ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν θεωρητικοί λόγοι για την υιοθέτηση ενός προσοµοιώµατος αλλά θα πρέπει να ελεγχθεί η ισχύς του. Η ισχύς µιας υποθέσεως µπορεί να ελεγχθεί είτε γραφικά είτε ποσοτικά. I. Σύγκριση ιστογραµµάτων. Πιθανοτικές κλίµακες Έλεγχος ροπών ανωτέρας τάξεως (ήδη οι δύο πρώτες ροπές θα ικανοποιούνται µιας και από εκεί έχουµε υπολογίσει τις παραµέτρους). Πάντως εποπτικότερη είναι η σύγκριση: είτε του ιστογράµµατος µε την θεωρητική συνάρτηση κατανοµής (Σχήµα ) είτε του αθροιστικού ιστογράµµατος µε την θεωρητική αθροιστική συνάρτηση κατανοµής. Σχήµα Σύγκριση ιστογράµµατος µε την θεωρητική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Μειονέκτηµα: µε την οµαδοποίηση χάνεται η εποπτεία της ουράς της κατανοµής. Μικρότερα διαστήµατα για την σύνταξη του ιστογράµµατος αµβλύνουν το προηγούµενο µειονέκτηµα αλλά τώρα έχουµε λιγότερες παρατηρήσεις σε κάθε διάστηµα µε αποτέλεσµα µεγάλες διακυµάνσεις στα διαδοχικά διαστήµατα. Παράδειγµα: Η Τριγωνική Κατανοµή Έστω τρία διαστήµατα και τρεις παρατηρήσεις. Η πιθανότητα «µια παρατήρηση να βρίσκεται σε κάθε διάστηµα» είναι ίση µε: n! 3! P(,,) = = =. n!n!n! k!!! 3 9 3 n 3 Σχήµα Σύγκριση ιστογράµµατος τριγωνικής κατανοµής Κ. Τρέζος / Ελεγχοι προσαρµογής και υποθέσεων
ηλαδή το τέλειο ιστόγραµµα έχει µικρή πιθανότητα εµφάνισης καθώς αυξάνεται το n( )., η οποία µάλιστα τείνει στο 0 9 Προσοχή!!:Υπάρχει θεµελιώδης διαφορά µεταξύ του ελέγχου των πιθανοτικών προσοµοιωµάτων ( ) και του ελέγχου των προσδιορισµικών προσοµοιωµάτων ( ). Το µοντέλο είναι ορθό οι παρατηρήσεις συµπίπτουν µε τις προβλέψεις ( ) Σπανίως θα έχουµε απόλυτη σύµπτωση ( ) Πιθανά συµπεράσµατα: δεδοµένα όχι αντιφατικά, όχι συστηµατικές αποκλίσεις. Αλλά µπορούν να παραµένουν ερωτήµατα του τύπου: οι όποιες αποκλίσεις είναι µεγάλες? Η φαινοµενική προσέγγιση είναι ικανοποιητική? Παράδειγµα τριγωνικής κατανοµής Σχήµα 3 Συγκριτικά παραδείγµατα Κ. Τρέζος / Ελεγχοι προσαρµογής και υποθέσεων
Αντί της συγκρίσεως των ιστογραµµάτων η σύγκριση των αθροιστικών τιµών επιτρέπει να παρακάµπτονται τα προβλήµατα του εύρους του διαστήµατος και του αριθµού των µετρήσεων σε κάθε δείγµα. Ο έλεγχος αυτός γίνεται µάλιστα ευκολότερος µε την κατάλληλη εκλογή της κλίµακας ώστε η θεωρητική αθροιστική συνάρτηση να εµφανίζεται ως ευθεία. Παράδειγµα τριγωνικής κατανοµής: f x (x)=x F X (x)=x 0<x< 0<x< Παίρνοντας τετραγωνική ρίζα στην τελευταία σχέση έχουµε [F X (x)] 0.5 =x που µας υποδεικνύει την κλίµακα µε την οποία πρέπει να σχεδιάσουµε τον άξονα των y. Αν λοιπόν ένα σύνολο παρατηρήσεων είχε δηµιουργηθεί από µία τέτοια κατανοµή θα αναµέναµε ότι η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής θα συνέπιπτε µε την ευθεία αυτή (στην ουσία θα ήταν µια πολυγωνική πολύ κοντά στην ευθεία) Σχήµα 4 Αλλαγή κλίµακας έτσι ώστε η αθροιστική συνάρτηση της τριγωνικής κατανοµής να είναι ευθεία. Στην περίπτωση της εκθετικής κατανοµής είναι καλύτερα να εργασθούµε µε το συµπλήρωµα της αθροιστικής συναρτήσεως κατανοµής: G X (x)=-f X (x)=exp(-λx) όπου λογαριθµίζοντας αµφότερα τα µέλη έχουµε: ln[g X (x)]=-λx δηλαδή σ ένα ηµιλογαριθµικό χαρτί, θα είναι ευθεία µε κλίση -λ. F X (x)=-e -λx G X (x)=- F X (x)=e -λx Ln(G X (x))=-λx Κ. Τρέζος / Ελεγχοι προσαρµογής και υποθέσεων 3
Σχήµα 5 ευθεία. Αλλαγή κλίµακας έτσι ώστε η αθροιστική συνάρτηση της εκθετικής κατανοµής να είναι F X (x) 0,999 F X (x) 0,999 0,84 0,84 0,50 0,006 -,5,0 3,0 X 0,006 -,5,0 3,0 Σχήµα 5 Αλλαγή κλίµακας έτσι ώστε η αθροιστική συνάρτηση της κανονικής κατανοµής να είναι ευθεία. II. Έλεγχος υποθέσεως Συναγωγή συµπερασµάτων από στατιστικές παρατηρήσεις. Παραδείγµατα: ένα πρόσµικτο σκυροδέµατος έχει σηµαντική επίδραση επί της αντοχής του σκυροδέµατος? Ο συντελεστής συσχετίσεως µεταξύ των βροχοπτώσεων δύο διαδοχικών µηνών είναι µηδέν? Κ. Τρέζος / Ελεγχοι προσαρµογής και υποθέσεων 4
Έστω ότι θέλουµε να ελέγξουµε αν η περιεκτικότητα σε τσιµέντο ενός σκυροδέµατος είναι 300kg/m 3. Εισάγουµε την µηδενική υπόθεση Η 0 ότι η περιεκτικότητα σε τσιµέντο είναι 300kg/m 3. Αναζητούµε έναν κανόνα µε τον οποίο να µπορούµε να αποφασίσουµε (δηλαδή να αποδεχθούµε ή να απορρίψουµε) την υπόθεση αυτή βασιζόµενοι σε π.χ. τρεις µετρήσεις. Ένας τέτοιος εύλογος κανόνας είναι: Αποδεχόµαστε την µηδενική υπόθεση Η 0 εάν η µέση τιµή των µετρήσεων κείται εντός του διαστήµατος 300±c, άλλως απορρίπτουµε την υπόθεση. Η απόρριψη της µηδενικής υποθέσεως Η 0 σηµαίνει ότι αποδεχόµαστε την εναλλακτική υπόθεση Η. Στην προκειµένη περίπτωση η εναλλακτική υπόθεση είναι η περιεκτικότητα δεν είναι 300kg/m 3. Στην συνέχεια πρέπει να προσδιορίσουµε µια µεθοδολογία µε την οποία να υπολογίζουµε την ποσότητα c. Επιλέγουµε την ποσότητα c έτσι ώστε να υπάρχει µια προαποφασισµένη (µικρή) πιθανότητα α (π.χ. 0%) η µέση τιµή του δείγµατος να βρίσκεται εκτός του διαστήµατος [300-c, 300+c] υπό την προϋπόθεση ότι η µηδενική υπόθεση είναι αληθής. Αν από προγενέστερη εµπειρία γνωρίζουµε ότι ο συντελεστής διασποράς της περιεκτικότητας είναι π.