Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Ρίζες των συναρτήσεων Bessel Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Ενότητα 8 11 Ρίζες των συναρτήσεων Bessel Στην ενότητα αυτή ϑα δώσουµε κάποια ϑεωρήµατα, που αφορούν στις ϱίζες των συναρτήσεων Bessel J ν (z), των παραγώγων J ν(z) και των µικτών AJ ν (z)+bzj ν(z), B. Θεώρηµα 11.1: Ολες οι ϱίζες της J ν (z), εκτός ίσως απ το µηδέν, είναι απλές. Απόδειξη. Εστω z µια ϱίζα της J ν (z) µε πολλαπλότητα, τουλάχιστον δύο. Τότε ϑα ισχύουν : J ν (z ) = και J ν(z ) =. Η δ.ε. Bessel είναι γραµµική, οµογενής ης τάξης, µε συνεχείς συντελεστές (z ) και ικανοποιεί και τις οµογενείς αρχικές συνθήκες. Βάσει του ϑεωρήµατος ύπαρξης και µοναδικότητας του Π.Α.Τ., ϑα έχει µια µοναδική λύση, την µηδενική. Άρα J ν (z) =, άτοπο. Οπότε, δεν µπορεί η ϱίζα z να έχει πολλαπλότητα. Σηµείωση 11.1: Απ το Θεώρηµα 11.1 έπεται ότι οι συναρτήσεις J ν (z) και J ν(z) δεν µπορεί να έχουν κοινή ϱίζα. Θεώρηµα 11.: Ολες οι ϱίζες της J ν(z), είναι απλές, εκτός ίσως απ το z = ή z = ±ν. Απόδειξη. Εστω z µια ϱίζα της J ν(z) µε πολλαπλότητα, τουλάχιστον δύο. Τότε : J ν(z ) = και J ν (z ) =. Από τη δ.ε. Bessel για z = z παίρνουµε : zj ν (z ) + zj ν(z ) + (z ν )J ν (z ) =. Αφού z ±ν τότε αναγκαστικά J ν (z ) =, οπότε από το Θεώρηµα 7.1 είναι άτοπο. Πρόταση 11.1: Οι συναρτήσεις J ν (z) ή J ν(z) δεν µπορεί να έχουν κοινή ϱίζα µε τη συνάρτηση AJ ν (z) + BzJ ν(z), A ή B. Απόδειξη. Εστω z µια κοινή ϱίζα των J ν (z) ή J ν(z) µε την AJ ν (z)+bzj ν(z) =. Τότε : AJ ν (z ) + BzJ ν(z ) = (11.1) και ή J ν (z ) = (11.) J ν(z ) =. (11.3) Αν ισχύει η (11.) τότε απ την (11.1) έπεται J ν(z) =, άτοπο απ το Θέωρηµα 7.1. Αν ισχύει η (11.3) τότε απ την (11.1) έπεται J ν (z) =, άτοπο απ το Θέωρηµα 11.1. 6

Θεώρηµα 11.3: Αν z C είναι ϱίζα της J ν (z), τότε και οι z, ±z ϑα είναι, επίσης, ϱίζες αυτής. Απόδειξη. Αν z =, είναι προφανές. Εστω z µια ϱίζα της J ν (z). Τότε από την ισότητα ( z ν ( 1) J ν (z) = ) κ z ) κ, (11.4) ( 1) κ z ) κ. έπεται ότι το z ϑα είναι ϱίζα και του αθροίσµατος Αυτή η σειρά όµως, είναι άρτια µε πραγµατικούς συντελεστές. Άρα, αν ϑέσουµε όπου z το z ή ±z, ϑα µηδενίζεται και πάλι το άθροισµα, άρα και η J ν (z). Θεώρηµα 11.4: Αν z C είναι ϱίζα της J ν(z), τότε και οι z, ±z ϑα είναι, επίσης, ϱίζες αυτής. Απόδειξη. Παραγωγίζοντας την J ν (z) ως προς z, παίρνουµε : ( z ν 1 J ν(z) ( 1) = ) κ( ν + κ) z ) κ, (11.5) Οπότε αν z C είναι ϱίζα της J ν(z), ϑα είναι ϱίζα και του αθροίσµατος ( 1) κ( ν + κ) z ) κ. Η σειρά αυτή είναι άρτια µε πραγµατικούς συντελεστές. Άρα και οι z, ±z µηδενίζουν τη σειρά, άρα και την J ν(z). Θεώρηµα 11.5: Για ν > 1 η συνάρτηση Bessel J ν (z) έχει µόνο πραγµατικές ϱίζες. Απόδειξη. Αφού ν R, αν z C είναι ϱίζα της J ν (z), απ το Θεώρηµα 11.3, ϑα είναι ϱίζα και z C, δηλαδή J ν (z ) = = J ν (z ). (11.6) Εφαρµόζουµε το πρώτο ολοκλήρωµα Lommel, για γ = 1, α = z,, β = z, οπότε α β και παίρνουµε : (z z ) (11.6) = (z z ) tj ν (z t)j ν (z t)dt = z J ν (z )J ν(z ) z J ν(z )J ν (z ) (11.7) t J ν (z t) dt = z z = t J ν (z t) dt =, άτοπο. Εστω ότι z = iy, y R, τότε η (11.4) µας δίνει : ( 1) κ iy ) κ 1 y ) κ = =, άτοπο, αφού είναι ϑετικός αριθµός για ν > 1. Άρα, όλες οι ϱίζες της J ν (z) για ν > 1 είναι πραγµατικές. Αν ν = 1 τότε : J 1 (z) = J 1 (z), όπου συµπεραίνουµε ότι το Θεώρηµα ισχύει και για ν = 1. 61

Θεώρηµα 11.6: Αν ν, η συνάρτηση J ν(z) έχει µόνο πραγµατικές ϱίζες. Απόδειξη. Αφού ν R, αν z C, τότε εργαζόµενοι ανάλογα µε την απόδειξη του Θεωρήµατος 11.5, επειδή η (11.7) µας δίνει πάλι το δεξί µέλος της ισότητας µηδέν, καταλήγουµε σε άτοπο. Αν z = iy, τότε απ την (11.5) ϑα έχουµε : ( ν + κ) y ) κ =, άτοπο, αφού είναι ϑετικός αριθµός για ν. Θεώρηµα 11.7: Η συνάρτηση J ν (z), ν R, έχει άπειρο αριθµό ϱιζών. Απόδειξη. Η δ.ε. Bessel είναι z y (z) + zy (z) + (z ν )y(z) =. (11.8) Για ν = 1, οι λύσεις της (11.8) είναι οι J 1/(z) και J 1/ (z). Επειδή J 1/ (z) = πz sin z και J 1/(z) = cos z, οι ϱίζες αυτών είναι οι ϱίζες του sin z και cos z, πz αντίστοιχα. Οµως το sin z και cos z, είναι οι γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις της δ.ε. v (z) + v(z) =. (11.9) Μπορούµε λοιπόν, να µετατρέψουµε την (11.8) σε µορφή Schrödinger u (z) + U(z)u(z) = (11.1) µε τον µετασχηµατισµό y(z) = u(z). (11.11) πz Οι δ.ε. (11.8) και (11.1) έχουν τις ίδιες ϱίζες. Κατόπιν, ϑα εφαρµόσουµε το Θεώρηµα σύγκρισης των ϱιζών του Sturm, µεταξύ των ϱιζών των λύσεων των δ.ε. (11.9) και (11.1). Πράγµατι, παραγωγίζουµε την (11.11) ως προς z, για να πάρουµε την y (z) και την y (z): ( 1 ) y (z) = π z 3/ u(z) + π z 1/ u (z) και ( 3 ) y (z) = z 5/ u(z) + π 4 π ( 1)z 3/ u (z) + π z 1/ u (z) και αντικαθιστούµε στην δ.ε. (11.8) τις συναρτήσεις y(z), y (z) και y (z), οπότε η (11.8) παίρνει τη µορφή : [ z ( 3 ) z 5/ u(z) + π 4 π ( 1)z 3/ u (z) + π z 1/ u (z) + [ ( 1 ) + z π z 3/ u(z) + π z 1/ u (z) + (z ν ) π z 1/ u(z) = [ 1 z 3/ u (z) + 4 z 1/ + (z ν )z 1/ u(z) = u (z) + [ 1 + 1 4 ν z u(z) =. (11.1) 6

Οι ϱίζες των λύσεων της δ.ε. (11.1) είναι ίδιες µε τις ϱίζες των λύσεων της δ.ε. (11.8). Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα σύγκρισης των ϱιζών του Sturm των λύσεων των δ.ε. (11.1) και (11.9). Ετσι, οι ϱίζες των λύσεων της (11.1) εναλλάσσονται µε τις ϱίζες των λύσεων της δ.ε. (11.9). Αφού κάθε λύση της δ.ε. (11.9) έχει άπειρες πραγµατικές ϱίζες, κάθε λύση της δ.ε. (11.1), άρα και της (11.8), ϑα έχει επίσης άπειρες πραγµατικές ϱίζες. Παρατήρηση 11.1: Οι πραγµατικές ϱίζες της συνάρτησης J ν (z) είναι συµµετρικές ως προς το µηδέν, αφού ισχύει : J ν ( z) = ( 1) ν J ν (z). Σηµείωση 11.: Συµβολίζουµε µε j νn, n = 1,,... τις ϑετικές πραγµατικές ϱίζες της J ν (z) και µε j νn, n = 1,,... τις ϑετικές πραγµατικές ϱίζες της J ν(z). Θεώρηµα 11.8: Η µικτή συνάρτηση Bessel f ν (z) = AJ ν (z) + BzJ ν(z) για ν > 1, έχει άπειρες πραγµατικές απλές ϱίζες, µε πιθανή εξαίρεση το µηδέν. Απόδειξη. Εστω j νκ και j νκ+1 δύο διαδοχικές ϑετικές ϱίζες της J ν (z). Τότε J ν (j νκ ) = = J ν (j νκ+1 ) αλλά απ την Πρόταση 11.1 η f ν (z) δεν µηδενίζεται για j νκ και j νκ+1 και J ν(j νκ ), J ν(j νκ+1 ). Θεωρούµε τις συναρτήσεις : f ν (j νκ ) = AJ ν (j νκ ) + Bj νκ J ν(j νκ ) f ν (j νκ ) = Bj νκ J ν(j νκ ) και f ν (j νκ+1 ) = AJ ν (j νκ+1 ) + Bj νκ+1 J ν(j νκ+1 ) f ν (j νκ ) = Bj νκ+1 J ν(j νκ+1 ). Επειδή η J ν (z) είναι συνεχής συνάρτηση, οι J ν(j νκ ) και J ν(j νκ+1 ) έχουν διαφορετικό πρόσηµο. Άρα και οι f ν (j νκ ) και f ν (j νκ+1 ) ϑα είναι ετερόσηµες κι επειδή η f ν (z) είναι συνεχής, ϑα έχει µια ϱίζα µεταξύ των j νκ, j νκ+1. Άρα, ϑα έχει άπειρες πραγµατικές ϱίζες για ν > 1. Εστω z µια διπλή ϱίζα της f ν (z). Τότε : f ν (z ) = και f ν(z ) =, δηλαδή : AJ ν (z ) + Bz J ν(z ) =, (11.13) AJ ν(z ) + BJ ν(z ) + Bz J ν (z ) =. (11.14) Πολλαπλασιάζουµε την (11.14) µε z, οπότε απ την (11.13) και την δ.ε. προκύπτει : Az J ν(z ) + Bz J ν(z ) + BzJ ν (z ) = (11.13) = Az J ν(z ) AJ ν (z ) AJ ν(z ) [ z z J ν(z J ) ν(z ) (z ν )J ν (z ) = Az[J ν(z ) Az J ν (z )J ν(z ) + Az J ν (z )J ν(z ) + AJν (z )(z ν ) = Bessel z [J ν(z ) + J ν (z )(z ν ) = (11.15) Οµως, απ το δεύτερο ολοκλήρωµα του Lommel, για γ = 1 και α = z, έχουµε : z η οποία εξ αιτίας της (11.15) δίνει : tj ν (z t)dt = z [J ν(z ) + (z ν )J ν (z ), (11.16) Άρα, όλες οι ϱίζες της f ν (z) είναι απλές. tj ν (z t)dt =, πράγµα άτοπο. 63

Πρόταση 11.: Αν ν > 1 και B, τότε υπάρχει ακριβώς µία ϱίζα της f ν (z) µεταξύ δύο διαδοχικών ϱιζών της J ν (z). Απόδειξη. Από το προηγούµενο ϑεώρηµα δείξαµε ότι µεταξύ δύο διαδοχικών ϱιζών της J ν (z) υπάρχει τουλάχιστον µία ϱίζα της f ν (z). Θα δείξουµε ότι είναι µοναδική. Εστω ότι υπάρχουν δύο ϱίζες της f ν (z), οι z 1 και z τέτοιες ώστε : j νκ < z 1 < z < j νκ+1. Θεωρούµε τη συνάρτηση φ ν (z) = f ν(z) J ν (z) για z [z 1, z, τότε : φ ν (z 1 ) = φ ν (z ) = και η φ ν (z) είναι παραγωγίσιµη στο [z 1, z. Άρα, απ το ϑεώρηµα του Rolle, υπάρχει z [z 1, z τέτοιο ώστε φ ν(z ) =. Επειδή φ ν (z) = f ν(z), µπορούµε να γράψουµε : J ν (z) φ ν (z) = AJ ν(z) + BzJ ν(z) J ν (z) = A + Bz J ν(z) J ν (z). (11.17) Παραγωγίζουµε την (11.17) ως προς z: φ ν(z) = B J ν(z) J ν (z) = B zjν (z) J ν (z)j ν (z) [J + Bz ν(z) Jν (z) [ zj ν(z)j ν (z) + z J ν (z)j ν (z) z [J ν(z). Αντικαθιστούµε το γινόµενο z J ν (z) από την δ.ε. Bessel, οπότε : φ ν(z) = B [zj ν(z)j zjν ν (z) + J ν (z)[ zj ν(z) (z ν )J ν (z) z [J ν(z) (z) [zj ν(z)j ν (z) zj ν(z)j ν (z) (z ν )J ν (z) z [J ν(z) = B zj ν (z) = B zj ν (z) [ z [J ν(z) + (z ν )Jν (z). Άρα : φ ν (z ) = B [ z z Jν (z ) [J ν(z ) +(z ν )Jν (z ) =, άτοπο, λόγω της (11.16). Άρα µεταξύ δύο διαδοχικών ϱιζών της J ν (z) υπάρχει µία και µόνο ϱίζα της f ν (z). Παρατήρηση 11.: Απ την Πρόταση 11. προκύπτει ότι µεταξύ δύο διαδοχικών ϱιζών της J ν (z), υπάρχει, για ν, µία µόνο ϱίζα της J ν(z). 64

Βιβλιογραφία Μασσαλάς Χ. (1) Ειδικές Συναρτήσεις, Cutenberg. Σιαφαρίκας Π. (9) Ειδικές Συναρτήσεις, Εκδόσεις Πανεπιστηµίου Πατρών. Hochstadt H. (1986) The function of Mathematical Physics, Dover Publications, Inc. N.Y.. Lebedev N.N. (197) Special functions and their Applications, Dover Publications. Luke Y. L. (1969) The special functions and their Approximations-Volume I, Academic Press. Watson G. N. (1966) A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press. 65