Κεφάλαιο 6 Σχεδιασμός προγράμματος ερευνητικών γεωτρήσεων

Κεφάλαιο 6 Σχεδιασμός προγράμματος ερευνητικών γεωτρήσεων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό ασχολούμαστε με τη σχεδίαση του ερευνητικού δικτύου ή καννάβου γεωτρήσεων κατά το στάδιο της αναγνώρισης της μεταλλοφορίας, δηλαδή κατά την προσπάθεια εντοπισμού του πιθανού κοιτάσματος για το οποίο υπάρχουν θετικές ενδείξεις εντός της υπό έρευνα περιοχής. Αρχικά, αναφερόμαστε στις διαφορετικές γεωμετρίες των καννάβων και την αποτελεσματικότητά τους στον εντοπισμό φακοειδών κοιτασμάτων. Υπολογίζουμε την πιθανότητα εντοπισμού τού υπό έρευνα κοιτάσματος, ανάλογα με το αναμενόμενο μέγεθός του σε σχέση με τη διάσταση της βασικής κυψελίδας του καννάβου. Καταλήγουμε στο ότι το αναμενόμενο σχήμα του κοιτάσματος καθορίζει και το είδος του καννάβου που είναι αποτελεσματικότερο για τον εντοπισμό του. Στη συνέχεια προχωρούμε στο θέμα του υπολογισμού της μέσης τιμής της ποιότητας και της ποσότητας των αποθεμάτων του κοιτάσματος που εντοπίσαμε, χωρίς όμως να ασχολούμαστε με τη χωρική κατανομή των αποθεμάτων αυτών, δηλαδή με τη χαρτογράφηση του κοιτάσματος. Αυτό που τονίζεται εδώ είναι ότι το να υπολογίσουμε απλώς τη μέση τιμή των αποθεμάτων έχει μικρή σημασία, επειδή η τιμή αυτή θα διαφέρει σίγουρα από την πραγματική, την οποία, βέβαια, θα μάθουμε μόνον όταν εξορύξουμε όλο το κοίτασμα. Το ενδιαφέρον είναι να εκτιμήσουμε, στον βαθμό ακρίβειας που επιθυμούμε, το διάστημα στο οποίο θα κυμαίνεται η πραγματική τιμή της παραμέτρου ενδιαφέροντος. Τέλος, αναλύουμε περιληπτικά το γενικότερο θέμα της βέλτιστης πυκνότητας του ερευνητικού καννάβου, προκειμένου όχι μόνο να εντοπίσουμε, αλλά και να απεικονίσουμε τη μεταλλοφορία που ερευνούμε. Η πυκνότητα αυτή, όπως είναι φυσικό, εξαρτάται από τη μεταβλητότητα του κοιτάσματος. Αφού εκφράσουμε τη μεταβλητότητα με το κατάλληλο μαθηματικό μέγεθος, υπολογίζουμε, με βάση αυτό, τη μέγιστη πλευρά του ερευνητικού καννάβου, κάτω από την οποία η περαιτέρω πύκνωση των γεωτρήσεων δεν επιφέρει βελτίωση στα αποτελέσματα της απεικόνισης. Προαπαιτούμενη γνώση Για την παρακολούθηση αυτού του κεφαλαίου απαιτούνται απλές γνώσεις γεωμετρίας, τριγωνομετρίας και αναλυτικής γεωμετρίας. Απαραίτητη θεωρείται και η επαρκής εμβάθυνση στη στατιστική εκτιμητική. Η ενότητα 6.4 προϋποθέτει γνώσεις επεξεργασίας σήματος και γεωστατιστικής και για το λόγο αυτό μπορεί να παραλειφθεί σε πρώτη ανάγνωση. 6.1. Εισαγωγή Η έρευνα των μεταλλοφόρων κοιτασμάτων για τα οποία δεν υπάρχουν άμεσες ενδείξεις στην επιφάνεια περιλαμβάνει δύο συγκεκριμένα στάδια, όπως έχουμε δει στο Κεφάλαιο 1: Το στάδιο της αναγνώρισης της μεταλλοφορίας, δηλαδή την προσπάθεια εντοπισμού του κοιτάσματος μέσα στην περιοχή που ερευνάται, και Το στάδιο της κύριας έρευνας και αξιολόγησης της μεταλλοφορίας που εντοπίστηκε (περιχάραξη του κοιτάσματος, υπολογισμός αποθεμάτων, ποιότητας κ.λπ.). Στο αναγνωριστικό στάδιο της αναζήτησης της μεταλλοφορίας οι αρχικές γεωτρήσεις τοποθετούνται σε σημεία της ερευνούμενης περιοχής που παρουσιάζουν μεγάλη πιθανότητα μεταλλοφορίας με στοιχεία και δεδομένα προκαταρκτικών ερευνών (γεωλογικά κοιτασματολογικά στοιχεία, γεωχημικές γεωφυσικές ανωμαλίες κ.λπ.). Με τον τρόπο αυτό αποκλείονται σταδιακά ορισμένες περιοχές και τοποθετούνται γεωτρήσεις στα πιο ελπιδοφόρα τμήματα της ερευνώμενης περιοχής. Στις περιπτώσεις όμως που τα γεωλογικά και κοιτασματολογικά στοιχεία τα οποία μπορούν να συγκεντρωθούν από τις παραπάνω έρευνες δεν είναι αρκετά και οι έμμεσες μέθοδοι δεν έχουν εφαρμογή, τότε

