Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α<β. 2. Διατυπώστε το θεώρημα του Taylor με υπόλοιπο παραγώγου. 3. Υπο ποιές προϋποθέσεις ισχύει; 4. Ποιό το ΘΜΤ (Θεώρημα της Μέσης Τιμής); 5. Ποιά η γεωμετρική ερμηνεία του ΘΜΤ; 6. Ποιά η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Taylor όταν κρατήσουμε 1 ή 2 ή 3 όρους; 7. Ποιό το σφάλμα της προσέγγισης κατά τον Τaylor με πολυώνυμο βαθμού κ (με κ+1 όρους); 8. Ποιός ο τρόπος να απαλλαγούμε από το άγνωστο σημείο ξ που εμφανίζεται στο υπόλοιπο του Θεωρήματος Τaylor, ώστε να φράξουμε το σφάλμα; 9. Φράγμα για το σφάλμα προσέγγισης της πρώτης παραγώγου στο x με τη διαφορά προς τα μπρός [f(x+δx)-f(x)]/δx; 10. Με τη διαφορά προς τα πίσω; 11. Με την κεντρική διαφορά για ισαπέχοντα σημεία; 12. Με την κεντρική διαφορά για μη ισαπέχοντα σημεία; 13. Ας είναι x-α<x<x+β τρία σημεία. Πώς προσεγγίζεται καλύτερα η τιμή f(x) συναρτήσει των τιμών της f στα x-α και x+β; Ειδική περίπτωση α=β=δx; 14. Τρία πάλι σημεία όπως πριν, με α=β=δx; Να βρεθεί προσέγγιση της f (x) συναρτήσει των τιμών f(x-δx), f(x), f(x+δx). Φράγμα για το σφάλμα; 15. Πώς προκύπτει από το ΘΜΤ το παρακάτω Θεώρημα του Rolle ; An η f είναι συνεχής, τότε μεταξύ δύο ριζών της f υπάρχει μια ρίζα της f 16. Ποιο είναι το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας; 17. Τι είναι γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία σε γραμμικό (διανυσματικό) χώρο; 18. n στοιχεία παράγουν ποιό χώρο; Παράδειγμα γεωμετρίας;
19. Γιατί θέλουμε τα n στοιχεία που παράγουν κάποιο χώρο να είναι γραμμικώς ανεξάρτητα; 20. Ποιός ο χώρος που παράγεται από τις συναρτήσεις Β κ (x) = x κ, κ = 0,..., n; 21. Ποιοί οι χώροι C κ (Ω); Μέτρα; 22. Πότε ένας χώρος είναι πυκνός μέσα σε άλλον; 23. Κλασσικό παράδειγμα: Ποιό το θεώρημα του Weierstrass για την προσέγγιση συνεχούς συνάρτησης; 24. Γενικός αλγόριθμος προσέγγισης (με στοιχεία χώρων πεπερασμένης διάστασης) Είσοδος: n < πληροφορίες για την άγνωστη συνάρτηση f Έξοδος: μια συνάρτηση g n, που ανήκει σε χώρο πεπερασμένης διάστασης n και που (ελπίζεται ότι) είναι καλή προσέγγιση στην f. Σχόλιο: για να είναι καλή πρέπει τουλάχιστον lim f - g n = 0 n ακολουθία προσεγγίσεων, κάποιο μέτρο ως προς n, που ελπίζεται ότι όπως.,. 2 συγκλίνει στην f f - gn = μέτρο (μέγεθος) του σφάλματος προσέγγισης. ΒΗΜΑ 1 Επιλέγεται η ακολουθία χώρων Sn πεπερασμένης διάστασης. Ο Sn είναι ο χώρος που παράγεται από τις συναρτήσεις Β 1,...,Β n που τις επιλέγουμε εμείς (άρα τις γνωρίζουμε). Οι Βκ θα είναι γραμμικώς ανεξάρτητες. Πρέπει ο Sn να γίνεται πυκνός στο (μεγάλο) χώρο Χ που ανήκει n άγνωστο f. Τώρα g n = a 1 B 1 + + a n B n, Όπου οι συντελεστές ak είναι άγνωστοι και πρέπει να βρεθούν. ΒΗΜΑ 2 Εφαρμόζονται οι n πληροφορίες για την f, οπότε κατασκευάζονται n εξισώσεις με άγνωστες τους a 1,, a n ΒΗΜΑ 3 Λύνεται το σύστημα των n εξισώσεων. 25. Η f είναι ορισμένη στο [0, 1]. Έστω Ν φυσικός και έστω σαν h=1/n, x i =ih, i=0,,n. Δίνονται το ολοκλήρωμα της f στο [0, 1], οι τιμές f (0), f (0), f (1), f (1) και οι τιμές f(x i ), i=1,,(n-1). Nα προσεγγισθεί η f. 26. Να εφαρμοσθεί ο γενικός αλγόριθμος για προσέγγιση μιας f όπου δίνονται οι n=2 πληροφορίες, f(-1)=0, f(1)=1 επιλέγοντας Β 1 (x)=1, Β 2 (x)=x 2 (είναι απλές συναρτήσεις και είναι γραμμικώς ανεξάρτητες).