χ. 5% τότε έχουµε για την µέση τιµή X 3 των τριών δοκιµίων ότι ακολουθούν κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 300kg/m 3 και διασπορά (0.5*300) /3=675[kg/m 3 ]. Άρα P[300-c<X 3 <300+c/H 0 ]=-α=0.90 Άρα αναζητούµε για την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή την τιµή c έτσι ώστε ( 300 c) 300 α F U = = 0.05 675 από πίνακες έχουµε ότι: -c/675 0.5 =-.65 οπότε c=.65*(675) 0.5 = 43kg/m 3 Θα αποδεχθούµε την µηδενική υπόθεση, δηλαδή ότι η πραγµατική µέση περιεκτικότητα είναι 300kg/m 3, εάν η µέση τιµή των τριών δοκιµίων είναι στο διάστηµα [57,343] άλλως θα απορρίψουµε την υπόθεση. Η τιµή της πιθανότητας α η οποία λέγεται και επίπεδο σηµαντικότητας του ελέγχου, εκλέγεται συµβατικά ως 0% ή 5% ή %. Το α εκφράζει το ποσοστό των περιπτώσεων να κάνουµε λάθος απορρίπτοντας την µηδενική υπόθεση ενώ στην πραγµατικότητα είναι ορθή (σφάλµα τύπου Ι, κίνδυνος παραγωγού). Εκτός από το σφάλµα αυτό, έχουµε και το σφάλµα Κ. Τρέζος / Ελεγχοι προσαρµογής και υποθέσεων 5
τύπου ΙΙ (κίνδυνος καταναλωτή) που είναι η πιθανότητα β να αποδεχθούµε την µηδενική υπόθεση ενώ δεν είναι αληθής. Στο παράδειγµα αν η πραγµατική µέση τιµή είναι 70kg/m 3 τότε η πιθανότητα να αποδεχθούµε (λανθασµένως) την υπόθεση ότι η µέση τιµή είναι 300kg/m 3 είναι: β=p[57<x 3 <343/m=70]= F U [(343-70)/675 0.5 ]- F U [(57-70)/675 0.5 ]= = F U (.8)- F U (-0.50)=0.996-0.3085=0.688 Συνοψίζοντας τα βήµατα για τον έλεγχο της υποθέσεως είναι:. Καθορίζουµε την µηδενική υπόθεση Η 0 και την εναλλακτική Η.. Επιλέγουµε µια κατάλληλη δειγµατοληψία 3. Επιλέγουµε την µορφή του κανόνα βάσει του οποίου θα αποφασίζουµε. Ο κανόνας αυτός θα πρέπει να χωρίζει το πεδίο τιµών σε δύο περιοχές αµοιβαίως αποκλειόµενες από τις οποίες η µία θα συνδέεται µε την αποδοχή της υποθέσεως Η 0 και η άλλη µε την απόρριψήτης. 4. Επιλέγουµε το πιθανότητα σφάλµατος τύπου Ι, συνήθως α=0.05 5. Χρησιµοποιώντας την συνάρτηση κατανοµής προσδιορίζουµε το c. 6. Εάν είναι εφικτό υπολογίζουµε το σφάλµα τύπου ΙΙ 7. Ελέγχουµε πού βρίσκεται η στατιστικώς υπολογισθείσα τιµή του δείγµατος (στην περιοχή αποδοχής ή απορρίψεως) 8. Εαν η τιµή βρίσκεται στην περιοχή απορρίψεως µπορούµε να αποφανθούµε ότι ο έλεγχος είναι σηµαντικός µε επίπεδο α και απορρίπτουµε την υπόθεση. Εαν η τιµή βρίσκεται εντός του διαστήµατος αποδοχής τότε αποδεχόµαστε την υπόθεση. ΕΛΕΓΧΟΣ χ (Pearson 900.) Έλεγχος της αποκλίσεως του ιστογράµµατος από τις θεωρητικές τιµές. Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να ελέγξουµε το προσοµοίωµα µιας διακριτής µεταβλητής (η οποία µπορεί να πάρει τιµές x, x,,,x k ) και έστω ότι κάνουµε µια δειγµατοληψία µεγέθους n της µεταβλητής αυτής. Ο αριθµός n των παρατηρήσεων της στης τιµής x είναι µια τυχαία µεταβλητή µε διωνυµική κατανοµή, µιας και κάθε µια παρατήρηση της στης τιµής έχει σταθερή πιθανότητα εµφανίσεως ίση µε p =P(X=x )=p. Η µέση τιµή του n είναι np και η διασπορά np (-p ). Εάν το np δεν είναι πολύ µικρό (~5, ~0) τότε η ανηγµένη διαφορά από την αναµενόµενη τιµή: n np np ( p ) ακολουθεί την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή Ν(0,). Τέλος αποδεικνύεται ότι το άθροισµα D των τετραγώνων των ανηγµένων αυτών διαφορών (διορθωµένων επί τον όρο (- p )) : Κ. Τρέζος / Ελεγχοι προσαρµογής και υποθέσεων 6
D = k = ( n np) np ακολουθεί την κατανοµή χ µε k- βαθµούς ελευθερίας, όπου k οι πιθανές τιµές της τυχαίας µεταβλητής Χ. Από πίνακες της κατανοµής χ µπορούµε να προσδιορίσουµε την οριακή τιµή χ α,k- τέτοια ώστε: P(D χ α,k-)=α Μετά λοιπόν την δειγµατοληψία υπολογίζουµε την ποσότητα D και αν είναι µεγαλύτερη από χ α,k- τότε απορρίπτουµε την υπόθεση του προσοµοιώµατος. Προσοχή: µε τον έλεγχο αυτό, όταν D >χ α,k-,µπορούµε να απορρίψουµε (δηλαδή να αποφανθούµε ότι δεν είναι ορθό) το προσοµοίωµα. Όταν όµως D < χ α,k-, δεν µπορούµε να πούµε ότι το προσοµοίωµα είναι ορθό και να το αποδεχθούµε. Το µόνο που µπορούµε να πούµε στην περίπτωση αυτή είναι ότι το προσοµοίωµα δεν απορρίπτεται. (Με άλλα λόγια είναι δυνατόν π.χ. σε ένα δείγµα τόσο η κανονική κατανοµή όσο και η λογαριθµοκανονική κατανοµή να µην απορρίπτονται). Οι προς εκτίµηση παράµετροι. Όταν ελέγχουµε ένα προσοµοίωµα είναι απίθανο να γνωρίζουµε την µέση τιµή και την τυπική απόκλιση του δείγµατος (ή εν γένει τις παραµέτρους του προσοµοιώµατος). Για τον σκοπό αυτό θα χρησιµοποιήσουµε το δείγµα. Είναι όµως λογικό να χρησιµοποιήσουµε το ίδιο δείγµα τόσο για την εκτίµηση των παραµέτρων όσο και για τον έλεγχο του προσοµοιώµατος δεδοµένου ότι όσες περισσότερες παραµέτρους έχει µια κατανοµή τόσο καλλίτερα θα µπορέσουµε να την προσεγγίσουµε µε το δεδοµένο σύνολο των παρατηρήσεων (όπως πάντα µπορούµε να περάσουµε από n σηµεία ένα πολυώνυµο n- βαθµού). Αυτό λαµβάνεται υπόψη µειώνοντας τους βαθµούς ελευθερίας (k-) κατά τον αριθµό των παραµέτρων