α β γ α β γ ( α β )( β γ )( γ α )

Γραµµικά Συστήµατα Να υθούν τα συστήµατα: (α) x+ 4y z= x+ 8y 6z= 9 (β) x+ y 9z= x+ y z= 4x y+ 7z= (γ) y+ z= x ( ) x y = x+ y = 7z ( + ) x+ y 6z= (δ) x+ y+ z= (ε) x+ y+ z= ( + ) x+ (+ ) y= + x+ y= (στ) (+) x+ ( + 6) y= + 4 x y= + (ζ) (µ ) x µ y= µ (η) x+ (µ + ) y= ( µ ) x+ µ y= µ x+ ( µ ) y= µ x y+ z= 4x y+ z= (θ) x y+ 6z= 6x+ y+ z= Υποογίστε τους µ Rώστε η διατεταγµένη τριάδα ( ) ( ) είναι ύση του γραµµικού συστήµατος: x y z = να x µ y+ z= + µ µ x ( µ ) y z= + Να υθούν τα συστήµατα: (α) x+ y+ z ω= x y+ z = 9 (β) x + y z + ω = 4 x y +4z ω = x y = y+ z= 7 x+ z= (γ) x y+ z+ ω = x+ y z+ 4ω = (δ) x y+ z+ 6ω = x y+ 4z ω = x y+ z= 8 x y+ z= (ε) x+ y+ 4z= x+ y + z= x+ y z= x y+ z= x+ y z= 4 Να ύσετε την εξίσωση x x x+ x+ x+ x+ x+ x+ x+ = Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

α β Αν A= γ δ Α + Α+ ΑΙ=Ο δείξτε ότι: ( α δ) 6 Αν Α= R και Β= να βρεθεί ο πίνακας Χ ώστε: Α Χ=Β 7 Αποδείξτε ότι: α ( α+ ) ( α+ ) β ( β+ ) ( β + ) = 4( α β )( α γ )( β γ ) γ ( γ + ) ( γ + ) 8 Αποδείξτε ότι α β γ α β γ α β γ ( α β )( β γ )( γ α ) 4 4 4 α β γ = 9 Α Βρείτε το γινόµενο: Β Αν Χ= να βρεθεί ο πίνακας Χ Με την µέθοδο αντιστρόφου πίνακα να υθούν τα συστήµατα: x+ y= (α) (β) x + y + z = (γ) x y= x+ y+ 7z= x + y z = x+ y+ z= (δ) x y+ z= 4 4x+ y z= (ε) x z= x+ y+ z= x+ y+ z= Να ύσετε τα συστήµατα: (α) ( + ) x ( ) y= µ + x+ y= 4+ (β) x+ y+ z= x y z= x + ( ) y = 4 y+ z= (γ) κ ax+ β y+ γ z= β x+ γ y+ α z= µ (δ) 6x+ 7 y+ z= x y+ z = 4x+ 8y+ z = Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

Βρείτε τις τιµές των αβ Rώστε το σύστηµα α x+ β y= x x+ (β ) y= α x άπειρες ύσεις τις οποίες και να υποογίσετε να έχει Για ποια τιµή του R είναι αδύνατο το σύστηµα: ( + 6) x+ (+ 4) y= + ; (+) x+ ( + ) y= + 4 Βρείτε τις τιµές των αβ R ώστε να είναι συγχρόνως αδύνατα τα συστήµατα: α x (β + ) y= β x+ y= α β x 6 y = 7α 4β ( α+ β ) x ( α β ) y= ( + ) x y= + Αποδείξετε ότι το σύστηµα έχει µία ύση ( x y ) για x+ y= κάθε τιµή του R Να υποογιστεί η τιµή του ώστε x+ y = 7 6 Να βρεθεί η τιµή του R ώστε να είναι αόριστο το σύστηµα: x+ y z = x+ y+ z= και ακοούθως να υποογισθούν οι άπειρες ύσεις του ( x+ y) + z= 7 Να ύσετε τα συστήµατα: (α) + + = + ( µ ) x ( µ ) y ( µ ) ( + µ ) x+ ( µ ) y= ( + µ µ ) (β) ( ηµα ) x ( συνα ) y= ηµ α (γ) ( συνα ) x+ ( ηµα ) y= συν α x+ y= + x y= (δ) x y= 4 x+ y= 4x+ y= 8 Αποδείξετε ότι είναι αδύνατο το σύστηµα: (κ +) x+ y= κ κµ κ x+ ( + ) y= µ κµ x µ y µ + = + 9 Ποιά σχέση συνδέει τους αβ Rώστε να είναι συµβιβαστό το σύστηµα: α x+ β y= β x+ α y= αβ ; x+ y= α+ β Αν Α= µ µ+ Β= να βρεθεί ο πίνακας Χ ώστε να ισχύει: Α Χ=Β Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