27. Να προσεγγισθεί η λύση n της πολύπλοκης διαφορικής εξίσωσης u (x) 3 + 5u (x) u(x) 2 = (sinx) 8 e x, 0<x<1, u(0)=0, u(1)=13 με ένα πολυώνυμο βαθμού n. 28. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΠΛΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ. Οι n πληροφορίες που δίνονται για την f είναι οι τιμές της f σε n διαφορετικά σημεία. Άρα δίνονται f(x 1 ),,f(x n ), όπου x 1 < <x n. Ζητείται να βρεθεί μια προσέγγιση για την f. (α) Αν επιλέξουμε προσέγγιση με πολυώνυμο, αυτό θα είναι βαθμού n-1(γιατί;), έστω P n (x) = α 1 + α 2 x + + α n x n-1. (21.α) Έχουμε δηλαδή επιλέξει τώρα Β 1 (x)=1, B 2 (x)=x,, B n (x)=x n-1. Ποιο το σύστημα που παράγεται; Γιατί δεν μας αρέσει; (β) Αν δεν επιλέξουμε τις συγκεκριμένες Β, δηλαδή τώρα P n (x) = α 1 B 1 (x) + + α n B n (x). (21.β) για κάποιες B i (x) (γνωστές μας), ποιό το σύστημα; Πόσο καλό ή κακό είναι; Πότε υπάρχει μια και μοναδική λύση; 29. Μορφή Lagrange. Πάλι απλή παρεμβολή, πάλι προσέγγιση με πολυώνυμο P n (x) (βαθμού n), αλλά αλλάζουμε βάση (αλλάζουμε συναρτήσεις Β) ώστε ο πίνακας που θα προκύψει να είναι διαγώνιος. Άρα πρέπει:!"όλες οι Βi να είναι γραμμικώς ανεξάρτητες και να είναι πολυώνυμα βαθμού n-1 (ώστε να δίνουν P n επίσης πολυώνυμο βαθμού n-1).!"να ισχύει Β i (x j ) =;!"Άρα Β i (x)= (Καλούνται πολυώνυμα Lagrange)!"Άρα P n (x)= 30. Θεώρημα. Yπάρχει ακριβώς ένα πολυώνυμο P n (βαθμού n-1) που λύνει το πρόβλημα της απλής παρεμβολής, δηλ. P n (x i ) = f(x i ) για n διαφορετικά σημεία x i. Απόδειξη; 31. Τέσσερα μειονεκτήματα της μορφής Lagrange: 32. Μορφή Newton. Να επιλεγούν οι Β ώστε ο πίνακας να είναι κάτω τριγωνικός. Ποιά η λύση του συστήματος; Σε τι διαφέρει το νέο πολυώνυμο από αυτό της μορφής Lagrange; 33. Πως ορίζεται η διαιρεμένη διαφορά (δ. δ) της f, τάξης κ-1 σ ένα σύνολο διαφορετικών σημείων τ 1,,τ κ (που δεν είναι αναγκαστικά τα σημεία παρεμβολής x), κ 1. Συμβολισμός [τ 1, τ κ ] f.
34. Δείξτε ότι [τ 1,,τ κ ]f = 35. Δείξτε ότι [τ 1, τ κ ] f = P(x) (κ-1) /(κ-1)! για όλα τα x, όπου Ρ το πολυώνυμο παρεμβολής στα τ i. 36. Δείξτε ότι η [τ 1, τ κ ]f είναι συμμετρική συνάρτηση των τ i, ανεξάρτητη δηλαδή από τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα τ i. 37. Λύνοντας το σύστημα που προκύπτει στο 24 παρατηρείστε ότι ισχύει η αναδρομική σχέση [τ 1, τ 2,, τ κ, τ κ+1 ]f= και αποδείξτε την. 38. Έτσι όχι μόνο έχουμε μια αναδρομική σχέση για τον υπολογισμό των δ. δ. αλλά γνωρίζουμε και το ζητούμενο πολυώνυμο στη μορφή Newton P n (x)= Σημειώστε ότι P n= P n-1 + επόμενος όρος 39. H σχέση αυτή δίνει και τον συστηματικό τρόπο παραγωγής των συντελεστών του P n με τον πίνακα δ. δ.: 40. Να λυθεί το πρόβλημα της παρεμβολής με τις συνθήκες x: -1 0 ½ 1 f(x): 0 1 ¾ 4 και για τις τρεις μορφές του πολυωνύμου 41. Έρχεται τώρα και η νέα πληροφορία f(-2) = -23. Να βρεθεί το νέο πολυώνυμο παρεμβολής. 42. Πώς εφαρμόζεται ο κανόνας Horner (πολ/σμός φωλιάς) για τον υπολογισμό της τιμής f(x) δοθείσης της τιμής x; 43. Πώς ορίζονται οι πεπερασμένες διαφορές για πολλαπλά σημεία; 44. Να λυθεί το πρόβλημα της παρεμβολής με της συνθήκες f(1) = 3, f (1) = 2, f (1) = 2, f (1) = 12, f(2) = 0, f (2) = 1 45. Δίνεται ln(2)=0.693147. Να βρεθεί η τιμή ln(1.5) με παρεμβολή Hermite στα σημεία 1 και 2
46. Ας είναι [a, b] ένα διάστημα που περιέχει τα σημεία τ 1,, τ κ+1 [ π.χ. a=min{τ 1,, τ κ+1 }, b=max{ τ 1,, τ κ+1 }] και fε C (κ) [a, b]. Nα δειχθεί ότι τότε υπάρχει ξε (a, b) τέτοιο ώστε [τ 1,, τ κ+1 ]f = f (κ) (ξ) / κ! 47. Άρα [τ,, τ] f = κ φορές (βλ. και ορισμό που δόθηκε στο 43) 48. Για την παρεμβολή στα σημεία x 1,, x n, που δεν είναι κατ ανάγκην όλα διαφορετικά, και για fε C n [a, b], όπου [a, b] είναι ένα διάστημα που περιλαμβάνει τα x 1,, x n, δείξτε ότι το σφάλμα της παρεμβολής, ε n : = f - P n, δίνεται από τον τύπο ε n (x) = [f (n) (ξ) / n!] (x-x 1 ) (x-x n ) για κάποιο ξε (a, b) 49. Δείξτε ότι το σφάλμα της παρεμβολής δίνεται και από τον τύπο ε n (x) = ([x 1,, x n, x]f) (x-x 1 ) (x-x n ) 50. Aς είναι Ψ n (x):=(x-x 1 ) (x-x n ), όπου ισχύουν οι υποθέσεις του 48. Δείξτε ότι ε n f (n) /n! Ψ n 51. και ότι ε n [ f (n) /n!](b-a) n 52. Πώς συγκρίνονται τα 48 εώς 51 με τα γνωστά αποτελέσματα του θεωρήματος Taylor; 53. Ποιο είναι το αναμενόμενο φράγμα στην παρεμβολή Hermite στο λογάριθμο, όπως στο 45; 54. Γενικότερα, για την παρεμβολή Hermite στα σημεία x 1 <x 2 με h: = x 2 -x 1, να βρεθεί φράγμα για το σφάλμα (με ποιες υποθέσεις για την f;) 55. Ίδιο πρόβλημα αλλά για την απλή παρεμβολή στα σημεία x 1, x 2 56. Ποιο είναι το μέγιστο σφάλμα στην προσέγγιση f(x1+x 2 ) f(x 1 )+f(x 2 ) 2 2 από 55; από Taylor; 57. Δείξτε ότι το φράγμα στο 54 είναι οξύ 58. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής της f, όπου f(x)=sin(x), 0 x π/2, στα σημεία 0, π/2. Να βρεθεί φράγμα για το μέγιστο σφάλμα. Στη συνέχεια να επισυναφθούν νέα σημεία 0, π/2 και να βρεθεί το νέο πολυώνυμο και το νέο φράγμα για το σφάλμα 59. Γνωρίζουμε (από π.χ. το 51) ότι όπως μεγαλώνει το πλήθος των σημείων (όπως δηλ. θα μεγαλώνει ο βαθμός του πολυωνύμου) το μέγιστο σφάλμα θα ελαττώνεται. Όμως
στην πράξη η προσέγγιση είναι κακή σύμφωνα με το παράδειγμα Runge (ΠR). Τι λέει το ΠR; Ποια τα σημεία Chebyshef και τι προσφέρουν; 60. Ας είναι x 1 =a<x 2 < <x N =b μια ομοιόμορφη διαμέριση του διαστήματος (a, b) (άρα x i =ih, όπου h:=(b-a)/ν; N=αριθμός υποδιαστημάτων, i=0,, N). Aς είναι P n η συνάρτηση - τεθλασμένη γραμμή που συμφωνεί με δοθείσα f στα σημεία x i. Εκφράζουμε το P n στη μορφή P n (x)=α i Β i (χ) + +α n B n (x) όπου θέλουμε α i =f(x i ), I=0,, N. Ποιο το n; Ποιες οι συναρτήσεις βάσης Β i ; Πώς υπολογίζεται το P n (x) για δοθεν x στο [a, b]; Ποιο το φράγμα για το μέγιστο σφάλμα προσέγγισης ε n :=f-p n με ποιες υποθέσεις για την f; Πώς μπορούμε πάντα να βρίσκουμε τις τιμές Β i (x) για οποιοδήποτε i χωρίς να έχουμε ξεχωριστό τύπο για κάθε Β i ; 61. Ίδιο πρόβλημα για παρεμβολή Hermite στο (διπλά πλέον) σημεία x 1,, x n. Για βοήθεια, θεωρείστε πρώτα τα κυβικά πολυώνυμα φ και ψ για sε [0, 1] που ικανοποιούν τις συνθήκες παρεμβολής x: 0 0 1 1 x: 0 0 1 1 φ: 1 0 0 0 ψ: 1 0 0 0 και λάβετε υπ όψιν ότι αν φ*(s):= φ(1-s) και ψ*(s):= ψ(1-s), τότε τα φ*, ψ* ικανοποιούν τις συνθήκες x: 0 0 1 1 x: 0 0 1 1 φ*: 1 0 0 0 ψ*: 1 0 0 0 62. Έστω f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3. Xωρίς παραγωγήσεις βρείτε τις ρίζες της f και των παραγώγων της, ή βρείτε πού περίπου βρίσκονται οι ρίζες αυτές. 63. Δίνεται f(x)=(x-1) 2 (3-x) 2. (α) Με απλή επιθεώρηση, προβλέψτε ακριβώς ή εκτιμήστε περίπου πού βρίσκονται οι ρίζες της f και των παραγώγων της. Στα επόμενα θεωρείστε τα διάστημα [1, 2] χωρισμένο σε Ν=10 υποδιαστήματα, άρα μήκους h=0.1. Τιμή ενδιαφέροντος x=1.36. Οι υπολογισμοί να γίνονται με 6 δεκαδικά ψηφία. (β) Προσέγγιση με πολυώνυμο κατά τμήματα γραμμικά (τεθλασμένες). Ποιός ο τύπος για το πολυώνυμο στο υποδιάστημα ενδιαφέροντος; Ποιά η προσέγγιση στην τιμή f(1.36) που δίνει το πολυώνυμο; Ποιό το σφάλμα; Ποιό το φράγμα για το μέγιστο σφάλμα; (γ) Ίδια ερωτήματα για την προσέγγιση με πολυώνυμο κατά τμήματα με παρεμβολή Hermite. (δ) Να βρεθούν οι προσεγγίσεις f (1.36), f (1.36), f (1.36) και για τα δύο είδη προσεγγίσεων. (ε) Να βρεθεί θεωρητικά η τιμή του ολοκληρώματος της f στο υποδιάστημα ενδιαφέροντος, καθώς και οι αντίστοιχες προσεγγίσεις του από τα ολοκληρώματα του πολυωνύμου και για τα δύο είδη προσέγγισης. Να ελεγχθεί αν τα σφάλματα δεν υπερβαίνουν τα προβλεπόμενα φράγματα.
