ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468
σ-άλγεβρα - Μέτρο Δεσμευμένη μέση τιμή Στοχαστικές διαδικασίες - Martingales
σ-άλγεβρα και Μέτρο σ-άλγεβρα Έστω Ω ένα μη κενό σύνολο. Μία κλάση υποσυνόλων F του Ω καλείται σ-άλγεβρα αν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: (i) Ω F. (ii) Αν Α F τότε και Α c F. (iii) Αν Α Α F (αριθμήσιμη οικογένεια υποσυνόλων του Ω) τότε και Το ζεύγος (Ω F ) καλείται μετρήσιμος χώρος. Αποδεικνύεται ότι αν F είναι σ- άλγεβρα τότε F και Α Α F A F Μέτρο (i) (ii ) Έστω ένα μη κενό σύνολο Ω και F μία σ-άλγεβρά του. Μία συνολοσυνάρτηση μ από το F στο [0 ] καλείται μέτρο αν ( ) 0 A ( i i A i i Η τριάδα (Ω F μ ) καλείται χώρος μέτρου ) i i i για κάθε ακολουθία ξένων ανά δύο συνόλων Α Α F Ai F
Εισαγωγή Η κατοχή πληροφορίας η οποία είναι πλήρης και ακριβής είναι βασική προϋπόθεση επιτυχίας για κάποιον που ασχολείται με χρηματοοικονομικά προβλήματα και εμπόριο κάθε είδους Κάποτε αποτελούσε πανάκριβο προϊόν η αγορά πληροφορίας από τους χρηματοοικονομικούς οργανισμούς ενώ σήμερα με το Internet ένα μεγάλο μέρος της αναγκαίας πληροφορίας είναι διαθέσιμο Είναι λοιπόν λογικό να υποθέσουμε ότι η πληροφορία φθάνει σε όλους με την ίδια πιθανότητα και ότι οι διαφορές εντοπίζονται περισσότερο στον τρόπο χρήσης της
Εισαγωγή Στην πραγματικότητα βέβαια τα πράγματα είναι αρκετά πιο περίπλοκα Η ικανότητα αποθήκευσης της πληροφορίας η οργάνωση της και η γρήγορη πρόσβαση σε αυτήν είναι ένας από τους βασικούς παράγοντες σωστής αξιοποίησής της Με το πέρασμα του χρόνου συνεχώς νέα πληροφορία καταφθάνει σε όλους τους οικονομικούς παράγοντες οι οποίοι συνεχώς επαναπροσαρμόζουν τις στρατηγικές και τις αποφάσεις τους
Εισαγωγή Οι χώροι πιθανοτήτων και οι μαθηματικοί μηχανισμοί που μας παρέχει η δεσμευμένη ή υπό συνθήκη μέση τιμή είναι ισχυρά όπλα για την διαχείριση στατικών καταστάσεων στις οποίες συνυπάρχει σε μεγάλο βαθμό η τυχαιότητα Ισοδύναμα ισχυρή σε αυτές τις περιπτώσεις είναι και η ιδέα του filtration Για την διαχείριση δυναμικών καταστάσεων που περιέχουν σε μεγάλο βαθμό τυχαιότητα η οποία αναδεικνύεται μέσα στον χρόνο χρειαζόμαστε την θεωρία των Martingales Θα ξεκινήσουμε με κάποια χρήσιμα αποτελέσματα πάνω στην δημευμένη μέση τιμή και στην συνέχεια θα αναπτύξουμε την θεωρία των Martingales
Διακριτή Περίπτωση Έστω Χ μια τ.μ. της οποίας η μέση τιμή είναι πεπερασμένη. Είναι γνωστό ότι Pr Είναι επίσης γνωστό ότι η δεσμευμένη πιθανότητα δύο ενδεχομένων Α και Β δίνεται από την σχέση Pr A B Pr A B Pr B Σε πάρα πολλές περιπτώσεις όταν έχουμε μια τ.μ. Χ συμβαίνει να έχουμε μια μερική πληροφόρηση για αυτήν η οποία έχει την μορφή μια άλλης τ.μ. Υ η οποία μεταφέρει κάποια πληροφορία για την Χ
Διακριτή Περίπτωση Στην περίπτωση αυτή ορίζουμε την δεσμευμένη ή υπό συνθήκη κατανομή της Χ δεδομένου της Υ Ανάλογα ορίζεται και η δεσμευμένη συνάρτηση κατανομής της Χ δεδομένου της Υ Έτσι είμαστε σε θέση να ορίσουμε την δεσμευμένη ή υπό συνθήκη μέση τιμή της Χ δεδομένης της Υ Y Y f Y Y Y F ) ( Pr Pr Pr ) ( Y Y f Y Pr Pr ) ( Y f Y Y ) ( Pr
Διακριτή Περίπτωση Τι γίνεται όμως αν θεωρήσουμε την Y Σε αυτήν την περίπτωση η δεσμευμένη μέση τιμή παίρνει ένα σύνολο τιμών ανάλογων των τιμών που μπορεί να πάρει η τ.μ. Υ είναι δηλαδή μια τ.μ. Η πιθανότητα Pr Y λέγεται από κοινού κατανομή των τ.μ. Χ και Υ και συμβολίζεται με f ( ) Pr Y Μπορούμε να δείξουμε ότι f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) *
Διακριτή Περίπτωση Από τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει ότι και Το πρόβλημα στις παραπάνω σχέσεις είναι ότι οι από κοινού κατανομές στην πράξη είναι δύσκολο να είναι γνωστές και μερικές φορές η ύπαρξη τους είναι πρόβλημα Y f f f f f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Y f f f Y ) ( ) ( ) (
Διακριτή Περίπτωση Πρόταση : Αν Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τ.μ τότε Y * Θεώρημα : Αν Χ και Υ είναι διακριτές τ.μ τότε Y
Συνεχής Περίπτωση Έστω Χ και Υ δύο συνεχείς τ.μ. και έστω f() είναι η από κοινού πυκνότητα πιθανότητας. Έστω επίσης f () η πυκνότητα πιθανότητας της Υ. Κατά αναλογία με την διακριτή περίπτωση ορίζεται η δεσμευμένη ή υπό συνθήκη πυκνότητα πιθανότητας της Χ δεδομένης της Υ= ως εξής f ( ) f ( ) f ( ) με f ( ) f ( ) d
Συνεχής Περίπτωση Αναλόγως πάλι με την διακριτή περίπτωση μπορούμε να ορίσουμε την δεσμευμένη ή υπό συνθήκη μέση τιμή της Χ δεδομένης της Υ ως εξής: Y f ( ) d Θεώρημα : Αν Χ και Υ είναι συνεχείς τ.μ τότε Y
Εφαρμογές Θεώρημα 3: Έστω Χ Χ Χ Ν ισόνομες τ.μ. των οποίων το πλήθος Ν είναι επίσης μια τ.μ. ανεξάρτητη από τις Χ Χ Χ Ν τότε Παράδειγμα : N i i N Μια χρηματιστηριακή εταιρία έχει έναν αριθμό από Ν options τα οποία λήγουν σε μια ημέρα. Ο αριθμός των options που λήγουν είναι μια τ.μ. με μέση τιμή 00. Ένα option έχει πιθανότητα 0.6 να έχει κέρδος 0 για την χρηματιστηριακή εταιρία και πιθανότητα 0.4 να έχει μια ζημία 5. Να βρεθεί ποιο είναι το αναμενόμενο κέρδος της χρηματιστηριακής εταιρίας από τα options σε μια ημέρα.
Εφαρμογές Λύση: Έστω i μια τ.μ. που εκφράζει το κέρδος της χρηματιστηριακής εταιρίας από το i option. Τότε έχουμε: 00.6 50.4 6 i Αφού Ν είναι ο αριθμός των options έχουμε ότι το συνολικό κέρδος θα είναι: Το Ν όμως είναι μια τ.μ. και κατά συνέπεια έχει νόημα να υπολογίσομε μόνο το αναμενόμενο κέρδος από το Θεώρημα 3 : N 006 600 N N N i i
Εφαρμογές Θεώρημα 4: Έστω Ν το πλήθος ανεξάρτητων δοκιμών Bernouli με πιθανότητα επιτυχίας p. Έστω επιπλέον ότι το Ν είναι μια τ.μ. Εάν Χ είναι ο αριθμός των επιτυχιών τότε: Παράδειγμα : N p Σε μια χρηματιστηριακή εταιρία οι πελάτες οι οποίοι ζητούν πληροφορίες για παράγωγα φθάνουν σύμφωνα με την κατανομή Poisson με παράμετρο ανά ώρα. Η χρηματιστηριακή εταιρία παραμένει ανοικτή ώρες ακριβώς. Η πιθανότητα ένας πελάτης που ζητά πληροφορίες για παράγωγα να αγοράσει ένα από αυτά είναι 0.333. Να βρεθεί ο αναμενόμενος αριθμός παραγώγων που πουλά η εταιρία ημερησίως.
Εφαρμογές Λύση: Έστω Χ ο αριθμός παραγώγων που πουλά η εταιρία (τ.μ) και Ν ο αριθμός των πελατών που ζητούν πληροφορίες για τα παράγωγα. Ένας πελάτης που ζητά πληροφορίες για παράγωγα θα αγοράσει ένα από αυτά με πιθανότητα p = 0.333 ή δεν θα αγοράσει με πιθανότητα -p. Επομένως για κάθε πελάτη έχω μια δοκιμή Bernouli. Αν μια τ.μ. έχει κατανομή Poisson με παράμετρο λ τότε η μέση τιμή της είναι ίση με την παράμετρο λ. Άρα ο αναμενόμενος αριθμός πελατών σε μια ημέρα που ζητά πληροφορίες για παράγωγα θα είναι : =44 πελάτες Σύμφωνα με το Θεώρημα 4 ο αναμενόμενος αριθμός παραγώγων που θα πουλήσει σε μια ημέρα η χρηματιστηριακή εταιρία θα είναι N p 440.333 48
Εφαρμογές Θεώρημα 5: Έστω Ν το πλήθος ανεξάρτητων δοκιμών Bernouli με πιθανότητα επιτυχίας p. Έστω επιπλέον ότι η πιθανότητα επιτυχία p είναι μια τ.μ. Εάν Χ είναι ο αριθμός των επιτυχιών τότε: N p
Εφαρμογές Θεώρημα 6: Θεωρούμε ότι εκτελούνται ανεξάρτητες δοκιμές Bernouli με πιθανότητα επιτυχίας p μέχρι να εμφανιστούν το πλήθος συνεχόμενες επιτυχίες. Έστω N η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των δοκιμών Bernouli μέχρι την εμφάνιση συνεχόμενων επιτυχιών. Τότε: Παράδειγμα 3: p p p N Θεωρούμε το διωνυμικό μοντέλο τιμολόγησης μιας μετοχής. Δηλαδή έστω S 0 η τιμή της στο χρόνο 0. Στο χρόνο η τιμή της είτε θα ανέβει (επιτυχία) είτε θα πέσει (αποτυχία). Έστω Χ η τ.μ. που εκφράζει το διωνυμικό πείραμα άνοδο 0 πτώση
Εφαρμογές Υποθέτουμε ότι στο παραπάνω διωνυμικό πείραμα η πιθανότητα επιτυχίας είναι p και ίση με 0.666. Να βρεθεί ο αναμενόμενος αριθμός των ημερών που χρειάζονται έτσι ώστε η μετοχή να εμφανίσει άνοδο για 5 συνεχόμενες ημέρες. Λύση: Έστω Ν 5 η τ.μ. που εκφράζει τον ζητούμενο αριθμό ημερών. Από το θεώρημα 6 N 5 p p p 3 p 4 p 5 0.666 0.444 0.95 0.97 0.3 9.85
Εφαρμογές Γενικά η μέση τιμή μιας ποσότητας αποκτά πληρέστερο νόημα όταν συνοδεύεται και από την διακύμανσή της Θεώρημα 7: Έστω Χ Χ Χ Ν ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. των οποίων το πλήθος Ν είναι επίσης μια τ.μ. ανεξάρτητη από τις Χ Χ Χ Ν τότε Παράδειγμα 4: N Var i i NVar VarN Στο παράδειγμα να βρεθεί η διακύμανση του κέρδους της χρηματιστηριακής εταιρίας από τα options σε μια ημέρα. Είναι δεδομένο ότι η διακύμανση των options που λήγουν σε μια ημέρα είναι μια τ.μ. με διακύμανση 6.5.
Εφαρμογές Λύση: Έχουμε ότι 0 0.6 5 0.4 40 90 330 i άρα Var i i 330 6 330 36 94 i Σύμφωνα με το θεώρημα 7 έχουμε ότι N Var i i N Var VarN 60094 3306.5 76400 06.5 7846.5
Εφαρμογές Μια ακόμα πολύ σημαντική χρήση της δεσμευμένης μέσης τιμής και πιθανότητας είναι στον υπολογισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α. Ορίζουμε την τ.μ. Χ η οποία παίρνει την τιμή αν πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α και την τιμή 0 αν όχι. Από τον ορισμό της μέσης τιμής μιας τ.μ. έχουμε ότι PrA 0PrA PrA Επίσης για οποιαδήποτε τ.μ. Υ έχουμε ότι Είναι επίσης γνωστό ότι YPrA Y 0PrA Y PrA Y Y PrY Y Y PrY d
Εφαρμογές Από όπου προκύπτει Προκύπτουν λοιπόν δύο ακόμα χρήσιμα θεωρήματα: Θεώρημα 8: Pr A Pr Pr A Y PrY A Y PrY Έστω Χ και Υ ανεξάρτητες τ.μ. Οι οποίες είναι συνεχείς με πυκνότητες πιθανότητας f () d και f Y (). Τότε: Θεώρημα 9: Pr Y F ( ) fy ( ) d Έστω Χ και Υ ανεξάρτητες τ.μ. Οι οποίες είναι συνεχείς με πυκνότητες πιθανότητας f () και f Y (). Τότε αν Ζ = Χ + Υ: F Z ( z) F ( z ) fy ( ) d
Ιδιότητες. Αν Χ και Υ είναι δύο τ.μ. και g () και g () είναι δύο συναρτήσεις της Χ τέτοιες ώστε τότε για κάθε α α IR έχουμε: g ) και g ( ) ( a g ) a g ( ) Y a g ( ) Y a g ( ) Y (. Αν Χ και Υ είναι δύο ανεξάρτητες τ.μ. τότε Y 3. Αν Υ είναι τ.μ. τότε (i) (ii) [αy] = α για κάθε α IR [f(y)y] = f(y)
Ιδιότητες 4. Αν Χ και Υ είναι δύο τ.μ. Y Y Y Y 5. Αν Χ Χ και Υ είναι τρεις τ.μ. και g( ) και g( ) είναι δύο συναρτήσεις των Χ Χ τέτοιες ώστε τότε για κάθε α α IR έχουμε: 6. Αν g : IR IR και Χ είναι τ.μ. τ.ω. τότε ενώ αν g ) και g( ) ( a g ) a g( ) Y a g( ) Y a g( ) Y ( g( ) g g( ) και g ( ) 0 g( ) και g ( ) τότε g( ) g 0
Ορισμός : Δεσμευμένη Μέση Τιμή Ιδιότητες Μια τ.μ. Υ θα λέμε ότι καθορίζεται από μια άλλη τ.μ. Χ αν είναι μια συνάρτηση της Χ. Αν η τ.μ. Υ καθορίζεται από την Χ τότε αν Ζ είναι μια τ.μ. (i) (ii) [YZ]=Y[Z] Ε[ΥΧ]=Υ Ορισμός : Έστω Χ Υ τ.μ. θα λέμε ότι η Χ είναι υπό συνθήκη ανεξάρτητη της Υ αν ισχύει η σχέση: Y Ο όρος υπό συνθήκη ανεξαρτησία χρησιμοποιείται γιατί είναι κάτι το ενδιάμεσο από το αν οι τ.μ. ήταν ανεξάρτητες και ασυσχέτιστες ( Cov(Y) = 0). Υπό συνθήκη ανεξαρτησία: Cov(g(Y)) = 0
Περισσότερες μεταβλητές Ορισμός 3: Έστω Χ Χ Χ n διακριτές τ.μ. τότε ορίζουμε την δεσμευμένη ή υπό συνθήκη μέση τιμή της τ.μ. Χ δεδομένων των Χ Χ Χ n ως: Και πάλι η είναι μια τ.μ. Ορισμός 4: Έστω Χ Χ Χ n συνεχείς τ.μ. τότε ορίζουμε την δεσμευμένη ή υπό συνθήκη μέση τιμή της τ.μ. Χ δεδομένων των Χ Χ Χ n ως: n n n n n f n Pr n IR n n n d f n
Περισσότερες μεταβλητές Θεώρημα 0: Έστω Χ Χ Υ τρεις τ.μ. τότε: α) β) Y Y Y Y
Περισσότερες μεταβλητές Παρατήρηση: Στο θεώρημα 0 για το α) μέρος αν συμβολίσουμε με Ι το σύνολο της πληροφορίας που περιέχεται στην τ.μ. Χ και Ι το σύνολο της πληροφορίας που περιέχεται στις τ.μ. Χ Χ τότε προφανώς Ι Ι. Δηλαδή οι σχέσεις α) και β) του θεωρήματος μπορούν να γενικευτούν: Y I I Y I αν I I Y I I Y I αν I I
Περισσότερες μεταβλητές Πρόταση : Αν Χ τ.μ. με Χ > 0 και Υ μια άλλη τ.μ. τότε: Y 0 Θεώρημα : Έστω Χ Χ Χ n μια ακολουθία τ.μ. οι οποίες είναι μη αρνητικές. Επιπλέον έστω ότι η ακολουθία αυτή συγκλίνει σ.β. στην τ.μ. Χ δηλαδή: Τότε αν Υ είναι μια τ.μ. ισχύει ότι η ακολουθία των τ.μ. συγκλίνει σ.β. στην τ.μ. Y δηλαδή: Pr( lim n n n Y ) Pr( lim n Y Y) n