ΕΛΕΓΧΟΣ ΟΚΟΥ ΣΕ ΚΑΜΨΗ

Επίλυση γραμμικών φορέων ΟΣ σύμφωνα με τους EC & EC8 ΑΣΚΗΣΗ 4 (3/3/017) ΕΛΕΓΧΟΣ ΟΚΟΥ ΣΕ ΚΑΜΨΗ Να υπολογιστεί σε κάµψη η µονοπροέχουσα δοκός του σχήµατος για συνδυασµό φόρτισης 135G15Q Η δοκός ανήκει σε πολυώροφο, κανονικό καθ ύψος κτίριο µε πολύστυλο πλαισιακό φορέα, που βρίσκεται σε περιβάλλον XC1 Το κτίριο έχει ιδιοπερίοδο T = 05 se και είναι θεµελιωµένο σε έδαφος κατηγορίας C (βλέπε Βιβλίο µαθήµατος Σχήµα 3, Πίνακα 33, σελ 37) Θα εφαρµοστούν οι κατασκευαστικές διατάξεις για Υψηλή Κατηγορία Πλαστιµότητας (ΚΠΥ) q d [Α] 300 mm 300 mm L 1 = 50 L = 18 1 V r V l [Β] b e = 1100 mm Φ L Φ h 500 mm 100 mm V 1 max M 1 αν M 50 mm Σχήµα 41 Φορέας προς επίλυση [Α] και διατοµή δοκού [Β] ίνονται: Φορτία: g = 30 kn/m (συµπεριλαµβανοµένου ΙΒ), q = 0 kn/m Υλικά: C 0/5, S500 Πλάτος Υποστυλωµάτων Στήριξης: b = 300 mm Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης

Επίλυση γραμμικών φορέων ΟΣ σύμφωνα με τους EC & EC8 ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α ΈΛΕΓΧΟΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΠΛΙΣΜΟΥ Α1 Υπολογισµός Στατικού Ύψους Ονοµαστική επικάλυψη ράβδων µε το σκυρόδεµα nom = min 10 mm Από Πίνακα 5 (σελ 119) για κατηγορία έκθεσης XC1, min = 15 mm Άρα = nom = min 10 = 15 10 = 5 mm b e = 1100 mm 100 mm Φ L Φ h 500 mm d1 50 mm Σχήµα 4 Υπολογισµός Ονοµαστικής Επικάλυψης d1 = φ h φ L / Έστω φ L = 16 mm, φ h = 8 mm d1 = 5 8 8 = 41 40 mm d = h d1 = 500 40 = 460 mm Α Υπολογισµός Φόρτισης q d = 135G 15Q = 135 30 15 0 = 705 kn/m Α3 Υπολογισµός Εντατικών Μεγεθών Ξεκινάµε από το πρόβολο q Μ = d L 705 18 = = 1141 knm V r = q d l = 705 18 = 169 kn Στο υπόλοιπο τµήµα της δοκού V = V αµφ V M = V (x)αµφ MB M l AB A M M1 q d L1 M M1 705 5 1141 0 V 1 = V 1,αµφ = = = 15341 kn L L 5 Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 1 1 V l M M1 q d L1 M M1 705 5 1141 0 = V,αµφ = = = 19909 kn L L 5 1 1

Επίλυση γραμμικών φορέων ΟΣ σύμφωνα με τους EC & EC8 Γνωρίζω ότι σε τµήµα δοκού που φορτίζεται µε οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο και µε ροπές στα άκρα της M A, M B, ισχύει ότι: Μέγιστη ροπή στο άνοιγµα, max M αν = V A q d M A B V = q d M B Μ Α q d Μ Β A B V max M 1,αν = 1 15341 M1 = 0 q 705 = 1669 knm d V q ( ) Επαλήθευση: max M 1,αν = M = ( 1141) l d 19909 = 1669 knm 705 q d 300 mm 300 mm L 1 = 50 L = 18 1 V 1 =15341 kn max M 1 αν = 166,90 knm l V =19909 kn V r =1690 kn M = 1141 Σχήµα 43 ιαγράµµατα και τιµές εντατικών µεγεθών Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης

Επίλυση γραμμικών φορέων ΟΣ σύμφωνα με τους EC & EC8 Α4 Έλεγχος ιατοµής Ανοίγµατος Από διάγραµµα καµπτικών ροπών εφελκυσµός κάτω (στο κορµό) πλάκα στη θλιβόµενη ζώνη (θλίψη στο πέλµα) b = b e (σελ 111) Έλεγχος ύψους θλιβόµενης ζώνης d = hd1 = 05 004 = 046 m d = 085 k 0000 = 085 = 15 15 1133333 kpa (kn/m ) Msd 16690 µ sd = = = 0063 < µ* sd,lim = 0317 (για S500) b d 110 046 1133333 e d Από Πίνακα 41 (σελ 73) ξ = 00809 0081 x = ξ d = 0081 460 = 376 mm < h = 100 mm Αφού x<h, άρα το ύψος της θλιβόµενης ζώνης είναι µέσα στη πλάκα Εποµένως, η πλακοδοκός θα επιλυθεί ως ορθογωνική διατοµή µε πλάτος αυτό του πέλµατος b e = 1100 mm (σύµφωνα µε τη θεωρία, σελ 111) Από σχέση 41β (σελ 7) ω 1 = ω 1 = 00651 0 085 d Άρα A s1 = ω = 00651 1100 460 15 1 be d = 85865 mm 500 115 Προσοχή στις μονάδες: b e, d σε (mm), k, yk (MPa) Α5 Έλεγχος ιατοµής Στήριξης Από διάγραµµα καµπτικών ροπών εφελκυσµός πάνω πλάκα στη εφελκυόµενη ζώνη b=b w (σελ 111) Οι κρίσιµες διατοµές είναι στις παρειές, άρα ο έλεγχος θα γίνει στη παρειά Οπότε θα πρέπει να υπολογισθεί η ροπή παρειάς Μ παρειάς Γνωρίζουµε (βλέπε παρακάτω σχήµα) ότι Μ στ Μ = Μ παρειάς Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης

Επίλυση γραμμικών φορέων ΟΣ σύμφωνα με τους EC & EC8 q d 300 mm 300 mm L 1 = 50 L = 18 1 V 1 =15341 kn max M 1 αν = 166,90 knm V l =19909 kn V r =1690 kn M = 1141 knm Μ στ = Μ Κλίση γωνίας = ΔΜ/Δx = V ΔΜ Μ παρειάς,δεξ b στ / 165 m Σχήµα 44 Εντατικά µεγέθη στη στήριξη Γενικώς από τις ροπές στήριξης µπορούµε να υπολογίσουµε τις ροπές παρειάς Μ παρειάς,δεξ dm b = στ δεξ bστ 03 Μ = Μ V = 1141 1690 = 95175 knm dx Μ παρειάς,αρ dm b = στ αρ bστ 03 Μ = Μ V = 1141 19909 = 8435 knm dx Στους υπολογισµούς θα προχωρήσουµε µε τη µεγαλύτερη κατά απόλυτη τιµή = 95175 knm Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης

Επίλυση γραμμικών φορέων ΟΣ σύμφωνα με τους EC & EC8 Ειδικά στη περίπτωση προβόλου, ένας άµεσος ακριβής τρόπος υπολογισµού είναι: παρ Μ παρειάς,προβ d ( L ) = Οπότε µε Msd = 95175 knm: q 705 165 = = 9597 knm µ sd = b w M d sd d 9597 = = 016 < µ* sd,lim = 0317 (για S500) 05 046 1133333 Από σχέση 41β (σελ 7) ω 1 = ω 1 = 0176 0 085 d Άρα A s1 = ω = 0176 50 460 15 1 be d = 58 mm 500 115 Συνολικά οι απαιτήσεις διαµήκους οπλισµού στο άνοιγµα και στις στηρίξεις προέκυψαν από έλεγχο σε κάµψη, όπως φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί 58 mm 858,65 mm Σχήµα 45 Απαιτούµενες ποσότητες διαµήκους οπλισµού (όπως υπολογίσθηκαν) Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης

Επίλυση γραμμικών φορέων ΟΣ σύμφωνα με τους EC & EC8 ΜΕΡΟΣ Β ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΩΝ ΙΑΤΑΞΕΩΝ Β1 Υπολογισµός Ελάχιστου Οπλισµού µε Βάση τον Κανονισµό α) Ελάχιστο ποσοστό διαµήκους οπλισµού σε κάθε πέλµα (Πίνακας 54, σελ 18, η γραµµή): ρ min = A s,min / bd εφελκυόµενου πέλµατος = 05 tm = 03 [ k (MPa)] /3 = 03 0 /3 = MPa tm yk Άρα ρ min = 05 tm yk = 05 500 = 000 Σηµειώνεται ότι στο εφελκυόµενο πέλµα µιας οποιασδήποτε δοκού, το ελάχιστο ποσοστό διαµήκους οπλισµού είναι ανηγµένο στη διατοµή bd του κορµού Άρα: A s,min = ρ min b w d = 000 50 460 = 53 mm β) Τουλάχιστον Φ14 σε κάθε πέλµα δοκών Κατηγορίας Πλαστιµότητας Υ (Πίνακας 54, σελ 18, 4 η γραµµή) A s,φ14 = 154 mm = 308 mm Ο έλεγχος αυτός γίνεται, γιατί σύμφωνα με τις κατασκευαστικές διατάξεις πρέπει: Σ όλο το μήκος κάθε πέλματος δοκών Κατηγορίας Πλαστιμότητας Υ, πρέπει κατά τον Ευρωκώδικα 8 να τοποθετούνται τουλάχιστον ράβδοι Φ14 Άρα από (α) (β): A s,min = Φ14 = 308 mm Β Πρώτη Τοποθέτηση Οπλισµού (όπως υπολογίσθηκε) Άνοιγµα: Κάτω πέλµα (εφελκυσµός): A s1 = 85865 mm Θα τοποθετηθούνε Φ163Φ14 = 4046=864 mm Άνω πέλµα (θλίψη): Θα τοποθετηθούνε τα ελάχιστα Φ14 = 308 mm Στήριξη/πρόβολος: Άνω πέλµα (εφελκυσµός): A s1 = 58 mm Έχουµε είδη Φ14 = 308 mm (ελάχιστα σύµφωνα µε κανονισµό) Πρόσθετα = 58308 = 0 mm Θα τοποθετηθούνε πρόσθετα Φ1 = 6 mm Κάτω πέλµα (θλίψη): Θα τοποθετηθούνε τα ελάχιστα Φ14 = 308 mm Τοποθετώντας τον οπλισµό όπως υπολογίσθηκε προκύπτει: Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης

Επίλυση γραμμικών φορέων ΟΣ σύμφωνα με τους EC & EC8 (4) ΣτΑρπ: 308 mm ( Φ14) (1) ΣτΑρκ: 308 mm (Φ14) (5) Ανπ: 308 mm (Φ14) () Ανκ: 858,65 mm (Φ163Φ14 = 864 mm ) (6) ΣτΔεξπ: 58 mm (Φ14Φ1 = 534 mm) (3) ΣτΔεξκ: 308 mm (Φ14) Σχήµα 46 1 η τοποθέτηση διαµήκους οπλισµού Β3 Έλεγχος Κατασκευαστικών ιατάξεων Σύµφωνα µε την Ενότητα 543 & Πίνακα 54 (σελ 18) α) «Σε όλο το µήκος του επάνω πέλµατος της δοκού πρέπει ο οπλισµός να είναι τουλάχιστον ίσος µε το ¼ του µεγαλύτερου πάνω οπλισµού των δύο ακραίων διατοµών στήριξης» A s,min,πάνω ράβδοι άνοιγµα = 05 Α s,topsupports (Πίνακας 54, σελ 18, 5 η γραµµή) Με άλλα λόγια στο ο οπλισµός στο άνοιγµα στο πάνω πέλµα (θέση οπλισµού 5), πρέπει να είναι τουλάχιστον ίσος µε το ¼ του µεγαλύτερου οπλισµού των στηρίξεων πάνω (θέσεις 4 και 6) Ο µεγαλύτερος πάνω οπλισµός των ακραίων διατοµών στήριξης είναι Φ14 Φ1 (534mm ) Άρα: A s,min,πάνω ράβδοι άνοιγµα = 05 534 134 mm Έχουν τοποθετηθεί Φ14 = 308 mm > 134 mm Άρα ο έλεγχος ικανοποιείται β) Για τον οπλισµό στο κάτω πέλµα στις ακραίες περιοχές στήριξης πρέπει Αs, κάτω ράβδοι κρίσιµων περιοχών 05 As, πάνω (Πίνακας 54, σελ 18, 6 η γραµµή) Με άλλα λόγια οι κάτω ράβδοι στις στηρίξεις (στις παρειές των κρίσιµων περιοχών) (θέσεις 1 και 3) πρέπει να είναι τουλάχιστον ίσες µε το ½ των πάνω ράβδων στις στηρίξεις (θέσεις 4 και 6) Στην αριστερή στήριξη (θέσεις 1 και 4) ο έλεγχος ισχύει αφού έχουν τοποθετηθεί πάνω κάτω τα ελάχιστα Στη δεξιά στήριξη στο πάνω πέλµα (θέση 6) έχουν τοποθετηθεί Φ14Φ1 = 534mm Άρα: As, κάτω = 05 534 67 mm Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης

Επίλυση γραμμικών φορέων ΟΣ σύμφωνα με τους EC & EC8 Στο κάτω πέλµα (θέση 3) έχουν τοποθετηθεί Φ14 = 308 mm > 67 mm Άρα ο έλεγχος ικανοποιείται γ) «Το 5% ράβδων κάτω πέλµατος στο άνοιγµα δοκού Κατηγορίας Πλαστιµότητας Υ χρειάζεται να επεκτείνεται µέχρι της δύο στηρίξεις της και να αγκυρώνεται εκεί» Με άλλα λόγια A s,min,κάτω ράβδοι στηρίξεις = 05 Α s,bottomspan (Πίνακας 54, σελ 18, 7 η γραµµή) Με άλλα λόγια οι κάτω ράβδοι στις στηρίξεις (στις παρειές των κρίσιµων περιοχών) (θέσεις 1 και 3) πρέπει να είναι τουλάχιστον ίσες µε το ¼ των κάτω ράβδων στο άνοιγµα (θέση ) Στο άνοιγµα στο κάτω πέλµα έχω Φ16 3Φ14 = 864 mm Άρα: A s,min,κάτω ράβδοι στηρίξεις = 05 85 = 16 mm Έχουν τοποθετηθεί Φ14 = 308 mm > 134 mm Άρα ο έλεγχος ικανοποιείται Με την ολοκλήρωση των άνω ελέγχων ολοκληρώθηκαν στην ουσία οι έλεγχοι των κατασκευαστικών διατάξεων που αφορούν τη πλαστιµότητα Αποµένει να ελέγξουµε το µέγιστο ποσοστό οπλισµού Πρώτα όµως θα προβούµε στη τελική τοποθέτηση του οπλισµού Πρώτα τοποθετούµε στο άνω και κάτω πέλµα τα ελάχιστα απαιτούµενα από τον κανονισµό Φ14 Στη συνέχεια τοποθετούµε στο άνοιγµα στο εφελκυόµενο πέλµα Φ161Φ14 (άρα µε τα υπάρχοντα Φ14, έχουµε 3Φ14) Κανονικά στα σίδερα αυτά (θεωρητικά) θα τα συνεχίζαµε µέχρι το σηµείο µηδενισµού των καµπτικών ροπών στο άνοιγµα (/ το µήκος αγκύρωσης τους) Στη πράξη όµως τα πάµε µέχρι τις στηρίξεις Τέλος τοποθετούµε στο εφελκυόµενο πέλµα στη στήριξη δεξιά πρόσθετα Φ1 Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης

Επίλυση γραμμικών φορέων ΟΣ σύμφωνα με τους EC & EC8 (4) ΣτΑρπ: 308 mm ( Φ14) (1) ΣτΑρκ: 308 mm (Φ14) (5) Ανπ: 308 mm (Φ14) () Ανκ: 858,65 mm (Φ163Φ14 = 864 mm ) (6) ΣτΔεξπ: 58 mm (Φ14Φ1 = 534 mm) (3) ΣτΔεξκ: 308 mm (Φ14) (4) ΣτΑρκ Φ14 (5) Ανπ (6) ΣτΔεξπ Φ1 (1) ΣτΑρκ () Ανκ Φ16 1Φ14 Α (3) ΣτΔεξκ Φ14 Σχήµα 47 Τελική τοποθέτηση διαµήκους οπλισµού Άρα µε βάση τη τελική τοποθέτηση οπλισµού, µετά τον έλεγχο κατασκευαστικών διατάξεων, οι ποσότητες που έχουν προκύψει είναι ως εξής: Άνοιγµα: Κάτω πέλµα (εφελκυσµός): Φ163Φ14 = 864 mm (αρχικά 858,65 mm ) Άνω πέλµα (θλίψη): Φ14 = 308 mm Στήριξη/πρόβολος: Άνω πέλµα (εφελκυσµός): Φ14 Φ1 = 534 mm (αρχικά 58 mm ) Κάτω πέλµα (θλίψη): Φ163Φ14 = 864 mm (αρχικά 308 mm ) Προέκυψε λόγω του ότι ενώ αρχικά στο θλιβόμενο πέλμα στη στήριξη βάλαμε μόνο τα ελάχιστα (Φ14), στη συνέχεια προεκτείναμε τον οπλισμό από το άνοιγμα (Φ161Φ14) Άρα ο πραγματικός θλιβόμενος οπλισμός ρ στη στήριξη στο κάτω πέλμα είναι Φ163Φ14 Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης

Επίλυση γραμμικών φορέων ΟΣ σύμφωνα με τους EC & EC8 δ) Μέγιστο ποσοστό οπλισµού (για ΚΠΥ) Ειδικά για δοκούς µε Κατηγορία Πλαστιµότητας Μ ή Υ: Το µέγιστο επιτρεπόµενο ποσοστό εφελκυόµενου χάλυβα κρισίµων περιοχών δοκών µε αυξηµένες απαιτήσεις πλαστιµότητας δίνεται από τον Ευρωκώδικα 8 από τη σχέση: 00018 d ρ 1,max = ρ (σελ 130), µ ε Φ όπου ε = /E s, ρ : ποσοστό θλιβόµενου χάλυβα (υπάρχων οπλισµός) µ Φ : δείκτης πλαστιµότητας καµπυλοτήτων Υπολογισµός µ φ µ Φ = µ δ 1, (µ Φ : δείκτης πλαστιµότητας καµπυλοτήτων) από Σχέση 58, σελίδα 130 µ δ = q, αν T 1 T, (δείκτης πλαστιµότητας µετακινήσεων) T 1 ( q 1), αν T 1 < T από Σχέσεις 318, σελίδα 4 T 1 µε Τ 1 : θεµελιώδης ιδιοπερίοδος κτιρίου T : περίοδος στο τέλος περιοχής φασµατικής επιτάχυνσης φάσµατος q: συντελεστής συµπεριφοράς (σελ 4647, Πίνακας 3,7) Λόγω του ότι, σύµφωνα µε την εκφώνηση, το υποστύλωµα ανήκει σε πολυώροφο, κανονικό καθ ύψος κτίριο µε πολύστυλο πλαισιακό φορέα, από τη σελίδα 46 αu/α 1 = 13 Άρα: q 0 = 45 αu/α 1 = 45 13 = 585 Λόγω του ότι το κτήριο είναι κανονικό, q = q 0 Άρα ο συντελεστής συµπεριφοράς q = 585 Σύµφωνα µε την εκφώνηση το κτίριο έχει ιδιοπερίοδο T = 05 se και είναι θεµελιωµένο σε έδαφος κατηγορίας C Από Πίνακα 33 (σελ, 37) για κατηγορία εδάφους C T = 06 se Άρα T1 = 05 se < T = 06 µ δ = 1(q1)T /T 1 = 1 (5851) 06/05 = 68 µ Φ = µ δ 1 = 681 = 164 00018 d Επανερχόµαστε στον υπολογισµό του ρ 1,max = ρ (σελ 130), µ ε Φ Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης

Επίλυση γραμμικών φορέων ΟΣ σύμφωνα με τους EC & EC8 500 ε = /E s = 115 00000 = 00017 Α s Φ16 3Φ14 864 ρ = = = = 00075 b d b d 50 460 w w 0 085 00018 d 00018 ρ 1,max = ρ 15 = 00075= 0 009 µ 164 00017 500 Φ ε 115 As 1,max = ρ 1,max b w d = 0009 50 460 = 1058 mm > 864 mm Οπότε δεν χρειάζεται αύξηση των διαστάσεων b ή d του κορµού ε) Έλεγχος στις κρίσιµες περιοχές στη στήριξη «Πέραν του µέγιστου ποσοστού εφελκυόµενου οπλισµού κρισίµων περιοχών, ο Ευρωκώδικας επιβάλλει ένα ελάχιστο ποσοστό θλιβόµενου χάλυβα ρ, στο κάτω πέλµα των ακραίων κρισίµων περιοχών στις στηρίξεις δοκών Κατηγορίας Πλαστιµότητας Μ ή Υ ίσο µε το 50% του ποσοστού του εφελκυόµενου οπλισµού ρ1» Με άλλα λόγια στη στήριξη: ρ = 05 ρ 1 Φ16 3Φ14 ρ bw d 864 Έλεγχος δεξιάς παρειάς: = = = 16> 0 5 ρ1 Φ14 Φ1 534 b d w Άρα έλεγχος ικανοποιείται Φ16 3Φ14 ρ bw d 864 Έλεγχος αριστερής παρειάς: = = = 81> 0 5 ρ1 Φ14 308 b d w Άρα έλεγχος ικανοποιείται Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης

Επίλυση γραμμικών φορέων ΟΣ σύμφωνα με τους EC & EC8 Β4 Έλεγχος απόστασης οπλισµών «Οι ελάχιστες οριζόντιες h ή κατακόρυφες v αποστάσεις µεταξύ ράβδων συνίσταται να είναι από τον Ευρωκώδικα : 0 mm 0 mm v, h max ιάµετρος µεγαλύτερης ράβδου Φ L = max 16 mm Μέγιστος κόκκος αδρανών 5mm 305 = 35 mm Άρα v, h max (0mm, 16mm, 305mm) = 35 mm Στο κάτω πέλµα έχουµε συνολικά Φ16 3Φ14 Έστω συνδετήρα Φ8 Πλάτος διατοµής = επικαλύψεις διατοµή συνδετήρα διατοµές ράβδων αποστάσεις ράβδων Ή αλλιώς ΣΦ L ΣΦ h Σ h = 5 8 163 14 4 35 = 80 mm > 50 mm Άρα οι οπλισµοί δεν µπορούν να µπουν σε µία σειρά Τοποθετούνται σε δύο σειρές, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα ΟΧΙ Φ h Φ16 Φ14 Φ16 Φ h ΝΑΙ Φ16 Φ14 Φ16 Σχήµα 48 Τοποθέτηση οπλισµού σε σειρές Με αυτή τη διάταξη αλλάζει ελάχιστα το στατικό ύψος (λόγω κέντρου βάρους του οπλισµού) Κρίνεται όµως ότι αυτή η αλλαγή είναι ελάχιστη και δεν χρειάζεται να επαναληφθούν οι υπολογισµοί Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης