ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 5 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Διάρθρωση. Φάσμα συχνοτήτων. Πεδίο μιγαδικής μγ συχνότητας Πόλοι & μηδενικά 3. Συναρτήσεις μεταφοράς Μέτρο & φάση 4. Διαγράμματα Bode κέρδους & φάσης 5. Απόκριση συχνοτήτων VLSI Systes ad Coputer Architecture Lab Απόκριση Συχνότητας
Φάσμα Συχνοτήτων Το φάσμα συχνοτήτων αποτελεί μία περιγραφή ενός σήματος στο πεδίο των συχνοτήτων. Επιτυγχάνεται μέσω μαθηματικών εργαλείων (σειρά και μετασχηματισμός Fourier. Ειδικότερα, η σειρά Fourier επιτρέπει την έκφραση ενός σήματος, που είναι περιοδική συνάρτηση του χρόνου, ως το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού ημιτόνων των οποίων οι συχνότητες έχουν αρμονική σχέση μεταξύ τους. V V υ Τετραγωνικός Παλμός T ω 0=π/Τ 4V si3 t si5 t... t 4V 4V 3 Φάσμα Συχνοτήτων 4V 5 4V 7 ( t si 0t 0 0 ω ο 3ω ο 5ω ο 7ω ο ω(rad/s 3 5 Σειρά Fourier Θεμελιώδης Αρμονικές Συχνότητες Συχνότητα Απόκριση Συχνότητας 3... Πεδίο Μιγαδικής Συχνότητας s Ζητούμενο είναι η εύρεση του κέρδους τάσης (ρεύματος ενός κυκλώματος καθώς και της διαφοράς φάσης μεταξύ εισόδου εξόδου ως συνάρτηση της μιγαδικής συχνότητας s ή jω, με αναφορά σε ημιτονοειδή σήματα. Ως κέρδος τάσης ης(ρεύματος ορίζουμε το λόγο της τάσης (ρεύματος μ στην έξοδο του κυκλώματος προς την τάση (ρεύμα στην είσοδό του. Στην ανάλυση στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας s η χωρητικότητα αντικαθίσταται από μια σύνθετη αγωγιμότητα sc (ή ισοδύναμα από μια σύνθετη αντίσταση /sc και η επαγωγή από μια σύνθετη αντίσταση sl. Ακολούθως, με τη χρήση όλων των γνωστών τεχνικών ανάλυσης κυκλωμάτων που έχουν παρουσιαστεί, βρίσκεται η συνάρτηση μεταφοράς: Vo (s T(s Η(s V (s i ή Vo (jω T(jω Η(jω V (jω i s = jω Απόκριση Συχνότητας 4
Παράδειγμα Διαιρέτης τάσης: υ i (t ~ C υ o (t V sc o(s V i (s sc Αναπαράσταση με τη μορφή των φασόρων. V i (s ~ Θύρα Εισόδου /sc Θύρα Εξόδου V o (s Vo (s T(s sc V (s i sc s Δίθυρο Δικτύωμα ed Απόκριση Συχνότητας 5 Παράδειγμα Δίθυρο Δικτύωμα Ν. Oh & KCL: V (s V (s // /sc // /sc o i V i (s ~ Θύρα Εισόδου /sc V (s /sc o T(s V (s /sc Vo (s i /sc /sc Θύρα Εξόδου /sc /sc / sc /sc /sc /sc /sc s /C /C ed Απόκριση Συχνότητας 6 3
Απόκριση Συχνότητας Κυκλωμάτων Γραμμικό Δίθυρο Δικτύωμα Συνάρτηση Μεταφοράς Τ(s υ i =V i si ωt ~ υ o =V o si (ωtφ T(s V o (s V (s i κέρδος T(s 0log0 ή T(s T(s φ φάση Το εύρος των συχνοτήτων, για το οποίο το κέρδος του ενισχυτή είναι περίπου σταθερό (με διακύμανση μέχρι 3dB, ονομάζεται: Εύρος Ζώνης Απόκριση Μέτρου ή Πλάτους ή Κέρδους Εύρος Ζώνης ω ω ω Απόκριση Συχνότητας 7 Λογαριθμικές Κλίμακες Συχνότητας Στην αναπαράσταση της απόκρισης του κέρδους και της φάσης χρησιμοποιούμε λογαριθμική κλίμακα για τη συχνότητα. Μια τέτοια λογαριθμική κλίμακα δίδεται στο σχήμα που ακολουθεί. Δεκάδα Οκτάβα 0 0 50 00 00 500 000 f (Hz log Μία δεκάδα είναι ένα εύρος συχνοτήτων για τις οποίες ο λόγος της μέγιστης προς την ελάχιστη είναι 0. Π.χ. το εύρος συχνοτήτων από Hz σε 0Hz είναι μία δεκάδα ενώ το εύρος συχνοτήτων από 50Hz σε 5000Hz είναι δύο δεκάδες. Μία οκτάβα είναι ένα εύρος συχνοτήτων για τις οποίες ο λόγος της μέγιστης προς την ελάχιστη είναι. Π.χ. το εύρος συχνοτήτων από 0Hz σε 0Hz είναι μία οκτάβα ενώ το εύρος συχνοτήτων από ΚHz σε 6ΚHz είναι τρεις οκτάβες. Απόκριση Συχνότητας 8 4
Δίκτυα Μονής Σταθεράς Χρόνου Ένα δίκτυο μονής σταθεράς χρόνου ΜΣΧ συνίσταται (ή μπορείνα εκφυλιστεί σε ένα τέτοιο από ένα παθητικό στοιχείο (πηνίο ή πυκνωτή και μία ωμική αντίσταση. Δίκτυο Πυκνωτή C Αντίστασης τ C Σταθερά Χρόνου Δίκτυο Πηνίου L Αντίστασης L τ Δίκτυα Μονής Σταθεράς Χρόνου Πυκνωτή Αντίστασης C V i ~ C V o V i ~ V o Βαθυπερατό Υψιπερατό Απόκριση Συχνότητας 9 Δίκτυα ΜΣΧ Βαθυπερατού Τύπου ω 0 Ζ C = /(jωc και Z L = jωl 0 Απόκριση Συχνότητας 0 5
Δίκτυα ΜΣΧ Υψιπερατού Τύπου ω Ζ C = /(jωc 0 και Z L = jωl Απόκριση Συχνότητας Απόκριση Βαθυπερατών Δικτύων ΜΣΧ Απόκριση Πλάτους 0dB / δεκάδα K T(s s / ω ο V i ~ C V o Συχνότητα γονάτου ή 3 dβ Βαθυπερατό Δίκτυο Μονής Σταθεράς Χρόνου ω ο τ Απόκριση Φάσης 45 ο / δεκάδα Απόκριση Συχνότητας 6
Απόκριση Υψιπερατών Δικτύων ΜΣΧ Απόκριση Πλάτους Ks T(s s V i ω ο ~ C V o 0dB / δεκάδα Συχνότητα γονάτου ή 3 dβ Υψιπερατό Δίκτυο Μονής Σταθεράς Χρόνου ω ο τ 45 ο / δεκάδα Απόκριση Φάσης Απόκριση Συχνότητας 3 Συνάρτηση Μεταφοράς Γνωρίζοντας τη συνάρτηση μεταφοράς Τ(s μπορούμε να τη μελετήσουμε για φυσικές συχνότητες με αντικατάσταση του s με jω. Η συνάρτηση μεταφοράς Τ(jω είναι μια σύνθετη ποσότητα και το μέτρο της δίνει την απόκριση μέτρου (κέρδους ενώ η γωνία την απόκριση φάσης ενός κυκλώματος. Γενικά για τα κυκλώματα που μας ενδιαφέρουν η Τ(s μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή λόγου πολυωνύμων: T(s s s b s s...... b 0 0 ( όπου οι συντελεστές α και b είναι πραγματικοί αριθμοί και η τάξη του αριθμητή είναι μικρότερη ή ίση με την τάξη του παρονομαστή (τάξη του δικτύου. Απόκριση Συχνότητας 4 7
Πόλοι και Μηδενικά Εναλλακτικά, με παραγοντοποίηση των δύο πολυωνύμων, η συνάρτηση μεταφοράς Τ(s μπορεί να εκφραστεί ως: (s Z (s Z (s Z T(s (s P (s P (s P όπου Ζ, Ζ,,Ζ είναι οι ρίζες του πολυωνύμου του αριθμητή και P, P,,P είναι οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή. Τα Ζ, Ζ,,Ζ ονομάζονται μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς και τα P, P,,P ονομάζονται πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς ή φυσικές συχνότητες του συστήματος. Οι πόλοι και τα μηδενικά μπορεί να είναι είτε πραγματικοί είτε μιγαδικοί αριθμοί. Επειδή τα α, b είναι πραγματικοί, οι μιγαδικοί πόλοι ή μηδενικά πρέπει να εμφανίζονται σε συζυγή ζεύγη [(xjy και (xjy]. Για τιμές του s>> από όλους τους πόλους και τα μηδενικά ισχύει: T(s s Για να είναι ευσταθές ένα κύκλωμα θα πρέπει οι συντελεστές του παρονομαστή να είναι τέτοιοι ώστε οι ρίζες του παρονομαστή να έχουν όλες αρνητικά πραγματικά μέρη. Απόκριση Συχνότητας 5 Κέρδος & Φάση Συνάρτησης Μεταφοράς T(s (s Z (s Z (s Z (s P (s P (s P Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση μεταφοράς Τ(s το s με jω παίρνουμε την T(jω η οποία μπορεί να γραφεί στο συμβολισμό των φασόρων ως ακολούθως: T(jω T(jω e jt(jω όπου Τ(jω το κέρδος (μέτρο και Τ(jω η φάση (γωνία της T(jω. Το κέρδος δίδεται από την ακόλουθη σχέση: T(j (j Z (j Z (j Z Z Z Z (j P (j P (j P P P P Η φάση δίδεται από την ακόλουθη σχέση : T(j ta ta i Zi i P i Απόκριση Συχνότητας 6 αντίστροφο τόξο εφαπτομένης ta (x arcta(x y =arcta(x x= ta(y 8
Το Κέρδος (Μέτρο σε dβ T(s (s Z (s Z (s Z (s P (s P (s P Όπως αναφέρθηκε φρη νωρίτερα, ρ, το κέρδος της ανωτέρω συνάρτησης ρη ηςμεταφοράς είναι: T(j (j Z (j Z (j Z (jp (j P (j P Συνηθίζουμε να εκφράζουμε το κέρδος σε decibel (dβ, ως ακολούθως: Z P Z P Z P T(jω 0log0 T(jω (db db T(j (db (db (j Zi i (db (j P i i (db Απόκριση Συχνότητας 7 Συναρτήσεις Πρώτης Τάξης Συχνά, οι συναρτήσεις μεταφοράς που μας απασχολούν έχουν πραγματικούς πόλους και μηδενικά και μπορούν να γραφούν ως γινόμενο συναρτήσεων μεταφοράς πρώτης τάξης με την ακόλουθη μορφή: s T(s s όπου ω 0 ο πραγματικός πόλος και η ω 0 καλείται συχνότητα πόλου και είναι ίση με το αντίστροφο της σταθεράς χρόνου του αντίστοιχου δικτύου μονής σταθεράς χρόνου. Οι σταθερές α 0 και α καθορίζουν τον τύπο του δικτύου μονής σταθεράς χρόνου. 0 0 Βαθυπερατό δίκτυο πρώτης τάξης: Υψιπερατό δίκτυο πρώτης τάξης: 0 T(s s s T(s s 0 0 Κέρδος DC α 0 /ω 0 και ω 0 συχνότητα γονάτου ή 3dB Μηδενικό στο s= Μηδενικό στο s=0 Απόκριση Συχνότητας 8 9
Παράδειγμα 3(Ι I i (s /sc V o (s o Η συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος είναι: /C T(s s / και έχει ένα πόλο στο s=/. Αντικαθιστώντας το s με jω, το κέρδος και η φάση της Τ(jω προκύπτουν ως εξής: T(j C j ( / T(j C T(j ta j ( / C (/ Απόκριση Συχνότητας 9 Παράδειγμα 3(ΙΙ Τ(jω Απόκριση Συχνότητας Κέρδους C ω (/ T(j C j ( / C (/ Για ω=0 Τ(0 = ενώ για ω>> Τ(jω /ωc 0 00 000 ω (log rad/sec Τ(jω 0 0 00 000 ω (log rad/sec T(j ta 45 ο 90 ο Απόκριση Συχνότητας Φάσης ta (ω Για ω=0 Τ(0=0 ενώ για ω>> Τ(jω 90ο Απόκριση Συχνότητας 0 0
Παράδειγμα 3(ΙΙΙ jω ( x πόλος θ d 45 o I(s 0 j jω j e(s Στο επίπεδο της μιγαδικής συχνότητας θα έχουμε: j d d j Συνεπώς: T (j Cd και T (j Για ω= /: T(j και o T(j 45 ed Απόκριση Συχνότητας Διαγράμματα Bode Κέρδους (Ι Τα διαγράμματα Bode είναι μια απλή τεχνική για να εξάγουμε προσεγγιστικά διαγράμματα του κέρδους και της φάσης μιας συνάρτησης μεταφοράς όταν γνωρίζουμε τους πόλους και τα μηδενικά της. Έστω η γενική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς: T(s T(j (s Z (s Z (s Z (s P (s P (s P Αντικαθιστώντας το s με jω, το κέρδος (μέτρο θα είναι: Εκφράζοντας το κέρδος σε db θα έχουμε: T(j (db (db (j Z (j Z (j Z (j P (j P (j P (j Zi i (db Απόκριση Συχνότητας (j P i i (db
Διαγράμματα Bode Κέρδους (ΙΙ Η στρατηγική για τη σχεδίαση των διαγραμμάτων Bode του κέρδους Τ(jω σε db είναι απλή και βασίζεται στη σχεδίαση ξεχωριστά κάθε όρου στο δεξί μέρος τηςπροηγούμενηςεξίσωσηςκαιστησυνέχειαμευπέρθεσητωνγραφημάτων γίνεται η εξαγωγή γή του διαγράμματος: α Αρχικά ο όρος α db =0log 0 α δίνει μία οριζόντια ευθεία γραμμή στο επίπεδο 0log 0 α. β Οι όροι (jωζ i db =0log 0 (jωζ i μπορούν να αναλυθούν ως ακολούθως: i. Για ω<<ζ i ο όρος jωζ i μπορεί να αντικατασταθεί με το Ζ i με αποτέλεσμα για αυτές τις τιμές του ω η γραφική απόδοση είναι μία οριζόντια ευθεία γραμμή στο επίπεδο 0log 0 Ζ i. ii. Για ω>>ζ i οόρος jωζ i μπορεί να αντικατασταθεί με jω, που απλά είναι το ω. Συνεπώςγιααυτέςτιςτιμέςτουωηγραφικήαπόδοσηείναι μία ευθεία γραμμή με κλίση 0dB/dec (λογαριθμική κλίμακα στον x άξονα. Υπενθύμιση: logx y logx logy Απόκριση Συχνότητας 3 Διαγράμματα Bode Κέρδους (ΙΙΙ Κέρδος (db ιάγραμμα Bode Κέρδους Η συχνότητα ω= Ζ i ονομάζεται συχνότητα γονάτου Στη συχνότητα αυτή εμφανίζεται η μέγιστη απόκλιση από την πραγματική καμπύλη πραγματική απόκριση συχνότητας κλίση 0dB/dec 0log 0 Z i Zi db 3 0log 0 ω Z i db Z i 00 Z i 0 Z i 0 Zi 00 Zi δεκάδα decade ω (log Κέρδος (db κλίση 0dB/dec Όταν Ζ i =0 η γραφική τέμνει τον άξονα 0dB στο ω=. 0 db ω (log 0 00 0 3 0 4 Απόκριση Συχνότητας 4
