A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιµα 9.Ασυνέχειες της παραγώγου.γραµµική προσέγγιση ή γραµµική επέκταση.κανόνας L Hopital.Πλεγµένη παραγώγιση 3.Παράγωγος αντίστροφης 4.Σχετιζόµενοι ρυθµοί 5.Πρώτο διαφορικό ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 6.Γραµµική παρεµβολή 7.Τάξη απείρου 8.Τάξη µηδενικού 9.Αντίστροφες τριγωνοµετρικές.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Κλίση ευθείας: = m+ β Η κλίση m µιας ευθείας προσδιορίζεται γεωµετρικά από: τον λόγο των µεταβολών {, } m= από οιεσδήποτε αρχικές τιµές {,}, όπως στο πρώτο γράφηµα του σχήµατος παρακάτω την µεταβολή του όταν το αυξηθεί κατά µία µονάδα: = = m, όπως στο δεύτερο γράφηµα. < m= m= m> > m< m= < Επίσης δίνεται από την τριγωνοµετρική εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία µε τον θετικό ηµιάξονα: m= tan θ, όπως στο δεύτερο και τρίτο γράφηµα. Μεταβολές. Θεωρούµε συνάρτηση = f(). Αν το µεταβληθεί κατά από κάποια αρχική τιµή, τότε το θα µεταβληθεί κατά: = f(), όπου: f() = f(+ ) f() Μέσος ρυθµός µεταβολής καλείται το µέγεθος που προκύπτει παίρνοντας τον λόγο των µεταβολών: f() = f() f() Γεωµετρικά δίνεται από την κλίση της χορδής, όπως (,) = f() (,) d στο πρώτο γράφηµα παραπλεύρως. Για γραµµικές συναρτήσεις συµπίπτει µε την κλίση της ευθείας του d γραφήµατος: = m+ β = [m(+ ) + β] [m+ β] = m = m 3. (Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος της συνάρτησης f() = στο σηµείο της (, ) καλείται το µέγεθος που προκύπτει ως το όριο του παραπάνω λόγου των µεταβολών όταν. Παριστάνεται µένα από τα σύµβολα: d, (), D() d ή df, f (), Df() d αντίστοιχα Γεωµετρικά δίνεται από την κλίση της εφαπτόµενης ευθείας στο γράφηµα της συνάρτησης στο συγκεκριµένο σηµείο, όπως στο δεύτερο σχήµα παραπάνω. Λέµε ότι: Η παράγωγος µετράει την µεταβολή του = f() για µεταβολή του κατά, οριακά.. > m= > = Π.χ. για (=, = ) : θ = (+ ) () = [(+ ) (+ ) ] [ ] = ( ) = 3 = 3 3 όταν. Εποµένως () = 3. Γενικότερα: =, όταν. Εποµένως () =. θ m= m=
4. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων: f() f () (c) =, (m+ β) = m, = =, (e ) e, ln / sin = cos, cos = sin, tan = + tan 5. Κανόνες παραγώγισης. [αf() + βg()] = αf () + βg (), γραµµικός συνδυασµός Ειδικότερα: [αf()] = αf (), [f() ± g()] = f () ± g (). [f()g()] = f ()g() + f()g (), γινόµενο f() f ()g() f()g () 3. = g(), πηλίκο g() 3 3. ( 5+ ) = ( ) 5() + () = 6 5. 3. 4. α α ( ) = α για όλα τα α ( ) ( ) ( ) = = =, για ( ) ( ) ( ) / / / ( ) = ( ) = = = για + ( e ) = ( ) e + (e ) = e + e = e, για sin (sin ) cos sin (cos ) cos + sin 5. (tan ) = tan cos = = = + cos cos ln 6. (log ) = = ln, για > (µετατρέψαµε σε βάση e ) ln 7. (ln ) = () ln + (ln ) = ln + (/ ) = ln +, για > 6. Αλυσωτή παράγωγος Η παράγωγος της σύνθεσης συναρτήσεων ισούται µε το γινόµενο των επιµέρους παραγώγων: dz dz d {z = z(), = ()} d = d d ή στην εναλλακτική µορφή: f(g()) = f (g())g () Η ερµηνεία της παραπάνω ισότητας είναι ότι: στο αριστερό µέρος πρέπει πρώτα να αντικαταστήσουµε από τις δοθείσες σχέσεις και µετά να παραγωγίσουµε, ενώ στο δεξιό µέρος µπορούµε πρώτα να παραγωγίσουµε απευθείας τις δοθείσες σχέσεις και µετά να αντικαταστήσουµε. Προκύπτουν έτσι οι τύποι: α α. [f ()] = αf ()f () f() f(). [e ] = e f (), [lnf()] = f () / f() 3. [sinf()] = [cos f()]f (), [cos f()] = [sinf()]f (). (e ) = e ( ) = e / / [(+ ) ]. (ln + ) = [ln(+ ) ] = = / (+ ) (+ ) Το ίδιο θα βρούµε αν απλοποιήσουµε: / ln(+ ) = (/ )ln( + ) ln ln 3. ( ) = (e ) = e (ln) = ln (µετατρέψαµε σε νεπέρια βάση) ln ln ln 4. ( ) = (e ) = e ( ln ) = e (ln + ) = (ln + ), για >
7. Μονοτονία Το πρόσηµο της ποαραγώγου καθορίζει τις ιδιότητες µονοτονίας της συνάρτησης, σύµφωνα µε το παρακάτω θεµελιώδες θεώρηµα. Θεώρηµα µέσης τιµής (mean value theorem) Αν η συνάρτηση f() είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα α β, και έχει παράγωγο σε κάθε σηµείο στο εσωτερικό του: α< < β, τότε θα έχουµε: f(β) f(α) = f (ξ), για κάποιο ξ στο εσωτερικό του: α< ξ< β. β α α ξ β ηλαδή η κλίση της χορδής είναι ίση µε τη κλίση της εφαπτόµενης σε κάποιο γνήσια ενδιάµεσο σηµείο, όπως φαίνεται και στο γράφηµα. Ως άµεση συνέπεια του θεωρήµατος µέσης τιµής, βρίσκουµε: Ιδιότητα µονοτονίας σε διάστηµα. Μια συνάρτηση f()που είναι συνεχής σε κάποιο διάστηµα και έχει παράγωγο σε κάθε σηµείο στο εσωτερικό του, είναι αύξουσα (φθίνουσα) έχει f () ( ) σε όλα τα εσωτερικά σηµεία του διαστήµατος. Ειδικότερα, αν ικανοποιεί f () > ( < ) σε όλα τα εσωτερικά σηµεία, εκτός ίσως ενός πεπερασµένου πλήθους σηµείων όπου µπορεί να µηδενίζεται, τότε είναι γνήσια αύξουσα (φθίνουσα). Παρατήρηση. Συναρτήσεις µε f () > ή f () < σε όλα τα σηµεία ενός διαστήµατος καλούνται ισχυρά µονότονες στο διάστηµα. Μια ισχυρά µονότονη συνάρτηση είναι και γνήσια µονότονη.. f() = + f () = <, γνήσια φθίνουσα για όλα τα.. = =, γνήσια φθίνουσα για, γνήσια αύξουσα για. f() f () 3 3. f() = f () = 3, γνήσια αύξουσα για όλα τα διότι µηδενίζεται µόνο σένα σηµείο: =. 4. f() = ln f () = /, γνήσια αύξουσα για >. 5. f() = f () = /, γνήσια αύξουσα για, διότι είναι συνεχής για και έχει γνήσια θετική παράγωγο στο εσωτερικό: > 8. Στάσιµα σηµεία µιας συνάρτησης f() καλούνται τα στα οποία µηδενίζεται η παράγωγος: f () =. Τα στάσιµα σηµεία χωρίζουν το διάστηµα ορισµού σε υποδιαστήµατα, όπου σε κάθε υποδιάστηµα η συνάρτηση είναι γνήσια µονότονη διότι η παράγωγος θα έχει γνήσια το ίδιο πρόσηµο, υποθέτοντας συνεχή παράγωγο. Ένα στάσιµο σηµείο στο οποίο αλλάζει γνήσια το πρόσηµο της παραγώγου είναι γνήσιο