποιείται μέσω των δεκτών GNSS και του δεύτερου μέσω της γεωμετρικής χωροστάθμησης. Τα δύο αυτά υψόμετρα συνδέονται μαθηματικά μέσω της σχέσης, όπου Ν ονομάζονται τα υψόμετρα ή αποχές του γεωειδούς και ορίζουν την κάθετη απόσταση από το ελλειψοειδές, της προβολής του σημείου της γήινης επιφάνειας στο γεωειδές. Τα υψόμετρα του γεωειδούς υπολογίζονται από αστρονομικές παρατηρήσεις, μετρήσεις βαρύτητας, δορυφορικές μετρήσεις, ή από τον συνδυασμό όλων αυτών. Με σκοπό την μαθηματική μοντελοποίηση του γήινου πεδίου βαρύτητας γίνονται οι παραδοχές ότι το σχήμα της γης παρουσιάζεται σφαιρικό σε πρώτη προσέγγιση, και σε δεύτερη, ότι προσεγγίζεται καλύτερα από ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής (ΕΕΠ). Επίσης χωρίς να γίνεται καμιά παραδοχή για την κατανομή των μαζών και των πυκνοτήτων στο εσωτερικό αυτού του ελλειψοειδούς θεωρούμε ότι η μάζα του είναι ίση με αυτή της πραγματικής γης και ότι περιστρέφεται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα (χωροσταθμικό ελλειψοειδές). Η εισαγωγή του κανονικού πεδίου της βαρύτητας, που μόλις περιγράφηκε, αναπόφευκτα δημιουργεί σχέσεις ανάμεσα στο κανονικό δυναμικό και στη γεωμετρία του μοντέλου της κανονικής βαρύτητας. Οι διαφορές των μεγεθών του πραγματικού πεδίου βαρύτητας και των αντιστοίχων μεγεθών του κανονικού πεδίου βαρύτητας ονομάζονται διαταρακτικά μεγέθη και αποτελούν το κεντρικό σημείο στην μελέτη του πεδίου. Ως διαταρακτικό μέγεθος μπορεί να θεωρηθεί και το υψόμετρο του γεωειδούς. 8
Εικόνα 2 - Οι θεμελιώδεις επιφάνειες αναφοράς των υψομέτρων Στο παραπάνω σχήμα εμφανίζονται δύο διαφορετικές γεωμετρίες προβολής των υψομέτρων. Στην αριστερά (κατά Pizetti) ισχύει η γεωμετρία που περιγράφηκε πιο πάνω, όπου η προβολή του ορθομετρικού υψόμετρου στο γεωειδές γίνεται μέσω της κατακορύφου και στη συνέχεια το σημείο της γήινης επιφάνειας προβάλλεται κατά την κάθετο στο ελλειψοειδές. Ωστόσο η πιο ευρέως διαδεδομένη απεικόνιση των τριών αυτών υψομέτρων είναι αυτή που βρίσκεται δεξιά (κατά Helmert), στην οποία το σημείο του φυσικού εδάφους προβάλλεται απευθείας στο ελλειψοειδές μέσω της καθέτου. Η διαφορά που προκύπτει ανάμεσα σε αυτές τις δύο προβολές δεν έχει πρακτικά καμία επίδραση στα αποτελέσματα των διαφόρων υψομετρικών εφαρμογών και για τον λόγο αυτόν υιοθετείται συνήθως η προβολή Helmert, η οποία εφαρμόζεται και στην παρούσα μελέτη. Η ακρίβεια προσδιορισμού των γεωμετρικών υψομέτρων μέσω των δεκτών GNSS εξαρτάται από το μέγεθος του δικτύου (αποστάσεις των βάσεων), τον τύπο των δεκτών αλλά και από την μέθοδο προσδιορισμού που χρησιμοποιήθηκε. Στην παρούσα έρευνα οι κορυφές του δικτύου έχουν μετρηθεί με δέκτες δύο συχνοτήτων και με σχετικό στατικό προσδιορισμό θέσης. Η σχετική εσωτερική ακρίβεια του στατικού προσδιορισμού θέσης σε σχέση με το μήκος της βάσης για δέκτες δύο συχνοτήτων είναι της τάξης των 5 mm+(0.5 έως 1) ppm όσον αφορά την οριζοντιογραφική θέση, και μία με δύο φορές χειρότερη για την κατακόρυφη θέση. Η ακρίβεια των παρατηρήσεων GNSS ως προς την τρίτη διάσταση είναι χειρότερη αφενός λόγω της κακής γεωμετρίας, αλλά και αφετέρου λόγω ορισμένων συστηματικών επιδράσεων όπως για παράδειγμα το τροποσφαιρικό σφάλμα και οι μεταβολές των κέντρων φάσης της κεραίας. Οι παρατηρήσεις των υψομέτρων που προέρχονται από μετρήσεις δεκτών GNSS αναφέρονται στο παγκόσμιο γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς WGS84. Το τοπικό γεωειδές προσδιορίζεται από μετρήσεις βαρύτητας και υψομέτρων με τεχνικές της φυσικής γεωδαισίας και η ακρίβειά του φθάνει τα μερικά εκατοστά, ανάλογα με την ακρίβεια των βαρυτημετρικών δεδομένων. Τα υψόμετρα του γεωειδούς υπολογίζονται για τις κορυφές του δικτύου με κάποια μέθοδο παρεμβολής, όπως η αναλυτική παρεμβολή ή η σημειακή προσαρμογή, ανάλογα με την έκταση της περιοχής, τη μορφή του γεωειδούς και τα διατιθέμενα δεδομένα. Στην συγκεκριμένη περίπτωση τα υψόμετρα προήλθαν από το παγκόσμιο γεωδυναμικό μοντέλο EGM08 το οποίο φτάνει 9
μέχρι βαθμό και τάξη 2190 και παρέχει τιμές με ακρίβεια της τάξης του Ελλαδικό χώρο. για τον 1.3 Οι μέθοδοι υπολογισμού των ορθομετρικών υψομέτρων H ακρίβεια υπολογισμού των ορθομετρικών υψομέτρων εξαρτάται, εκτός από την ακρίβεια των γεωδαιτικών υψομέτρων που προκύπτουν από τα συστήματα GNSS και από την ακρίβεια προσδιορισμού της επιφάνειας του τοπικού γεωειδούς. Το τοπικό γεωειδές προσδιορίζεται από μετρήσεις βαρύτητας και υψομέτρων με τεχνικές της φυσικής γεωδαισίας και η ακρίβειά του φθάνει τα μερικά εκατοστά, ανάλογα με την ακρίβεια των βαρυτημετρικών δεδομένων. Οι ακρίβειες αυτές βέβαια αναφέρονται σε απόλυτα υψόμετρα και βελτιώνονται σημαντικά στον υπολογισμό των υψομετρικών διαφορών, που προκύπτουν από τις γεωδαιτικές παρατηρήσεις. Για μικρές σχετικά αποστάσεις, π.