Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Ν Βαθμών Ελευθερίας Μηχανικά δυναμικά συστήματα πολλών Β.Ε. Μοντελοποίηση μέσω διακριτών στοιχείων Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων μέσω της μεθόδου Lagrange Ιακωβιανοί πίνακες Μητρώα μάζας, ελαστικότητας, απόσβεσης Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων Παραδείγματα
Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας 1. Μοντελοποίηση Αναγνώριση διακριτών στοιχείων Επιλογή βαθμών ελευθερίας 2. Υπολογισμός κινηματικών παραμέτρων Θέσεις & διευθύνσεις Γραμμικές και γωνιακές ταχύτητες 3. Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων
I) Μοντελοποίηση
Μοντελοποίηση Συστημάτων με Πολλούς Β.Ε. Το ίδιο σύστημα μπορεί να περιγραφεί με πολλά μοντέλα Συνήθως επιλέγεται το πιο απλό μοντέλο που μπορεί να περιέχει/περιγράψει την αναγκαία πληροφορία Ν=1 Ν=2 Ν=4
Μοντελοποίηση 1. Αναγνώριση διακριτών στοιχείων Αδράνεια, δυσκαμψία, απόσβεση, εξωτερικές δυνάμεις 2. Επιλογή βαθμών ελευθερίας q Περιγράφουν πλήρως την κινηματική του συστήματος Στρατηγική επιλογή Αναγνώριση και απαληφή περιορισμών
II) Κινηματική
Κινηματική 1. Υπολογισμός συντεταγμένων θέσεων ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των Β.Ε. q Σημειακή μάζα Θέση r (q) Στερεό σώμα (2D κίνηση) Κέντρο βάρους r G (q), Διεύθυνση θ q Ελατήρια/αποσβεστήρες Σχετική θέση δr (q) των δύο ακροδεκτών κάθε στοιχείου Εξωτερικές δυνάμεις/ροπές Θέση r F (q) όπου ασκείται η εξωτερική δύναμη F Διεύθυνση θ T q του σώματος όπου ασκείται η ροπή T
Κινηματική 2. Υπολογισμός των γραμμικών/γωνιακών ταχυτήτων θέσεων ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των q και q Η ταχύτητα u (q, q ) της θέσης r (q) μπορεί να γραφεί μέσω ενός Ιακωβιανoύ πινάκων J (q): u = dr (q) dt = J (q) q όπου J q = dr (q) dq Ιακωβιανός πίνακας της θέσης r (q) ως προς τους Β.Ε. q
Κινηματική 2. Ιακωβιανοί πίνακες ενδιαφέροντος Ταχύτητα θέσης : u = dr dt = J (q) q Γωνιακή ταχύτητα στερεού σώματος σε 3 διαστάσεις: Γωνιακή ταχύτητα ω δεν είναι παράγωγος κάποιας γωνίας! ω = J ω (q) q Γωνιακή ταχύτητα στερεού σώματος σε 2 διαστάσεις: ω = θ = J θ (q) q
Σχετική θέση ακροδεκτών ελατηρίου/αποσβεστήρα Έστω «1» και «2» οι ακροδέκτες ενός ελατηρίου/αποσβεστήρα Η σχετική θέση των ακροδεκτών μπορεί να επιλεγεί με δύο τρόπους Επιλογή επιρεάζει την φορά των αντίστοιχων δυνάμεων m 1 u 1 c m 2 u 2 Επιλογή 1 Επιλογή 2 δr c = x 1 x 2 f c = c u 1 u 2 = c x 1 x 2 δr c = x 2 x 1 f c = c u 2 u 1 = c x 2 x 1 m 1 f c f c f c f c f c f m m c 1 1 2 2 1 2 c c f c f c m 2
III) Μέθοδος Lagrange
Μέθοδος Lagrange (κλασσική) Η δυναμική εξίσωση για τον j-οστό Β.Ε. προκύπτει ως: d dt T q, q q j T q, q q j + V q q j = ξ j, j = 1,2,, N T(q, q ) V q Κινητική ενέργεια συστήματος Δυναμική ενέργεια συστήματος γενικευμένη δύναμη Β.Ε. j N Force ξ j = ( r F ) T F q j =1 N Torque + ( ω ) T Τ q j =1 j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού J F (q) της θέσης r F (q) όπου ασκείται η δύναμη F ως προς τους Β.Ε. q j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού πίνακα J ω (q) της γωνιακής ταχύτητας του σώματος που ασκείται η ροπή Τ
Μέθοδος Lagrange: Μεθοδολογία d dt T q, q q j T q, q q j + V q q j = ξ j, j = 1,2,, N 1. Υπολογισμός κινητικής ενεργείας T q, q, δυναμικής ενέργειας V q, και Ιακωβιανών J (q) για τις εξωτερικές δυνάμεις Με βάση τη κινητική/κινηματική του συστήματος 2. Για κάθε βαθμό ελευθερίας q j : 1. Πρώτος όρος: παραγώγηση T q, q ως προς q j. Παραγώγηση αποτελέσματος ως προς χρόνο t. 2. Δεύτερος όρος: παραγώγηση T q, q ως προς q j. 3. Τρίτος όρος: παραγώγηση V q ως προς q j. 4. Τέταρτος όρος: άθροισμα εσωτερικών γινόμένων των j-ιοστών στήλων των Ιακωβιανών J F (q) με τις F και των j-ιοστών στήλων των ιακωβιανών J ω (q) με τις Τ.
Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή) Αντί παραγώγισης ως προς κάθε Β.Ε. q j ξεχωριστά, παραγώγιση ως προς το διάνυσμα q των Β.Ε. d dt T q T q + V q = ξ d dt d dt T q 1 T q Ν T q 1 T q Ν V q 1 V q Ν ξ 1 ξ N Δυνάμεις αδράνειας Μη γραμμικές δυνάμεις Δυνάμεις ελαστικότητας Δυνάμεις βαρύτητας Δυνάμεις απόσβεσης Εξωτερικές δυνάμεις/ροπές
Κινητική Ενέργεια Η κινητική ενέργεια Τ q, q ενός συστήματος ισούται με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών Τ q, q όλων των στοιχείων αδράνειας Τ q, q = Τ(q, q ) Κινητική ενέργεια -ιοστού στοιχείου αδράνειας (3D): Τ = 1 2 m T u G ug + ω T I ω = = 1 2 q T m T J G JG T + J ω I J ω q Σε 2D κίνηση: Μ q Τ = 1 2 q T m T J G JG + I T J θ Jθ q
Μητρώο Μάζας Η κινητική ενέργεια μπορεί να γραφτεί ως Τ q, q = 1 2 q T Μ(q) q ο συμμετρικός θετικά ορισμένος Ν Ν πίνακας Μ(q) είναι το μητρώο μάζας και υπολογίζεται αναλυτικά ως: Τ q, q = Τ = 1 2 q T { m T J G JG T + J T I J T } Μητρώο μάζας Μ(q) ενός συστήματος = άθροισμα μητρώων μάζας M(q) κάθε στοιχείου αδράνειας q Μ q Μ q = M(q) M(q) = m T J G JG T + J T I J T
Δυναμική Ενέργεια Η Δυναμική ενέργεια V q ενός συστήματος ισούται με το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών V q όλων των στοιχείων ελαστικότητας/δυσκαμψίας V q = V lnear q +V gravty q Δυναμική ενέργεια λόγω γραμμικών ελατηρίων V lnear q = { Vlnear(q)} Δυναμική ενέργεια λόγω βαρύτητας V gravty q = { Vgravty(q)} V lnear (q) = 1 2 ( k T δr k δr k ) Vgravty (q) = m g z (q)
Μητρώο Ελαστικότητας Η δυναμική ενέργεια V lnear (q) λόγω γραμμικών ελατηρίων συνήθως μπορεί να γραφεί ως: ο συμμετρικός θετικά ημιορισμένος Ν Ν πίνακας K είναι το μητρώο ελαστικότητας και υπολογίζεται ως εξής: V lnear q = Vlnear V lnear q = 1 2 qt K q = 1 2 k T δr k δr k = 1 2 qt k T J δr J δr Μητρώο Κ ενός συστήματος = άθροισμα μητρώων ελαστικότητας Κ γραμμικών στοιχείων ελαστικότητας Κ q K = K K = k T J δr J δr
Γενικευμένες Δυνάμεις Βαρύτητας Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας λόγω δυναμικής ενέργειας βαρύτητας V gravty (q): ξ gravty = V gravty q q Ισούται με άθροισμα γενικευμένων δυνάμεων σε κάθε στοιχείου μάζας ξ gravty = ξ gravty = m Vgravty q g z q q q = m = ξgravty T g J z Ιακωβιανός πίνακας της z συντεταγμένης του Κ.Β. της μάζας ως προς τους Β.Ε. q
Γενικευμένες δυνάμεις εξωτερικών δυνάμεων Γενικευμένες δυνάμεις εξωτερικών δυνάμεων/ροπών: N Force ξ = J F T F =1 N Torque + J ω, T Τ =1 Ιακωβιανός πίνακας της θέσης r F όπου ασκείται η δύναμη F Ιακωβιανός πίνακας της γωνιακής ταχύτητας του σώματος όπου ασκείται η ροπή Τ Στην ειδική περίπτωση εξωτερικών δυνάμεων που αντιστοιχούν σε γραμμικά στοιχεία αποσβεσης, οι αντίστοιχες γενικευμένες δυνάμεις υπολογίζονται μέσω του μητρώου απόσβωσης
Δυνάμεις Απόσβεσης Δύναμη σε γραμμικό αποσβεστήρα u 1 u 2 u 1 u 2 m 1 m 2 m 1 f c f c m 2 c f c = c u 1 u 2 = c δrc = c c J δr (q) q Αντίστοιχες γενικευμένες δυνάμεις ξ c = J T 1 ( f c ) + J T 2 f c = (J T 1 J T c 2 ) c J δr (q) q ξ c = c J δr (q) T c c J δr (q) q
Μητρώο Απόσβεσης Γενικευμένες δυνάμεις λόγω γραμμικών αποσβεστήρων: ξ damp q, q = ξ c όπου ο συμμετρικός Ν Ν πίνακας C(q) είναι το μητρώο απόσβεσης Ν damp C q = C(q) =1 Ν damp =1 Ν damp = { J δr =1 = C(q) q T c J δr } Το μητρώο απόσβεσης C ενός συστήματος = άθροισμα μητρώων απόσβεσης C κάθε γραμμικού στοιχείου απόσβεσης
Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή Μορφή) d dt T q T q + V q = ξ d dt T q = d dt Μ q q = Μ q q + d dt Μ q q T q = 1 (q T Μ(q) q ) 2 q V q q = V lnear q q + V gravty q q = K q ξ gravty N Force ξ = C q + J T F =1 N Torque + J T, T Τ =1
Μη Γραμμικές Δυνάμεις Πρώτος και ο δεύτερος όρος συνεισφέρουν μη γραμμικές αδρανειακές δυνάμεις (φυγοκεντικές, Corols) ξ nonln q, q dμ q = dt q + 1 2 (q T Μ(q) q ) q όπου 1 (q T Μ(q) q ) 2 dμ q dt q q = ( N J=1 { M q q j }) q j = 1 2 q T Μ q 1 q 1 2 q T Μ q N q T Μ q j = Μ 11 q Μ 1N q q j q j Μ N1 q Μ NN q q j q j
Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή Μορφή) Συνολικά (Ν βαθμοί ελευθερίας) N Force Μ q q + C q q + K q = ξ grav + ξ nonln + J T F =1 N Torque + J T, T Τ =1 Δυνάμεις αδράνειας Δυνάμεις απόσβεσης Δυνάμεις ελαστικότητας Δυνάμεις βαρύτητας Μη γραμμικές δυνάμεις Εξωτερικές δυνάμεις Εξωτερικές ροπές Στην περίπτωση συστήματος 1 Β.Ε. η αντίστοιχη δυναμική εξίσωση είναι: m x + c x + k x = mg + f t
Παράδειγμα 1: Ταλαντώσεις στο φορτίο γερανογέφυρας λόγω της κίνησης της γερανογέφυρας
Παράδειγμα 1: Μοντελοποίηση Πλάγια όψη x F(t) g Μ c c T θ L m q = x θ
Παράδειγμα 1: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος M = x 0 Τ r G m r G = Θέση x + Κ.Β. L sμάζας θ L m c Τ θ c T L m = x + L s θ L c θ Τ z G δr c = x δθ ct = 2 θ cτ 1 θ cτ = θ r F = x Θέση Κ.Β. μάζας Μ z συντεταγμένη θέσης Κ.Β. μάζας m Σχετική θέση ακροδεκτών c Σχετική γωνία ακροδεκτών c Τ 0 Τ Θέση όπου ασκείται η δύναμη F Z x F(t) g c Μ θ m X q = x θ
Παράδειγμα 1: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των βαθμών ελευθερίας M r G = x 0 Τ m r G = x + L s θ L c Τ θ m z G = L c θ δr c = x δθ ct = 2 θ cτ 1 θ cτ = θ Z x F(t) c c T Μ θ g X L m q = x θ r F = x 0 Τ s θ sn (θ) c θ cos (θ)
Παράδειγμα 1: Κινηματική Υπολογισμός Ιακωβιανών πινάκων για τις θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος M J G = 1 0 0 0 Z x F(t) Μ g m J G = 1 L c θ 0 L s θ m J z = 0 L s θ c c T θ L m X c J δr = 1 0 ct = 0 1 J δθ J F = 1 0 0 0 q = x θ
Παράδειγμα 1: Μητρώα Αδράνειας Μητρώα αδράνειας στοιχείων MM q = Μ ΜJ T G Μ J G = M 0 0 Z x F(t) c c T Μ L X g m m M q = m J T G m J G = m 1 L c θ L 2 θ m Μητρώο αδράνειας συστήματος q = x θ M q = m M q + M M q = M + m m L c θ m L 2
Παράδειγμα 1: Μητρώα Ελαστικότητας Μητρώα ελαστικότητας στοιχείων Z x F(t) Μ g Το σύστημα δεν έχει γραμμικά στοιχεία ελαστικότητας! c c T L X Μητρώοελαστικότητας συστήματος θ m K = 0 q = x θ
Παράδειγμα 1: Δυνάμεις Βαρύτητας Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας στοιχείων μάζας Z x F(t) Μ g mξ gravty = m g mj T z = m g 0 L s θ c c T L X Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας συστήματος θ m q = x θ ξ gravty = mξ gravty = 0 m g L s θ
Παράδειγμα 1: Μητρώα Απόσβεσης Μητρώα απόσβεσης στοιχείων c C = cj T δr c c J δr = c 0 0 0 ct C = ct T J δr ct ct J δr = 0 0 0 c T Z x F(t) c c T Μ θ L m X g Μητρώο απόσβεσης συστήματος q = x θ C = c C + ct C = c 0 0 c T
Παράδειγμα 1: Εξωτερικές Δυνάμεις/Ροπές Γενικευμένες δυνάμεις λόγω εξωτερικών δυνάμεων/ροπών Z x F(t) Μ g ξ = MJ T F F = 1 0 0 0 F 0 = F 0 c c T θ L m X H F ασκείται κατά τον άξονα x q = x θ
Παράδειγμα 1: Μη γραμμικές δυνάμεις M q = M + m m L c θ m L 2 Z x F(t) Μ g c c T θ L m X dμ q ξ nonln q, q = dt = m L s θ θ 2 0 q + 1 q T Μ q q 2 q q = x θ
Παράδειγμα 1: Δυναμικές Εξισώσεις Συνολικά, οι εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν για τους 2 Β.Ε. Είναι: Z x F(t) g Ροπή αδράνειας μάζας m σε απόσταση L M + m m L c θ x m L 2 θ = + c 0 c T x θ 0 m g L s θ + m L s θ θ 2 0 + F(t) 0 c c T Μ θ X L m q = x θ Δύναμη επαναφοράς εκκρεμούς
Παράδειγμα 2: Ταλάντωση στην κεφαλή σκληρού δίσκου
Παράδειγμα 2: Μοντελοποίηση κάτοψη T(t) I L k θ δ c T q = θ δ Η ελαστικότητα στην κεφαλή (μάζα m, μήκος L) μοντελοποιείται σαν καμπτικό ελατήριο k. Η μάζα της κεφαλής μοντελοποιείται ως δύο σημειακές μάζας m/2. Η πρώτη βρίσκεται επί τον άξονα περιστροφής και συνεισφέρει στην αδράνεια Ι επί του άξονα περιστροφής. Η δεύτερη σημειακή μάζα θεωρείται ότι βρίσκεται σε απόσταση L από τον άξονα. Η στροφική απόκριση c T είναι λόγω τριβών κατά την περιστροφή του άξονα. Η εξωτερική ροπή T(t) ασκείται από τον κινητήρα που ελέγχει την κεφαλή
Παράδειγμα 2: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος I θ = θ m r G Διεύθυνση αδράνειας Ι = L c θ δ s θ L s θ + δ c θ Θέση Κ.Β. μάζας m T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ δr k = Σχετική δ θέση ακροδεκτών k δθ ct = 2 θ cτ 1 θ cτ = θ Σχετική γωνία ακροδεκτών c Τ θ Τ = θ Διεύθυνση στερεού σώματος (αδράνειας Ι) όπου ασκείται η ροπή Τ
Παράδειγμα 2: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των βαθμών ελευθερίας Ι θ = θ m r G = L c θ δ s θ L s θ + δ c θ T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ δr k = δ 2 1 δθ ct = θ cτ θ cτ = θ θ Τ = θ s θ sn (θ) c θ cos (θ)
Παράδειγμα 2: Κινηματική Υπολογισμός Ιακωβιανών πινάκων για τις θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος I J θ = 1 0 T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ m J G = L s θ δ c θ s θ L c θ δ s θ c θ k J δr = 0 1 ct J δθ = 1 0 J T = 1 0
Παράδειγμα 2: Μητρώα Αδράνειας Μητρώα αδράνειας στοιχείων ΙM q = Ι Ι T J θ Ι Jθ = I 0 0 m M q = m mj T G m J G = m L2 + δ 2 L 1 T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ Μητρώο αδράνειας συστήματος M q = m M q + Ι M q = Ι + m (L2 + δ 2 ) m L m
Παράδειγμα 2: Μητρώα Ελαστικότητας Μητρώα ελαστικότητας στοιχείων k K = k k T J δr k J δr = 0 0 k T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ Μητρώο ελαστικότητας συστήματος K = k K = 0 0 k
Παράδειγμα 2: Δυνάμεις Βαρύτητας Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας στοιχείων μάζας Στο σύστημα η βαρύτητα δεν επιδρά στις δυναμικές εξισώσεις επειδή καμία μάζα δεν κινείται κατά τον άξονα της βαρύτητας z T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας συστήματος ξ gravty = 0
Παράδειγμα 2: Μητρώα Απόσβεσης Μητρώα απόσβεσης στοιχείων ct C = ct T J δr ct ct J δr = c T 0 0 0 T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ Μητρώο απόσβεσης συστήματος C = ct C = c T 0 0 0
Παράδειγμα 2: Εξωτερικές Δυνάμεις/Ροπές I T 1 ξ = J θ Τ = 0 Τ = Τ 0 T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ
Παράδειγμα 2: Μη γραμμικές δυνάμεις M q = Ι + m (L2 + δ 2 ) m L m T(t) Y I c T L k θ δ X q = θ δ ξ nonln q, q dμ q = dt = 2 μ δ θ δ m δ θ 2 q + 1 (q T Μ(q) q ) 2 q
Παράδειγμα 2: Δυναμικές Εξισώσεις Συνολικά, οι εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν για τους 2 Β.Ε. Είναι: T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ Ι + m (L 2 + δ 2 ) + 0 0 θ k δ m L m θ δ + c T 0 0 = 2 m δ θ δ m δ θ 2 θ δ + T(t) 0
Παράρτημα
Παράρτημα: Ιακωβιανός Πίνακας Παράγωγος ενός N 1 διανύσματος r ως προς M 1 διάνυσμα q είναι ο N M πίνακας J (Ιακωβιανός) Τα στοιχεία του r είναι συνάρτηση του q Το στοιχείο J(, j) είναι η μερική παράγωγος του -οστού στοιχείου του r ως προς το j-οστό στοιχείο του q r q = r 1 q f N q r 1 (q) q 1 r 1 (q) q M q = q 1 q M J = dr(q) dq = r N (q) q 1 r (q) q j r N (q) q M
Παράρτημα: Ιακωβιανός Πίνακας Στην δυναμική μηχανικών συστημάτων: r είναι η θέση r ενός σημείου ενδιαφέροντος και q είναι οι Β.Ε. Η αντίστοιχη ταχύτητα r μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση του q με μέσω του J (κανόνας αλυσίδας) u = r = dr (q) dt = r (q) q dq dt = J (q) q O Ιακωβιανός πίνακας J (q) περιγράφει πως η ταχύτητα r της θέσης εξαρτάται από την χρονική μεταβολή των Β.Ε. q.