Μέτοχος Αριθ. µετοχών Προτιµήσεις Α 8 ω > ψ > χ Β 7 χ > ω > ψ Γ 6 ψ > χ > ω 3 ψ > ω > χ

Άσκηση Ι. Έστω ότι οι µέτοχοι µιας εταιρείας, (Α, Β, Γ, ) επιλέγουν νέο ιευθυντή µεταξύ τριών υποψηφίων, τους χ, ψ, ω. Το βάρος της ψήφου του κάθε µετόχου είναι ίσο µε τον αριθµό των µετοχών της εταιρείας που έχει στην κατοχή του. Στη ιάρκεια της ψηφοφορίας ο κάθε µέτοχος ψηφίζει τον υποψήφιο που προτιµά περισσότερο. Μετά την καταµέτρηση, αποκλείεται ο τελευταίος υποψήφιος. Οι ψήφοι των µετόχων που υπεστήριξαν τον αποκλεισθέντα υποψήφιο µεταβιβάζονται στον υποψήφιο που αποτελεί τη εύτερη επιλογή καθένα από τους µετόχους αυτούς. Η ιαικασία επαναλαµβάνεται µέχρι κάποιος υποψήφιος να αποκτήσει την απόλυτη πλειοψηφία. Ο πιο κάτω πίνακας περιγράφει µια υνατή σύνθεση των µετόχων. Ποιος υποψήφιος θα εκλεγεί; Μέτοχος Αριθ. µετοχών Προτιµήσεις Α 8 ω > ψ > χ Β 7 χ > ω > ψ Γ 6 ψ > χ > ω 3 ψ > ω > χ Για να είναι το αποτέλεσµα σηµείο ισορροπίας θα πρέπει όλοι οι µέτοχοι να µην έχουν άλλη επιλογή ψηφοφορίας που να τους αποώσει καλύτερο αποτέλεσµα. Έτσι, εν θα είναι υνατό να βελτιώσουν την θέση τους µονοµερώς, οπότε θα βρισκόµαστε σε σηµείο ισορροπίας κατά Nash. ηλαή, πρέπει να συµφέρει όλους τους µετόχους να εκηλώσουν τις προτιµήσεις τους µε ειλικρίνεια. Για παράειγµα, ο υποψήφιος που θα εκλεγεί αν όλοι είναι ειλικρινείς εν θα είναι η πρώτη προτίµηση του µετόχου Β. Είναι υνατό για τον Β να ακολουθήσει τακτική ψηφοφορίας που να ιαφέρει από τις πραγµατικές του προτιµήσεις; Οι επιλογές του Β, και τα αποτελέσµατα περιγράφονται στον πιο κάτω πίνακα. υνητικές Στρατηγικές του Β Αποτέλεσµα χ > ω > ψ (ειλικρίνεια) Ω

χ > ψ > ω Ψ ω > χ > ψ Ω ω > ψ > χ Ω ψ > χ > ω Ψ ψ > ω > χ Ψ Βλέπουµε ότι εν υπάρχει στρατηγική του Β που να οηγήσει στην εκλογή του χ, που είναι η καθαρή προτίµηση του. Αν εκλεγεί ο ψ, έτσι κι αλλιώς είναι η χειρότερη επιλογή του Β οπότε οι στρατηγικές που οηγούν στο αποτέλεσµα αυτό εν θα επιφέρουν βελτίωση στην ικανοποίηση του Β. Οι υπόλοιπες στρατηγικές συµφέρουν; Αν ναι, η ειλικρίνεια εν είναι σηµείο ισορροπίας. Επαναλάβετε την ιαικασία για τους άλλους τρεις µετόχους. Άσκηση ΙΙ. Μία κοινωνία απαρτίζεται από ύο µέλη. Έστω µία συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας u A u B ενώ το όριο υνατοτήτων ευηµερίας ίνεται από A ub 0 u. Ποιο θα είναι το άριστο επίπεο ευηµερίας του κάθε µέλους; έστω ότι η αρχική θέση ευηµερίας ήταν u A 6, ub 4. Ελέγξτε ότι το σηµείο αυτό βρίσκεται πάνω στο όριο υνατοτήτων ευηµερίας. Τι σηµαίνει αυτό; (Το όριο υνατοτήτων ευηµερίας είναι η αποτύπωση των σηµείων επί της γραµµής συµβάσεων στο κουτί του Edgeworth.) Ποια µεταβίβαση ευηµερίας απαιτείται για την ικανοποίηση των κοινωνικών προτεραιοτήτων που περιγράφονται από την πιο πάνω συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας; Επαναλάβετε την άσκηση αν η αρχική κατανοµή ήταν u A 4, ub. Άσκηση ΙΙΙ

Αποείξτε ότι η µεγιστοποίηση της συνάρτησης κοινωνικής ευηµερίας u A u B όταν το όριο υνατοτήτων ευηµερίας είναι u A ub 0 ισούναµο µε την µεγιστοποίηση της συνάρτησης ευηµερίας min{ u A; u B}., είναι Άσκηση ΙV Έστω ότι βρισκόµαστε στο σηµείο u A 6, ub 4, µε τα εοµένα της προηγούµενης άσκησης. Σχειάστε τις καµπύλες αιαφορίας που περνούν από το σηµείο αυτό για τις ύο συναρτήσεις κοινωνικής ευηµερίας. Άσκηση V Έστω ότι το όριο υνατοτήτων ευηµερίας είναι u A u B 0, ποια η τιµή του α, για 0 < α <, που µεγιστοποιεί την συνάρτηση u A u B α α στο σηµείο u A u B Άσκηση VI Έστω ότι το όριο υνατοτήτων ευηµερίας είναι u A u B 0, ενώ η συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας είναι u u A. Ελέγξτε τις πρώτες παραγώγους της συνάρτησης αυτής. Σχειάστε µια καµπύλη αιαφορίας. Τι σας λέει αυτό για το σηµείο B

. ηµόσια Αγαθά Τυπολογία αγαθών : Τα οικονοµικά αγαθά µπορούν να καταταγούν µε βάση ύο χαρακτηριστικά - τον βαθµό που µπορεί να επιβληθεί αποκλεισµός στην κατανάλωση τους, - και τον βαθµό που η κατανάλωση τους είναι ανταγωνιστική, ηλαή τον βαθµό που η κατανάλωση µιας µονάας του αγαθού από ένα άτοµο περιορίζει τις υνατότητες κατανάλωσης της ίιας µονάας από ένα άλλο άτοµο. Ανταγωνιστική Κατανάλωση Μη Ανταγωνιστική Κατανάλωση υνατότητα Αποκλεισµού Ιιωτικό Αγαθό Τοπικό ηµόσιο Αγαθό Αυναµία Αποκλεισµού ηµόσιο Αγαθό Τέλειο ηµόσιο Αγαθό Το πρόβληµα είναι ότι οι κατηγορίες αυτές µπορεί να µην είναι ιαχρονικά σταθερές, µε την έννοια ότι ένα αγαθό µπορεί να µετακινείται από κατηγορία σε κατηγορία, π.χ. σχετικά µε την σπανιότητα του ή την µεταβολή στις ηθικές αξίες κτλ. Έτσι, µπορεί να γίνει µια εύτερη, συγγενής ταξινόµηση, ανάλογα µε την αντίληψη σχετικά µε τα αγαθά από µέρους των φορέων αποφάσεων. Ανταγωνιστική Κατανάλωση Μη Ανταγωνιστική Κατανάλωση υνατότητα Αποκλεισµού Ιιωτικό Αγαθό Αγαθά Λέσχης Αυναµία Αποκλεισµού Ιιωτική Εξωτερικότητα ηµόσια Εξωτερικότητα

Στο τµήµα αυτό θα εξετάσουµε το πρόβληµα της άριστης παροχής ηµοσίων αγαθών. Στο πρώτο µέρος θα εξετάσουµε την παροχή αµιγών ηµοσίων αγαθών, ενώ στο εύτερο µικτών ηµοσίων αγαθών (ηλαή αγαθών που ικανοποιούν ιιωτικές ανάγκες ταυτόχρονα µε ηµόσιες). Το κάθε µέρος χωρίζεται σε επιµέρους θεµατικές οµάες. Έτσι, στην πρώτη οµάα εξετάζεται η κατά Pareto κατανοµή των πόρων όταν ένα από τα εµπλεκόµενα αγαθά είναι ηµόσιο. Στο εύτερο µέρος παρουσιάζεται ο αριστοποιητικός λογισµός όταν ο κάθε φορέας µεγιστοποιεί µε γνώµονα το αυστηρά προσωπικό του συµφέρον. Στην περίπτωση αυτή ο λογισµός αποτελεί µέρος παιγνίου, αφού ο κάθε φορέας υπολογίζει το άριστο επίπεο απάνης (περιλαµβανοµένης και αυτής του ηµοσίου αγαθού) που θα επιθυµούσε για κάθε επίπεο ηµοσίου αγαθού που µπορεί να επιθυµούν οι υπόλοιποι φορείς. ηλαή, οηγούµαστε στο σκεπτικό της συνάρτησης αντίρασης κάθε φορέα, κατά συνέπεια στον υπολογισµό ενός σηµείου ισορροπίας κατά Nash. Στο τρίτο µέρος εξετάζεται η κλίση της καµπύλης αντίρασης, ενώ στο τελευταίο ή τέταρτο µέρος γίνεται σύνεση της καµπύλης αντίρασης µε την ανάλυση των καµπυλών αιαφορίας των φορέων, µε σκοπό την ιευκόλυνση ιαγραµµατικής παρουσίασης του προβλήµατος παροχής ηµοσίων αγαθών. Στα πλαίσια της παρουσίασης αυτής υποεικνύεται η ισορροπία όταν υπάρχει ηγεσία στην παροχή του ηµόσιου αγαθού... Αµιγή ηµόσια Αγαθά.... Κατά Pareto άριστη κατανοµή. Έστω ότι υπάρχει κάποιος αέκαστος προγραµµατιστής µιας οικονοµίας που επιθυµεί να υπολογίσει τις κατά Pareto άριστες κατανοµές µιας οικονοµίας ύο ατόµων. Το κάθε άτοµο αντλεί χρησιµότητα από ύο αγαθά ένα ιιωτικό και ένα ηµόσιο. Το επίπεο του ηµόσιου αγαθού είναι φυσικά κοινό και στους ύο καταναλωτές. Ένας τρόπος να υπολογιστούν οι κατά Pareto άριστες κατανοµές, είναι να µεγιστοποιηθεί η χρησιµότητα του ενός φορέα, υπό τον ιπλό περιορισµό,

πρώτα ότι η χρησιµότητα του ευτέρου τηρείται σταθερή και εύτερο τον περιορισµό του ιαθεσίµου πλούτου στο σύνολο της οικονοµίας. Η µεγιστοποίηση γίνεται ως προς τα τρία αγαθά που θα εισέλθουν στην κατανάλωση των φορέων, τα ύο ιιωτικά και το ηµόσιο αγαθό. Έτσι έχουµε max ( ; Q), Q. s t ( ; Q) c pq W w w όπου βέβαια Q είναι το επίπεο του ηµοσίου αγαθού που θα ήταν ιατεθειµένος ο κάθε φορέας να συνεισφέρει σε είος (π.χ. αναλαµβάνοντας την παραγωγή του). (Παρατηρείστε ότι αν η κανονικοποίηση των τιµών είχε γίνει ώστε η τιµή του ηµοσίου αγαθού να είναι ίση µε, τότε θα µιλούσαµε για το µερίιο της απάνης για το ηµόσιο αγαθό που θα ήταν ιατεθειµένος ο κάθε φορέας να καλύψει.) Η συνάρτηση προς µεγιστοποίηση γίνεται L ; Q) λ ( ( ; Q) c) µ ( pq W ) ( i Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι dl d µ 0 () dl d λ µ 0 ()

dl dq λ (3) µ p 0 Q Q ιαιρώντας την (3) µε την (): Q λ Q p (4) Από την () και την () έχω λ οπότε αντικαθιστώντας στο εύτερο κλάσµα στα αριστερά της (4) έχω,, MRSQ MRSQ p (5) Η (5) είναι η συνθήκη παροχής του ηµόσιου αγαθού που οηγεί σε κατά Pareto κατανοµές των πόρων µεταξύ των φορέων της οικονοµίας. Αν η εξιά πλευρά της (5) είναι το κόστος παροχής (προµήθειας του ηµοσίου αγαθού, τότε το

κόστος αυτό πρέπει στο όριο να καλύπτει τα οφέλη που προκαλεί η κατανάλωση του αγαθού αυτού. Η παροχή µιας πρόσθετης µονάας ηµοσίου αγαθού αυξάνει την ευηµερία όλων των φορέων, αντίθετα µε την ανάλογη παροχή ενός ιιωτικού αγαθού που καταναλίσκεται µόνο από ένα φορέα. Έτσι η τιµή παροχής του Α πρέπει να καλύπτει το άθροισµα των χρησιµοτήτων που προκαλεί. (όπως στην (5)).... Αποκεντρωµένες αποφάσεις Έστω τώρα ότι ο κάθε φορέας προχωρά στον υπολογισµό του άριστου συνυασµού ιάθεσης του εισοήµατος του µε βάση την µεγιστοποίηση της ικής του χρησιµότητας και µόνο. Βέβαια εν µπορεί να αγνοήσει τις αποφάσεις των υπολοίπων φορέων, αφού η παροχή ηµοσίου αγαθού από τους υπολοίπους επηρεάζει την χρησιµότητα του. Η ιαφορά στο λογισµό µε αυτό του προηγουµένου τµήµατος είναι ότι ο φορέας εν περικλείει στους υπολογισµούς του το όφελος που προκύπτει στους άλλους από την παροχή ηµοσίου αγαθού από τον ίιο. Έτσι, ο φορέας αποφασίζει για την σύνθεση των απανών του θεωρώντας την παροχή του Α από τους άλλους σταθερό. Με τον τρόπο αυτό, επαναλαµβάνοντας τον λογισµό για κάθε φορέα, οηγούµαστε σε ένα σύστηµα συναρτήσεων αντίρασης, η λύση του οποίου ίνει ισορροπία κατά Nash. Οπότε έχουµε max ( ; Q), Q s. t. p w και Q. Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι

dl d λ 0 (6) dl p 0 λ (7) Παίρνοντας τον λόγο της (7) ια της (6) έχουµε MRS Q, p (8) Παρατηρήστε ότι η στην περίπτωση αυτή το κόστος παροχής του ηµοσίου αγαθού αντισταθµίζει το ιιωτικό όφελος και µόνο (αντίθετα µε την (5)). Λύνοντας τις τρεις συνθήκες πρώτης τάξης, βρίσκουµε τις συναρτήσεις ζήτησης, ~ όπου Q Q είναι η συµβολή των υπολοίπων στην παροχή των ηµοσίων αγαθών. ~ ( w ; p; Q) ~ ( w ; p; Q) Έτσι, η συνάρτηση ζήτησης για το ηµόσιο αγαθό εξαρτάται από τις αποφάσεις των άλλων φορέων και µπορεί να θεωρηθεί συνάρτηση αντίραση του µεγιστοποιούντος φορέα...3. Η κλίση της συνάρτησης αντίρασης. Μια συγκεκριµένη περίπτωση

Έστω ότι η συνάρτηση χρησιµότητας έχει την µορφή Cobb-Douglas, ώστε το πρόβληµα γίνεται max Q α α s. t. p w Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι dl d ( α) Q α α λ 0 (9) dl αq α α λp 0 (0) dl d w p λ 0 () ιαιρώντας την (0) µε την (9) έχουµε α α Q P οπότε α ( ) pq α

Αντικαθιστώντας από την () το επίπεο του ιιωτικού αγαθού και συµβολίζοντας µε το Q Q το επίπεο του Α που προσφέρουν όλοι πλην του φορέα (ηλαή, αν υπάρχουν µόνο ύο φορείς Q ), ~ α( w p ) ( α) p ( α) pq και p αw ~ ( α) pq Είναι η καµπύλη αντίρασης του φορέα. Αν 0<α< η κλίση της συνάρτησης αυτής σε σχέση µε την προσφορά Α (των αποφάσεων) των υπολοίπων φορέων είναι αρνητική...4. Καµπύλες αιαφορίας και συνάρτηση αντίρασης. Από τον εισοηµατικό περιορισµό µπορούµε να εκφράσουµε το επίπεο του ιιωτικού αγαθού ως συνάρτηση του εισοήµατος και της απάνης για Α. w p. Όποτε ( ( w; p); ) Παίρνοντας το ιαφορικό της συνάρτησης χρησιµότητας και κρατώντας το επίπεο χρησιµότητας σταθερό έχουµε 0

εοµένου ότι, η κλίση µιας καµπύλης αιαφορίας ίεται από p p MRS Q Παρατηρήστε ότι στο αριστοποιητικό σηµείο πρέπει να ισχύει από την (8) p MRS Q 0 Οπότε η κλίση της καµπύλης αιαφορίας στο χώρο {, µε το µηέν στο άριστο σηµείο. } πρέπει να είναι ίση p MRS Q 0 ηλαή, για κάθε επίπεο προσφερόµενου Α από τους υπολοίπους (εώ από τον φορέα ) η κλίση της καµπύλης αιαφορίας του θα έχει αξία ίση µε το µηέν εκεί που τέµνει την καµπύλη αντίρασης του. Στο σχήµα, η καµπύλη αντίρασης του έχει αρνητική κλίση. Όσο αυξάνεται η παροχή του Α από τον, η ευηµερία του αυξάνει, άρα περνάµε σε ψηλότερη καµπύλη αιαφορίας. Για κάθε επίπεο συµβολής στην παροχή του Α από τον