χ. της τάξης των μερικών km, και με ομαλό σχετικά γεωειδές, οι γεωμετρικές υψομετρικές διαφορές από το GPS μπορούν να θεωρηθούν ότι είναι ίδιες με τις ορθομετρικές (ΔH = Δh) με ακρίβεια της τάξης των λίγων cm. Τα υψόμετρα του γεωειδούς υπολογίζονται για τις κορυφές του δικτύου με κάποια κατάλληλη μέθοδο παρεμβολής (π.χ. αναλυτική παρεμβολή, σημειακή προσαρμογή, κλπ.), ανάλογα με την έκταση της περιοχής, τη μορφή του γεωειδούς και τα δεδομένα που διατίθενται. Γενικά, οι "εξισώσεις των παρατηρήσεων" γράφονται: (3) (4) (5) όπου είναι τα γεωδαιτικά υψόμετρα που προκύπτουν από τη συνόρθωση του δικτύου GNSS, τα ορθομετρικά υψόμετρα, οι αποχές από γεωειδές στην περιοχή και διορθώσεις που σχετίζονται με τα διαφορετικά συστήματα αναφοράς. Θεωρούμε ότι τα υψόμετρα αναφέρονται στο γεωδαιτικό σύστημα της χώρας. H διόρθωση, για μικρές μεταβολές του ελλεψοειδούς, κατά θέση και μέγεθος, προκύπτει ότι είναι μετάθεση στροφή μεταβολή κλίμακας μεταβολή διαστάσεων (6) όπου και μικρές μεταβολές στο μεγάλο ημιάξονα και στην επιπλάτυνση του ελλειψοειδούς αντίστοιχα. 10
Οι μέθοδοι υπολογισμού που περιγράφονται στη συνέχεια διαχωρίζονται ανάλογα με τη μορφή των παρατηρήσεων που διατίθενται στα σημεία του δικτύου, εκτός από τις παρατηρήσεις GNSS, και ανάλογα με την επιλογή του αλγόριθμου πρόγνωσης που επιλέγεται. Η μέθοδος της αναλυτικής παρεμβολής Στην πρώτη περίπτωση που εξετάζεται, δεν υπάρχει καθόλου διαθέσιμη πληροφορία για το γεωειδές της περιοχής αλλά διατίθενται παρατηρήσεις ορθομετρικών υψομέτρων σε μερικές κορυφές του δικτύου. Με τη μέθοδο της αναλυτικής παρεμβολής μπορεί να γίνει η εκτίμηση των υψομέτρων του γεωειδούς για τα σημεία που διαθέτουν πληροφορία και για τις δύο κατηγορίες υψομέτρων, και στη συνέχεια να γίνει η πρόγνωση των ορθομετρικών υψομέτρων για τα υπόλοιπα σημεία του δικτύου. Οι εξισώσεις παρατηρήσεων των γεωμετρικών και των ορθομετρικών υψομέτρων γράφονται αντίστοιχα: (7) για (8) και το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων θα έχει τη μορφή: (9) όπου το συνολικό σφάλμα παρατήρησης. Για την περιγραφή της επιφάνειας του γεωειδούς που προκύπτει από τις παραπάνω διαφορές χρησιμοποιούνται γραμμικές συναρτήσεις που έχουν την μορφή όπου, είναι οι γνωστές συντεταγμένες του σημείου, είναι πραγματικοί αριθμοί οι οποίοι αποτελούν τους αγνώστους του προβλήματος, και οι συναρτήσεις βάσεις. Οι συνηθέστερα χρησιμοποιούμενες συναρτήσεις βάσεις είναι τα τριγωνομετρικά πολυώνυμα που προκύπτουν από αναπτύγματα σειρών Fourier και τα μονώνυμα της μορφής αναπτύσσονται σε σειρά (10), που ή ο συνδυασμός αυτών. Εναλλακτικά στη βιβλιογραφία οι γραμμικές αυτές συναρτήσεις αναφέρονται και ως παραμετρικά μοντέλα. (11) Εφαρμόζοντας την μέθοδο της πιστής αναλυτικής παρεμβολής, τα υψόμετρα του γεωειδούς (που συντίθενται από τις διαφορές των άλλων δύο υψομέτρων) θεωρούνται χωρίς σφάλματα και έτσι το κριτήριο βελτιστοποίησης θα είναι Η μέθοδος της εξομαλυντικής παρεμβολής μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν οι παρατηρήσεις συνοδεύονται από τον πίνακα συμμεταβλητοτήτων τους και. Τότε το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων θα γίνει, όπου 11
(12) Στο τελικό στάδιο, με τη βοήθεια των εκτιμήσεων των συντελεστών των επιλεγμένων γραμμικών εξισώσεων μπορούν να υπολογιστούν τα ορθομετρικά υψόμετρα για τα υπόλοιπα σημεία του δικτύου. Ο υπολογισμός γίνεται μέσω της σχέσης όπου το εξαρτάται μόνο από τι συντεταγμένες του κάθε σημείου. Επίσης σημειώνεται ότι απαιτούνται τουλάχιστον τρία σημεία με γνωστά ορθομετρικά υψόμετρα για τη λειτουργία της μεθόδου και ότι η ακρίβεια προσδιορισμού των υψομέτρων εξαρτάται από το πλήθος των γνωστών ορθομετρικών υψομέτρων και από την κατανομή τους στο χώρο. H ακρίβεια προσδιορισμού των υψομέτρων εξαρτάται από τον αριθμό των σημείων με γνωστά ορθομετρικά υψόμετρα και την κατανομή τους στην περιοχή. Στο δίκτυο θα πρέπει να συμπεριλαμβάνονται τουλάχιστον τρία σημεία με γνωστά ορθομετρικά υψόμετρα, τα οποία είναι σημεία του κρατικού συστήματος αναφοράς ή σημεία χωροσταθμικής όδευσης. Για παράδειγμα, στην περίπτωση αυτή του ελάχιστου αριθμού σημείων με γνωστά ορθομετρικά υψόμετρα και για μικρές περιοχές, χρησιμοποιείται πολυώνυμο συνήθως πρώτου βαθμού (13) Για μεγαλύτερης έκτασης περιοχές, το πολυώνυμο παίρνει πιο διευρυμένη μορφή, όπως για παράδειγμα (14) όπου βέβαια απαιτούνται περισσότερα σημεία με γνωστά ορθομετρικά υψόμετρα. Η επόμενη περίπτωση περιλαμβάνει στα δεδομένα του προβλήματος και τις αποχές του γεωειδούς, σε σχέση με την προηγούμενη. Το αποτέλεσμα είναι να τροποποιηθεί το γραμμικό σύστημα των εξισώσεων παρατήρησης συμπεριλαμβάνοντας αυτή τη φορά και την εξίσωση παρατήρησης των υψομέτρων του γεωειδούς: Έτσι, για τα σημεία που έχουν πληροφορία και για τα τρία υψόμετρα το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων θα πάρει τη μορφή: (15) (16) (17) (18) όπου το συνολικό σφάλμα παρατήρησης. Το κριτήριο βελτιστοποίησης διαμορφώνεται ως, όπου 12