οι αναγνωριστικές γεωτρήσεις κατανέμονται αναγκαστικά ομοιόμορφα στην ερευνώμενη περιοχή με συστηματικό τρόπο σύμφωνα με ένα σχέδιο (κάνναβος ή δίκτυο γεωτρήσεων). Συνήθως χρησιμοποιείται ο τετραγωνικός, ο ορθογωνικός, ο εξαγωνικός και ο τριγωνικός κάνναβος, όπου οι γεωτρήσεις βρίσκονται στα κέντρα τετραγώνων, ορθογώνιων παραλληλογράμμων, κανονικών εξαγώνων και ισόπλευρων τριγώνων αντίστοιχα (βλ. Εικόνα 6.1). Εικόνα 6.1 O εξαγωνικός και ο τριγωνικός κάνναβος. Οι δύο αυτοί τύποι καννάβων είναι αλληλοσυμπληρούμενοι. Μπορείτε να δείτε τον καθένα χωριστά ή και τους δύο μαζί, επιλέγοντας το σχετικό πλήκτρο στην εικόνα. Τίθεται λοιπόν αμέσως το πρόβλημα καθορισμού της πυκνότητας των γεωτρήσεων. Όσο περισσότερες είναι αυτές, όσο δηλαδή μικρότερη είναι η πλευρά του χρησιμοποιούμενου καννάβου, τόσο πιο μεγάλη είναι η πιθανότητα να εντοπιστούν όλα τα σώματα μέσα στην περιοχή μελέτης. Από την άλλη μεριά όμως, όσο μικρότερη είναι η πλευρά του καννάβου τόσο αυξάνει και μάλιστα με εκθετικό τρόπο ο αριθμός των γεωτρήσεων, με αποτέλεσμα οι ερευνητικές δαπάνες να γίνονται από ένα σημείο και πέρα απαγορευτικές. Είναι λοιπόν φανερή η ανάγκη καθορισμού της βέλτιστης πλευράς του καννάβου, έτσι που ούτε οι ερευνητικές δαπάνες να είναι υπερβολικές, αλλά ούτε και να χαθούν τα περισσότερα ή και όλα τα σώματα. Άρα, οι δύο βασικές παράμετροι που επηρεάζουν την επιλογή του καταλληλότερου καννάβου στην αναγνωριστική φάση των ερευνών για τον εντοπισμό ενός κοιτάσματος είναι η πιθανότητα που έχει κάθε κάνναβος να εντοπίσει τη μεταλλοφορία και οι ερευνητικές δαπάνες που απαιτούνται για την εκτέλεση των γεωτρήσεων. Για την επιλογή του κατάλληλου καννάβου, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλονται οι δυο αυτές παράμετροι, όταν αλλάζουν οι διαστάσεις του. Αναφορικά με τις ερευνητικές δαπάνες, η αναλυτική έκφραση της σχέσης που υπάρχει μεταξύ τους και των διαστάσεων του καννάβου που χρησιμοποιείται είναι εύκολο να υπολογιστεί. Έτσι, αν η περιοχή που ερευνάται έχει έκταση Ε τετραγωνικά μέτρα, τότε ο αριθμός των γεωτρήσεων που θα εκτελεστούν θα είναι: E 1 = αν η έρευνα γίνεται με τετραγωνικό κάνναβο πλευράς α μέτρων. α E = α α 1 αν η έρευνα γίνεται με ορθογωνικό κάνναβο με διαστάσεις βασικής κυψελίδας α 1 και α μέτρα. 3 E = αν η έρευνα γίνεται με τριγωνικό κάνναβο πλευράς α μέτρων. 3 α

Αν το μέσο κόστος ανά γεώτρηση προβλέπεται να είναι C ευρώ, οι ερευνητικές δαπάνες θα είναι αντίστοιχα: E C C1 = C 1 = για τετραγωνικό κάνναβο, α E C C = C = α 1 α για ορθογωνικό κάνναβο, C E C = C= για τριγωνικό κάνναβο. 3 α 3 3 Η αναλυτική όμως έκφραση της σχέσης που υπάρχει μεταξύ της πιθανότητας εντοπισμού και των διαστάσεων του χρησιμοποιούμενου καννάβου είναι αρκετά πιο δύσκολο να καθοριστεί. Οι παράγοντες που καθορίζουν την πιθανότητα εντοπισμού ενός σώματος μεταλλεύματος είναι: Το μέγεθος και το σχήμα του αναζητούμενου σώματος και, πιο συγκεκριμένα, το μέγεθος και το σχήμα της οριζόντιας προβολής του, δεδομένου ότι στην αναγνωριστική φάση η έρευνα γίνεται συνήθως με κατακόρυφες γεωτρήσεις. Το είδος του χρησιμοποιούμενου καννάβου (τετραγωνικός, ορθογωνικός κ.τ.λ.) και οι διαστάσεις του. Ο προσανατολισμός του κοιτάσματος σε σχέση με τους άξονες του χρησιμοποιούμενου καννάβου. Η αναλυτική διερεύνηση του τρόπου υπολογισμού των πιθανοτήτων εντοπισμού ενός σώματος γίνεται στη συνέχεια, όπου εξετάζεται επίσης και η περίπτωση ύπαρξης πολλών σωμάτων μέσα στην περιοχή έρευνας. 6.. Υπολογισμός πιθανοτήτων εντοπισμού με καννάβους διαφόρων διαστάσεων Για την κατανόηση του τρόπου υπολογισμού των πιθανοτήτων θα εξετάσουμε στην αρχή την περίπτωση που στην ερευνώμενη περιοχή υπάρχει ένα μόνο σώμα μεταλλεύματος και, στη συνέχεια, θα διευρύνουμε την ανάλυση για την περίπτωση ύπαρξης πολλών σωμάτων. 6..1. Περίπτωση ενός κοιτάσματος Θα εξεταστούν οι περιπτώσεις στις οποίες η προβολή του μεταλλοφόρου σώματος έχει: (α) κυκλική μορφή, (β) ελλειπτική μορφή, (γ) οποιαδήποτε μορφή. 6..1.1. Προβολή κυκλικής μορφής Θεωρούμε στην αρχή την απλή περίπτωση (Εικόνα 6.), όπου η έρευνα γίνεται με τετραγωνικό κάνναβο πλευράς α μέτρων, σε μια περιοχή έκτασης Ε τετραγωνικών μέτρων, μέσα στην οποία υπάρχει ένα σώμα π d μεταλλεύματος του οποίου η οριζόντια προβολή είναι κύκλος με διάμετρο d μέτρα και επιφάνεια S µ = 4

Εικόνα 6. Έρευνα με τετραγωνικό κάνναβο για εντοπισμό κοιτάσματος κυκλικής προβολής, του οποίου το μέγεθος της διαμέτρου υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε από πριν, αλλά όχι φυσικά και τη θέση του. Πόσο πυκνές ερευνητικές γεωτρήσεις πρέπει να κάνουμε για να το εντοπίσουμε; Σύρετε το σχετικό πλήκτρο για να αλλάξετε το μέγεθος της βασικής κυψελίδας του καννάβου και παρατηρήστε τη μεταβολή στην πιθανότητα εντοπισμού. Πότε η πιθανότητα γίνεται 100%; Βρείτε τον σχετικό τύπο στο κείμενο. Αν η θέση του σώματος είναι άγνωστη (τυχαία) μέσα στην περιοχή, η πιθανότητα εντοπισμού του από μια γεώτρηση θα είναι ίση με: ευνοϊκές περιπτώσεις S P = µ γ σύνολο περιπτώσεων = E (6.1) Επειδή όμως με κάνναβο πλευράς α μέτρων θα γίνουν μέσα στην περιοχή E = γεωτρήσεις, η α πιθανότητα εντοπισμού του σώματος με τον χρησιμοποιούμενο κάνναβο, με τις δηλαδή γεωτρήσεις, θα ισούται με: S S S P = P = µ = µ µ γ E α = α (6.) Δηλαδή θα είναι ίση με το εμβαδόν της οριζόντιας προβολής του κοιτάσματος προς το εμβαδόν του βασικού τετραγώνου του καννάβου που χρησιμοποιείται, ή ακόμη d d = = 4α 4 α P π π (6.3) δηλαδή η πιθανότητα εντοπισμού του σώματος θα είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του λόγου d α, δηλαδή της διαμέτρου της προβολής του σώματος προς την πλευρά του χρησιμοποιούμενου καννάβου.

Οι σχέσεις 6. και 6.3 ισχύουν για την περίπτωση που η πλευρά του καννάβου είναι μεγαλύτερη ή ίση με τη διάμετρο του σώματος, δηλαδή α d. Όταν η πλευρά του καννάβου γίνει μικρότερη από τη διάμετρο του σώματος που αναζητείται, οι σχέσεις υπολογισμού της πιθανότητας αλλάζουν, επειδή υπάρχει πια η δυνατότητα να εντοπιστεί το σώμα από περισσότερες από μία γεωτρήσεις, ενώ δεν ισχύει πλέον η σχέση 6.. Συγκεκριμένα, για τιμές του α μεταξύ d και d, δηλαδή για d 1< <, υπάρχει η δυνατότητα να α εντοπιστεί το σώμα από δύο γεωτρήσεις. Στην περίπτωση αυτή η πιθανότητα εντοπισμού δίνεται, όπως θα αναλυθεί στη συνέχεια, από τον τύπο: 1 τοξσυν 1 π d d a d Px = + 4α α d α (6.4) όπου Ρ x η πιθανότητα τώρα να εντοπιστεί το σώμα από μία ή περισσότερες γεωτρήσεις. d Με μεγαλύτερη μείωση της πλευράς του καννάβου, δηλαδή όταν α < d ή > υπάρχει η α δυνατότητα να εντοπιστεί το σώμα και από τρεις ή περισσότερες γεωτρήσεις. Η μείωση όμως αυτή είναι άσκοπη και αδικαιολόγητη στο στάδιο της αναγνώρισης. Άσκοπη, γιατί ήδη με την τιμή α = η πιθανότητα εντοπισμού έχει γίνει ίση με τη μονάδα, το σώμα δηλαδή που αναζητούμε θα εντοπιστεί σίγουρα. Αδικαιολόγητη δε, γιατί με τον τρόπο αυτό θα επιβαρυνθεί άδικα η έρευνα με πύκνωση γεωτρήσεων σε στείρες περιοχές. Η διερεύνηση στην οποία αναφερθήκαμε παρουσιάζεται πιο παραστατικά στην Εικόνα 6.3, όπου φαίνεται επίσης και ο γεωμετρικός τρόπος υπολογισμού των πιθανοτήτων. Η μεθοδολογία είναι απλή. Με κέντρο τις τέσσερις κορυφές του βασικού τετραγώνου του καννάβου που θα χρησιμοποιηθεί, σχεδιάζονται κύκλοι που έχουν ίδιο μέγεθος με την οριζόντια προβολή του σώματος που αναζητείται. Με τον τρόπο αυτό η επιφάνεια του βασικού τετραγώνου χωρίζεται σε τμήματα που ανήκουν είτε σε ένα κύκλο (απλή διαγράμμιση) είτε σε δύο κύκλους (διπλή διαγράμμιση) ή και σε κανένα κύκλο (μη διαγραμμισμένα τμήματα στο κέντρο των βασικών τετραγώνων). Επειδή, όπως θυμόμαστε πολύ καλά από τη θεωρία των πιθανοτήτων, οι πιθανότητες μπορεί πολύ καλά να αντιστοιχίζονται με αναλογίες εμβαδών, ο λόγος της επιφάνειας των τμημάτων αυτών προς την επιφάνεια του βασικού τετραγώνου, (α ), δίνει αντίστοιχα την πιθανότητα να εντοπιστεί το σώμα από μία γεώτρηση (Ρ 1 ), δύο γεωτρήσεις (Ρ ) ή την πιθανότητα να μην εντοπιστεί καθόλου το σώμα (Ρ 0 ). Έτσι, με βάση τα παραπάνω έχουμε: S 4S P = = (6.5) α α S1 S π d 1 = = P (6.6) P α 4α π d Px = P1+ P = P (6.7) 4α π d και P0 = 1 Px = 1 + P (6.8) 4 α όπου S 1 = η επιφάνεια του βασικού τετραγώνου που αποκόπτεται από ένα κύκλο και S = η επιφάνεια του κοινού τμήματος που αποκόπτεται από δύο κύκλους (Εικόνα 6.3). Παρατηρείται ότι για τον υπολογισμό των επιμέρους πιθανοτήτων αρκεί να βρεθεί η αναλυτική έκφραση της P. Από την Εικόνα 6.3 (γ) προκύπτει ότι:

1 S = εμβαδόν τμήματος ΒΓΔ ή 1 S = εμβαδόν κυκλικού τομέα ΑΒΓ εμβαδόν τριγώνου ΑΒΔ ή 1 d α α S = τοξσυν 8 d 8 ( ) 1 d α οπότε από τη σχέση 6.5 λαμβάνουμε: 1 d α d = τοξσυν 1 P α d α (6.9) και αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στις 6.6, 6.7 και 6.8 λαμβάνουμε αντίστοιχα: 1 πd d α d P1 = τοξσυν + 1 4α α d α 1 πd d α d Px = τοξσυν + 1 4α α d α 1 πd d α d P0 = 1 τοξσυν 1 4α α d α (6.10) Η πιθανότητα που μας ενδιαφέρει είναι η πιθανότητα P x να εντοπιστεί το σώμα από μία ή περισσότερες γεωτρήσεις, η οποία εκφράζεται γεωμετρικά με τον λόγο της επιφάνειας του βασικού τετραγώνου που καλύπτεται γενικά από τους τέσσερις κύκλους προς την συνολική επιφάνεια αυτού. Η πιθανότητα αυτή μπορεί να υπολογιστεί είτε με εμβαδομέτρηση είτε με αναλυτικό υπολογισμό των επιμέρους εμβαδών.

α β α>d P = 0 π d P1 = 4α P = P x 0 1 P = 1 P γ x α=d P = 0 π P1 = = 0,785 4 P = P x 0 1 P = 1 P = 0, 15 x δ d < α < d d α d P = τοξσυν 1 α d α π d P = P 4α P = P + P 1 x 0 1 P = 1 P x α = d π P = 1 = 0,571 π P1 = = 0, 49 Px = P1 + P = 1 P = 1 P = 0 0 x Εικόνα 6.3 Γεωμετρικός τρόπος υπολογισμού πιθανοτήτων.

Στην Εικόνα 6.4 δίνεται η γραφική παράσταση των πιθανοτήτων αυτών για τις διάφορες τιμές του λόγου d/α. Εικόνα 6.4 Γραφική παράσταση μεταβολής πιθανοτήτων εντοπισμού συναρτήσει του λόγου d/α. d Παρατηρείται ότι μέχρι την τιμή 1 α = ισχύει Ρ x = Ρ 1. Μετά από αυτή την τιμή εμφανίζεται η πιθανότητα Ρ, να εντοπιστεί το σώμα από δύο γεωτρήσεις, η οποία και αυξάνεται συνεχώς σε βάρος της Ρ 1. Η πιθανότητα Ρ x, που μας ενδιαφέρει, συνεχίζει να αυξάνεται αλλά με ρυθμό που μειώνεται συνέχεια μέχρι d που για α = γίνει ίση με τη μονάδα. Ο ελαττούμενος ρυθμός αύξησης εξηγείται από την παρουσία της Ρ, η οποία μειώνει τον βαθμό αποδοτικότητας της έρευνας, καθώς το ενδεχόμενο να εντοπιστεί το σώμα από δύο γεωτρήσεις συνιστά κατά κάποιο τρόπο «σπατάλη» γεωτρήσεων κατά τη φάση της αναζήτησης. 6..1.. Ελλειπτική μορφή προβολής Θα εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που η οριζόντια προβολή του σώματος είναι έλλειψη με σχέση αξόνων λ (λ < 1). Η διερεύνηση της ελλειπτικής μορφής είναι πολύ σημαντική για την έρευνα, γιατί οι προβολές των περισσότερων φακοειδών κοιτασμάτων μπορούν με ικανοποιητική προσέγγιση να αναπαρασταθούν από ελλείψεις, με διάφορες σχέσεις αξόνων λ. Σε γενικές γραμμές ισχύουν και για την έλλειψη όσα αναφέρθηκαν για την περίπτωση του κύκλου. Έτσι, όταν η πλευρά του καννάβου είναι μεγαλύτερη ή ίση με τον μεγάλο άξονα της ελλείψεως (α d), ισχύει και πάλι η σχέση 6. (Μάστορης & Γκίκας 1979), δηλαδή: S Px = α µ Το S μ στην περίπτωση αυτή ισούται με: π ed πλd S µ = = (6.11) 4 4 όπου e = ο μικρός άξονας της έλλειψης d = ο μεγάλος άξονας της έλλειψης και λ = η σχέση των δύο αξόνων (λ = e/d)