η αντίστοιχη άριστη (ψηλότερη υνατή) καµπύλη αιαφορίας του θα έχει κλίση ίση µε το µηέν. Αφού είναι η ψηλότερη υνατή καµπύλη αιαφορίας του, εοµένης της απόφασης του, το σηµείο όπου µηενίζεται η κλίση πρέπει να βρίσκεται πάνω στην καµπύλη αντίρασης του Σχήµα ** * Αν επαναλάβουµε την ιαικασία για τον, θα έχουµε ένα σχήµα όπως το, µοναχά που στον κάθετο άξονα θα είναι το και στον οριζόντιο το. Αν περιστρέψουµε ένα τέτοιο σχήµα κατά 90 ο, και το επιθέσουµε στο σχήµα έχουµε το σχήµα.

Σχήµα x Η τοµή των ύο καµπυλών αντίρασης είναι το σηµείο ισορροπίας κατά Nash. Στο σηµείο αυτό περνούν οι αντίστοιχες καµπύλες αιαφορίας των ύο φορέων, η κλίση αυτής του είναι µηέν ενώ του είναι ίση µε άπειρο λόγω της περιστροφής του σχήµατος πριν την εναπόθεση. Βλέπουµε ότι η ισορροπία κατά Nash, εν είναι κατά Pareto άριστη, αφού υπάρχουν σηµεία όπου µπορεί να αυξηθεί η ευηµερία και των ύο φορέων όπως το σηµείο χ...5. ιανοµή Εισοήµατος και Παροχή Α Η συνάρτηση αντίρασης του, στο παράειγµα που αναπτύξαµε πιο πάνω είναι α w p ( α )

οπότε, < 0, η κλίση της καµπύλης αντίρασης είναι αρνητική, και > 0, οπότε η dw αύξηση του πλούτου µετατοπίζει την καµπύλη αντίρασης στα εξιά. Αν η ιανοµή του πλούτου είναι αρκούντως άνιση µεταξύ των ύο φορέων αποφάσεων, τότε είναι υνατό η προµήθεια του Α να γίνεται µόνο από τον πλούσιο φορέα. είξτε το αποτέλεσµα αυτό ιαγραµµατικά.

.. Μικτά ηµόσια Αγαθά. Με τον όρο Μικτά ηµόσια Αγαθά, εννοούµε αγαθά που ικανοποιούν κάποια ηµόσια ανάγκη, κατά συνέπεια η κατανάλωση τους ούτε είναι ανταγωνιστική, ούτε επιέχεται αποκλεισµό, αλλά η ιαικασία παραγωγής των αγαθών αυτών συνεπάγεται την ταυτόχρονη και αιαίρετη παραγωγή κάποιου αγαθού που ικανοποιεί τις ανάγκες ενός και µόνο φορέα. Το σχήµα αυτό χρησιµοποιείται συχνά για την ανάλυση της παροχής των ιεθνών ηµοσίων αγαθών. Οι αποκεντρωµένοι φορείς αποφάσεων στην περίπτωση αυτή, είναι συνήθως κράτη ή κυβερνήσεις οι οποίες παράγουν κάποιο εγχώριο ηµόσιο αγαθό που ταυτόχρονα συµβάλλει στην αντιµετώπιση ιεθνών ηµοσίων αναγκών. Αφού οι φορείς που εµπλέκονται στις αποφάσεις είναι κράτη, τα εγχώρια ηµόσια αγαθά που παρέχουν έχουν τις ιιότητες των ιιωτικών αγαθών, είναι ιιωτικά στο σύνολο των κατοικούντων σε ένα κράτος. Οι ιεθνείς οργανισµοί αποτελούν συχνά συντονιστικά όργανα ενώ τα κράτη µέλη είναι αυτά που παράγουν τις υπηρεσίες που χρησιµοποιούνται στην αντιµετώπιση ιεθνών ηµοσίων αναγκών. Το σχήµα που θα αναπτύξουµε πιο κάτω περιγράφει την πραγµατικότητα αυτή. Έτσι, αναλίσκονται πόροι, i, οι οποίοι παράγουν ταυτόχρονα ύο αγαθά το τοπικό ηµόσιο και το ιεθνές αγαθό, x i και i αντίστοιχα. Εώ θα υποθέσουµε ότι µία µονάα πόρων παράγει ένα σταθερό συνυασµό των ύο αγαθών όποιο και αν είναι το επίπεο παραγωγής. x σ i i i i () Το ιεθνές αγαθό, έχει τις ιιότητες του τέλειου ηµοσίου αγαθού, έτσι σε κάθε συνάρτηση χρησιµότητας υπεισέρχεται το σύνολο της προσφερόµενης ποσότητας ιεθνώς. Αν έχουµε ύο φορείς, τότε

Q ( α ) είναι το ύψος του ιεθνούς ηµοσίου αγαθού που επηρεάζει την χρησιµότητα των ύο φορέων. Εκτός από τα ύο αυτά αγαθά υποθέτουµε ότι ο κάθε φορέας καταναλίσκει και ένα τέλεια ιιωτικό αγαθό, το i. Έτσι, η συνάρτηση χρησιµότητας του κάθε φορέα είναι i ( ; x ; ) i i ή αντικαθιστώντας τις σχέσεις () και ( α ) i ( i ; σ i; ( )) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: ΤΟ ΥΠΟΛΟΙΟ ΤΟΥ ΥΠΟΤΜΗΜΑΤΟΣ. ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΜΕΡΟΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ... Κατά Pareto άριστα σηµεία. Για να βρούµε τις κατά Pareto άριστες κατανοµές µεγιστοποιούµε την χρησιµότητα ενός φορέα, κάτω από τον ιπλό περιορισµό ότι η χρησιµότητα του άλλου φορέα παραµένει σταθερή και ότι η συνολική απάνη των ύο φορέων είναι ίση µε το συνολικό ιαθέσιµο εισόηµα. όπως στην προηγούµενη περίπτωση η αριστοποίηση αυτή µπορεί να θεωρηθεί ότι γίνεται από ένα αέκαστο και αµερόληπτο παρατηρητή. Έτσι, αν η τιµή των πόρων που χρησιµοποιούνται στην παροχή του µικτού ηµοσίου αγαθού είναι p, ενώ αυτή του τέλεια ιιωτικού αγαθού είναι ίση µε, έχουµε max ( ; σ ; ( )), Q. s t ( ; σ ; ( )) c pq W w w

Οπότε η συνάρτηση του Lagrange γίνεται ) ( )) ( ; ; ( ( )) ( ; ; ( W pq L i µ σ λ σ και οι συνθήκες πρώτης τάξης 0 µ d dl (3) 0 µ λ d dl (4) 0 p x x dl µ λ (5) 0 p x x dl µ λ λ (6) Οι εξισώσεις 5 και 6 είναι ισούναµες µε 0 p x dl µ λ σ 0 p x dl µ λ σ λ ενώ από τις 3 και 4 έχουµε ότι

λ (7) ιαιρώντας την 5 µε την 3 p x λ σ (8) Αναπτύσσοντας το αριστερό σκέλος της 8 µε τρόπο να εκφραστεί ως τρία κλάσµατα και χρησιµοποιώντας την 7 για την αντικατάσταση του παρονοµαστή του τρίτου κλάσµατος, έχουµε την συνθήκη p MRS MRS MRS x σ (9) ιαιρώντας την 6 µε την 4 p x λ λ σ λ και επαναλαµβάνοντας την επεξεργασία της 8, καταλήγουµε στην εύτερη συνθήκη p MRS MRS MRS x σ (0)

Αντίθετα µε την περίπτωση των αµιγών Α, εώ έχουµε ύο συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε η κατανοµή να είναι κατά Pareto άριστη. Τούτο οφείλεται στο γεγονός ότι τα Α είναι µικτά, ηλαή έχουν µια πλευρά που προσεγγίζει τα ιιωτικά αγαθά. Κατά συνέπεια η αύξηση του έχει ιαφορετική επίπτωση στην αντικειµενική συνάρτηση από αυτή του. (Στην περίπτωση του αµιγούς Α η επίπτωση είναι ακριβώς η ίια.) Οι συνθήκες αυτές σταθµίζουν το κόστος παροχής του Α µε τις οφέλειες τόσο στο άτοµο που προµηθεύει το Α όσο και στους υπολοίπους φορείς της οικονοµίας. Στο µέτρο αυτό, είναι παρόµοιες µε την συνθήκη που ιέπει τις κατά Pareto άριστες κατανοµές του αµιγούς Α.... Αποκεντρωµένες αποφάσεις Στην περίπτωση που ο κάθε φορέας προχωρεί σε επιµέρους µεγιστοποίηση το πρόβληµα παρουσιάζεται µε τον ακόλουθο τρόπο max ( ; σ ; ( )), s. t. p w η αντικειµενική συνάρτηση γίνεται max L ( ; σ ; ( )) λ( p w ), οπότε οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι dl d λ 0 ()

dl x p 0 x λ () ή dl σ λp x 0 ιαιρώντας την µε την έχουµε x σ p ή MRSx σ MRS p (3) Συγκρίνοντας την (3) µε τις (8) και (0), βλέπουµε ότι το κόστος παροχής του Μικτού Α καλύπτει µόνο τα οφέλη που προκαλεί στον φορέα που το προµηθεύει. Συγκρίνοντας την (3) µε την (8), την συνθήκη κατανοµής στην περίπτωση αποκεντρωµένων αποφάσεων στην προµήθεια του αµιγούς Α, βλέπουµε ότι όσο µεγαλύτερη η ιιωτικοί επίπτωση, τόσο µεγαλύτερη η προµήθεια του Α. ηλαή, η παρουσία στοιχείων ιιωτικού αγαθού εντείνει τα κίνητρα παροχής Α.

..3. Κλίση των Καµπυλών Αντίρασης. Λύνοντας το σύστηµα των συνθηκών πρώτης τάξης έχουµε τις συναρτήσεις ζήτησης για το ιιωτικό αγαθό και για τους πόρους που θα ιατεθούν στην παραγωγή του µικτού ηµόσιου αγαθού ~ ( w ; p; Q; σ; ) ~ ( w ; p; Q; σ; ) Η εύτερη αυτή συνάρτηση αποτελεί την συνάρτηση αντίρασης του, ηλαή ίνει το άριστο, για κάθε επίπεο παρεχόµενου από τον φορέα. Η ιαφορά µε την περίπτωση του αµιγούς Α, είναι ότι στην περίπτωση του Μικτού Α η καµπύλη αντίρασης µπορεί (όχι αναγκαστικά) να έχει θετική κλίση. Η περίπτωση αυτή γίνεται υνατή αν τα ύο συστατικά του µικτού Α είναι MRS x συµπληρωµατικά κατά Hicks. ηλαή, αν > 0. Η συνθήκη αυτή λεει ότι µία αύξηση του Ζ οηγεί σε αύξηση της αξίας του χ σε σύγκριση µε το ιιωτικό αγαθό. Κατά συνέπεια οηγεί σε αύξηση και του χ. Αν η σχέση αυτή είναι αρκούντως έντονη, η κλίση της καµπύλης αντίρασης µπορεί να έχει θετική κλίση. (Σχήµα 3)...4. Καµπύλες Αιαφορίας και Συνάρτηση Αντίρασης Χρησιµοποιώντας τον εισοηµατικό περιορισµό του, µπορούµε να εκφράσουµε το επίπεο του αµιγούς ιιωτικού αγαθού ως συνάρτηση του εισοήµατος και της τιµής και της ποσότητας των πόρων που ιαθέτει ο για την παραγωγή του µικτού ηµόσιου αγαθού.

