Μετάβαση φάσης 1ης τάξης Η Πολυκανονική Μέθοδος Νικολακόπουλος Ηλίας Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ιούλιος 2010 4-state Potts
Στατιστικές συλλογές (esembles) Στατιστική συλλογή: νοητό σύνολο πανομοιότυπων συστημάτων στατική δομή δεν προσομοιώνεται! Λύση: αλυσίδα Marov δυναμική δομή χρονοσειρά καταστάσεων ισοδύναμος υπολογισμός μέσης τιμής. Μικροκανονική συλλογή B βe P E =c B E e βe Κανονική συλλογή Μεγαλοκανονική συλλογή Πολυκανονική συλλογή (ή γενικευμένη) w =e,
q-state Potts model Συνάρτηση ενέργειας στο γενικευμένο Potts: 1 Μαγνήτιση Potts ως προς q0: i 2 N J qj N M = J = q 1 q 1 Παράμετρος τάξης! M q = δ q, q 0 N 0 2dN βε = βe 0 HM = 2 J ij qi, q j δ qi, q j q ij q0 Metropolis updatig: Τυχαία επιλογή πλεγματικής θέσης, πιθανότητα: 1/Ν Επιλογή q-state: 1,...,q, με πιθανότητα 1/q Αποδοχή με: w ' p ', =mi 1, w a i=1 δ 1, q i
Μετάβαση φάσης 1ης τάξης και s μια συνήθης μέτρηση: f β<βc : καθαρή φάση 1 β>βc : καθαρή φάση 2 β~βc : μικτή φάση αποτελλούνται και από τις 2 καθαρές φάσεις! Η επιφάνεια φέρει ελεύθερη ενέργεια fa= fs A, A=2L για 2d πλέγμα. Pmi / Pma x ~ exp(fsa) Διάγραμμα καθαρών και μικτών φάσεων. [Kari Rummuaie, Lecture Notes]
10-state Potts [B.A.Berg, T.Neuhaus (1991)] 10-state Potts βc 0.71 Δομή διπλής κορυφής Χάσμα ~ L Υσουψείς κορυφές μέτρηση fs?
20-state Potts βcps 0.85 Δομή διπλής κορυφής Όχι ισουψείς κορυφές Αναζύγιση στη βc Μέτρηση fs? Plateau ~ L Μήπως εξυπηρετεί Ενίσχυση με επιμήκυνση μιας διάστασης πλέγματος [A.Billoire, Τ.Neuhaus, B.A.Berg (1993)] [B.Grossma, M.L. Laurse (1993)]
Ανεπαρκή sweeps Πρακτικά L=70, ~10 h Ακριβός τρόπος εκτίμησης μετάβασης. Ισχυρή καταπίεση Ανεπαρκής στατιστική ακόμα και για L=24
Και μια... παρεξήγηση 4-state Potts q 4 Μετάβαση 2ης τάξης q>4 Μετάβαση 1ης τάξης Στο σχήμα: ψευδομετάβαση 1ης τάξης Χρειάζεται μεγάλο L για να αποφανθούμε
Μια απλούστερη εκτίμηση: Βρόχοι υστέρησης β βc + λίγα sweeps! Η κάθε διαδρομή καθυστερεί λόγω της αντίστοιχης κορυφής στο P(M). Ύπαρξη βρόχου μετάβαση φάσης Περισσότερα sweeps σμίκρυνση βρόχου 2d 10-state Potts σε L=20x20 100 equilibratio sweeps + 32x100 sweeps μετρήσεων. Χρήσιμη μέθοδος για χαμηλή υπολογιστική ισχύ!
Υπερκρίσιμη καθυστέρηση (Supercritical slowig dow) P (Emi ) ~ Ld exp(-fs A) Πρέπει να ενισχύσουμε τις ενδιάμεσες καταστάσεις! Βασική λειτουργία της Πολυκανονικής Μεθόδου στη μελέτη μεταβάσεων φάσης 1ης τάξης. Γενική ιδέα: Τροποποίηση των βαρών έτσι ώστε να ανακόπτουν την ισχυρή εξάρτηση της P(E) από την Ε. Το σύστημα επισκέπτεται όλες τις καταστάσεις με περίπου ίση πιθανότητα
Η Πολυκανονική Μέθοδος (Multicaoical Method) Βάρη Boltzma: wb (E) = e-β E() Κατανομή : P(E) = cb wb(e) = cb (E) e-β E (E): φασματική πυκνότητα καταστάσεων Πρέπει να απαλοιφεί Χρειαζόμαστε βάρη που συμπεριφέρονται σαν: 1/(E) Πολυκανονική προσέγγιση wmu (E) = exp (-b(e)e+α(e)), b,α: παράμετροι Κατανομή: Pmu (E)=cmu (E) wmu (E) cmu
Η αναδρομή για τα βάρη Τα βάρη 1/(E) δεν είναι a-priori γνωστά Αναδρομική προσέγγιση μέσω των α(e), b(e) w =e S E 1 b E = = T E E Διακριτοποίηση: S E =e και b E = b E E α E α E = F E E = S E =b E S E T E T E S E ε S E ε Με εξίσωση των εκθετών, κάνοντας ένα βήμα στην ενέργεια και χρήση της τελευταίας σχέσης : α E ε =α E [ b E ε b E ] E Γι' αυτό συμφέρει η συγκεκριμένη τυποποίηση! α E max =0 α 0 Ε =0, b E =b0 0
αναδρομή για τo b(e) w 1 0 E =e Έτσι ώστε: S 1 0 E w E =c, H E Η E H E =max [ h0, H E ] 1 S 0 E = l c S E l H E b 1 Ε 0 Υπολογίζοντας το b 1 0 από τη σχέση ορισμού του, τελικά: l H E ε l H E E =b E ε Μετά από λίγη στατιστική: 2 σ [b 1 0 Τελικά: b 1 E = g E b E g 0 E b 1 E 0 b H E ε H E c' c' E ]= g 0 E = H E ε H E H E ε H E 1 E ε l H E l H E =b E g E ε 0
Πρακτικά... S E w E e R E εb E = S E ε = w E ε e Που στο (+1) βήμα θα δώσει: R 1 H E ε E =R E H E g 0 E Σημαντικές παράμετροι Πολυκανονικής Προσομοίωσης: ami, amax : ενεργειακό φάσμα maxtu : μέγιστο πλήθος tuelig evets (ή cyclig) rec_max: μέγιστο πλήθος αναδρομών πριν τη διακοπή
10-state Potts [B.A.Berg] Αναπαρήχθη με το πακέτο STMC O exp βe b E E α E i O= i=1 i i i i exp βe b E E α E i =1 i i i i f= E f E h mu E exp βe b E E α E E h mu E exp βe b E E α E
Τί πετύχαμε; Κανονικό ιστόγραμμα + Πολυκανονικό αναζυγισμένο στη βc [Kari Rummuaie L.Notes] Η στατιστική στις ενδιάμεσες καταστάσεις βελτιώθηκε αισθητά!
Υπολογισμός επιφανειακής τάσης Διεξαγωγή πολυκανονικών προσομοιώσεων για διάφορα L. Αναζύγιση σε βc (θα πρέπει να τη βρούμε) P mi Υπολογισμός του λόγου P max Υπολογισμός της fs Επανάληψη για κάθε L FSS (fiite size scalig) Παρατηρούμε την οριακή συμπεριφορά του συστήματος στο θερμοδυναμικό όριο. Επιφανειακές τάσεις στο q=10 Potts και FS L extrapolatio. [B.A.Berg, T.Neuhaus (1992)]
Συνάρτηση επιμερισμού K Z β = e βe Z 0 =K =q Ν =1 Σταθερό σημείο! Αρκεί η β=0 να είναι εντός β-φάσματος. c β E E e βe Ο εκτιμητής για την P(E) είναι: P E = =1 c β = cβ c mu 1 1 c0= Z β K h mu E βe e w mu E Τότε: β=0 c mu και τότε η συνθήκη: E P E =1 Fixed! Και έπονται: cβ Z β Fixed! 1 F β = β l Z β, S= E F T
Διάγραμμα δράσης 2dN E = d iact, q 0 iact = δ qi, q j, ij iact =0,1,2,..., li
Διάγραμμα C/N C= de = β 2 E 2 E 2 dt β c 0.71 10-state Potts σε L=20x20. 100000 equilibratio sweeps και 32x100000 sweeps μετρήσεων. [Berg (2003)]. Αναπαρήχθη με χρήση του πακέτου STMC.
Διάγραμμα F/N
Διάγραμμα S/N
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ!