Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Άσκηση 1 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον προτασιακό λογισμό. (α) Κάθε ενεργός χρήστης είναι είτε διαχειριστής είτε κανονικός χρήστης του συστήματος. x [Ενεργός (x) Διαχειριστής(x) Κανονικός(x)] (β) Κανένας χρήστης δεν είναι και διαχειριστής και κανονικός χρήστης του συστήματος. x [Ενεργός (x) (Διαχειριστής(x) Κανονικός(x))] ή x[ενεργός (x) Διαχειριστής(x) Κανονικός(x)] (γ) Κάθε διαχειριστής του συστήματος έχει το δικαίωμα ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ_ΧΡΗΣΤΗ. x [Διαχειριστής (x) Έχει_Δικαίωμα(x, ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ_ΧΡΗΣΤΗ)] (δ) Οι κανονικοί χρήστες του συστήματος δεν έχουν το δικαίωμα ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ_ΧΡΗΣΤΗ. x [Κανονικός (x) Έχει_Δικαίωμα(x, ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ_ΧΡΗΣΤΗ)] (ε) Τουλάχιστον ένας διαχειριστής του συστήματος έχει όλα τα δυνατά δικαιώματα. x[(διαχειριστής(x) y (Δικαίωμα(y) Έχει_Δικαίωμα(x,y))] (ζ) Όλοι οι διαχειριστές του συστήματος έχουν τα ίδια ή και περισσότερα δικαιώματα από όλους τους χρήστες. x y[(διαχειριστής(x) Ενεργός(y)) z ((Δικαίωμα(z) Έχει_Δικαίωμα(y,z)) Έχει_Δικαίωμα(x,z))] (η) Όλοι οι χρήστες έχουν τα ίδια δικαιώματα. x y z [(Ενεργός (x) Ενεργός(y) Δικαίωμα(z)) (Έχει_Δικαίωμα(x,z) Έχει_Δικαίωμα(y,z))] (θ) Υπάρχει ακριβώς ένας διαχειριστής του συστήματος ο οποίος έχει περισσότερα δικαιώματα από όλους τους υπόλοιπους χρήστες. x y z w [(Διαχειριστής(x) Ενεργός(y) Δικαίωμα(z) Δικαίωμα(w)) ((Έχει_Δικαίωμα(y,z) Έχει_Δικαίωμα(x,z)) (Έχει_Δικαίωμα(y,w) y = x ))] Άσκηση 2 (α) x P(x,a) z y P(y,z) 1. x P(x,a) προϋπόθεση

2. x 0 P(x 0,a) υπόθεση 3. y P(y,a) πρ. υπόθεση 4. P(x 0,a) y e 2 5. e 2, 4 6. y P(y,a) i 3-5 7. z y P(y,z) z i 6 8. z y P(y,z) x e 1,2-7 (β) x [( y F(y)) G(x)] x y [F(x) G(y)] 1. x [( y F(y)) G(x)] προϋπόθεση 2. x 0 3. y 0 4. F(x 0 ) πρ. υπόθεση 5. ( y F(y)) G(y 0 ) x e 1 [y 0 /x] 6. y F(y) y i 4 7. G(y 0 ) MP 5, 6 8. F(x 0 ) G(y 0 ) i 4-7 9. y [F(x 0 ) G(y)] y i 3-8 10. x y [F(x) G(y)] x i 2-9 (γ) x (P(x) Q(x)), x Q(x), x (R(x) P(x)) x R(x) 1. x (P(x) Q(x)) προϋπόθεση 2. x Q(x) προϋπόθεση 3. x (R(x) P(x)) προϋπόθεση 4. x 0 Q(x 0 ) υπόθεση 5. P(x 0 ) Q(x 0 ) x e 1 [x 0 /x] 6. P(x 0 ) υπόθεση Q(x 0 ) υπόθεση 7. e 4, 6 8. P(x 0 ) e 7 9. P(x 0 ) e 5, 6-8 10. R(x 0 ) P(x 0 ) x e 3 [x 0 /x] 11. P(x 0 ) i 9 12. R(x 0 ) MT 10, 11 13. x R(x) x i 12 14. x R(x) x i 2, 4-13

(δ) x y (P(y) x = y) x y [(P(y) x = y) P(x))] 1. x y (P(y) x = y) προϋπόθεση 2. a y (P(y) a = y) υπόθεση 3. P(a) a = a y e 2 [a/y] 4. (P(a) a = a) (a = a P(a)) ορισμός 5. a = a P(a) e 2 4 6. a = a = i 7. P(a) MP 5, 6 8. b 9. P(b) a = b y e 2 [b/y] 10. (P(b) a = b) (a = b P(b)) ορισμός 11. P(b) a = b e 1 10 12. (P(b) a = b) P(a) i 7, 11 13. y [(P(y) a = y) P(a))] y i 8-12 14. x y [(P(y) x = y) P(x))] x i 13 15. x y [(P(y) x = y) P(x))] x e 1 2-14 (ε) x y (F(y) R(y,x)) x [F(x) y R(x,y)] 1. x y (F(y) R(y,x)) προϋπόθεση 2. a 3. F(a) προσωρινή υπόθεση 4. b y (F(y) R(y,b)) υπόθεση 5. R(a,b) υπόθεση 6. F(a) R(a,b) i 3,5 7. y (F(y) R(y,b)) y i 6 e 4,7 9. R(a,b) i 5-8 10. y R(a,y) y i 9 11. y R(a,y) x e 1 4-10 12. F(a) y R(a,y) i 3-11 13 x [F(x) y R(x,y)] x i 2-12 Άσκηση 3 Σύμφωνα με την Αλήθεια του Tarski: (α) Μ Ρ(a) αν και μόνο αν P M (a M ) = P M (1) = False (β) Μ R(a,b) αν και μόνο αν R M (a M,b M ) = R M (1,3) = True

(γ) Μ R(a,b) R(b,a) αν και μόνο αν Μ R(a,b) R(b,a) R(b,a) R(a,b) αν και μόνο αν Μ ( R(a,b) R(b,a)) ( R(b,a) R(a,b)) αν και μόνο αν [Μ R(a,b) ή Μ R(b,a)] και [Μ R(b,a) ή Μ R(a,b)] αν και μόνο αν [όχι Μ R(a,b) ή Μ R(b,a)] και [όχι Μ R(b,a) ή Μ R(a,b)] αν και μόνο αν [όχι R M (a M,b M ) ή R M (b M,a M )] και [όχι R M (b M,a M ) ή R M (a M,b M )] αν και μόνο αν [όχι R M (1,3) ή R M (3,1)] και [όχι R M (3,1) ή R M (1,3)] αν και μόνο αν [όχι True ή False] και [όχι False ή True] αν και μόνο αν [False] και [True] αν και μόνο αν False (δ) Μ R(b,b) ( P(a) R(a,a)) αν και μόνο αν R M (b M,b M ) ( P M (a M ) R M (a M,a M )) = R M (3,3) ( P M (1) R M (1,1)) = False ( False False) = False (True True) = True (ε) Μ x (R(a,x) R(x,b)) αν και μόνο αν M [ ] (R(a,x) R(x,b)) για κάποιο c A Αν επιλέξουμε c = 2, τότε έχουμε R M (a M,2) R M (2,b M ) = R M (1,2) R M (2,3) = True και επομένως η πρόταση ικανοποιείται. (ζ) Μ x [P(x) ( y R(y,x) y R(x,y))] αν και μόνο αν M [ ] [P(a) ( y R(y,a) y R(a,y))] για κάθε a A αν και μόνο αν M [ ] Ρ(a) ή M [ ] y R(y,a) y R(a,y) για κάθε a A αν και μόνο αν M [ ] Ρ(a) ή (M [ ] y R(y,a) και M [ ] y R(a,y)) για κάθε a A Προφανώς για a = 1 και a = 3 το πιο πάνω αληθεύει αφού M [ ] Ρ(a). Για a = 2, πρέπει να ελέγξουμε κατά πόσο M y R(y,2) και M y R(2,y)). Και οι δύο αυτές προτάσεις ικανοποιούνται αφού R(1,2) και R(2,3) και επομένως το ζητούμενο αληθεύει. (η) Μ x [P(x) y (R(y,x) R(x,y))] αν και μόνο αν M [ ] [P(a) y (R(y,a) R(a,y))] για κάθε a A αν και μόνο αν M [ ] Ρ(a) ή M [ ] y (R(y,a) R(a,y)) για κάθε a A Προφανώς για a = 1 και a = 3 το πιο πάνω αληθεύει αφού M [ ] Ρ(a). Για a = 2, πρέπει να ελέγξουμε κατά πόσο M y (R(y,2) R(2,y)). Αφού όμως για καμιά από τις τιμές του σύμπαντος {1,2,3} δεν ισχύουν και οι δύο προτάσεις R(y,2) και R(2,y), το ζητούμενο είναι ψευδές.

Άσκηση 4 (α) x y (P(x) (P(y) (x = y))) x y (x = y) Η πρόταση είναι ικανοποιήσιμη. Ας θεωρήσουμε το μοντέλο: Α = το σύνολο των περιττών αριθμών Ρ(x) = το x διαιρείται από το 2 Στο μοντέλο αυτό η πρόταση x y (P(x) (P(y) (x = y))) είναι αληθής: Αν x = y έχουμε F (F F) = T ενώ αν x y έχουμε F (F T) = T. Η πρόταση x y (x = y) είναι επίσης αληθής, αφού στο μοντέλο υπάρχουν δύο στοιχεία που διαφέρουν μεταξύ τους. Η παρατήρηση αυτή μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η πρόταση δεν είναι έγκυρη αν περιορίσουμε το σύμπαν του μοντέλου μας σε ένα σύνολο που περιέχει μόνο ένα στοιχείο. Για παράδειγμα αν θέσουμε: Α = {3} Ρ(x) = το x διαιρείται από το 2 Στο μοντέλο αυτό η πρόταση x y (P(x) (P(y) (x = y))) είναι αληθής: x = y = 3 και έχουμε F (F F) = T. Σε αντίθεση όμως με την προηγούμενη περίπτωση, η πρόταση x y (x = y) είναι ψευδής, αφού στο μοντέλο δεν υπάρχουν δύο διακριτά στοιχεία. Επομένως η αρχική πρόταση δεν ικανοποιείται. (β) x y (S(x,y) ( z (S(x,z) S(z,y)))) H πρόταση αυτή είναι ικανοποιήσιμη. Ας θεωρήσουμε το μοντέλο: Α= το σύνολο των φυσικών αριθμών S(x,y) = x y Προφανώς για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών a και b, αν a b τότε υπάρχει c τέτοιο ώστε a c και c b, π.χ., c = a. Εντούτοις η πρόταση δεν είναι έγκυρη αφού υπάρχει μοντέλο στο οποίο η πρόταση δεν είναι αληθής. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε το μοντέλο με Α= το σύνολο των φυσικών αριθμών S(x,y) = x < y Τότε, αν και 1 < 2, δεν υπάρχει φυσικός αριθμός ο οποίος να βρίσκεται ανάμεσα στο 1 και το 2, επομένως [ x y (x < y ( z (x<z z<y)))] (γ) [ x y (P(x) Q(y))] [ x(p(x) y Q(y))] Θα αποδείξουμε ότι η πρόταση είναι έγκυρη. Υποθέτουμε, για να φτάσουμε σε αντίφαση, ότι η πρόταση δεν είναι έγκυρη. Τότε, για κάποιο μοντέλο Μ Μ x y (P(x) Q(y)) (1) και Μ x(p(x) y Q(y)) (2) Αφού Μ x(p(x) y Q(y)), τότε υπάρχει κάποιο a τέτοιο ώστε Μ P(a) y Q(y), δηλαδή Μ P(a) (3) και Μ y Q(y), δηλαδή, δεν υπάρχει τιμή c για την οποία Μ Q(c). (4)

Από το (1) πιο πάνω, έχουμε ότι για κάθε τιμή του x, έστω b, Μ y (P(b) Q(y)). Συνεπώς, η πρόταση ισχύει και για x = a, δηλαδή, Μ y (P(a) Q(y)). Επομένως, υπάρχει κάποια τιμή για το y έστω b τέτοια ώστε, Μ P(a) Q(b). (5) Από το (5) και το (3) πιο πάνω, συμπεραίνουμε ότι Μ Q(b). (6) Οι προτάσεις (4) και (6) μας οδηγούν σε αντίφαση και επομένως η αρχική μας υπόθεση είναι λανθασμένη. Συμπέρασμα: Η πρόταση είναι έγκυρη.