Βρείτε τον R ώστε να έχει τουάχιστον µία ύση το σύστηµα: x+ y= x+( + ) y= 8 ( + ) x y= Αποδείξτε ότι για κάθε τιµή του θ R είναι αδύνατο το σύστηµα: ( + ηµθ ) x+ y= ( ηµθ ) x+ y= x y= 4 α x βψ + γ z= ( ) x+ ( ) ψ = Λύστε τα συστήµατα: (α) (β) β x+ γψ + α z= ( ) x+ ( + ) ψ = x+ ψ + z= 4 Αν Α= 4 και R να βρεθεί ο πίνακας Χ Χώστε Α Χ= Χ Αν υπάρχουν x y z R µε x + y + z α x+ β y+ γ z= β x+ γ y+ α z= και γx+ αy+ β z= να αποδείξετε ότι α + β + γ = αβγ 6 Για ποιες τιµές του R το σύστηµα Ποιες είναι τότε οι ύσεις; ( ) x y= x y= έχει άπειρες ύσεις; 7 Αν αβγ R διαφορετικοί ανά δυο και το µηδενικές ύσεις αποδείξτε ότι α+ β+ γ = βγ x+ αγ y+ αβ z= α x+ β y+ γ z= έχει και µη 8 Αν το σύστηµα β = αγ ή γ = αβ 9 Έστω Α= 4 αποδείξετε ότι f ( A ) = O α + αβ + β = x y z β x+ βγ y+ γ z= έχει άπειρες ύσεις δείξτε ότι γ x+ αγ y+ α z= α = βγ ή Βρείτε το πουώνυµο f ( x) = x I A όπου x Rκαι Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 4

Βρείτε τους x y + = + x y όπου R x y Rώστε ( ) x+ ( + ) y= Να βρεθεί η τιµή του R ώστε το σύστηµα x+ y= ύση ( x y) τέτοια ώστε η παράσταση x+ y να είναι εάχιστη να έχει µία Α Χ αντιστρέψιµος είξτε ότι Αν ο αντιστρέψιµος Α Χ επαηθεύει την Α = Α και Α = Α όπου R 9Α = Α βρείτε την ορίζουσα Α Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει πίνακας Α Χ για τον οποίο Α Α + = 4 Αν α β γοι πευρές και Α Β Γ οι γωνίες τριγώνου ΑΒΓ να δειχθεί ο νόµος β συν Γ+ γ συν Β= α των συνηµιτόνων όταν γνωρίζοµε ότι γ συν Α + α συν Γ= β α συν Β+ β συν Α= γ Να υθούν τα συστήµατα: (α) α x+ β y= β x+ α y= αβ όπου α β R x + y = α + β * (β) x+ y= x+ y= (γ) x+ y= ( + ) x+ y= + x+ ( + ) y= x+ y= + x+ y+ ω = 6 ίνεται το σύστηµα 4 x+ ( + ) y+ 6 ω = x+ 4 y+ ( + ) ω= Να βρεθούν οι τιµές του R για τις οποίες το σύστηµα δέχεται και µη µηδενικές ύσεις Να βρεθούν όες οι ύσεις του συστήµατος για την µικρότερη τιµή του που βρέθηκε στο προηγούµενο ερώτηµα 7 Να βρεθούν οι µ R ώστε να είναι συγχρόνως αδύνατα τα συστήµατα: ( ) x+ µ y= x+ 4 y = και ( ) x ( µ + ) y= x 6 y = 8 Να βρεθούν οι τιµές των µ Rγια τις οποίες είναι συγχρόνως αδύνατα τα ( µ ) x+ y= συστήµατα: x+ y= ( µ + ) x+ y= 4x+ y= Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

( + ) x+ ( + ) y+ ( + )ω= + 9 ίνεται το σύστηµα ( + ) x+ ( + ) y+ ω= + ( + ) x+ ( + ) y+ (+ ) ω= Να δειχθεί ότι για το σύστηµα έχει µόνο µία ύση ( x y ω ) Να δειχθεί ότι για = το σύστηµα έχει άπειρες ύσεις x y Αν Α ( ) = y x να υθεί η εξίσωση Α ( ) = 4 Να υθούν µε την µέθοδο επαυξηµένου πίνακα τα συστήµατα: x+ y+ ω = x y+ ω = x+ y= (α) x y+ ω = 4 (β) x+ y+ ω= (γ) 4x+ y+ 4ω = x 6y+ 7ω = x+ y= (δ) x y ω= (ε) x y ω = 4 x+ y+ z+ ω = x+ y z+ ω = (στ) x y+ z+ ω = x y+ 4z ω = x y+ z+ ω= x+ y+ z ω = (ζ) x+ 4y= x y= 4x+ y= 9 (η) x y+ z ω= 6 x y z 9 + = (θ) x+ y ω = 4 x+ y z+ ω = 7 x+ y+ ω= x+ y+ 8ω = (ι) x+ y ω = x+ 6y ω = (κ) x+ y+ 7ω = x+ y= x+ y= () 7x+ 9y= x+ 4ψ = 6x+ 8ψ = 4 (µ) x+ y z+ ω = x 4y 6z ω + = (ν) x+ y z 9ω = x y+ z+ ω = + 4 x y+ z= x+ y z= 8 x 8y+ z= 8 (ξ) x+ y z= 7 x+ y+ z= 4 x y+ z= (ο) x+ y= x+ y= (π) x y+ z= x+ y z= (ρ) x y+ z= x+ y+ z= x+ y+ 4z= (σ) x+ y z+ ω = x y+ z = (τ) x 8 y+ z ω = x+y 8z= x+ y z= (υ) x+ y+ z= x+ y + z = y z+ φ= x y+ z ω+ φ = x y+ z+ ω φ= Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 6

4 ίνεται ο Α= 4 9 Να βρεθούν οι τιµές του R ώστε ΑΒ= Β όπου 4 x Β= y Ο z 4 Αν το σύστηµα αx+ β y+ γ z= όπου αβγ R έχει τις διαφορετικές ύσεις β x+ γ y+ α z= ( x y z ) ( x y z ) να δειχθεί ότι ( x + y ) ( x+ y) = z z 4 Να υθούν τα συστήµατα: (α) ( + ) x+ ( ) ψ = ( ) x+ (+ ) ψ = + x+ ( + ) y= (β) (γ) ( + ) x ( ) y= x+ y z= 6 (δ) x y+ z= 4 x+ 4y+ 8z= x+ y+ 7z= (ε) x+ y= 7 x+ y= (στ) x ( ) y= 4 x+ y z= x 4y+ z= 8 (ζ) x y+ z= x+ y+ z= x+ y+ z= x+ y+ z= (η) α x+ y+ z= x+ α y+ z= (θ) x+ y+ α z= 7x+ y z= x+ y+ z + ω= x+ 4 y+ z= x y z ω + + + = (ι) x y+ z= x+ y+ z+ ω= x+ y+ z= x+ y+ z+ ω= (κ) x+ y z= x y z + + = x+ y z= 6 x y z= () x+ y+ z= x+ ( + ) y+ z= α (µ) x+ y+ z= α x+ βy+ γ z= α β β x+ γ y+ α z= β γ γ x+ α y+ β z= γ α όπου α+ β+ γ 44 Να υθούν µε την µέθοδο επαυξηµένου πίνακα τα συστήµατα: x+ y= 7 x+ y= x+ 4y ω= 6 (α) (β) (γ) x y= x y= x+ y+ ω = 8 4x+ y= 7 Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 7

(δ) x+ y= 8 x y= (ε) x+ y= x y ω = x+ ω = y (στ) x 8= y ω ( x y) + 4( x y) = 48 ( x+ y) ( x+ y) = 4 Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 8