Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V!

Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V 0. O πιλότος του θέλει ν αλλάξει τη διεύθυνση κίνησης του διαστηµόπλοιου, ώστε η νέα διεύθυνση να γίνει κάθετη προς την αρχική. Για τον σκοπό αυτό εκτοξεύει µε τη βοήθεια συµπιεσµένου ελατηρίου τον τελευταίο όφοφο του διαστη µόπλοιου, µε κατάλληλη σχετική ταχύτητα ως προς αυτό. Aν η µάζα του εκτοξευόµενου ορόφου είναι M/, να βρεθεί η δυναµική ενέργεια ελαστικής παραµόφωσης του συµπιεσµένου ελατηρίου. ΛYΣH: Έστω P 1 η ορµή του διαστηµόπλοιου µετά την εκτόξευση του τελευταίου ορόφου του και P η ορµή που αποκτά ο τελευταίος όροφος. Eπειδή το σύστηµα των δύο αυτών σωµάτων είναι µονωµένο, ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής, δηλαδή ισχύει η διανυσµατική σχέση: P "# = P 1 + P (1) όπου P "# η ορµή του διαστηµοπλοιου πριν αποσπασθεί ο τελευταίος όροφός του. Όµως, σύµφωνα µε το πρόβληµα τα διανύσµατα P 1 και P "# είναι µετα: ξύ τους κάθετα, οπότε για τα µέτρα των τριών διανυσµάτων της σχέσεως (1) θα ισχύει

P "# = P 1 + P M V 0 = (M/) v 1 + (M/) v 4V 0 = v 1 + v όπου v 1, v οι ταχύτητες του διαστηµόπλοιου και του τελευταίου όροφου αντιστοίχως, µετά την απόσπασή τους. Eξάλλου, σύµφωνα µε την αρχή δια τήρησης της ενέργειας ισχύει η σχέση: 1 M$ # & v 1 + 1 M$ # & v = M " % " % V0 + U 0 v 1 + v = V 0 + 4U 0 /M (3) όπου U 0 η ζητούµενη δυναµική ενέργεια ελαστική παραµόρφωσης, που αρχικά είχε αποθηκευτεί στο συµπιεσµένο ελατήριο, η απελευθέρωση της οποίας προκάλεσε την απόσπαση του τελευταίου ορόφου του διαστηµόπλοι ου. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: 4V 0 = V 0 + 4U 0 /M U 0 = MV 0 / () P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος τα σώµατα Σ 1 και Σ έχουν αντίστοιχες µάζες Μ και m, η δε τροχαλία έχει ασήµαντη µάζα. Το οριζόντιο ελατήριο είναι ιδανικό µε σταθερά k και το νήµα που περνάει µέσα από το αυλάκι της τροχαλίας και συνδέεται µε το σώµα σ είναι αβαρές, µη εκτατό και χωρίς τριβή µε την τροχαλία. To σύστηµα ισορροπεί και κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή του χρόνου το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος και το σώµα σ αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί και τότε αυτό εκτελει κατακόρυφη κίνηση στην διάρκεια της οποίας η µέγιστη επιµήκυνση του ελατηρίου είναι x 0, ενώ το σώµα σ παραµένει ακίνητο. i) Nα βρεθεί η ελάχιστη τιµή του συντελεστή τριβής µεταξύ του σώµατος Σ 1 και του δαπέδου στηρίξεώς του. Μεταβάλλεται µε τον χρόνο η τριβή και ποια είναι η χρονική της εξάρτηση; ii) Εάν ο συντελεστής τριβής έχει την τιµή m/m να δείξετε ότι κά ποια στιγµή το σώµα Σ 1 θα τεθεί σε κίνηση και να προσδιορίσετε τη στιγµή αυτή. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Το σώµα Σ 1 στη διάρκεια της κίνησης του Σ ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του Μ g, της δύναµης F " από το τεντωµένο ελατήριο και της δύναµης επαφής από το δάπεδο στήριξης, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N. Λόγω της ισορροπίας αυτής ισχύει:

T = F " (1) Επειδή η (1) ισχύει για όλες τις θέσεις του σώµατος Σ, θα ισχύει και όταν το ελατήριο έχει αποκτήσει την µέγιστη επιµήκυνσή του x 0 και την στιγµή αυτή το µέτρο της τριβής θα λάβει την µεγαλύτερη τιµή του Τ max οπότε θα έχουµε τη σχέση: T max = kx 0 () Όµως η τριβή είναι στατική, οπότε θα έχουµε: () T max nn T max nmg kx 0 nmg n kx 0 / Mg n min = kx 0 / Mg (3) όπου n min ο ζητούµενος ελάχιστος συντελεστής τριβής. Εξετάζοντας εξάλλου το σώµα Σ σε µια τυχαία θέση στην οποία η αποµάκρυνσή του από τη θέση Ο στην οποία µπορεί να ισορροπήσει είναι x, διαπιστώνουµε ότι δέχεται το βάρος του m g και την τάση F από το νήµα, της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε το µέτρο της F ", διότι η τροχαλία θεωρείται µε αµελητέα µάζα και χωρίς τριβή µε το νήµα. Λαµβάνοτας ως θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση κίνησης του σώµατος την φορά της αποµάκρυνσης, παρατηρούµε ότι η αλγεβ ρική τιµή της συνισταµένης δύναµης F " που δέχεται το σώµα δίνεται από τη σχέση: F " = mg - F F " = mg - F #" (3) Όµως το µέτρο της αποµάκρυνσης x εκφράζει την πρόσθετη επµήκυνση του ελατηρίου σε σχέση µε εκείνη όταν το σώµα Σ βρίσκεται στη θέση ισορρο πίας του Ο, οποτε ισχύει F ελ =mg+kx και η (1) γράφεται: F " = mg - (mg + kx) = -kx (4) H (4) εγγυάται ότι το σώµα Σ εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθε ρά ταλάντωσης k και κέντρο ταλάντωσης το Ο. Το πλάτος Α της ταλάν τωσης αυτής είναι:

A = x 0 - mg/k (5) Οι εξισώσεις που δίνουν τις αλγεβρικές τιµές της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας του σώµατος έχουν τη µορφή: x = Aµ ("t + #) ' ( v = A"$%&("t + #)) (6) όπου ω η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης ίση µε k/m και φ η αρχική της φάση. Οι σχέσεις (6) τη χρονική στιγµή t=0 της έναρξης κίνησης του σώµατος γράφονται: -A = Aµ" 0 = A#$%&" ' ( ) µ" = -1 #$%" = 0 & ' ( = 3" Έτσι η πρώτη από τις εξισώσεις (6) παίρνει τη µορφή: x = x 0 - mg $ # " k % & 'µ (t + 3) $ # " & (7) % Εξάλλου στη διάρκεια της ταλαντώσεως του σώµατος Σ ισχύει η σχέση: (7) T = F " = F T = mg + kx T = mg + k x 0 - mg $ # " k % & 'µ (t + 3) $ # " & (8) % Η (8) αποτελεί τη σχέση µεταβολής του µέτρου της T µε το χρόνο. ii) Aπό τα δεδοµένα της άσκησης έχουµε: kx 0 > mg kx 0 Mg > mg Mg (3) n min > m M Eάν εποµένως ο συντελεστής τριβής n είναι ίσος µε m/m το σώµα Σ 1 θα αρχίσει να ολισθαίνει πάνω στο στήριγµά του πρίν το Σ φθάσει στην κατώ τατη θέση του και τη στιγµή αυτή θα ισxύει: (8) T = nmg = mmg/m = mg mg + k x 0 - mg $ # " k % & 'µ (t + 3) $ # " % & = mg µ $ "t + 3# ' & % ) = 0 ( t + 3" / = "# t = "# - 3" t = (" - 3)/# (9)

µε ρ=, 3,... Η ζητούµενη χρονική στιγµή t * αντιστοιχεί στην τιµή ρ=, οπότε θα έχουµε: t * = " = m k P.M. fysikos Λεπτή ράβδος ΑΒ, µάζας m και µήκους L εφάπτεται κυκλικού δίσκου µάζας m και ακτίνας R, ο οποίος µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο (βλέπε σχήµα). Όταν η ράβδος ισορροπεί το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος και το σηµειο επαφής της µε τον δίσκο είναι το µέσο της. Εκτρέπουµε τη ράβδο οριζόντια κάτα x 0 από τη θέση ισορ ροπίας της και την αφήνουµε ελεύθερη. i) Με την προυπόθεση ότι ο δίσκος κυλίεται επί της ράβδου και το άκρο της Β µετατοπίζεται ελευθερα και χωρίς τριβή πάνω σε ορι ζόντιο στήριγµα, να βρεθεί η εξίσωση κίνησης της ράβδου. ii) Για ποιές τιµές του συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ ράβδου και δίσκου εξασφαλίζεται η µη ολίσθησή τους; Δίνεται η σταθερά k=mg/l του ελατηρίου και η ροπή αδράνειας Ι=mR / του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του, όπου g η επιτάχυνση της βα ρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε τη ράβδο ΑΒ κατά µια τυχαία στιγµή t, που η απο µάκρυνσή της από τη θέση ισορροπίας της είναι x. Στη θέση αυτή η ράβδος δέχεται το βάρος της m g, τη δύναµη F " από το ελατήριο, τη δύναµη επαφής από το δίσκο που αναλύεται στην οριζόντια στατική τριβή T και στην κατακόρυφη κάθετη αντίδραση N και τέλος την κατακόρυφη δύναµη G από το στήριγµα, πάνω στο οποίο ολισθαίνει ελεύθερα το άκρο της Β. Θεωρώντας θετική φορά στον οριζόντιο άξονα κίνησης της ράβδου τη φορά της αρχικής εκτροπής της x 0 θα έχουµε για την αλγεβρική τιµή της συνισταµένης δύνα µης F x που δέχεται η ράβδος κατά τον άξονα αυτόν, τη σχέση:

F x = T - F " F x = T - kx F x = T - mg L x (1) Εξάλλου ο δίσκος εκτελεί περιστροφική κίνηση υπό την επίδραση της ροπής της δύναµης - T, η οποία είναι η αντίδραση της στατικής τριβής T και σύµ φωνα µε το θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση: I d dt = TR mr d dt = TR d dt = T mr όπου dω/dt ο ρυθµός µεταβολής της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του δίσκου (γωνιακή επιτάχυνση) κατά τη στιγµή t που εξετάζουµε το σύστηµα. Όµως η ράβδος δεν ολισθαίνει επί του δίσκου, που σηµαίνει ότι το σηµείο επαφής τους Γ θεωρούµενο ως σηµείο του δίσκου έχει στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους την ίδια ταχύτητα µε το σηµείο αυτό αν θεωρήθει και σηµείο της ράβδου, Έτσι θα έχουµε τη σχέση: v = -"R dv dt = - d" dt R () () dv dt = -R T mr = - T m T = - m dv dt = - F x (3) όπου το πρόσηµο (-) δικαιολογείται από το γεγονός ότι η περιστροφική ταχύτητα του σηµείου Γ του δίσκου είναι αντίρροπη της θετικής φοράς που διαλέξαµε στον άξονα κίνησης της ράβδου ενώ ελήφθη υπόψη ότι η ποσότητα m(dv Γ /dt) είναι ίση µε F x. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε: F x F x = - F x - mg L x 3F x = - mg L x = - 4mg 3L x = -Dx µε D=4mg/3L (4) H (4) εγγυάται ότι η ράβδος εκτελεί οριζόντια απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς D=4mg/3L και πλάτος x 0. Είναι ευκολό να διαπιστώ σουµε από τα δεδοµένα του προβλήµατος ότι η αρχική φάση της ταλάντωσης αυτής είναι π/, οπότε η εξίσωση της αλγεβρικής τιµής της αποµάκρυνσης x έχει τη µορφή: µε x = x 0 µ ("t + #/) = x 0 $%&"t (4) = D m = 4mg 3Lm = 4g 3L (5) ii) Επειδή η ράβδος δεν έχει περιστροφική κίνηση η συνισταµένη ροπή περί το κέντρο µάζας της C είναι κάθε στιγµή µηδενική, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τη σχέση:

Nx - G(L + x) = 0 N = G(L + x)/ x (6) Εξάλλου η ράβδος ισορροπεί κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, οπότε ισχύει η σχέση: N - mg + G = 0 N + G = mg (7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (6) και (7) τελικώς παίρνουµε: N = mgr R + x mgx και G = R + x (8) Για να µη ολισθαίνει η ράβδος επί του τροχού πρέπει να ισχύει η σχέση: T n N (3),(8) - F x n mgr R + x (4) mg 3L x ngr R + x n (R + x)x 3LR µε -x 0 x x 0 P.M. fysikos Στη διάταξη του σχήµατος οι τροχαλίες τ 1 και τ έχουν την ίδια µάζα, που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρειά τους και την ίδια ακτίνα το δε νήµα που έχει περιτυλιχθεί στους λαιµούς τους είναι αβαρές και µη εκτατό και δεν ολισθαίνει πάνω σ αυτούς. H τροχαλία τ 1 µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβή περί τον γεωµετρικό της άξονα, ο οποίος είναι οριζόντιος και ακλόνητος, ενώ η τροχα λία τ µπορεί να στρέφεται επίσης περί τον γεωµετρικό της άξονα, ο οποίος όµως είναι ελεύθερος να µετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του σε κατακόρυφο επίπεδο. Να βρεθούν: i) η ταχύτητα του κέντρου της τροχαλίας τ, όταν αυτό έχει µετατο πιστεί εκ της ηρεµίας κατά h και ii) η αντίστοιχη ιδιοστροφορµή της τροχαλίας τ. Δίνεται η επιτά χυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Eπί της ελεύθερης τροχαλίας τ ενεργεί το βάρος της w και οι τάσεις T 1, T στους δύο κλάδους του νήµατος που περιβάλλει τον λαιµό της. Eξάλλου η τροχαλία τ 1 εκτελεί στροφική µόνο κίνηση περί τον οριζόν τιο άξονά της υπό την επίδραση της ροπής της τάσεως - T 1 του νήµατος και σύµφωνα µε το θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση:

T 1 R = I 1 ω 1 T 1 R = mr ω 1 T 1 = mrω 1 (1) όπου m η µάζα της τροχαλίας, R η ακτίνα της και ' 1 η γωνιακή επιτάχυν σή της. H τροχαλία τ εκτελεί σύνθετη κίνηση, η οποία αποτελείται από µια κατακόρυφη µεταφορική κίνηση και από µια στροφική κίνηση περί τον γεω µετρικό της άξονα. Eφαρµόζοντας για την τροχαλία αυτή το θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε τη σχέση: T R T 1 R = mr ω T T 1 = mrω () Σχήµα όπου ' η γωνιακή επιτάχυνσή της. Όµως το σηµείο Α του νήµατος είναι ακίνητο, δηλαδή έχει µηδενική ταχύτητα που σηµαίνει ότι µηδενική θα είναι και η ταχύτητα του αντίστοιχου σηµείου της τροχαλίας τ αφού το νήµα δεν ολισθαίνει στον λαιµό της, οπότε θα ισχύει: 0 = R - v C R = v C (3) όπου η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τ και v C η ταχύτητα του κέν τρου µάζας της. Εαν dv C, dω είναι οι µεταβολές των µέτρων των διανυσµά των v C και αντιστοίχως µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, θα προκύπτει από την (3) η σχέση: Rd = dv C Rd /dt = dv C / dt R' = a C (4) όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της τροχαλίας τ. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) παίρνουµε: T T 1 = ma C (5) Aν τώρα αναφερθούµε στα σηµεία Γ και Β του νήµατος, τα σηµεία αυτά έχουν κάθε στιγµή την ίδια ταχύτητα, δηλαδή ισχύει:

v = v B dv = dv B dv /dt = dv B / dt (4) R' 1 = R' + a C R' 1 = a C (6) όποτε η σχέση (1) γράφεται: T 1 = ma C (7) Συνδυάζοντας εξάλλου τις σχέσεις (5) και (7) παίρνουµε: T ma C = ma C T = 3ma C (8) Eφαρµόζοντας τέλος, για τη µεταφορική κίνηση της τροχαλίας τ το δεύτε ρο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, έχουµε: (7),(8) w - T 1 - T = ma C mg - ma C - 3ma C = ma C mg = 6ma C a C = g/6 (9) δηλαδή το κέντρο µάζας της τροχαλίας τ έχει σταθερή επιτάχυνση, γεγονός που µας επιτρέπει να γράψουµε τη σχέση: (9) v C = a C h v C = gh/6 = gh/3 v C = gh/3 ii) Η ιδιοστροφορµή L της τροχάλιας τ την χρονική στιγµή t που το κέντρο µάζας της έχει µετατοπιστεί κατά h, έχει µέτρο: (4) L = mr L = mr ' t (9) L = mra C t = mra C h / a C = mr ha C L = mr hg / 3 Παρατήρηση: Mπορούµε να φθάσουµε στο ζητούµενο αποτέλεσµα χρησιµο ποιώντας το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για το σύστηµα των δύο τροχαλιών, οπότε θα έχουµε: E 1 + E = 0 mr 1 + mr + mv C - mgh = 0 gh = R 1 + R + v C (10) όπου 1, οι γωνιακές ταχύτητες των τροχαλιών τ 1 και τ αντιστοίχως και v C η τάχύτητα του κέντρου της τροχαλίας τη στιγµή που η µετατόπισή του είναι h. Όµως προηγούµενα απεδείχθηκε η σχέση:

v C = R 1 1 = v C / R καθώς και η σχέση: v C = R = v C / R οπότε η (10) γράφεται: gh = R v C R + 4R v C R + v C gh = 6v C v C = gh/3 P.M. fysikos Μια τροχαλία µάζας m και ακτίνας R ισορροπεί µε το επίπεδό της κατακόρυφο εφαπτόµενη ενός δοκαριού µάζας 3m και µήκους L το οποίο βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος (βλέπε σχήµα). Τη χρονική στιγµή t=0 το κέντρο της τροχαλίας ισαπέχει από τις άκρες του δοκαριού και ενεργεί σ αυτή οριζόντια δύναµη F της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς τον διαµήκη άξονα του δοκαριού και διέρχεται από το κεντρο της. Εάν το µέτρο της F είναι F=4nmg, όπου n ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ τροχα λίας και δοκαριού και g η επιτάχυνση της βαρύτητας, να βρείτε σε πόσο χρόνο η τροχαλία θα εγκαταλείψει το δοκάρι. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR / της τροχαλίας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ότι η τροχαλία υπό την επίδραση της δύναµης F κυλίεται πάνω στο δοκάρι. Η τροχαλία δέχεται ακόµη το βάρος της w και τη δύναµη επαφής από το δοκάρι, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή T και την κάθετη αντίδραση N. Η ροπή της T ως προς το κέντρο C της τροχα Σχήµα α. λίας προσδίνει σ αυτή γωνιακή επιτάχυνση ', της οποίας το µέτρο συµφω να µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης ικανοποιεί τη σχέση: TR = I' TR = mr '/ T / m = R' (1)

Εφαρµόζοντας εξάλλου για την κίνηση του κέντρου µάζας της τροχαλίας τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα, παίρνουµε τη σχέση: F - T = ma C a C = (F - T)/m () όπου a C η επιτάχυση του κέντρου µάζας. Εξετάζοντας στη συνέχεια το δοκά ρι παρατηρούµε ότι κατα τη διεύθυνση του διαµήκους άξονά του δέχεται την αντίδραση T ' της T, η οποία του προσδίδει επιτάχυνση a για την οποί α ισχύει η σχέση: T'= 3ma a = T'/3m = T/3m (3) Λόγω της κύλισης της τροχαλίας τα σηµεία επαφής της Α µε το δοκάρι θα έχουν στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους την ταχύτητα που έχει το δοκάρι ως προς το σύστηµα αυτό, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: v = v C - R" dv dt = dv C dt - R d" dt a = a C - R"' (4) όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας τη στιγµή που την εξετάζουµε. Συνδυάζοντας τις (1), () (3) και (4) παίρνουµε τη σχέση: T 3m = F - T m - T m T 3m + T m + T m = F m T = 3F 10 Eπειδή δεχθήκαµε ότι η T είναι στατική τριβή, το µέτρο της πρέπει να ικα νοποιεί τη σχέση: (5) (5) T nn T nmg 3F/10 nmg F 10nmg/3 (6) Σχήµα β. Όµως τα δεδοµένα του προβλήµατος αντιβαίνουν στην σχέση (6), που σηµαί νει ότι η αρχική µας υπόθεση ότι η τροχαλία κυλίεται είναι εσφαλµένη, δήλαδή η τριβή T είναι τριβή ολισθήσεως και εποµένως το µέτρο της είναι Τ=nN=nmg. Έτσι οι σχέσεις () και (3) παίρνουν τη µορφή: και a C = (4nmg - nmg)/m = 3ng (7) a = nmg/3m = ng/3 (8)

Eάν S C είναι η µετατόπιση του κέντρου C της τροχαλίας ως προς το ακίνητο έδαφος στον χρόνο t * που η τροχαλία εγκαταλείπει το δοκάρι και S Δ η αντί στοιχη µετατόπιση του δοκαριού (σχήµα β), θα ισχύει η σχέση: (7),(8) S C = S + L/ a C t * / = a t * / + L/ (3ng - ng/3)t * = L 8ngt * = 3L t * = 3L/8ng P.M. fysikos