τοπικό ακρότατο, µέγιστο αν από θετική γίνεται αρνητική, ελάχιστο στην αντίθετη περίπτωση. Ένα στάσιµο στο οποίο η παράγωγος έχει γνήσια το ίδιο πρόσηµο εκατέρωθεν δεν είναι ακρότατο, είναι σηµείο καµπής.. Θα µελετήσουµε τις ιδιότητες µονοτονίας της συνάρτησης: 3 f() = + α+ β f () = 3 + α. Αν α>, τότε f () > για όλα τα, και η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα.. Αν α=, τότε f () = 3. Το πρόσηµο της παραγώγου δεν αλλάζει στο στάσιµο: =. Η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα µε σηµείο καµπής το στάσιµο. 3. Αν α<, τότε f () = 3 + α=, =± α / 3 Η συνάρτηση έχει δύο στάσιµα. Στο πρώτο το πρόσηµο της παραγώγου αλλάζει γνήσια από θετικό σε αρνητικό και εποµένως είναι γνήσιο τοπικό µέγιστο. Στο δεύτερο αλλάζει γνήσια από αρνητικό σε θετικό και είναι γνήσιο τοπικό ελάχιστο. β α> β α= β α< 9. Ασυνέχειες της παραγώγου. Θεωρούµε δύο µορφές ασυνέχειας της παραγώγου f ( ) =±,άπειρη ασυνέχεια. Η εφαπτόµενη ευθεία είναι κατακόρυφη µε άπειρη κλίση. o f ( ) f ( ) : βηµατική ασυνέχεια. Το γράφηµα έχει γωνία. + o o 3
. {f() =, } f () = /, µε άπειρη ασυνέχεια στο = όταν. f() = ma{,}, = όταν όταν f () = όταν Στο = έχει γωνία µε βηµατική ασυνέχεια της παραγώγου: f ( + ) f ( ) = = όταν όταν 3. f() = = f () = όταν όταν Στο = έχει γωνία, µε βηµατική ασυνέχεια της παραγώγου από σε +. f f ma{,}. Γραµµική προσέγγιση ή γραµµική επέκταση µιας συνάρτησης f() στο σηµείο, καλείται η γραµµική συνάρτηση που έχει την ίδια τιµή και την ίδια παράγωγο µε την συνάρτηση σαυτό το σηµείο. ηλαδή είναι η γραµµική συνάρτηση της εφαπτόµενης ευθείας. f() f( ) + f ( )( ) όταν Έτσι έχουµε τις παρακάτω χρήσιµες γραµµικές προσεγγισεις: e + (+ ) /, ln(+ ) ln Π.χ. έχουµε τις παρακάτω προσεγγιστικές και αντίστοιχες πραγµατικές τιµές:...5 Π.χ. e,..5.488. Κανόνας L Hopital Μας επιτρέπει να υπολογίσουµε τα όρια απροσδιόριστων µορφών: f() f() f () ή όταν g() g() g () ηλαδή, αν αµφότερα τα όρια είναι ή τότε παίρνοντας το όριο µπορούµε να αντικαταστήσουµε τις συναρτήσεις µε τις παραγώγους τους. Για +, e (e ) e () = +, = = +, e = ln (ln ) / e e 4 4 + ln + / /, ρ ρ + e (παίρνουµε λογαρίθµους). Για sin cos, ln / ln ln= =, = e e = / /.Πλεγµένη παραγώγιση Η παραγώγιση πλεγµένης συνάρτησης µπορεί να εκτελεστεί έµµεσα (δηλαδή χωρίς να λύσουµε πρώτα ως προς την συνάρτηση), παραγωγίζοντας στην εξίσωση F(, ) = c ως προς την µία µεταβλητή, θεωρώντας την άλλη ως συνάρτησή της, οπότε έχουµε: ως προς : F(,()) c F, ως προς : F((),) c F Η διαδικασία καλείται πλεγµένη παραγώγιση, και η παράγωγος που βρίσκουµε καλείται πλεγµένη παράγωγος διότι γενικά εκφράζεται µέσω και του και του, αλλά βέβαια ισχύει µόνο για τις τιµές (,) που ικανοποιούν την εξίσωση. 4 e
. + = 5. Παραγωγίζουµε πλεγµένα ως προς, θεωρώντας το ως πλεγµένη συνάρτηση του, βρίσκουµε: + () 5, ( ) + ( ) = 5 + = () = /, =, = / Π.χ. = + = 5 =, = / ρ ρ. + = c µε ρ, c>, στη θετική περιοχή: {, } Παραγωγίζουµε πλεγµένα ως προς, θεωρώντας το ως πλεγµένη συνάρτηση του : ρ ρ ρ ρ ρ d ( ) + ( ) = c ρ + ρ = = ρ d Συµπεραίνουµε ότι όσον αφορά την µονοτονία είναι φθίνουσα. Όσον αφορά τις τοµές της µε τους άξονες διακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις: /ρ /ρ. ρ>. Τέµνει τους δύο άξονες καθέτως: {=, = c = } και {=, = c = } /ρ /ρ. < ρ<. Τέµνει τους δύο άξονες εφαπτοµενικά: {=, = c = }, {=, = c = } 3. ρ<. εν τέµνει τους άξονες, διότι έχει οριζόντια και κατακόρυφη ασύµπτωτο, ως εξής: /ρ /ρ {, c } και {, c } Στο παρακάτω σχήµα δίνουµε µια χαρακτηριστική εξίσωση, για την κάθε περίπτωση. < ρ < ρ< ρ< + = c + = c + = c = c 3. Παράγωγος αντίστροφης Στο ίδιο(, ) οι παράγωγοι αντίστροφων συναρτήσεων: {= () = ()} είναι ανάστροφοι µεταξύ τους: d d = ή () = f () = d d () f (f ()) Παρατήρηση. Στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων, η παράγωγος () ισούται µε την κλίση της εφαπτόµενης ευθείας ως προς τον άξονα, ενώ η παράγωγος () ισούται µε την κλίση της ως προς τον άξονα, δηλαδή αφορούν τις τριγωνοµετρικές εφαπτόµενες συµπληρωµατικών γωνιών: {tanθ, tan(π / θ) = / tanθ}.. Από την παράγωγο της f() = e θα βρούµε την παράγωγο της αντίστροφης f () = ln : {= ln = e }. Από την παράγωγο (ln) = () = / () = / e = / f() =, θα βρούµε την παράγωγο της αντίστροφης 5 f () = : {= = } µε ( ) = () = / () = / = /. Θα υπολογίσουµε µε τρεις τρόπους την παράγωγο () της συνάρτησης = () που ορίζεται πλεγµένα ως αντίστροφη της = (), όπου: = + 4+. Ως παράγωγο αντίστροφης: () = 4+ () = / () = / (4+ ). Με πλεγµένη παραγώγιση ως προς : = + 4+ () = (+ 4+ ) = + 4 + = / (4+ ) 3. Λύνοντας την εξίσωση ως προς και παραγωγίζοντας κανονικά, βρίσκουµε: = ± 3+
± = + 4+ + 4 + ( ) = = ± + 3 () = + 3 όπου κάθε φορά επιλέγουµε ένα από τα δύο πρόσηµα για το και για το Παρατήρηση. Αν στο αντικαταστήσουµε το που βρήκαµε στο 3 θα βρούµε το ίδιο όπως στο 3: = = = 4+ 4+ ( ± + 3) ± + 3) 4. Σχετιζόµενοι ρυθµοί: {= (t), = (t)} F(, ) = c Οι παράγωγοι στο ίδιο σηµείο συνδέονται µε την σχέση σχετιζόµενων ρυθµών: d d d d = dt dt = ɺ ɺ ή ανάστροφα d d d d = dt dt = ɺ ɺ, όπου µε πάνω τελεία συµβολίζουµε τις παραγώγους ως προς την παράµετρο t.. Θα επαληθεύσουµε την σχέση σχετιζόµενων ρυθµών στην τροχιά: ( ) {= + sin t, = cos t} + = 4 αριστερό µέρος: ( ) / + = = ( ) / 4 = sin t / cos t δεξιό µέρος: ɺ / ɺ = sin t / cos t Για το αριστερό µέρος παραγωγίσαµε πλεγµένα ως προς. 5. ιαφορικά. Αρχίζοντας από κάποιες αρχικές τιµές: {,} Οι µεταβολές: {, } ορίζονται ως µετατοπίσεις πάνω στη καµπύλη της συνάρτησης στο πρώτο σχήµα παρακάτω, και ικανοποιούν την εξίσωση µεταβολών: = f(+ ) f() = f() όπως Τα διαφορικά: {d, d} ορίζονται ως µετατοπίσεις πάνω στην εφαπτόµενη ευθεία της καµπύλης στο ίδιο σηµείο όπως στο δεύτερο σχήµα, και ικανοποιούν την πολύ απλούστερη (γραµµική) εξίσωση διαφορικών: d= ()d Οι δύο έννοιες: {µεταβολές, διαφορικά}, συµπίπτουν µόνο για τις γραµµικές εξισώσεις. Στη γενική περίπτωση τα διαφορικά δίνουν µια εκτίµηση των µεταβολών όταν αυτές είναι µικρές, µε την παρακάτω έννοια: Αν = d τότε / d εφόσον d δηλαδή εφόσον () Για τον λόγο αυτό τα διαφορικά ονοµάζονται και οριακές µεταβολές. Συµπεραίνουµε ειδικά ότι: Για µικρά = d το πρόσηµο της µεταβολής συµπίπτει µε το πρόσηµο του διαφορικού d αν το τελευταίο είναι µη µηδενικό, δηλαδή στα σηµεία µε µη µηδενική παράγωγο. (,) (,) d d = d d µεταβολές & διαφορικά Παρατήρηση. Συχνά στις εφαρµογές χρησιµοποιούµε τα διαφορικά αντί των παραγώγων µε τα οποία και έχουν αντίστοιχο λογισµό. Π.χ. για το διαφορικό δύναµης, γινοµένου και πηλίκου έχουµε τους κανόνες: n n d(u ) = nu du, d(uv) = (du)v+ u(dv), d(u/ v) = [(du) v v(du)] / v, Παρατήρηση. Τα διαφορικά προσεγγίζουν τις µεταβολές µε τον ίδιο τρόπο που οι γραµµικές προσεγγίσεις προσεγγίζουν τις συναρτήσεις. Π.χ. για την εκθετική συνάρτηση = e, σε τυχόν σηµείο της, βρίσκουµε: 6
+ µεταβολή: = e e = e (e ) e (+ ) = e = e d= d : διαφορικό όπου χρησιµοποιήσαµε την γραµµική προσέγγιση: e + εφόσον το είναι µικρό: 7
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 6. Γραµµική παρεµβολή µιας συνάρτησης f() µεταξύ δύο σηµείων της καλείται η γραµµική συνάρτηση της χορδής που τα συνδέει. = m = + m( ) για µεταξύ των {, }, όπου m=. Για τη συνάρτηση =, µεταξύ των σηµείων ( =, = 4), βρίσκουµε την γραµµική παρεµβολή: 4 = + ( ) = + 3( ) = 3 για 7. Τάξη απείρου. Αν f() g() ( =, = ) και, τότε λέµε ότι το άπειρο του αριθµητή είναι: γνήσια µεγαλύτερης τάξης αν το όριο είναι γνήσια µικρότερης τάξης αν το όριο είναι της ίδιας τάξης αν το όριο είναι αριθµός διάφορος των {, }. Η τάξη απείρου των α { } αυξάνει όταν αυξάνει η δύναµη α>. (, ) και (, ) είναι η κλίση α. Η e έχει µεγαλύτερη τάξη απείρου από κάθε µε α>. α 3. Η ln έχει µικρότερη τάξη απείρου από κάθε µε α>. 4 5 5 4. Οι δύο συναρτήσεις: {ln + ln + + 5, } έχουν την ίδια τάξη απείρου, διότι αυτή καθορίζεται από τον προσθετικό όρο µε την µεγαλύτερη τάξη απείρου. 8. Τάξη µηδενικού. Αν f(), τότε λέµε ότι το µηδενικό του αριθµητή είναι: g() γνήσια µεγαλύτερης τάξης αν το όριο είναι γνήσια µικρότερης τάξης αν το όριο είναι της ίδιας τάξης αν το όριο είναι αριθµός διάφορος των {, }. Οι συναρτήσεις: {, e, sin,cos } έχουν όριο όταν. Για το λόγο τους βρίσκουµε: e e, sin cos, cos sin Εποµένως οι {e,, sin } έχουν στο = µηδενικό της ίδιας τάξης ενώ η cos έχει ανώτερης. 9.Αντίστροφες τριγωνοµετρικές. Ο τύπος αντίστροφης παραγώγου µας δίνει τις παρακάτω παραγώγους για τις αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις:. Αντίστροφο ηµίτονο: = arcsin = sin µε {, π / π / } arcsin = µε.αντίστροφη εφαπτοµένη: (,) (,4) arcsin / = arctan = tan µε: { < <+, π / < < π / } arctan = µε < <+ + arctan / (+ ) 8
. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Ασκήσεις. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:, log, ln( ),. Θεωρούµε την εξίσωση = + µε. Να βρεθεί η εξίσωση των µεταβολών, και να υπολογιστεί πόσο πρέπει να µεταβληθεί το από την τιµή = 4 ώστε η τιµή της συνάρτησης να ελαττωθεί κατά. Να επαναληφθεί για την εξίσωση = ln. 3. Να επαληθευτεί ο κανόνας αλυσωτής παραγώγισης για τις παρακάτω συνθέσεις: {f() = ln,g() = e } f g(), {z= ln, = + } z= z(), e, {z= ln, =, = t+ )} z= z(t) 4. Να υπολογιστεί το βήµα της ασυνέχειας της παραγώγου για τις συναρτήσεις: min{, }, ma{, } 5. Να γίνουν τα γραφήµατα των παρακάτω συναρτήσεων στο θετικό διάστηµα: e, e, ln, ln, ln+ αφού υπολογιστούν στο και στο + οι τιµές τους και οι παράγωγές τους (ως όρια). 6. Να βρεθούν οι γραµµικές προσεγγίσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο = ( ), / 3 (+ ), ln(+ ), 3 + + 7. Για κάθε µία από τις συναρτήσεις f() µε τα παρακάτω γραφήµατα, να βρεθούν στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων:. Το γράφηµα της µέσης τιµής Af() = f() /, δηλαδή της κλίσης της ακτίνας.. Το γράφηµα της παραγώγου Mf() = f (), δηλαδή της κλίσης της εφαπτόµενης ευθείας. Μπορείτε να βρείτε αντίστοιχους τύπους συναρτήσεων µε τα παρακάτω γραφήµατα? 8. Να βρεθεί ως αντίστροφη καθώς και µε πλεγµένη παραγώγιση η παράγωγος της συνάρτησης = () που ορίζεται πλεγµένα από την εξίσωση: = + + 9. Για κάθε µία από τις παρακάτω εξισώσεις να βρεθούν πλεγµένα οι παράγωγοι του ως προς και του ως προς, και να γίνει επαλήθευση. Να βρεθούν και τα γραφήµατα των εξισώσεων. 3 3 / + 3= 8, =, + = 3,( + ) = 3, + = 7. Να επαληθευτεί ο κανόνας σχετιζόµενων ρυθµών για τις παρακάτω παραµετρικές εξισώσεις: {= t, = 4t}, {= t, = t / 4}, {= 3 t, = t t+ } + 3αν. Θεωρούµε τη συνάρτηση: f() = αν Να επεκταθεί στο διάστηµα [,]µε πολυώνυµο του ελάχιστου βαθµού, έτσι ώστε να είναι: α) συνεχής, β) και παραγωγίσιµη στο =, γ) παραγωγίσιµη και στο =. Σε κάθε περίπτωση να γίνει και το σχετικό γράφηµα.. Θεωρούµε την εξίσωση = + µε, στο σηµείο (= 4, = 7) α. Να βρεθούν η µεταβολή και το διαφορικό: d, αν το µεταβληθεί από την τιµή = 4, κατά = d :{,.5,.}. Σε κάθε περίπτωση να υπολογιστεί και ο λόγος: / d β. Να βρεθούν η µεταβολή και το διαφορικό d, ώστε το να µεταβληθεί από την τιµή = 7 κατά = d : {,.5,.}. Σε κάθε περίπτωση να υπολογιστεί και ο λόγος / d 9