(19) ο πίνακας συμμεταβλητοτήτων των παρατηρήσεων. Σκοπός αυτής της μεθόδου είναι η εκτίμηση των αγνώστων παραμέτρων, δηλαδή των συντελεστών ενός κατάλληλα επιλεγμένου παραμετρικού μοντέλου μέσω του οποίου πραγματοποιείται η διαχείριση των συστηματικών σφαλμάτων, των ασυμφωνιών του datum και άλλων σφαλμάτων που επηρεάζουν τα διαθέσιμα δεδομένα. Συγκεκριμένα, με τη μέθοδο αυτή επιτυγχάνεται η ελαχιστοποίηση των μεγάλων μήκους κύματος σφαλμάτων που εμφανίζονται λόγω των μεγάλων βαθμών ανάπτυξης των γεωδυναμικών μοντέλων όταν αναφέρονται σε τοπικής κλίμακας γεωειδές. Ο όρος περιγράφει τον μετασχηματισμό ανάμεσα στα δύο συστήματα αναφοράς, το παγκόσμιο και το τοπικό και παραμετροποιείται με τις γραμμικές συναρτήσεις που περιγράφηκαν παραπάνω (πχ. πολυώνυμα). Καταλήγοντας στην εκτίμηση των παραμέτρων υπολογίζονται οι διορθώσεις για κάθε άλλο σημείο και γίνεται η πρόγνωση των ορθομετρικών υψομέτρων: (20) Η μέθοδος της σημειακής προσαρμογής Η τρίτη περίπτωση αποτελεί μια πιο αυστηρή προσέγγιση του προηγούμενου προβλήματος όπου η διόρθωση αποτελείται από δύο τμήματα, την κυρίαρχη τάση και το υπολειπόμενο σήμα (Kotsakis and Sideris, 1999, Denker et al., 2000): (21) Υπολογίζοντας εκ των προτέρων την ποσότητα με εφαρμογή της παρεμβολής και διορθώνοντας τις συνθετικές παρατηρήσεις, προκύπτει και διακρίνονται οι μέθοδοι εκτίμησης της πιστής σημειακής προσαρμογής (Denker et al., 2000):, (23) και της εξομαλυντικής σημειακής προσαρμογής:, (24) (22) 13
Η μικτή μέθοδος Επίσης, μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος της μικτής παρεμβολής (Ρωσσικόπουλος, 1986, Kotsakis and Sideris, 1999) κατά την οποία γίνεται η ταυτόχρονη απομάκρυνση της κυρίαρχης τάσης και εκτίμησης των σημάτων:, (25) Ο όρος ανάλογα με το την έκταση της περιοχής και τα διαθέσιμα δεδομένα, μπορεί να περιλαμβάνει την απλή εξίσωση του επιπέδου της σχέσης (13) ή την πλήρη εξίσωση του μετασχηματισμού αλλαγής της επιφάνειας αναφοράς της σχέσης (14). Η μέθοδος της ολοκληρωμένης γεωδαισίας Η γενικότερη μέθοδος, η οποία συνδυάζει όλα τα δεδομένα που είναι σχετικά με τα υψόμετρα των σημείων του δικτύου GNSS και όλες οι άλλες μέθοδοι που αναφέρθηκαν προκύπτουν από την απλοποίηση των εξισώσεων που την περιγράφουν, είναι αυτή της ολοκληρωμένης γεωδαισίας. Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου βρίσκεται όχι μόνο στην αξιοποίηση των παρατηρήσεων όλων των ειδών υψομέτρων, αλλά και στην ταυτόχρονή εκτίμηση των σημάτων που εξαρτώνται από το πεδίο βαρύτητας της γης, των ορθομετρικών υψομέτρων, αλλά και των παραμέτρων που σχετίζονται με τα διαφορετικά συστήματα αναφοράς και περιγράφουν τις διορθώσεις. Ο αλγόριθμος της ολοκληρωμένης γεωδαισίας, με την προϋπόθεση ότι υπάρχει διαθέσιμη για το σύνολο των κορυφών ενός δικτύου η πληροφορία των γεωδαιτικών υψομέτρων από συστήματα GNSS, προσφέρει την δυνατότητα της πρόγνωσης των όλων των αγνώστων παραμέτρων του προβλήματος, παίρνοντας υπόψη της και τις διαθέσιμες πληροφορίες τις σχετικές με το πεδίο βαρύτητας στην περιοχή, όχι υποχρεωτικά στα σημεία του δικτύου. Το σύστημα των εξισώσεων παρατηρήσεων για το σύνολο των παρατηρήσεων που είναι διαθέσιμες γράφεται με κριτήριο βελτιστοποίησης Ως εμφανίζονται τα άγνωστα ορθομετρικά υψόμετρα, είναι τα άγνωστα σήματα του πεδίου βαρύτητας και είναι οι άγνωστοι παράμετροι μετασχηματισμού των δύο συστημάτων. Εναλλακτικά, αν οι παράμετροι θεωρηθούν γνωστοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τις διορθώσεις των παρατηρήσεων και ο τύπος να πάρει τη μορφή Σε μια πιο γενικευμένη εφαρμογή της ολοκληρωμένης γεωδαισίας, η εισαγωγή των σημάτων στη συνόρθωση επιτρέπει την ταυτόχρονη ανάλυση τόσο των κλασικών γεωμετρικών παρατηρήσεων (οριζόντιες διευθύνσεις και γωνίες, ζενίθιες γωνίες, βάσεις και (26) (27) (28) 14
συντεταγμένες GNSS, γεωμετρική χωροστάθμηση), όσο και παρατηρήσεων σχετικών με το γήινο πεδίο βαρύτητας (π.χ. αποκλίσεις της κατακορύφου, δυναμική χωροστάθμηση, ένταση του γήινου πεδίου βαρύτητας, κλπ.). Ως σήματα αντιμετωπίζονται οι παράμετροι του πεδίου βαρύτητας, όπως π.χ., διαταρακτικά δυναμικά, ανωμαλίες βαρύτητας, υψόμετρα του γεωειδούς, αποκλίσεις της κατακορύφου κλπ. Οι πρώτες εφαρμογές της ολοκληρωμένης γεωδαισίας στην εκτίμηση των ορθομετρικών υψομέτρων από τις παρατηρήσεις GPS, γεωμετρική χωροστάθμηση και γενικότερα από κάθε είδους παρατήρηση, γεωμετρική ή σχετική με το πεδίο βαρύτητας, έχουν δοθεί από τους Hein (1985), Hein et al. (1988), Eissfeller (1986) και Milbert (1988). 15
2. Ο υπολογισμός των υψομέτρων με τις τεχνικές της ολοκληρωμένης γεωδαισίας 2.1 Εισαγωγή Η μέθοδος της ολοκληρωμένης γεωδαισίας που εφαρμόζεται στην παρούσα εργασία έχει το σημαντικό πλεονέκτημα της ταυτόχρονης επεξεργασίας κάθε τύπου γεωδαιτικών δεδομένων (στη συγκεκριμένη περίπτωση κάθε τύπου υψομέτρων) μέσω ενός ενιαίου αλγόριθμου. Σε αυτό το σύστημα συνόρθωσης μπορούν να συμμετέχουν όλα τα υψόμετρα ως παρατηρήσεις, και ως άγνωστες παράμετροι συμμετέχουν τα ορθομετρικά υψόμετρα (που είναι και ο βασικός άγνωστος του προβλήματος), αλλά και τα υψόμετρα του γεωειδούς τα οποία εξαρτώνται από το πεδίο βαρύτητας και μοντελοποιούνται ως στοχαστικές παράμετροι (σήματα). Επίσης σαν άγνωστοι συμμετέχουν και οι παράμετροι μετασχηματισμού των συστημάτων αναφοράς. Η γραμμικοποιημένη μορφή των εξισώσεων παρατήρησης που προκύπτει από την σκοπιά της ολοκληρωμένης γεωδαισίας έχει την μορφή όπου είναι το διάνυσμα των ανηγμένων παρατηρήσεων, είναι τα άγνωστα ορθομετρικά υψόμετρα, τα σήματα που σχετίζονται με το πεδίο βαρύτητας της Γης, και ως εμφανίζονται οι άγνωστες παράμετροι μετασχηματισμού των δύο συστημάτων (υψόμετρα γεωειδούς και γεωμετρικά υψόμετρα). Τα σήματα που εμφανίζονται στη γραμμικοποιημένη μορφή των εξισώσεων παρατηρήσεων είναι οι διαταράξεις των ποσοτήτων του γήινου πεδίου βαρύτητας, οι οποίες αποδίδονται στο φυσικό μέγεθος του διαταρακτικού δυναμικού που δεν είναι άλλο παρά η διαφορά της κανονικής τιμής της βαρύτητας από την πραγματική της τιμή:. Η συνάρτηση του διαταρακτικού δυναμικού είναι βέβαια άγνωστη, αλλά μπορεί περιγραφεί μέσω της συνάρτησης συμμεταβλητότητας που αναλύθηκε παραπάνω. Όταν δεν είναι γνωστή η συνάρτηση συμμεταβλητότητας τότε τα σήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν ως ντετερμινιστικά μεγέθη σύμφωνα με τις σχέσεις: (1), (2) Διαφορετικά εάν υπάρχει διαθέσιμος ο πίνακας Κ ο οποίος προέκυψε από την συνάρτηση συμμεταβλητότητας της περιοχής οι σχέσεις διαμορφώνονται ως εξής:, (3) 16
Το σύστημα των κανονικών εξισώσεων για την περίπτωση της ντετερμινιστικής αντιμετώπισης των σημάτων παίρνει τη μορφή: (4) όπου,,,,, και,, Για την λύση του συγκεκριμένου συστήματος εξισώσεων απαλείφονται αρχικά οι αδιάφορες παράμετροι : (5) και (6) Στη συνέχεια απαλείφονται τα σήματα: (7) ή, όπου και Η λύση τελικά θα δοθεί από τις εξισώσεις: και (8) Τέλος η μεταβλητότητα αναφοράς δίνεται από τη σχέση: (9) (10) 17
όπου είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων, ο αριθμός των δεσμέυσεων, ο αριθμός των αγνώστων υψομέτρων και ο αριθμός των σημάτων. Οι βαθμοί ελευθερίας δίνονται από την σχέση:. Το σύστημα των κανονικών εξισώσεων στην περίπτωση της στοχαστικής αντιμετώπισης των σημάτων διαφοροποιείται ως εξής: (11) Η λύση του συστήματος δίνεται στις σχέσεις που αναφέρθηκαν πιο πάνω με τη μόνη διαφορά της χρησιμοποίησης του πίνακα αντί του. Αντιστοίχως, η μεταβλητότητα αναφοράς διαμορφώνεται ως εξής: και οι βαθμοί ελευθερίας του προβλήματος θα είναι. (12) 2.2 Οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας Για την εισαγωγή των πληροφοριών σχετικά με την συμπεριφορά των σημάτων (των στοχαστικών παραμέτρων) που εμφανίζονται στη συνόρθωση των παρατηρήσεων απαραίτητο εργαλείο αποτελεί η συνάρτηση συμμεταβλητότητας. Συγκεκριμένα η συνάρτηση συμμεταβλητότητας χρησιμοποιείται για την περιγραφή της στοχαστικής συμπεριφοράς των μεγεθών μια περιοχής που σχετίζονται με το πεδίο βαρύτητας. Στις εφαρμογές μας, τέτοιες στοχαστικές παράμετροι είναι τα υψόμετρα του γεωειδούς. Με τη βοήθεια της, σχηματίζεται ο πίνακας των μεταβλητοτήτων-συμμεταβλητοτήτων των σημάτων των παραμέτρων του πεδίου βαρύτητας, που στη βιβλιογραφία συμβολίζεται με. Ο πίνακας αυτός εκτός από τη σύνδεση των σημάτων μεταξύ τους χρησιμεύει και στον διαχωρισμό αυτών από τα τυχαία σφάλματα που εμφανίζονται στη συνόρθωση. Βέβαια στην περίπτωση των ποσοτήτων που εξαρτώνται από το πεδίο βαρύτητας η συμμεταβλητότητα δεν έχει την ίδια σημασία με αυτή των τυχαίων σφαλμάτων. Αυτό συμβαίνει διότι ο τελεστής της μαθηματικής προσδοκίας στην περίπτωση του διαταρακτικού δυναμικού είναι διάφορος του μηδενός. Αν όμως θεωρήσουμε ότι η άγνωστη-στοχαστική συνάρτηση του διαταρακτικού δυναμικού πληροί την προϋπόθεση της εργοδικότητας τότε αντί του τελεστή της μαθηματικής προσδοκίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο τελεστής του μέσου όρου των τιμών της συνάρτησης για την επιφάνεια ορισμού της. Η συμμεταβλητότητα μεταξύ των τιμών του διαταρακτικού δυναμικού σε δύο σημεία και είναι,, η οποία ισούται με την τιμή της συνάρτησης συμμεταβλητότητας Κ του διαταρακτικού δυναμικού (βασική συνάρτηση ή συνάρτηση πυρήνας). Έτσι ο πίνακας συμμεταβλητοτήτων την γενικευμένη μορφή, όπου το διάνυσμα των σημάτων. θα πάρει 18
Στην περίπτωση των στοχαστικών συναρτήσεων όπου το πεδίο ορισμού τους είναι το επίπεδο ή οι τρεις διαστάσεις, ορίζονται ανάλογα οι ομογενείς και ισότροπες στοχαστικές συναρτήσεις, για τις οποίες ισχύει (δηλαδή η μέση συνάρτηση ότι είναι σταθερή), και η συνάρτηση συμμεταβλητότητας έχει την ιδιότητα Τα σημεία και προκύπτουν από τα αντίστοιχα σημεία και ύστερα από μια μετάθεση (ομοιογένεια) και μια στροφή (ισοτροπία). Η συνάρτηση συμμεταβλητότητας μιας στοχαστικής συνάρτησης με αυτά τα χαρακτηριστικά είναι συνάρτηση μόνο της απόστασης ανάμεσα στα σημεία και. Εκθετική Συνάρτηση Reilly Συνάρτηση Moritz Συνάρτηση Poisson Πίνακας 2 - Μοντέλα τοπικών συναρτήσεων συμμεταβλητότητας για τις ανωμαλίες βαρύτητας σε επίπεδη προσέγγιση Ο ορισμός της συνάρτησης συμμεταβλητότητας πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας που προσεγγίζει τη γήινη επιφάνεια, είναι αρκετά ικανοποιητικός για κάθε είδους γεωδαιτικό πρόβλημα. Σε τοπικά προβλήματα όμως, η επιφάνεια της σφαίρας μπορεί να αντικατασταθεί από ένα επίπεδο, έτσι έχουμε το πλεονέκτημα της επιλογής μιας απλούστερης αναλυτικής μορφής συνάρτησης-μοντέλο. Η συνάρτηση αυτή προσαρμόζεται απευθείας στις διακριτές τιμές της εμπειρικής συνάρτησης συμμεταβλητότητας των τιμών που διαθέτουμε. Παραδείγματα επίπεδων συναρτήσεων δίνονται στον πίνακα 2. Συνοπτικά, ανάλογα την μέθοδο παρεμβολής που εφαρμόζεται για τον προσδιορισμό των ορθομετρικών υψομέτρων, μπορούν να επισημανθούν ορισμένα σημεία σχετικά με την επιλογή της συνάρτησης συμμεταβλητότητας: 1. Η επιλεγμένη συνάρτηση συμμεταβλητότητας πρέπει να είναι θετικά ορισμένη, αρμονική, ομογενής και ισότροπη. 2. Στην περίπτωση της πιστής σημειακής προσαρμογής, όπου οι ποσότητες (σήματα) είναι οι μοναδικές που συμμετέχουν στο κριτήριο βελτιστοποίησης, η μεταβλητότητα μπορεί να ληφθεί ίση με τη μονάδα, και το μήκος συσχέτισης υπολογίζεται έτσι ώστε να ισχύει: 3. Για τις περιπτώσεις της εξομαλυντικής ή της μικτής παρεμβολής, όπου τα σήματα είναι διαχωρισμένα από τα σφάλματα των παρατηρήσεων, οι τιμές των παραμέτρων και προκύπτουν από την προσαρμογή της επιλεγμένης 19
συνάρτησης συμμεταβλητότητας σε έναν ικανό αριθμό των δειγματικών τιμών, στη συγκεκριμένη περίπτωση, οι οποίες υπολογίζονται μετά από μια αρχική εκτίμηση της κυρίαρχης τάσης. Συνήθως, οι δειγματικές τιμές είναι περιορισμένες και δεν μετριούνται απευθείας, αλλά προκύπτουν μέσω μεθόδων παρεμβολής και οι τιμές μπορεί να μην είναι κατάλληλες ώστε να γίνει η προσαρμογή της επιλεγμένης συνάρτησης συμμεταβλητότητας. 4. Το παραπάνω πρόβλημα της μη ύπαρξης των κατάλληλων δειγματικών τιμών μπορεί να αντιμετωπιστεί με μια γενίκευση της θεωρίας εκτίμησης των συνιστωσών των συμμεταβλητοτήτων, όπου συντελείται η ταυτόχρονη διόρθωση της αρχικής εκτίμησης των αγνώστων παραμέτρων και. 5. Στην περίπτωση της ολοκληρωμένης γεωδαισίας η δημιουργία της συνάρτησης συμμεταβλητότητας επιτελείται με πιο αυστηρά κριτήρια από αυτά που αναφέρθηκαν πιο πάνω. Συγκεκριμένα τα στάδια δημιουργίας αυτής είναι τρία: Αρχικά γίνεται η επιλογή της συνάρτησης συμμεταβλητότητας-μοντέλο. Στη συνέχεια ακολουθεί η προσαρμογή του επιλεγμένου μοντέλου συνάρτησης στις εμπειρικές τιμές, οι οποίες προέκυψαν από την στατιστική ανάλυση σχετικών δεδομένων που μετρήθηκαν απευθείας σε διακριτά σημεία. Τέλος, επειδή τα άγνωστα σήματα των τρισδιάστατων δικτύων δεν αναφέρονται στο επίπεδο ορισμού της συνάρτησης, αλλά στη φυσική επιφάνεια του εδάφους επεκτείνεται η συνάρτηση στον ημιχώρο πάνω από το επίπεδο ορισμού της, με τέτοιο τρόπο, ώστε να παραμείνει ομογενής, ισότροπη Σύμφωνα με τα παραπάνω, ένας τρόπος επιλογής μιας συνάρτησης συμμεταβλητότητας, π.χ. των υψομέτρων του γεωειδούς που μας ενδιαφέρει εδώ, είναι η επιλογή μιας συνάρτησης συμμεταβλητότητας για τις ανωμαλίες του πεδίου βαρύτητας, προσαρμογή της συνάρτησης συμμεταβλητότητας στις εμπειρικές τιμές του πεδίου βαρύτητας που προέκυψαν από σχετικές μετρήσεις, και τον υπολογισμό της συνάρτησης συμμεταβλητότητας του διαταρακτικού δυναμικού K(S ij ), εφαρμόζοντας το νόμο μετάδοσης στη σχέση (13) Στη συνέχεια, προκύπτει η συνάρτηση συμμεταβλητότητας των υψομέτρων του γεωειδούς (14) όπου είναι μια μέση τιμή της κανονικής βαρύτητας στην περιοχή του δικτύου. Το διαταρακτικό δυναμικό συνδέεται με τα σήματα του πεδίου βαρύτητας με σχετικά απλές σχέσεις (συναρτησιακά) της μορφής, γεγονός που διευκολύνει την εφαρμογή του νόμου μετάδοσης των συμμεταβλητοτήτων για τον υπολογισμό των τιμών τους. 20
