Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών

65 11 Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Στην παρούσα παράγραφο ϑα δούµε, µεταξύ άλλων, µια γεωµετρική ερµηνεία της ορίζουσας ενός τετραγωνικού πίνακα, και ένα χρήσιµο κριτήριο για το πότε ένα πεπερασµένο σύνολο διανυσµάτων S = { } x 1, x 2,, x m είναι γραµµικά ανεξάρτητο 111 Πίνακας και Ορίζουσα Gram Ορισµός 111 Ο πίνακας Gram των διανυσµάτων x 1, x 2,, x m ορίζεται να είναι ο πίνακας : x 1, x 1 x 1, x 2 x 1, x m x 2, x 1 x 2, x 2 x 2, x m G( x 1,, x m ) := x m, x 1 x m, x 2 x m, x m Η ορίζουσα Gram των διανυσµάτων x 1, x 2,, x m ορίζεται να είναι η ορίζουσα του πίνακα Gram: G( x 1,, x m ) Παρατηρούµε ότι η ορίζουσα Gram είναι η ορίζουσα ενός συµµετρικού πίνακα διότι : x i, x j = x j, x i, 1 i, j m Αν n = 1, τότε η ορίζουσα Gram του διανύσµατος x 1 είναι : G( x 1 ) = x 1, x 1 = x 1 2 0 και η ισότητα ισχύει αν και µόνον αν x 1 = 0 Αν n = 2, τότε η ορίζουσα Gram των διανυσµάτων x 1, x 2 είναι : G( x 1, x 2 ) = x 1, x 1 x 1, x 2 x 2, x 1 x 2, x 2 = x 1 2 x 1, x 2 x 2, x 1 x 2 2 = x 1 2 x 2 2 x 1, x 2 2 0 όπου η τελευταία ανισότητα ισχύει λόγω της ανισότητας των Cauchy-Schwarz Επιπλέον G( x 1, x 2 ) = 0 αν και µόνον αν τα x 1, x 2 είναι γραµµικά εξαρτηµένα Θα δούµε ότι ισχύει κάτι ανάλογο και για n 3 Πρόταση 112 Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Το σύνολο διανυσµάτων S = { x 1, x 2,, x m } του E είναι γραµµικά ανεξάρτητο (2) G( x 1,, x m ) 0 Απόδειξη (1) = (2) Εστω ότι το S είναι γραµµικά εξαρτηµένο Τότε υπάρχουν αριθµοί λ 1,, λ m R, έτσι ώστε : (λ 1,, λ m ) (0,, 0) και : λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ m x m = 0 (111) Τότε ϑεωρώντας το εσωτερικό γινόµενο των δύο µελών της (111) µε το διάνυσµα x i, 1 i m, ϑα έχουµε : x i, λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ m x m = x i, 0 = 0 1 i m

66 Η παραπάνω σχέση γράφεται : λ 1 x i, x 1 + λ 2 x i, x 2 + + λ m x i, x m = 0 1 i m Οι τελευταίες σχέσεις δείχνουν ότι ϑα έχουµε µια σχέση γραµµικής εξάρτησης µεταξύ των γραµµών Γ i = λ 1 Γ 1 + λ 2 Γ 2 + λ m Γ m = 0 ( ) x i, x 1, x i, x 2,, x i, x m του πίνακα Gramm G( x 1,, x m ) Τότε όµως η ορίζουσα Gram είναι µηδέν Άρα αν το σύνολο S είναι γραµµικά ανεξάρτητο, έπεται ότι : G( x 1,, x m ) 0 (2) = (1) Εστω ότι : G( x 1,, x m ) = 0 Τότε οι γραµµές του πίνακα G( x 1,, x m ) είναι γραµ- µικά εξαρτηµένες ή ισοδύναµα οι στήλες του G( x 1,, x m ) είναι γραµµικά εξαρτηµένες Εποµένως υπάρχουν αριθµοί λ 1,, λ m R, όπου : (λ 1,, λ m ) (0,, 0), έτσι ώστε : ηλαδή : Αυτό σηµαίνει ότι : και εποµένως λ 1 λ 1 Σ 1 + λ 2 Σ 2 + λ m Σ m = 0 x 1, x 1 x 1, x 2 x 1, x m 0 x 2, x 1 + λ x 2, x 2 2 + + λ x 2, x m m = 0 x m, x 1 x m, x 2 x m, x m 0 λ 1 x i, x 1 + λ 2 x i, x 2 + + λ m x i, x m = 0 x i, λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ m x m = 0 1 i m 1 i m Πολλαπλασιάζοντας διαδοχικά κάθε σχέση από τις παραπάνω µε λ 1,, λ m και ακολούθως προσθέτοντας τις σχέσεις που προκύπτουν καταλήγουµε στην σχέση : από την οποία προκύπτει ότι : λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ m x m 2 = 0 λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ m x m = 0 και εποµένως το σύνολο διανυσµάτων S είναι γραµµικά εξαρτηµένο Καταλήγουµε : αν η ορίζουσα Gram G( x 1,, x m ) 0, τότε το σύνολο S είναι γραµµικά ανεξάρτητο Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και S = { x 1, x 2,, x m } ένα σύνολο διανυσµάτων του E Εστω B = { e 1, e 2,, e n } µια ορθοκανονική ϐάση του E Τότε ϑα έχουµε µοναδική γραφή των διανυσµάτων του συνόλου S ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων της ϐάσης B: x 1 = x 11 e 1 + x 12 e 2 + + x 1n e n x i = x i1 e 1 + x i2 e 2 + + x in e n x m = x m1 e 1 + x m2 e 2 + + x mn e n

67 Συµβολίζουµε µε H τον m n πίνακα του οποίου οι γραµµές είναι οι συνιστώσες των διανυσµάτων x 1, x 2,, x m στην ϐάση B: x 11 x 12 x 1n x 21 x 22 x 2n H = x m1 x m2 x mn Υπολογίζουµε εύκολα : Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι : H th = G( x 1, x 2,, x m ) x i, x j = n x ik x jk = (H th) ij k=1 Πρόταση 113 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και S = { x 1, x 2,, x m } ένα σύνολο διανυσµάτων του E Τότε : G( x 1,, x m ) 0 Επιπλέον : (1) G( x 1,, x m ) = 0 αν και µόνον αν το σύνολο διανυσµάτων S είναι γραµµικά εξαρτηµένο (2) G( x 1,, x m ) > 0 αν και µόνον αν το σύνολο διανυσµάτων S είναι γραµµικά ανεξάρτητο Απόδειξη είχνουµε πρώτα ότι η ορίζουσα Gram είναι µη-αρνητική Από την προηγούµενη Πρόταση αρκεί να δείξουµε ότι αν το σύνολο S είναι γραµµικά ανεξάρτητο, τότε η ορίζουσα Gram είναι ϑετική Εστω B = { e 1, e 2,, e n } µια ορθοκανονική ϐάση του E Από την ανάλυση που προηγήθηκε έπεται ότι : H th = G( x 1, x 2,, x m ) Από το Φασµατικό Θεώρηµα έπεται ότι ο συµµετρικός πίνακας G( x 1, x 2,, x m ) είναι διαγωνοποιήσι- µος και άρα έχει όλες τις ιδιοτιµές του στο R Εστω λ µια ιδιοτιµή του G := G( x 1, x 2,, x m ) µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα-στήλη Y : y 1 y 2 G Y = λy, Y = y m Τότε εργαζόµενοι στον Ευκλείδειο χώρο R m ϑα έχουµε : Άρα : Y 2 = Y, Y = t Y Y λ Y 2 = λ( t Y Y ) = ( t Y ) (λ Y ) = t Y G Y = t Y H th Y = t ( t H Y ) ( t H Y ) = = t H Y, t H Y = t H Y 2 0 Η τελευταία σχέση δείχνει ότι λ 0 Επειδή το σύνολο S είναι γραµµικά ανεξάρτητο, έπεται ότι η ορίζουσα Gram είναι 0 και εποµένως ο πίνακας Gram δεν έχει το 0 ως ιδιοτιµή Καταλήγουµε ότι όλες ιδιοτιµές του πίνακα Gram ανήκουν στο R και είναι όλες > 0 Επειδή η ορίζουσα ενός πίνακα είναι το γινόµενο των ιδιοτιµών του, αυτό σηµαίνει ότι η ορίζουσα Gram είναι ϑετική

68 112 ιαδικασία Gram-Schmidt Υπενθυµίζουµε την ιαδικασία Gram-Schmidt για το γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσµάτων S = { x 1, x 2,, x m } του E: Υπενθυµίζουµε πρώτα ότι η ορθογώνια προβολή του y 0 στο x ορίζεται να είναι το διάνυσµα : Π y ( x) := x, y x y y Για την απλοποίηση των υπολογισµών που ϑα ακολουθήσουν, ορίζουµε την αριθµητική προβολή του y στο x να είναι ο αριθµός : x, y π y ( x) := x y Τότε ϑα έχουµε : Π y ( x) = π y ( x) y Κατασκευή Ορθογώνιου Συνόλου T = { y 1, y 2,, y m } (GS 1 ) Θέτουµε : (GS 2 ) Θέτουµε : y 1 = x 1 y 2 = x 2 π y1 ( x 1 ) y 1 (GS k ) Επαγωγικά : y k = x k π y1 ( x k ) y 1 π y2 ( x k ) y 2 π yk 1 ( x k ) y k 1 k 1 = x k π yi ( x k ) y i Τότε το σύνολο T = { y 1, y 2,, y m } έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : 1 Το T είναι ορθογώνιο : y i, y j = 0, 1 i j m 2 Για κάθε 1 k m: ο υπόχωρος L( x 1, x 2,, x k ) ο οποίος παράγεται από το σύνολο S συµπίπτει µε τον υπόχωρο L( y 1, y 2,, y k ) ο οποίος παράγεται από το σύνολο T: 3 Εποµένως, για κάθε 2 k m: L( x 1, x 2,, x k ) = L( y 1, y 2,, y k ), 1 k m (112) y k L( x 1, x 2,, x k 1 ) (113) 4 Αν L( y k ) είναι ο υπόχωρος του E ο οποίος παράγεται από το y k, τότε : 5 L( x 1, x 2,, x k ) = L( x 1, x 2,, x k 1 ) L( y k ) (Ορθογώνιο Ευθύ Αθροισµα) 0 y k x k 1 k m (114) Πράγµατικά : χρησιµοποιώντας την (GS k ) και τα 2 και 4 Θα έχουµε x k = z k + y k z k = π y1 ( x k ) y 1 + π y2 ( x k ) y 2 + + π yk 1 ( x k ) y k 1 L( x 1, x 2,, x k 1 )

69 Επειδή z k, y k = 0, από το Πυθαγόρειο Θεώρηµα, ϑα έχουµε : 0 y 2 z k 2 + y 2 = x k 2 = 0 y k x k 6 Επειδή το σύνολο T = { y 1, y 2,, y m } είναι ορθογώνιο, ϑα έχουµε : και άρα : 7 Το σύνολο διανυσµάτων y 1, y 1 0 0 0 y 2, y 2 0 G( y 1,, y m ) := 0 0 y m, y m G( y 1,, y m ) = y 1 2 y 2 2 y m 2 (115) { y1 y 1, y 2 y 2,, y } m y m είναι ορθοκανονικό και άρα αποτελεί µια ορθοκανονική ϐάση του υπόχωρου L( x 1, x 2,, x m ) είχνουµε τώρα ότι η ορίζουσα Gram των διανυσµάτων S = { x 1, x 2,, x m } είναι ίση µε την ορίζουσα Gram των διανυσµάτων T = { y 1, y 2,, y m } Πρόταση 114 Εστω S = { x 1, x 2,, x m } ένα σύνολο διανυσµάτων του Ευκλείδειου χώρου (E,, ), και έστω T = { y 1, y 2,, y m } το ορθογώνιο σύνολο το οποίο προκύπτει από το S µε την διαδικασία Gram-Schmidt Τότε : G( x 1,, x m ) = G( y 1,, y m ) = y 1, y 1 y 2, y 2 y m, y m Απόδειξη Θα αποδείξουµε τον ισχυρισµό εκτελώντας στοιχειώδεις πράξεις, οι οποίες δεν αλλάζουν την ορίζουσά, στις γραµµές και στις στήλες του πίνακα Gram: x 1, x 1 x 1, x 2 x 1, x m x 2, x 1 x 2, x 2 x 2, x m G( x 1,, x m ) = x m, x 1 x m, x 2 x m, x m Κατ αρχήν αν το σύνολο S είναι γραµµικά εξαρτηµένο, τότε προφανώς και το σύνολο T είναι γραµµικά εξαρτηµένο, και τότε G( x1,, x m ) = 0 = G( y 1,, y m ) Υποθέτουµε ότι το S, άρα και το T, είναι γραµµικά ανεξάρτητο (1) Θέτουµε y 1 = x 1 παντού στον πίνακα G( x 1,, x m ) (2) Το διάνυσµα y 2 είναι της µορφής : y 2 = x 2 + κ y 1 Πολλαπλασιάζουµε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης του πίνακα G( x 1,, x m ) µε το κ, και ακολούθως προσθέτουµε την προκύπτουσα στήλη στην δεύτερη στήλη του πίνακα G( x 1,, x m ) Επειτα πολλαπλασιάζουµε την πρώτη γραµµή του πίνακα G( x 1,, x m ) µε το κ και ακολούθως προσθέτουµε την προκύπτουσα γραµµή στην δεύτερη γραµµή του πίνακα G( x 1,, x m ) Ετσι, µε τις παραπάνω πράξεις οι οποίες δεν αλλάζουν την ορίζουσα, τα διανύσµατα y 1 και y 2 εµφανίζονται σε κάθε στοιχείο της ορίζουσας όπου εµφανίζονταν τα y 1 και x 2, και εποµένως ϑα έχουµε :

70 y 1, y 1 y 1, y 2 y 1, x 3 y 1, x m G( x1,, x m ) y 2, y 1 y 2, y 2 y 2, x 3 y 2, x m = Det x 3, y 1 x 3, y 2 x 3, x 3 x 3, x m x m, y 1 x m, y 2 y m, x 3 x m, x m (3) Ακολούθως το διάνυσµα y 3 είναι της µορφής y 3 = x 3 + λ 1 y 1 + λ 2 y 2 Τότε πολλαπλασιάζουµε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης του πίνακα G( y 1,, x m ) µε το λ 1, και κάθε στοιχείο της δεύτερης στήλης µε λ 2 και προσθέτουµε τις προκύπτουσες στήλες στην τρίτη στήλη του πίνακα G( y 1,, x m ) Εκτελούµε τις ίδιες πράξεις µε τις γραµµές του πίνακα G( y 1,, x m ) Ετσι, µε τις παραπάνω πράξεις οι οποίες δεν αλλάζουν την ορίζουσα, τα διανύσµατα y 3 εµφανίζεται σε κάθε στοιχείο της ορίζουσας όπου εµφανιζόταν τα q 3, και εποµένως ϑα έχουµε : y 1, y 1 y 1, y 2 y 1, y 3 y 1, x m G( x 1,, x m ) y 2, y 1 y 2, y 2 y 2, y 3 y 2, x m = Det y 3, y 1 y 3, y 2 y 3, y 3 y 3, x m x m, y 1 x m, y 2 x m, y 3 x m, x m (4) Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, αντικαθιστούµε, µε στοιχειώδεις πράξεις οι οποίες δεν αλλάζουν την ορίζουσα, όλα τα διάνυσµατα x i, 1 i m, τα οποία εµφανίζονται ως (i, j)-στοιχεία x i, x j της ορίζουσας G( x 1,, x m ), µε τα διανύσµατα yi, 1 i m, τα οποία προκύπτουν από τα x i, 1 i m, µε την διαδικασία Gram-Schmidt Εποµένως ϑα έχουµε : y 1, y 1 y 1, y 2 y 1, y 3 y 1, y m G( x 1,, x m ) y 2, y 1 y 2, y 2 y 2, y 3 y 2, y m = Det y 3, y 1 y 3, y 2 y 3, y 3 y 3, y m y m, y 1 y m, y 2 y m, y 3 y m, y m = G( y1,, y m ) Επειδή το σύνολο { y 1,, y m } είναι ορθογώνιο, έπεται ότι : G( x 1,, x m ) = G( y 1,, y m ) = m y i, y i = m y i 2 Πρόταση 115 Εστω S = { x 1, x 2,, x m } ένα σύνολο διανυσµάτων του Ευκλείδειου χώρου (E,, ), και έστω T = { y 1, y 2,, y m } το ορθογώνιο σύνολο το οποίο προκύπτει από το S µε την διαδικασία Gram-Schmidt Τότε : 0 G( x 1,, x m ) x 1 2 x 2 2 x m 2 Επιπλέον : (1) G( x 1,, x m ) = 0 αν και µόνον αν το σύνολο διανυσµάτων S είναι γραµµικά εξαρτηµένο (2) G( x1,, x m ) > 0 αν και µόνον αν το σύνολο διανυσµάτων S είναι γραµµικά ανεξάρτητο (3) G( x 1,, x m ) = x 1 2 x 2 2 x m 2 αν και µόνον αν το σύνολο S είναι ορθογώνιο Απόδειξη Από την σχέση (124) και την Πρόταση 124 έπεται ότι G( x 1,, x m ) = G( y 1,, y m ) = y 1 2 y 2 2 y m 2 x 1 2 x 2 2 x m 2

71 Άρα 0 G( x 1,, x m ) x 1 2 x 2 2 x m 2 Οι ισχυρισµοί (1) και (2) αποδείχθηκαν στην Πρόταση 123 Προφανώς αν το σύνολο S είναι ορθογώνιο, τότε η παραπάνω ανισότητα είναι ισότητα Αντίστροφα εύκολα ϐλέπουµε µε επαγωγή στο πλήθος m των διανυσµάτων και µε χρήση της σχέσης (114), ότι αν η παραπάνω ανισότητα είναι ισότητα, τότε το σύνολο διανυσµάτων S είναι ορθογώνιο, 113 Ογκος Παραλληλεπιπέδου σε Ευκλείδειους Χώρους Εστω S = { x 1, x 2,, x m } ένα σύνολο διανυσµάτων του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) Υπενθυµίζουµε ότι αν V είναι ένας υπόχωρος του E, τότε : E = V V και άρα κάθε διάνυσµα x του E γράφεται µοναδικά ως εξής : όπου : Π V ( x) V και K V ( x) V (Ορθογώνιο Ευθύ Αθροισµα) x = Π V ( x) + K V ( x) Ορισµός 116 Εστω S = { x 1, x 2,, x m } ένα σύνολο διανυσµάτων του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) (1) Το m-διάστατο παραλληλεπίπεδο του E το οποίο ορίζουν τα διανύσµατα S = { x 1, x 2,, x m } είναι το σύνολο { m } P( x 1, x 2,, x m ) = r i x i 0 r i 1 (2) Η ϐάση του παραλληλεπιπέδου P( x 1, x 2,, x m ) ορίζεται ως το (n 1)-διάστατο παραλληλεπίπεδο P( x 1, x 2,, x m 1 ) το οποίο ορίζουν τα διανύσµατα { x 1, x 2,, x m 1 } (3) Το ύψος του m-διάστατου παραλληλεπιπέδου P( x 1, x 2,, x m ) ορίζεται να είναι η κάθετη προβολή του διανύσµατος x m στον υπόχωρο L( x 1, x 2,, x m 1 ) ο οποίος παράγεται απο τα διανύσµατα x 1, x 2,, x m 1 : hm := K L( x1, x 2,, x m 1 )( x m ) Παρατήρηση 117 Εστω E = R 3 εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, ο οποίος είναι ο χώρος που εξετάζει η Αναλυτική Γεωµετρία Τότε το 1-διάστατο παραλληλεπίπεδο το οποίο ορίζεται από το σύνολο S = { x 1 } είναι η ευθεία η οποία διέρχεται από το 0 και από το τέλος του διανύσµατος x 1 Το 2-διάστατο παραλληλεπίπεδο το οποίο ορίζεται από το σύνολο S = { x 1, x 2 } είναι το παραλληλόγραµµο µε πλευρές τα διανύσµατα x 1 και x 2 Το 3-διάστατο παραλληλεπίπεδο το οποίο ορίζεται από το σύνολο S = { x 1, x 2 } είναι το παραλληλόγραµµο µε πλευρές τα διανύσµατα x 1, x 2, και x 3 Παρατήρηση 118 Από την Αναλυτική Γεωµετρία το εµβαδόν ενός παραλληλογράµου το οποίο ορίζουν δύο διανύσµατα x 1 και x 2, είναι το γινόµενο του µήκους του ενός από αυτά, πχ το x 1 το οποίο ϑεωρούµε ως ϐάση, µε το µήκος της καθέτου από το τέλος του x 2 στην ευθεία στην οποία κείται το x 1 Παρόµοια ο όγκος ενός παραλληλεπιπέδου το οποίο ορίζουν τρία διανύσµατα x 1, x 2, και x 3, είναι το γινόµενο του εµβαδού του παραλληλογράµµου το οποίο σχηµατίζεται από δύο εκ των διανυσµάτων, πχ x 1 και x 2 τα οποία ϑεωρούνται ως ϐάση, µε το µήκος της καθέτου από το τρίτο διάνυσµα x 3 στο επίπεδο το οποίο ορίζουν τα x 1 και x 2 Με ϐάση τις παραπάνω παρατηρήσεις, µπορούµε να ορίσουµε τον όγκο ενός m-διάστατου παραλληλεπίπεδου ως εής :

72 Ορισµός 119 Ο όγκος V m := V( x 1, x 2,, x m ) του m-διάστατου παραλληλεπίπεδου του E το οποίο ορίζουν τα διανύσµατα S = { x 1, x 2,, x m } του E ορίζεται επαγωγικά ως εξής : 1 Αν m = 1, τότε : 2 Αν m = 2, τότε : όπου : 3 Αν m = 3, τότε : όπου : V 1 := x 1 V 2 := V 1 h 1 h1 = K L( x1 )( x 2 ) και V 1 = µήκος του x 1 V 3 := V 2 h 2 h2 = K L( x1, x 2 )( x 3 ) είναι η κάθετη προβολή του x 3 στο επίπεδο L( x 1, x 2 ) και V 2 = εµβαδόν παραλληλογράµµου P( x 1, x 2 ) το οποίο ορίζουν τα x 1, x 2 k Για 1 k m: V k := V k 1 h k 1 όπου : hk 1 = K L( x1, x 2,, x k 1 )( x k ) είναι η κάθετη προβολή του x k στον υπόχωρο L( x 1, x 2,, x k 1 ) και V k 1 = όγκος παραλληλεπιπέδου P( x 1, x 2,, x k 1 ) το οποίο ορίζουν τα x 1, x 2,, x k 1 Παρατήρηση 1110 Οπως είναι ϕανερό από τον παραπάνω επαγωγικό ορισµό, ο όγκος V m του m- διάστατου παραλληλεπιπέδου P( x 1, x 2,, x m ) είναι : V m = x 1 h 1 h 2 h m 1 Λαµβάνοντας υπ όψιν τη σχέση (114), την Πρόταση 115, και το γεγονός ότι τα διανύσµατα h i, 1 i m προκύπτουν µε ϐάση την διαδικασία Gram-Schmidt από τα διανύσµατα x i, 1 i m, ϑα έχουµε : (V m ) 2 = G( x1, x 2,, x m ) Ορισµός 1111 Εστω P( x 1, x 2,, x m ) το m-διάστατο παραλληλεπίπεδο το οποίο ορίζεται από τα διανύσµατα x 1, x 2,, x m του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) Το P( x 1, x 2,, x m ) καλείται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, αντίστοιχα ορθοκανονικό παραλληλεπίπεδο, αν το σύνολο διανυσµάτων x 1, x 2,, x m είναι ορθογώνιο, αντίστοιχα ορθοκανονικό Θεώρηµα 1112 Εστω P( x 1, x 2,, x m ) το m-διάστατο παραλληλεπίπεδο το οποίο ορίζεται από τα διανύσµατα x 1, x 2,, x m του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) Τότε το τετράγωνο του όγκου του P( x 1, x 2,, x m ) είναι ίσο µε την ορίζουσα Gram των διανυσµάτων x 1, x 2,, x m Αρα : V m = ± G( x 1, x 2,, x m ) Επιπλέον ο όγκος ενός m-διάστατου παραλληλεπιπέδου είναι µικρότερος ή ίσος από το γινόµενο των µηκών των πλευρών του και είναι ίσος µε αυτό αν και µόνον αν το παραλληλεπίπεδο είναι ορθογώνιο

73 Πόρισµα 1113 Εστω P( x 1, x 2,, x m ) το m-διάστατο παραλληλεπίπεδο το οποίο ορίζεται από τα διανύσµατα x 1, x 2,, x m του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) (1) Αν το παραλληλεπίπεδο P( x 1, x 2,, x m ) είναι ορθογώνιο, τότε : V m = x 1 x 2 x m (2) Αν το παραλληλεπίπεδο P( x 1, x 2,, x m ) είναι ορθοκανονικό, τότε : V m = 1 114 Η Γεωµετρική Ερµηνεία της Ορίζουσας και η Ανισότητα του Hadamard Εστω A ένας n n πίνακας πραγµατικών αριθµών : a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn Τότε χωρίς ϐλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι οι στήλες του A είναι οι συνιστώσες διανυσµάτων x 1, x 2,, x n ως προς µια ορθοκανονική ϐάση B = { e 1, e 2,, e n } σε έναν Ευκλείδειο χώρο (E,, ) διάστασης n, για παράδειγµα στον R n