(ζ) Ίδιο πρόβλημα αλλά για όλο το [1, 2], δηλ. τώρα με εφαρμογή του σύνθετου κανόνα του τραπεζίου και του διορθωμένου αντίστοιχα. 64. Βρείτε τύπο για την προσέγγιση της f (x) συναρτήσει των τιμών f(x-α), f(x) και f(x+β). Ποιό το φράγμα για το μέγιστο σφάλμα; Τι συμβαίνει όταν α=β=h; 65. Βρείτε τύπους για την προσέγγιση των f (x), f (x) συναρτήσει των τιμών f(x-h), f (x-h), f(x+h), f (x+h). 66. Έστω f(x) = ημx, 0 x π/2. Υπολογίστε προσεγγιστικά το ολοκλήρωμα Ι(f) της f στο διάστημα ενδιαφέροντος με τους παρακάτω κανόνες 1. Μέσου σημείου 2. Τραπεζίου 3. Simpson 4. Διορθωμένου τραπεζίου 5. Gauss - Legandre βαθμού 2 (με 2 σημεία) 6. Τους αντίστοιχους σύνθετους κανόνες για 2, 3, 4, 5, με Ν=3 υποδιαστήματα και με δεδομένες ως γνωστές τις τιμές που χρειάζονται σε κάθε περίπτωση 7. Ποιό είναι ένα φράγμα για το σφάλμα στις παραπάνω περιπτώσεις και στην 6 γενικά για οποιοδήποτε Ν 2; 67. Έστω f ορισμένη στο [0, 2]. Πόσους και ποιούς κανόνες ολοκλήρωσης μπορείτε να βρείτε που χρησιμοποιούν ως γνωστές τις τιμές f(0), f(0.5), f(1), f(1.5), f(2); 68. Ίδιο με 66 αλλά τώρα δίνονται f(0), f (0), f(1), f (1), f(2), f (2) 69. Ποιά τα φράγματα για τις περιπτώσεις 67, 68 70. Λύστε αριθμητικά το πρόβλημα συνοριακών συνθηκών u (x) - 12 u(x) = 36x 2 (1-x 2 ) 0<x<1 u (0)=0, u(1)=3, χρησιμοποιώντας πεπερασμένες διαφορές και τα σημεία x i = ih, i=0,,n, με Ν=4. 71. Τι θα άλλαζε στο σύστημα των εξισώσεων αν αλλάζαμε το x 3 από ¾ σε 0.8; 2 -x 72. Δίνεται f(x)= e και οι τιμές e=0.36788, e=0.77880 Προσεγγίστε την τιμή του 1 f(x)dx, υπολογίζοντας εύκολα όσες άλλες τιμές 0 χρειασθείτε. 1. Από τον κανόνα ορθογωνίου (Απ.: 1) 2. Μέσου σημείου (Απ.: 0.77880) 3. Τραπεζίου (Απ.: 0.68394) 4. Simpson (Απ.: 0.74718) 5. Διορθωμένου τραπεζίου (Απ.: 0.74525) 6. Gauss - Legandre 2 σημείων, χρησιμοποιώντας επιπλέον τις τιμές 3 =1.73205 2 -(0.21132) 2 -(0.45534) e = 0.95633, e = 0.49712 (Απ.:0.726725) Ποιά από τις παρακάτω θα δεχόσαστε ότι είναι η ακριβής τιμή του ολοκληρώματος; 0.76232, 0.70304, 0.74682, 0.74790