Η συνάρτηση συμμεταβλητότητας που χρησιμοποιείται για τους ζητούμενους υπολογισμούς αντλήθηκε από παλαιότερη διπλωματική του τμήματος Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών (Πετρίδου, Χατζηδάκης 1999) και αναφέρεται στην περιοχή μελέτης. Επιλέχθηκε το μοντέλο του Moritz (επίπεδη προσέγγιση) το οποίο προσαρμόστηκε σε εμπειρικές τιμές ανωμαλιών βαρύτητας της περιοχής, όπου για την υπό μελέτη περιοχή της Μακεδονίας οι τιμές της μεταβλητότητας της ανωμαλίας βαρύτητας και του μήκους συσχέτισης προέκυψαν αντίστοιχα: και. Η προσαρμογή της συνάρτησης-μοντέλο με τους συντελεστές μεταβλητότητας που προκύπτουν από τα διακριτά δεδομένα των ανωμαλιών βαρύτητας για περιοχή μικρής έκτασης μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: με τη χρησιμοποίηση των θεμελιωδών παραμέτρων που ορίζει ο Moritz (1976, 1980), ή με την εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Συγκεκριμένα, το επιλεγμένο μοντέλο συνάρτησης συμμεταβλητότητας πρέπει να προσαρμοστεί σε τρεις θεμελιώδεις παραμέτρους: την μεταβλητότητα, το μήκος συσχέτισης και την παράμετρο καμπυλότητας. Η προσαρμογή της συνάρτησης-μοντέλο με τους συντελεστές μεταβλητότητας που προκύπτουν από τα διακριτά δεδομένα των ανωμαλιών βαρύτητας για περιοχή μικρής έκτασης μπορεί να γίνει με την εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Οι παράμετροι και εμφανίζονται ως άγνωστοι του προβλήματος και η γραμμικοποίηση των συναρτήσεων ως προς αυτούς, γίνεται με τη βοήθεια των αναπτυγμάτων Taylor και την αντικατάσταση των αγνώστων παραμέτρων και με τις αντίστοιχες προσεγγιστικές και. Tο σύστημα των κανονικών εξισώσεων θα έχει τη μορφή: (15) όπου και (16) 21
(17) Οι παράγωγοι που εμφανίζονται στα παραπάνω αναπτύγματα δίνονται συγκεντρωτικά στον πίνακα 3. Εκθετική Συνάρτηση Συνάρτηση Reilly Συνάρτηση Moritz Συνάρτηση Poisson Πίνακας 3 Η λύση του συστήματος των κανονικών εξισώσεων θα είναι: (18) και (19) Προσθέτοντας τις διορθώσεις και, στις προσεγγιστικές τιμές και προκύπτουν οι διορθωμένες τιμές και, οι οποίες τις αποτελούν προσεγγιστικές τιμές για την επόμενη επανάληψη του αλγόριθμου της συνόρθωσης. Αυτή η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζεται μέχρι το σημείο που οι τιμές και τείνουν στο μηδέν. Συμπληρωματικά, δίνονται οι τύποι για το μέσο τετραγωνικό σφάλμα (20) και ο πίνακας συμμεταβλητοτήτων μεταξύ των αγνώστων και (21) 22
3. Η εφαρμογή στην περιοχή της Βόλβης 3.1 Εισαγωγή Το μοντέλο που θα χρησιμοποιηθεί για την συνόρθωση των υψομέτρων συμπεριλαμβάνει τις τρεις διαφορετικές εξισώσεις παρατήρησης υψομέτρων, μία για κάθε τύπο υψόμετρου. Συγκεκριμένα αποτελείται από τις εξισώσεις των παρατηρήσεων: των γεωμετρικών υψομέτρων από παρατηρήσεις GNSS, των ορθομετρικών υψομέτρων που προέκυψαν από γεωμετρική χωροστάθμηση και των υψομέτρων γεωειδούς που δίνονται από κάποιο παγκόσμιο γεωδυναμικό μοντέλο: Για τις αποχές του γεωειδούς χρησιμοποιούμε την παραδοχή, όπου είναι η προσεγγιστική τιμή του υψόμετρου Ν για την παρατήρηση i και είναι το υπολειπόμενο σήμα του πεδίου βαρύτητας της κάθε παρατήρησης i. Ως προσεγγιστική τιμή του υψόμετρου του γεωειδούς μπορεί να χρησιμοποιηθεί επίσης και η μέση τιμή των υψομέτρων γεωειδούς η οποία θα προκύψει από τη διαθέσιμη πληροφορία των υψόμετρων του γεωειδούς της περιοχής. Σε αυτή την περίπτωση θα ισχύει. Εφόσον όμως η ποσότητα θεωρείται γνωστή, περνάει στο πρώτο μέλος της κάθε εξίσωσης που την περιλαμβάνει και έτσι οι εξισώσεις (1), (2), (3) διαμορφώνονται ως εξής (εδώ για την περίπτωση της μέσης επιφάνειας του γεωειδούς ): Οι αντίστοιχες εξισώσεις με τη μορφή πινάκων θα είναι: (1) (2) (3) (4) (5) (6) Όπου για το σύνολο των παρατηρήσεων δίνεται η γενική μορφή: και το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων είναι Σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο το σύστημα των κανονικών εξισώσεων διαμορφώνεται ως εξής: (7) (8) 23
(9) Όσον αφορά τις διορθώσεις που σχετίζονται με τους μετασχηματισμούς μεταξύ των δύο συστημάτων, επιλέχθηκε για την συγκεκριμένη περίπτωση ένα πολυωνυμικό μοντέλο μοντέλου 2 ου βαθμού, το οποίο περιγράφεται μέσω της σχέσης: Η παραπάνω συνάρτηση βάσης με τη βοήθεια της οποίας δομείται ο πίνακας σχεδιασμού της επιφάνειας διόρθωσης, αποτελείται από τις συντεταγμένες, των επιλεγμένων σημείων προσαρμογής και από τις άγνωστες παραμέτρους. Ο πίνακας δομείται από τον πολλαπλασιασμό του πίνακα σχεδιασμού με τον, συγκεκριμένα για την εξίσωση των υψομέτρων του γεωειδούς ισχύει:. Έχοντας αναλύσει το μαθηματικό μοντέλο και την αλγοριθμική διαδικασία που επιλέχθηκε, σε αυτό το κεφάλαιο δίνονται τα αποτελέσματα των σημαντικότερων περιπτώσεων επίλυσης που διερευνήθηκαν. Τα εξαγόμενα της συνόρθωσης κάθε περίπτωσης παρουσιάζονται σε μορφή πίνακα στον οποίο εμφανίζονται με την ακόλουθη σειρά: ο κωδικός του σημείου, η εκτίμηση των ορθομετρικών υψόμετρων, η διαφορά των εκτιμήσεων των ορθομετρικών υψομέτρων από την παρατηρούμενη τιμή, η εκτίμηση των σημάτων για κάθε υψόμετρο, η εκτίμηση των υψομέτρων του γεωειδούς που προέκυψε από το άθροισμα, και τέλος, η διαφορά των εκτιμήσεων των υψομέτρων του γεωειδούς από την παρατηρούμενη τιμή. Σημειώνεται πως όλα τα μεγέθη δίνονται σε μέτρα. Οι διαφορές των ορθομετρικών υψομέτρων ή των υψομέτρων του γεωειδούς από τις παρατηρούμενες τιμές, συνοψίζεται στην μέση τετραγωνική απόκλιση (RMS) που δίνεται στο κάτω μέρος των πινάκων. Με σκοπό την καλύτερη εποπτική παρουσίαση των αποτελεσμάτων παρατίθενται για κάθε περίπτωση ένα σχήμα της κατανομής των παρατηρήσεων των ορθομετρικών υψομέτρων σε σχέση με το σύνολο των σημείων του δικτύου. Τα γνωστά ορθομετρικά υψόμετρα εμφανίζονται με κόκκινο χρώμα τόσο στο σκαρίφημα της περιοχής όσο και στον πίνακα των αποτελεσμάτων (κωδικός ΓΥΣ). 