Ετσι ϑα έχουµε τα διανύσµατα : x 1 := a 11 e 1 + a 21 e 2 + + a n1 e n x 2 := a 12 e 1 + a 22 e 2 + + a n2 e n x n := a 1n e 1 + a 2n e 2 + + a nn e n Θεώρηµα 1114 Εστω A ένας n n πίνακας πραγµατικών αριθµών Τότε : Det(A) = Vn όπου V n είναι ο όγκος του n-διάστατου παραλληλεπιπέδου P( x 1, x 2,, x n ) το οποίο σχηµατίζεται από τα διανύσµατα x 1, x 2,, x n µε συνιστώσες σε µια ορθοκανονκή ϐάση του R n τις στήλες του A Απόδειξη Υπολογίζουµε εύκολα ότι : G( x 1, x 2,, x n ) = t A A και άρα χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 1112, ϑα έχουµε : Vn 2 = Det ( G( x 1, x 2,, x n ) ) = Det( t A A) = Det( t A) Det(A) = Det(A) 2 απ όπου προκύπτει το Ϲητούµενο Παρατήρηση 1115 Το παραπάνω Θεώρηµα δίνει µια γεωµετρική ερµηνεία της ορίζουσας, ακριβέστε- ϱα της απόλυτης τιµής της ορίζουσας, ενός τετραγωνικού n n πίνακα A ως ο όγκος του n-διάστατου παραλληλεπιπέδου το οποίο σχηµατίζεται από τα διανύσµατα-στήλες του πίνακα, ϑεωρούµενες ως συνιστώσες διανυσµάτων x 1, x 2,, x n σε µια ορθοκανονική ϐάση ενός n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου E Οσον αφορά το πρόσηµο αυτό ερµηνεύεται ως ο προσανατολισµός των διανυσµάτων αναφορικά µε την ορθοκανονική ϐάση B του E

74 Προχωρούµε µε σκοπό να αποδείξουµε µια σηµαντική ανισότητα του Hadamard η οποία δίνει µια εκτίµηση για την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα πραγµατικών αριθµών Εστω (R n,, ) ο Ευκλείδειος χώρος των στηλών πραγµατικών αριθµών µε n στοιχεία εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο Υπενθυµίζουµε ότι αν A M n n (R) είναι ένας συµµετρικός πίνακας, τότε ο A καλείται ϑετικός αν : Ο πίνακας A καλείται µη-αρνητικός αν : A X, X > 0, X R n, X 0 A X, X 0, X R n Λήµµα 1116 Εστω A = (a ij ) ένας συµµετρικός πίνακας πραγµατικών αριθµών Αν ο A είναι ϑετικός, αντίστοιχα µη-αρνητικός, τότε : a ii > 0, αντίστοιχα a ii 0, 1 i n Απόδειξη Θεωρούµε τα διανύσµατα-στήλες της κανονικής ϐάσης του R n : 1 0 0 0 E 1 =, E 1 2 =,, E 0 n =, 0 0 1 Τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι : από όπου προκύπτει το Ϲητούµενο A E i, E i = a ii Υπενθυµίζουµε το ακόλουθο ϑεµελιώδες Θεώρηµα 1117 (Φασµατικό Θεώρηµα) Αν A M n n (R) είναι ένας συµµετρικός πίνακας, τότε όλες οι ιδιοτιµές του λ 1,, λ n ανήκουν στο R, και υπάρχει ένας ορθογώνιος πίνακα P έτσι ώστε λ 1 0 0 t 0 λ 2 0 P A P = 0 0 λ n Επιπλέον : (1) Ο A είναι ϑετικός ο A είναι αντιστρέψιµος λ i > 0, i = 1, 2,, n (2) Ο A είναι µη-αρνητικός λ i 0, i = 1, 2,, n Θεώρηµα 1118 Αν A M n n (R) είναι ένας ϑετικός συµµετρικός πίνακας, τότε : Det(A) n a ii