Διαγράμματα Bode Κέρδους (ΙV γ Οι όροι (jωρ i db =0log 0 (jωρ i μπορούν να αναλυθούν ως ακολούθως: i. Για ω<<ρ i ο όρος jωρ i μπορεί να αντικατασταθεί με το Ρ i με αποτέλεσμα για αυτές τις τιμές του ω η γραφική απόδοση είναι μία οριζόντια ευθεία γραμμή στο επίπεδο 0log 0 Ρ i. ii. Για ω>>ρ i οόρος jωρ i μπορεί να αντικατασταθεί με jω, που απλά είναι το ω. Συνεπώςγιααυτέςτιςτιμέςτουωηγραφικήαπόδοσηείναι μία ευθεία γραμμή με κλίση 0dB/dec (λογαριθμική κλίμακα στον x άξονα. Απόκριση Συχνότητας 5 Διαγράμματα Bode Κέρδους (V Κέρδος (db P i 00 P i 0 Pi 0Pi 00Pi ω (log P i db 3 Pi db -0log 0 ω -0log 0 Ρ i πραγματική απόκριση συχνότητας κλίση 0dB/dec Η συχνότητα ω= Ρ i είναι η συχνότητα γονάτου ιάγραμμα Bode Κέρδους Απόκριση Συχνότητας 6 3
T(jω α Απλοποίηση Διαδικασίας Με βάση τη γενική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς μπορούμε να γράψουμε: (jω Z (jω Z...(jω Z α (jω P (jω P...(jω P Νέα πολλαπλασιαστική σταθερά T(jω α jω Z( (jω Z...(jω Z Z jω P ( (jω P...(jω P P jω ( (jω Z...(jω Z Z Z P jω ( (jω P...(jω P P P Με τη νέα έκφραση της συνάρτησης μεταφοράς, στο διάγραμμα Bode για το κέρδος, για τον παράγοντα (jω/ζ ήτονπαράγοντα(jω/p, ηευθείαπου αντιστοιχεί στη μονάδα βρίσκεται πάνω στον άξονα των x(στα 0dB. Έτσι η σχεδίαση του διαγράμματος Bode απλοποιείται σημαντικά. Απόκριση Συχνότητας 7 Διαγράμματα Bode Φάσης (Ι Έστω και πάλι η γενική παραγοντοποιημένη μορφή της συνάρτησης μεταφοράς: T(s (s Z (s Z (s Z (s P (s P (s P ( Αντικαθιστούμε το s με το jω : (j Z (j Z (j Z T(j (j P (j P (j P Η φάση θα δίνεται από τη σχέση: T(j ta ta i Zi i Pi Απόκριση Συχνότητας 8 4
Διαγράμματα Bode Φάσης (ΙΙ Η στρατηγική για τη σχεδίαση των διαγραμμάτων Bode της φάσης (Τ(jω βασίζεται και πάλι στη σχεδίαση ξεχωριστά κάθε όρου στο δεξί μέρος της εξίσωσης και την εν συνεχεία υπέρθεση των γραφημάτων ώστε να προκύψει το διάγραμμα: α Αρχικά επισημαίνεται ότι ο όρος α δεν επηρεάζει το διάγραμμα. β Οι όροι (jωζ i μπορούν να αναλυθούν ως ακολούθως: i. Για ω< Ζ i /0, η γραφική απόδοση είναι μία οριζόντια ευθεία γραμμή στο επίπεδο 0deg. ii. Για Ζ i /0<ω<0 Ζ i, η γραφική απόδοση είναι μία ευθεία γραμμή με κλίση 45deg/dec (log κλίμακα στον x άξονα. iii. Για ω>0 Ζ i, η γραφική απόδοση είναι μία οριζόντια ευθεία γραμμή στο επίπεδο 90 deg. Απόκριση Συχνότητας 9 Διαγράμματα Bode Φάσης (ΙIΙ Ι Φάση (deg ιάγραμμα Bode Φάσης 90 ο 45 ο 0 ο 5.7 ο Z i 00 πραγματική φασική απόκριση συχνότητας Z i 0 Z i 5.7 ο κλίση 45 ο /dec 0 Zi 00 Zi Η μέγιστη απόκλιση του διαγράμματος από την πραγματική καμπύλη, στις συχνότητες Z i /0 και 0 Z i, είναι ίση με 5,7 ο. ω (log Φάση (deg o 90 o 45 Όταν Ζ i =0 η γραφική είναι παράλληλη στον x άξονα στις 90 ο. o 0 0 00 0 3 0 4 0 5 ω (log Απόκριση Συχνότητας 30 5
Διαγράμματα Bode Φάσης (ΙV γ Οι όροι (jωp i μπορούν να αναλυθούν ως ακολούθως: i. Για ω< P i /0, η γραφική απόδοση είναι μία οριζόντια ρζ ευθεία γραμμή στο επίπεδο 0deg. ii. Για P i /0<ω<0 P i, η γραφική απόδοση είναι μία ευθεία γραμμή με κλίση 45deg/dec (log κλίμακα στον x άξονα. iii. Για ω>0 P i, η γραφική απόδοση είναι μία οριζόντια ευθεία γραμμή στο επίπεδο 90 deg. Απόκριση Συχνότητας 3 Διαγράμματα Bode Φάσης (V Φάση (deg P i 0 ο 00 57 5.7 ο P i 0 Pi 0Pi 00Pi ω (log 45 ο κλίση 45 ο /dec 90 ο πραγματική φασική απόκριση συχνότητας 5.7 ο ιάγραμμα Bode Φάσης Η μέγιστη απόκλιση του διαγράμματος από την πραγματική καμπύλη, στις συχνότητες P i /0 και 0 P i, είναι ίση με 5,7 ο. Απόκριση Συχνότητας 3 6
Παράδειγμα 4(Ι Έστω κύκλωμα με συνάρτηση μεταφοράς τάσης Τ(s: s T(s 0 5 ( s/0 ( s/0 να βρεθούν οι πόλοι και τα μηδενικά και να σχεδιαστεί το κέρδος και η φάση ως προς τη συχνότητα. Υπάρχει ένα μηδενικό στο s=0. Οι πόλοι είναι στο s=0 rad/sec και στο s= 0 5 rad/sec. Απόκριση Συχνότητας 33 Κέρδος (db ιάγραμμα Bode Κέρδους Παράδειγμα 4(ΙΙ Το σχήμα δείχνει τα ασυμπτωτικά διαγράμματα Bode κέρδους για τους διάφορους παράγοντες της συνάρτησης μεταφοράς. ( ( Ευθεία γραμμή με κλίση 0dB/dec που αντιστοιχεί 60 (5 στο μηδενικό s=0. ( Καμπύλη που αντιστοιχεί στον 40 πόλο s= 0 και αποτελείται από δύο ασύμπτωτες που 0 (4 τέμνονται στο ω=0. (3 Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0 5 και αποτελείται 0 0 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 ω (log από δύο ασύμπτωτες που τέμνονται στο ω=0 5. 0 ( (3 (4 Οριζόντια ευθεία για την πολλαπλασιαστική σταθερά 40 0. (5 Με υπέρθεση (πρόσθεση των τεσσάρων καμπυλών έχουμε το ασυμπτωτικό διάγραμμα Bode για το κέρδος του ενισχυτή. Απόκριση Συχνότητας 34 7
Φάση (deg 90 ο Παράδειγμα 4(ΙIΙ Ι ιάγραμμα Bode Φάσης ( Το σχήμα δείχνει τα ασυμπτωτικά διαγράμματα Bode φάσης για τους διάφορους παράγοντες της συνάρτησης μεταφοράς. 45 ο (4 0 ο 3 4 0 5 0 0 0 0 0 6 7 8 0 0 0 45 ο ω φ3 ta 5 0 ( (3 90 ο φ ta ω 0 ω (log ( Οριζόντια γραμμή στις 90 ο που αντιστοιχεί στο μηδενικό s=0. ( Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0. (3 Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0 5. (4 Με υπέρθεση (πρόσθεση των τριών καμπυλών έχουμε το ασυμπτωτικό διάγραμμα Bode γιατηφάσητουενισχυτή. ed Απόκριση Συχνότητας 35 Παράδειγμα 5 (Ι Έστω κύκλωμα με συνάρτηση μεταφοράς τάσης Τ(s: T(s 0 9 (0 s (0 Να απλοποιηθεί η συνάρτηση μεταφοράς. Εν συνεχεία, να βρεθούν οι πόλοι και τα μηδενικά και να σχεδιαστεί το κέρδος και η φάση ως προς τη συχνότητα. Απλοποιημένη συνάρτηση μεταφοράς: 3 s s (0 4 s s T(s 0 3 4 ( s/0 ( s/0 ( s/0 Υπάρχει ένα μηδενικό στο s=0. Οι πόλοι είναι: s= 0rad/sec, s= 0 3 rad/sec και s= 0 4 rad/sec. Απόκριση Συχνότητας 36 8
Παράδειγμα 5 (ΙΙ Γράφουμε τα ασυμπτωτικά διαγράμματα Bode κέρδους για Κέρδος (db τους διάφορους παράγοντες της συνάρτησης μεταφοράς. ( Ευθεία γραμμή με κλίση 60 ιάγραμμα Bode Κέρδους 0dB/dec που αντιστοιχεί ( στο μηδενικό s=0. 40 (6 ( Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0 και αποτελείται 0 (5 από δύο ασύμπτωτες που τέμνονται στο ω=0. (3 Καμπύλη που αντιστοιχεί στον 3 4 5 7 8 0 ω (log πόλο s= 0 3 και αποτελείται 0 0 0 0 0 0 0 από δύο ασύμπτωτες που 0 τέμνονται στο ω=0 3. ( (3 (4 (4 Καμπύλη που αντιστοιχεί στον 40 πόλο s= 0 4 και αποτελείται από δύο ασύμπτωτες που 60 τέμνονται στο ω=0 4. 0 6 (6 Με υπέρθεση (πρόσθεση των πέντε καμπυλών έχουμε το ασυμπτωτικό διάγραμμα Bode για το κέρδος του ενισχυτή. (5 Οριζόντια ευθεία για την πολλαπλασιαστική σταθερά 0. Απόκριση Συχνότητας 37 Φάση (deg Παράδειγμα 5 (ΙIΙ Ι ιάγραμμα Bode Φάσης 90 ο ( 45 ο (5 0 ο 3 4 0 5 0 0 0 0 0 0 6 45 ο 90 ο φ ta 35 ο 80 ο ( (3 ω 0 φ ta 3 ω 0 3 Γράφουμε τα ασυμπτωτικά διαγράμματα Bode φάσης για τους διάφορους παράγοντες της συνάρτησης μεταφοράς. (4 4 7 0 φ ta 8 0 ω 4 0 ω (log ( Οριζόντια γραμμή στις 90 ο που αντιστοιχεί στο μηδενικό s=0. ( Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0. (3 Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0 3. (4 Καμπύλη που αντιστοιχεί στον πόλο s= 0 4. (5 Με υπέρθεση (πρόσθεση των τριών καμπυλών έχουμε το ασυμπτωτικό διάγραμμα Bode γιατηφάσητουενισχυτή. ed Απόκριση Συχνότητας 38 9