)) ( ; );, ( ( p w σ Παίρνοντας το ιαφορικό µε τρόπο ώστε η χρησιµότητα να τηρείται σταθερή έχουµε 0 x x που είναι ισούναµη µε 0 x p σ οπότε η κλίση της καµπύλης αιαφορίας στο χώρο ; είναι σ x p Αντικαθιστώντας τον παρονοµαστή µε την ισούναµη έκφραση και ιαιρώντας αριθµητή και παρονοµαστή µε την οριακή χρησιµότητα του ιιωτικού αγαθού έχουµε

p MRS x MRS σ MRS Ο αριθµητής της έκφρασης αυτής µηενίζεται όταν ικανοποιούνται οι συνθήκες πρώτης τάξης στην περίπτωση της αποκεντρωµένης αριστοποίησης. Κατά συνέπεια οι καµπύλες αιαφορίας του έχουν κλίση ίση µε το µηέν στο σηµείο που τέµνουν την καµπύλη αντίρασης του. Σχήµα 3!

.3 Τεχνολογία Παροχής ηµόσιου Αγαθού..3.. Ας µείνουµε στο ζήτηµα παροχής ιεθνών ηµοσίων Αγαθών. έστω ότι το αγαθό που εξετάζουµε είναι αµιγές Α. Η τεχνολογία που εξετάσαµε πιο πάνω για την επίτπωση αυτή ήταν η αθροιστική τεχνολογία. ηλαή, το επίπεο του ηµοσίου αγαθού που προσφέρεται είναι το άθροισµα των επί µέρους προσφεροµένων Α. Q i i... Μία εναλλακτική προσέγγιση είναι να χρησιµοποιήσουµε κάποια στάθµιση των επί µέρους προσφορών, στάθµιση που µπορεί να είναι ιαφορετική για κάθε χώρα. Έτσι, το επίπεο του προσφερόµενου Α για την χώρα j µπορεί να είναι j Q α ij j j όπου το α ij είναι η επίραση της προσφοράς του αγαθού που παράγει η χώρα i πάνω στην χώρα j, ενώ το Q επηρεάζει την χρησιµότητα της χώρας j. j είναι το επίπεο του ηµοσίου αγαθού που.3.3. Πολλά όµως Α εξαρτώνται από ιαφορετικές τεχνολογίες παροχής. Μια τέτοια περίπτωση είναι αυτή του ασθενέστερου κρίκου. Έτσι, η ευηµερία όλων µπορεί να εξαρτάται από τον πιο βρώµικο πολίτη, αφού αυτός µπορεί να επηρεάσει την πιθανότητα επιηµίας ότι και να κάνουν οι υπόλοιποι. Στην περίπτωση αυτή η τεχνολογία περιγράφεται από Q min(... n )

Σε σύγκριση µε την αθροιστική τεχνολογία, η παραπάνω τεχνολογία οηγεί σε ιαφορετική στρατηγική συµπεριφορά. Στο πίνακα «αύνατος κρίκος» υποθέτουµε ότι ύο φορείς αποφάσεων έχουν ύο εναλλακτικές επιλογές. Είτε να προσφέρουν µία µονάα Α είτε καµία. Αν και οι ύο επιλέξουν να προσφέρουν από µία µονάα ο καθένας, τότε κερίζουν 4 µονάες χρησιµότητας ο καθένας. στην αντίθετη περίπτωση κερίζουν από 0. Το κόστος παροχής µιας µονάας Α είναι ισούναµο µε µονάες χρησιµότητας, και είναι το ίιο για τους ύο φορείς. Βλέπουµε ότι εν υπάρχουν κυρίαρχες στρατηγικές (αντίθετα µε το ίληµµα του φυλακισµένου), αλλά υπάρχουν τρία σηµεία ισορροπίας κατά Nash. Επιπλέον, αν ο ένας από τους ύο εσµευτεί να προσφέρει Α (είτε µια είτε ύο µονάες), τότε συµφέρει τον άλλο να ακολουθήσει. Τούτο οφείλεται στο γεγονός ότι η προσφορά του ενός µόνο εν ηµιουργεί οφέλη στον µη µετέχοντα. A 0 µον µον µον Αύνατος Κρίκος B 0 µονάες µονάα µονάες 0 ; 0 0 ; - 0 ; -4 - ; 0 ; ; 0-4 ; 0 0 ; 4 ; 4.3.4. Η τεχνολογία της καλύτερης επίοσης, απεικονίζεται στον αντίστοιχο πίνακα. Εώ µόνο η καλύτερη επίοση παράγει κοινό όφελος. Είναι η περίπτωση της βασικής έρευνας. Αν πετύχει παράγει γνώση για όλους. Η συνάρτηση που προσιορίζει το επίπεο του Α είναι

Q max(... ) n Στον αντίστοιχο πίνακα υποθέτουµε ότι αν προσφερθεί µία µονάα Α οηγεί σε 4 µονάες χρησιµότητας για κάθε φορέα, ενώ αν παραχθούν ύο µονάες το αποτέλεσµα είναι 7 µονάες για τον καθένα. Το κόστος παραγωγής κάθε µονάας είναι πάντα ισούναµο µε υο µονάες χρησιµότητας. Στον πίνακα υπάρχουν ύο σηµεία ισορροπίας κατά Nash, τα τετράγωνα που βρίσκονται πάνω εξιά και κάτω αριστερά. Το Α παράγεται από ένα µόνο φορέα. A 0 µον µον µον Καλύτερη Επίοση B 0 µονάες µονάα µονάες 0 ; 0 4 ; 7 ; 3 ; 4 ; 5 ; 3 3 ; 7 3 ; 5 3 ; 3 Σε σύγκριση µε την αθροιστική τεχνολογία, η παραπάνω τεχνολογία οηγεί σε ιαφορετική στρατηγική συµπεριφορά..3.5. Έστω τώρα ότι υπάρχουν ν φορείς, που ο καθένας µπορεί να προσφέρει είτε µια, είτε καµία µονάα Α. Το κόστος ανά µονάα είναι ίσο µε 6. Κάθε προσφερόµενη µονάα ίνει 4 µονάες χρησιµότητας σε κάθε φορέα, ανεξάρτητα από το αν αυτός συνεισφέρει στην προσφορά Α, ή όχι. Στον πίνακα 3 α, βλέπουµε τις καθαρές αποόσεις του φορέα ι, ανάλογα µε τον αριθµό των άλλων φορέων που συνεισφέρουν στην παροχή Α. Αν κανείς εν συνεισφέρει,

τότε η χρησιµότητα είναι 0. Αν προσφέρει µόνο αυτός τότε η απόοση του είναι. κοκ. Οι αποόσεις στην πάνω γραµµή είναι µεγαλύτερες από αυτές στην κάτω γραµµή, άρα η κυρίαρχη στρατηγική του ι είναι να µην προσφέρει. Βέβαια, αυτή είναι και η κυρίαρχη στρατηγική όλων των υπολοίπων. (ίληµµα του φυλακισµένου). Πίνακας 3α Αριθµός ατόµων που συνεισφέρουν εκτός από τον ι 0 ξ- ξ ξ v - ο ι εν προσφέρει 0 4 4(ξ-) 4ξ 4(ξ) 4(ν-) ο ι προσφέρει µονάα 4-6 *4-6 4ξ-6 4(ξ)- 6 4(ξ)- 6 4ν-6 Αν υποθέσουµε ότι ο κάθε φορέας υποχρεώνεται να πληρώσει 6/ν για κάθε µονάα του ηµόσιου αγαθού που προσφέρεται. Στην περίπτωση αυτή αν εν συνεισφέρει ένας φορέας όταν ξ άλλοι φορείς συνεισφέρουν ίνει [4-(6/ν)]ξ. Αν συνεισφέρει όταν ξ άλλοι συνεισφέρουν η απόοση θα είναι [4-(6/ν)](ξ), που είναι µεγαλύτερη από την προηγούµενη περίπτωση. Κατά συνέπεια η κυρίαρχη στρατηγική για όλους τους φορείς είναι να προσφέρουν από µία µονάα Α ο καθένας. Στους πίνακες 3β, 3γ και 3 απεικονίζονται τρεις περιπτώσεις, όπου απαιτείται ένα ελάχιστος αριθµός συνροµητών, για να υπάρξει προσφορά κάποιου Α. Στον 3β, το κόστος παροχής ανά µονάα Α, είναι ισούναµο µε 6 µονάες χρησιµότητας. Το κόστος αυτό ούτε µοιράζεται ούτε επιστρέφεται. Για να υπάρξει

όφελος από το Α, πρέπει τουλάχιστον ξ- φορείς να συνεισφέρουν. Υπάρχουν πολλά σηµεία ισορροπίας για τον µεµονωµένο φορέα. Το ένα είναι να µην συνεισφέρει και το άλλο είναι να συνεισφέρει µαζί µε άλλους ξ- φορείς. Επίσης συµφέρει να συνεισφέρει µαζί µε περισσότερους από ξ- φορείς. Στον πίνακα 3γ, υποθέτουµε ότι αν εν επιτευχθεί ο ελάχιστος απαιτούµενος αριθµός µετεχόντων για να αποώσει ευηµερία το Α, τότε επιστρέφεται το κόστος σε αυτούς που έχουν ηλώσει συµµετοχή. Τώρα η κάτω σειρά είναι αύναµα κυρίαρχη της πάνω, για όλους τους φορείς. Πίνακας 3β Αριθµός ατόµων που συνεισφέρουν εκτός από τον ι 0 ξ- ξ ξ v - ο ι εν προσφέρει 0 0 0 4ξ 4(ξ) 4(ν-) ο ι προσφέρει µον -6-6 4ξ-6 4(ξ)- 6 4(ξ)- 6 4ν-6 Πίνακας 3γ Αριθµός ατόµων που συνεισφέρουν εκτός από τον ι 0 ξ- ξ ξ v - ο ι εν προσφέρει 0 0 0 4ξ 4(ξ) 4(ν-) ο ι προσφέρει µον 0 0 4ξ-6 4(ξ)- 6 4(ξ)- 6 4ν-6

Στον πίνακα 3, υποθέτουµε ότι επιστρέφονται τα κόστη στην περίπτωση µη επίτευξης του ελαχίστου ορίου, αλλά και ότι τα κόστη µοιράζονται µεταξύ των µετεχόντων. Στην περίπτωση αυτή οηγούµαστε στο κατά Pareto άριστο σηµείο ισορροπίας κατά Nash, όπου όλοι συνεισφέρουν. Πίνακας 3 Αριθµός ατόµων που συνεισφέρουν εκτός από τον ι 0 ξ- ξ ξ v - (4- ο ι εν (4-6/ν)(νπροσφέρει 0 0 0 (4-6/ν)ξ 6/ν)(ξ) ) ο ι προσφέρει µον 0 0 (4-6/ν)ξ (4-6/ν)(ξ) (4-6/ν)(ξ) 4ν-6

.4. Αγαθά Λέσχης (Club Goods) Τα αγαθά Λέσχης χαρακτηρίζονται από µη ανταγωνιστική κατανάλωση και υνατότητα αποκλεισµού στην κατανάλωση τους. Η εύτερη ιιότητα σηµαίνει ότι όποιος εν πληρώσει (π.χ. εν γίνει µέλος) εν έχει πρόσβαση στο αγαθό. Η πρώτη ιιότητα σηµαίνει ότι η κατανάλωση από κάποιο ικαιούχο, εν µειώνει την ιαθέσιµη ποσότητα για τους υπόλοιπους ικαιούχους, για κάθε επίπεο ικαιούχων (για κάθε µέγεθος της λέσχης). Η συνάρτηση χρησιµότητας του κάθε µέλους είναι i i (, X, s) i όπου το είναι ιιωτικό αγαθό, το Χ είναι το αγαθό λέσχης, ενώ το s είναι είκτης συνωστισµού. Λόγω της µη ανταγωνιστικότητας στην κατανάλωση, όλα τα µέλη καταναλώνουν το ίιο ύψος του Χ, ώστε x i X. Η οριακή χρησιµότητα είναι θετική, και φθίνουσα για τις ύο πρώτες µεταβλητές. Για την τρίτη είναι αρνητική µετά από κάποιο κρίσιµο επίπεο, αφού µπορεί αρχικά η αύξηση των µελών να «γεµίζει τα ωµάτια». i i > 0 X i > 0 s i < 0 for s > s * Το κόστος παροχής του κοινού αγαθού ίεται από την συνάρτηση C ( X, s) η οποία είναι αύξουσα τόσο ως προς το ύψος παροχής του αγαθού, όσο και ως προς το επίπεο χρήσης του (π.χ. το εντευκτήριο µιας λέσχης απαιτεί περισσότερες επισκευές όσο περισσότερα τα µέλη της).

C( X, s) X > 0 C( X, s) και > 0 s Το κόστος παροχής του κοινού αγαθού µοιράζεται ισοµερώς µεταξύ των µελών. Η καταβολή του µεριίου από κάθε µέλος αποτελεί και το εργαλείο αποκλεισµού στην κατανάλωση. Η τιµή του ιιωτικού αγαθού θεωρείται ίση µε την µονάα. Οπότε, ο εισοηµατικός περιορισµός του κάθε µέλους γίνεται, I i C( X, s) s Η µεγιστοποίηση της χρησιµότητας του κάθε µέλους, συνεπάγεται την µεγιστοποίηση της Λαγραντζιανής i L i (, X, s) λ ( I i i C( x, s) ) s Υποθέτοντας ότι όλα τα µέλη έχουν ίιες προτιµήσεις και εισόηµα, από τις συνθήκες πρώτης τάξης έχουµε X C X ( MRS X ) η συνθήκη παροχής του κοινού αγαθού s ( MRS s s [ scs C] ) η συνθήκη συµµετοχής στην λέσχη. s Από την συνθήκη παροχής έχουµε ότι MRS X s C X ηλαή, X C X. Άρα η παροχή του κοινού αγαθού είναι κατά Pareto άριστη αφού ικανοποιεί την συνθήκη άριστης παροχής των ηµοσίων αγαθών του Samuelson. ιαγραµµατική παρουσίαση.

Στο Σχήµα, παρουσιάζονται οι καµπύλες οφέλους και κόστους που προκύπτουν από την παροχή του κοινού αγαθού για ύο ιαφορετικά µεγέθη λέσχης. Αν η συνάρτηση παραγωγής του κοινού αγαθού ενέχει σταθερές αποώσεις κλίµακας, οι καµπύλες κόστους στο Σχήµα, θα είναι ευθύγραµµα τµήµατα. Τα οφέλη από την κατανάλωση παρουσιάζονται από κοίλες προς τον οριζόντιο άξονα καµπύλες, αφού έχουµε φθίνουσα οριακή χρησιµότητα στην κατανάλωση του αγαθού αυτού. Το άριστο επίπεο παροχής, για κάθε αριθµό ικαιούχων ίεται από το σηµείο όπου µεγιστοποιείται η ωφέλεια, ηλαή εκεί όπου η εφαπτοµένη στην κάθε καµπύλη ωφέλειας είναι ίση µε την κλίση της αντίστοιχης καµπύλης κόστους.,c Ανά άτοµο (s ) (s ) C(s ) Σχήµα C(s ) Χ* Χ* Χ Στο Σχήµα, παρουσιάζεται ο άριστος αριθµός ικαιούχων, εοµένης της ποσότητας του κοινού αγαθού που παρέχεται. Τα οφέλη µειώνονται µε την αύξηση των ικαιούχων λόγω συνωστισµού. Τα κόστη µειώνονται λόγω της αύξησης των ατόµων που επωµίζονται τα έξοα. Υποθέτουµε ότι η αύξηση του κόστους από την χρήση του κοινού αγαθού είναι αρκετά µικρή ώστε να

αντισταθµιστεί από την ιεύρυνση των µελών που συνεισφέρουν στην κάλυψη των εξόων. Η ύπαρξη των ύο αυτών τάσεων στη ιαµόρφωση του κόστους οηγεί σε κυρτές προς τον οριζόντιο άξονα καµπύλες κόστους. Το άριστο σηµείο προσιορίζεται από την ισότητα της κλίσης των αντιστοίχων καµπυλών ωφέλειας και κόστους.,c Ανά άτοµο C(X ) C(X ) Σχήµα (X ) (X ) s* s* s Επαναλαµβάνοντας την ιαικασία που ακολουθήθηκε στην παρουσίαση των ύο πρώτων σχηµάτων για κάθε υνατό µέγεθος λέσχης και κάθε υνατό ύψος παροχής του κοινού αγαθού, µπορούµε να εκπονήσουµε τις ύο άριστες καµπύλες τους Σχήµατος 3. Η τοµή των καµπυλών αυτών ίνει το άριστο µέγεθος της λέσχης και το αντίστοιχο άριστο επίπεο παροχής του κοινού αγαθού.

s X opt Σχήµα 3 s opt s* X* X