75 Απόδειξη Από το Λήµµα 1116 έπεται ότι τα διαγώνια στοιχεία a ii του πίνακα A είναι ϑετικοί αριθµοί Θέτουµε : κ i = 1, 1 i n aii και έστω ο διαγώνιος πίνακας κ 1 0 0 0 κ 2 0 D = 0 0 κ n Θεωρούµε τον πίνακα B := D A D και παρατηρούµε ότι ο B είναι επίσης συµµετρικός και τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι όλα ίσα µε 1: b ii = 1, 1 i n Επιπλέον ο πίνακας B είναι ϑετικός, διότι αν X είναι ένα µη-µηδενικό διάνυσµα-στήλη, τότε : B X, X = D A D X, X = A (D X), t D X = A (D X), D X > 0 διότι ο A είναι ϑετικός και προφανώς D X 0 Για την ορίζουσα του B ϑα έχουµε : Det(B) = Det(D A D) = Det(D) 2 Det(A) = Det(D 2 1 ) Det(A) = ( ) 2 Det(A) = Det(A) n aii a ii Άρα για να αποδείξουµε το Θεώρηµα, αρκεί να δείξουµε ότι : Det(B) 1 Εστω µ 1 0 0 0 µ 2 0 F = 0 0 µ n η διαγώνια µορφή του συµµετρικού πίνακα B, όπου µ 1,, µ n είναι οι ιδιοτιµές του B, οι οποίες είναι ϑετικοί αριθµοί, όπως προκύπτει από το Φασµατικό Θεώρηµα, διότι ο B είναι ϑετικός Από την, εύκολα αποδεικνυόµενη σχέση, ϑετικών πραγµατικών αριθµών : n n (µ i ) n µ i n ϑα έχουµε : Det(B) = Det(F ) = n µ i n ( µ i n )n ( Tr(B) n ) n (n) n = = 1 n διότι, καθώς όλα τα διαγώνια στοιχεία του B είναι ίσα µε 1, έπεται ότι Tr(B) = n Άρα Det(B) 1 και εποµένως : n Det(A) Μπορούµε τώρα να αποδείξουµε την ανισότητα του Hadamard: a ii

76 Θεώρηµα 1119 (Ανισότητα Hadamard) Εστω A = (a ij ) M n n (R) Τότε : n n Det(A) j=1 Απόδειξη Αν Det(A) = 0, τότε η ανισότητα ισχύει τετριµµένα Υποθέτουµε ότι Det(A) 0, και ϑεωρούµε τον πίνακα T = (t ij ), όπου T := t A A Τότε προφανώς ο T είναι συµµετρικός, και αντιστρέψιµος διότι ο A είναι αντιστρέψιµος Εποµένως από το Φασµατικό Θεώρηµα έπεται ότι T είναι ϑετικός Τότε από το Θεώρηµα 1118, ϑα έχουµε : n Det(T ) Οµως προφανώς : και εποµένως : t jj = (T ) jj = ( t A A) jj = j=1 t jj a 2 ij n a ij a ij = n a 2 ij n n Det(T ) t jj = n j=1 j=1 Επειδή D(T ) = Det( t A A) = Det(A 2 ) = Det(A) 2, ϑα έχουµε : n n Det(A) 2 = Det(T ) t jj = j=1 j=1 απ όπου προκύπτει το Ϲητούµενο a 2 ij n a 2 ij Προφανώς η ισότητα στην Ανισότητα Hadamard ισχύει όταν ο πίνακας είναι διαγώνιος Ως άµεση συνέπεια της Ανισότητας Hadamard, έχουµε το ακόλουθο Πόρισµα 1120 Εστω A = (a ij ) M n n (R) Αν a ij ε, 1 i, i n, τότε : Det(A) ε n n n 2 Πόρισµα 1121 Από όλα τα n-διάστατα παραλληλεπίπεδα P( x 1,, x n ) µε δεδοµένο µήκος x i διανυσµάτων πλευρών, εκείνο µε τον µεγαλύτερο όγκο είναι το ορθογώνιο Παράδειγµα 1122 Θωρούµε τον 4 4 πίνακα 2 2 1 2 A = 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 Τότε ϑέτοντας ε = 2, από το Πόρισµα 1120 ϑα έχουµε Det(A) 2 4 4 4 2 = 16 16 = 256 Πραγµατικά : Det(A) = 12

77 Παράδειγµα 1123 Θωρούµε τον 3 3 πίνακα A = 5 1 1 1 4 1 1 1 3 Τότε ϑέτοντας ε = 5, από το Πόρισµα 1120 ϑα έχουµε Det(A) 5 3 3 3 2 που είναι περίπου 156 Πραγµατικά : Det(A) = 50

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης «Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourseuoigr/course/viewphp?id=1249 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1] https://creativecommonsorg/licenses/by-sa/40/