3.2 Περίπτωση 1 Επίλυση 1 Η πρώτη περίπτωση που θα διερευνηθεί περιλαμβάνει 17 παρατηρήσεις ορθομετρικών υψομέτρων οι οποίες έχουν επιλεγεί με κριτήριο την όσο το δυνατόν βέλτιστη ισοκατανομή τους στο χώρο (επίπεδο), σε σχέση πάντα με το σχήμα του παρόντος δικτύου. Επίσης χρησιμοποιούνται όλες οι δυνατές παρατηρήσεις των υψομέτρων του γεωειδούς. Αυτό συμβαίνει για να διερευνηθεί κατά πόσο μπορεί να επιτευχθεί (με όσο το δυνατόν ελάχιστη πληροφορία) η μικρότερη μέση τετραγωνική απόκλιση στα ορθομετρικά υψόμετρα έχοντας ως άγνωστα μόνο αυτά. (10) 24
4525000 4520000 4515000 4510000 4505000 4500000 4495000 4490000 410000 420000 430000 440000 450000 460000 470000 480000 Σημεία χωρίς πληροφορία Σημεία με πληροφορία Εικόνα 3.1 Μετά τα πρώτα αποτελέσματα (πίνακας 3.1) παρατηρούμε ότι η μέση τετραγωνική απόκλιση των ορθομετρικών υψομέτρων προέκυψε περίπου στα 10 εκατοστά, αλλά η διαθέσιμη πληροφορία των ορθομετρικών υψομέτρων ήταν κοντά στο 50%, ποσοστό αρκετά μεγάλο αν λαμβάνουμε υπόψη και το γεγονός ότι για τα υψόμετρα του γεωειδούς συμμετέχει το 100% της πληροφορίας. 25
ΚΩΔΙΚΟΣ ΓΥΣ 112036 85,165-0,051-0,864 41,519 0,584 112042 66,434-0,104-0,877 41,506 0,690 112043 74,474-0,014-0,847 41,535 0,704 112044 42,044 0,146-0,869 41,514 0,725 112046 89,975-0,232-0,911 41,472 0,734 112053 156,358 0,098-0,830 41,553 0,859 112080 310,784-0,209-0,813 41,570 0,769 116043 94,226-0,026-0,827 41,556 0,670 116051 75,677-0,107-0,838 41,544 0,744 116053 76,321 0,049-0,863 41,520 0,792 116060 75,958-0,026-0,858 41,525 0,742 116062 73,431 0,145-0,871 41,512 0,771 116066 90,674 0,026-0,852 41,531 0,789 116086 95,454 0,173-0,823 41,560 0,766 187007 133,437-0,047-0,630 41,753 0,682 187013 127,545-0,125-0,557 41,826 0,670 187014 121,725-0,035-0,522 41,861 0,640 187016 540,597-0,123-0,359 42,024 0,697 187021 128,782-0,042-0,476 41,907 0,633 187026 419,813-0,033-0,327 42,056 0,612 187028 185,667 0,013-0,406 41,976 0,602 187030 219,459 0,001-0,376 42,007 0,583 187035 239,668 0,072-0,288 42,095 0,539 187038 237,958 0,032-0,290 42,093 0,539 338002 350,289 0,011-0,643 41,739 0,733 338011 338,073 0,137-0,492 41,891 0,690 347002 531,059-0,347-0,520 41,863 0,733 347015 567,349 0,001-0,200 42,183 0,675 347017 356,203-0,023-0,308 42,075 0,625 347022 616,850 0,020-0,077 42,306 0,640 352047 44,577 0,003-0,955 41,428 0,592 352058 192,595-0,038-1,047 41,336 0,702 352061 53,581-0,071-1,221 41,161 0,693 352066 3,142-0,012-1,262 41,121 0,676 352843 447,126 0,025-0,911 41,472 0,515 RMS 0,107 0,684 Πίνακας 3.1 26
Επίλυση 2 Εναλλακτικά αν δεν υπάρχουν καθόλου παρατηρήσεις για το γεωειδές της περιοχής και εφαρμόζοντας την μέθοδο της πιστής αναλυτικής παρεμβολής οι τιμές των ορθομετρικών υψομέτρων διαμορφώνονται ως εξής: ΚΩΔΙΚΟΣ ΓΥΣ 112036 41,498 85,237-0,123 0,584 112042 41,522 66,419-0,089 0,690 112043 41,556 74,468-0,008 0,704 112044 41,569 41,989 0,201 0,725 112046 41,584 89,864-0,121 0,734 112053 41,617 156,197 0,259 0,859 112080 41,624 310,729-0,154 0,769 116043 41,605 94,203-0,003 0,670 116051 41,535 75,686-0,116 0,744 116053 41,514 76,279 0,091 0,792 116060 41,572 75,938-0,006 0,742 116062 41,559 73,384 0,192 0,771 116066 41,473 90,706-0,006 0,789 116086 41,603 95,411 0,216 0,766 187007 41,738 133,499-0,109 0,682 187013 41,811 127,559-0,139 0,670 187014 41,788 121,832-0,142 0,640 187016 41,975 540,646-0,172 0,697 187021 41,830 128,859-0,119 0,633 187026 42,062 419,840-0,060 0,612 187028 41,964 185,666 0,014 0,602 187030 42,049 219,417 0,043 0,583 187035 42,178 239,585 0,155 0,539 187038 42,186 237,834 0,156 0,539 338002 41,667 350,351-0,051 0,733 338011 41,855 338,109 0,101 0,690 347002 41,811 531,110-0,398 0,733 347015 42,080 567,452-0,102 0,675 347017 42,077 356,225-0,045 0,625 347022 42,265 616,870 0,000 0,640 352047 41,404 44,601-0,021 0,592 352058 41,282 192,649-0,092 0,702 352061 41,172 53,570-0,060 0,693 352066 41,171 3,103 0,027 0,676 352843 41,427 447,146 0,005 0,515 RMS 0,133 0,685 Πίνακας 3.1.2 27
Επίλυση 3 Επίσης εξετάζεται και η περίπτωση τα σημεία στα οποία υπάρχουν παρατηρήσεις ορθομετρικών υψομέτρων να υπάρχουν ταυτόχρονα και παρατηρήσεις αποχών του γεωειδούς: ΚΩΔΙΚΟΣ ΓΥΣ 112036 85,165-0,051-0,869 41,519 0,584 112042 66,434-0,104-0,882 41,506 0,690 112043 74,474-0,014-0,853 41,535 0,703 112044 41,919 0,271-0,749 41,639 0,600 112046 89,720 0,023-0,661 41,727 0,479 112053 156,359 0,097-0,836 41,552 0,860 112080 310,443 0,132-0,478 41,910 0,429 116043 94,225-0,025-0,831 41,557 0,669 116051 75,741-0,171-0,908 41,480 0,808 116053 76,322 0,048-0,868 41,520 0,792 116060 75,959-0,027-0,864 41,524 0,743 116062 73,448 0,128-0,893 41,495 0,788 116066 90,674 0,026-0,858 41,530 0,790 116086 95,433 0,194-0,807 41,581 0,745 187007 133,437-0,047-0,636 41,752 0,682 187013 127,516-0,096-0,533 41,855 0,641 187014 121,723-0,033-0,525 41,863 0,638 187016 540,416 0,058-0,182 42,205 0,515 187021 128,768-0,028-0,467 41,921 0,619 187026 419,813-0,033-0,333 42,055 0,613 187028 185,666 0,014-0,411 41,977 0,602 187030 219,468-0,008-0,390 41,998 0,592 187035 239,686 0,054-0,311 42,077 0,557 187038 237,959 0,031-0,297 42,091 0,541 338002 350,289 0,011-0,649 41,739 0,734 338011 338,101 0,109-0,525 41,863 0,718 347002 531,011-0,299-0,478 41,910 0,686 347015 567,231 0,119-0,087 42,301 0,557 347017 356,203-0,023-0,312 42,076 0,624 347022 616,849 0,021-0,082 42,306 0,640 352047 44,508 0,072-0,891 41,497 0,523 352058 192,102 0,455-0,559 41,829 0,209 352061 53,414 0,096-1,059 41,329 0,525 352066 3,142-0,012-1,267 41,121 0,676 352843 447,126 0,025-0,916 41,472 0,515 RMS 0,127 0,643 Πίνακας 3.1.3 28
3.2 Περίπτωση 2 Επίλυση 1 Στη συνέχεια ακολουθούν οι εκτιμήσεις της συνόρθωσης στην οποία συμμετέχουν 10 παρατηρήσεις ορθομετρικών υψομέτρων και όλες οι παρατηρήσεις των υψομέτρων του γεωειδούς. 4525000 4520000 4515000 4510000 4505000 4500000 4495000 4490000 410000 420000 430000 440000 450000 460000 470000 480000 Σημεία χωρίς πληροφορία Σημεία με πληροφορία Εικόνα 3.2 Η διαφορά των ορθομετρικών υψομέτρων αυξήθηκε ελαφρώς στα 12,4 εκατοστά για το σύνολο του δικτύου. Σε αυτή την συνόρθωση το ποσοστό των παρατηρήσεων των ορθομετρικών υψομέτρων ήταν στο 29%. Από τις εκτιμήσεις των διαφορών παρατηρούμε ότι το σημείο 112053 (για το οποίο υπήρχε παρατήρηση στην πρώτη συνόρθωση) σημείωσε την μεγαλύτερη απόκλιση με 42,4 εκ., όπως επίσης και το σημείο 347002 το οποίο όπως και στην πρώτη συνόρθωση σημειώνει τις μεγαλύτερες διαφορές. 29
ΚΩΔΙΚΟΣ ΓΥΣ 112036 85,236-0,122-0,884 41,499 0,604 112042 66,371-0,041-0,813 41,569 0,627 112043 74,451 0,009-0,801 41,581 0,657 112044 41,980 0,210-0,805 41,578 0,661 112046 89,942-0,199-0,877 41,506 0,700 112053 156,032 0,424-0,601 41,782 0,630 112080 310,678-0,103-0,707 41,676 0,663 116043 94,244-0,044-0,864 41,519 0,707 116051 75,714-0,144-0,875 41,508 0,780 116053 76,340 0,030-0,899 41,484 0,828 116060 75,966-0,034-0,839 41,544 0,723 116062 73,395 0,181-0,835 41,548 0,735 116066 90,680 0,020-0,864 41,519 0,801 116086 95,401 0,226-0,770 41,613 0,713 187007 133,471-0,081-0,617 41,766 0,669 187013 127,456-0,036-0,504 41,879 0,617 187014 121,773-0,083-0,535 41,847 0,653 187016 540,513-0,039-0,275 42,108 0,613 187021 128,793-0,053-0,487 41,896 0,644 187026 419,834-0,054-0,315 42,068 0,600 187028 185,674 0,006-0,420 41,963 0,616 187030 219,471-0,011-0,388 41,995 0,595 187035 239,700 0,040-0,320 42,063 0,571 187038 237,952 0,038-0,315 42,068 0,564 338002 350,177 0,123-0,542 41,841 0,632 338011 338,021 0,189-0,440 41,943 0,638 347002 530,945-0,233-0,406 41,977 0,619 347015 567,274 0,076-0,125 42,258 0,600 347017 356,197-0,017-0,296 42,087 0,613 347022 616,840 0,030-0,058 42,324 0,621 352047 44,556 0,024-0,934 41,449 0,571 352058 192,496 0,061-0,948 41,435 0,603 352061 53,511-0,001-1,153 41,230 0,624 352066 3,132-0,002-1,240 41,142 0,655 352843 447,142 0,009-0,944 41,439 0,548 RMS 0,124 0,652 Πίνακας 3.2.1 30
Επίλυση 2 Ακολουθούν οι αντίστοιχες εκτιμήσεις για αυτήν περίπτωση όταν απουσιάζουν εντελώς οι παρατηρήσεις των υψομέτρων του γεωειδούς εφαρμόζοντας την πιστή αναλυτική παρεμβολή: ΚΩΔΙΚΟΣ ΓΥΣ 112036 41,520 85,215-0,101-0,583 112042 41,560 66,381-0,051-0,636 112043 41,595 74,429 0,031-0,644 112044 41,604 41,954 0,236-0,635 112046 41,598 89,850-0,107-0,608 112053 41,701 156,113 0,343-0,711 112080 41,691 310,663-0,088-0,648 116043 41,558 94,249-0,049-0,668 116051 41,508 75,713-0,143-0,780 116053 41,476 76,317 0,053-0,836 116060 41,602 75,908 0,024-0,665 116062 41,586 73,357 0,219-0,697 116066 41,477 90,702-0,002-0,843 116086 41,648 95,366 0,261-0,678 187007 41,798 133,439-0,049-0,637 187013 41,863 127,507-0,087-0,633 187014 41,837 121,784-0,094-0,664 187016 42,044 540,577-0,103-0,677 187021 41,874 128,815-0,075-0,666 187026 42,119 419,783-0,003-0,549 187028 42,002 185,628 0,052-0,576 187030 42,090 219,376 0,084-0,500 187035 42,210 239,553 0,187-0,424 187038 42,210 237,810 0,180-0,422 338002 41,732 350,286 0,014-0,741 338011 41,895 338,070 0,140-0,686 347002 41,888 531,033-0,321-0,708 347015 42,140 567,392-0,042-0,718 347017 42,094 356,207-0,027-0,606 347022 42,295 616,840 0,030-0,651 352047 41,429 44,576 0,004-0,591 352058 41,361 192,570-0,013-0,677 352061 41,239 53,503 0,007-0,615 352066 41,218 3,056 0,074-0,578 352843 41,414 447,159-0,008-0,573 RMS 0,130 0,650 Πίνακας 3.2.2 31