r. Έτσι οι βαθµοί ελευθερίας της ποσότητας D είναι (k-r-). Η φυσική σηµασία αυτής της µειώσεως είναι η µείωση της ποσότητας χ α,k- µε την οποία συγκρίνεται η D. Στην περίπτωση των συνεχών µεταβλητών πρέπει να υποδιαιρέσουµε το πεδίο τιµών της τυχαίας µεταβλητής σε έναν αριθµό διαστηµάτων και να υπολογίσουµε για τα διαστήµατα αυτά την πιθανότητα p (µε ολοκλήρωση ή από πίνακες). Είναι επιθυµητό τα διαστήµατα αυτά να έχουν ίσες πιθανότητες. Για τον σκοπό αυτό, αφού αποφασίσουµε για τον αριθµό k των διαστηµάτων, βρίσκουµε από τους πίνακες της τυχαίας µεταβλητής Χ, εκείνες τις τιµές x για τις οποίες F X (x)=0, /k, /k, k/k=. Έτσι αίρεται και το πρόβληµα της αυθαίρετης εκλογής των διαστηµάτων που σχετίζονται µε την σύνταξη του ιστογράµµατος. Αφού όλα τα p είναι ίσα, το D γράφεται: k D = k = n n n Κ. Τρέζος / Ελεγχοι προσαρµογής και υποθέσεων 7
Παράδειγµα: (Ισοµήκη ιαστήµατα) Αρ.Παρατηρήσεων ιάστηµα n ν Προσοµοίωµα ~Ν(8.49,0.0) 8.3 7 *[F(8.3) F( )] = 7 *[Fu (.9) 0] = 0, 78 0,07 8.3 8.4 7 7 *[ F (8.4) F(8.3)] = 4, 9,88 8.4 8.5 7 *[F(8.5) F(8.4)] = 9, 6 0,0 8.5 8.6 5 7 *[F(8.6) F(8.5)] = 8, 76,6 8.6 3 7 *[F( ) F(8.6)] = 3, 66 0, 7 Σύνολο=7 D = 3,88 0,78,0 0,78 χ. ( ) = 0, 07 Βαθµοί Ελευθερίας : k r = 5 = Έστω οτι α=5% Από τους πίνακες της κατανοµής Χ προκύπτει οτιχ 5. 99. 0.05, = Αφού Χ 0.05, = 5.99 3,88= D τότε το δείγµα δεν έρχεται σε αντίθεση µε το προσοµοίωµα Ν(8.49,0.0). Πρόσοχη!!: εν λέµε οτι «το δείγµα ακολουθεί την Ν(8.49,0.0)».Τα αποτελέσµατα που προκύπτουν εξαρτώνται απο τα διαστήµατα. ιάστηµα Ίσης Πιθανότητας Τα άκρα του διαστήµατος θα προκύψουν έτσι ώστε για n=0 (πλήθος των διαστηµάτων) να ισχύει ότι: Np =7*p =N/n=,7 και συνεπώς p =0,.Έστω z και z οι ανηγµένες τιµές των άκρων των ζητούµενων διαστηµάτων,τότε για το διάστηµα (z =-, z ) ισχύει οτι: F(z ) F(z ) = p F(z ) = F( ) = 0 F(z ) = 0,0 z =,855 ζ ζ = m σ * z = 8,49 0,8= 8,36 Κ. Τρέζος / Ελεγχοι προσαρµογής και υποθέσεων 8
ιάστηµα Παρατηρήσεις Ν np (N -np ) 8,36.7 (0.7) 8,36 8,40.7 (.7) 8,40 8,44 6.7 (3.3) 8,44 8,46 6.7 (3.3) 8,46 8,49 0.7 (.7) 8,49 8,5 4.7 (.3) 8,5 8,54 0.7 (.7) 8,54 8,58.7 (.7) 8,58 8,6 4.7 (.3) np 8,6 3.7 (0.3) 7 7 46, 46, ( N np) = = 7,07,7 Βαθµοί Ελευθερίας : k r = 0 = 7 Από τους πίνακες της κατανοµής Χ προκύπτει οτιχ 4.. 0.05,7 = Αφού Χ 0.05, = 4. 7.07= D απορρίπτουµε το µοντέλο!!! Το οποίο µε την προηγούµενη οµαδοποίηση δεν το είχαµε απορρίψει. Κ. Τρέζος / Ελεγχοι προσαρµογής και υποθέσεων 9