Έτσι η σχέση 6. γράφεται: P Sµ πλ d α 4 α x = = (6.1) Παρατηρούμε ότι η πιθανότητα εντοπισμού είναι ανάλογη και πάλι προς το τετράγωνο του λόγου d/α, όπως και στην περίπτωση που η προβολή είναι κύκλος. Για αυτή την τιμή d/α η πιθανότητα εντοπισμού είναι μικρότερη για την έλλειψη από ό,τι για τον κύκλο και μάλιστα τόσο μικρότερη όσο πιο πεπλατυσμένη είναι η έλλειψη, δηλαδή όσο η τιμή του λ είναι πιο μικρή. Όταν η πλευρά του καννάβου γίνει μικρότερη από τον μεγάλο άξονα της έλλειψης, δηλαδή όταν α < d, τότε, όπως και στην περίπτωση του κύκλου, υπάρχει η δυνατότητα να τμηθεί το σώμα από περισσότερες από μία γεωτρήσεις. Ακόμη, αρχίζει να παίζει ρόλο ο προσανατολισμός του σώματος σε σχέση με τον χρησιμοποιούμενο κάνναβο. Αυτό έχει ως συνέπεια να γίνει επίπονος ο αναλυτικός υπολογισμός των πιθανοτήτων εντοπισμού Ρ x. Για τον λόγο αυτό οι πιθανότητες αυτές έχουν υπολογιστεί με χρήση αριθμητικής ανάλυσης και υπάρχουν σε πίνακες (Siger & Wickma 1969). Με βάση αυτούς τους πίνακες σχεδιάστηκαν οι καμπύλες της Εικόνας 6.5. Οι καμπύλες αυτές δίνουν, συναρτήσει του λόγου d/α, την πιθανότητα εντοπισμού σωμάτων που οι οριζόντιες προβολές τους είναι ελλείψεις με διάφορες σχέσεις αξόνων λ και που ερευνώνται με τυχαία προσανατολισμένο τετραγωνικό κάνναβο. Παρατηρούμε ότι η Εικόνα 6.5 περιλαμβάνει και την περίπτωση του κύκλου (λ = 1).

Εικόνα 6.5 Γραφική παράσταση της πιθανότητας εντοπισμού Ρx για διάφορες μορφές ελλειπτικών προβολών. Στην ίδια εικόνα, κάτω από τις καμπύλες των πιθανοτήτων, προστέθηκε το νομόγραμμα υπολογισμού του λόγου d, για να γίνει έτσι πιο εύχρηστο στις πρακτικές εφαρμογές. α Από την εικόνα φαίνεται αμέσως ότι η πιθανότητα εντοπισμού ενός σώματος, του οποίου η προβολή είναι έλλειψη, με σχέση αξόνων λ = 0,50 και με μήκος μεγάλου άξονα 50 μέτρα, από καννάβους πλευράς 100, 80, 60, 40 και 0 μέτρων, είναι αντίστοιχα 10%, 15%, 7%, 59% και 100%.

6..1.3. Προβολή οποιασδήποτε μορφής Με τη γραφική λύση μπορεί να αντιμετωπιστεί η γενική περίπτωση κατά την οποία η προβολή του σώματος έχει μια οποιαδήποτε μορφή (κανονική ή ακανόνιστη) και που ερευνάται με οποιοδήποτε είδος καννάβου (τετραγωνικός, ορθογωνικός κ.τ.λ.). Στην περίπτωση αυτή, όμως, ο αναλυτικός υπολογισμός των εμβαδών γίνεται πολύπλοκος ή ακόμα και αδύνατος και η πιθανότητα εντοπισμού Ρ x υπολογίζεται μόνον γραφικά. 6... Περίπτωση πολλών σωμάτων Αν στην περιοχή έρευνας υπάρχουν περισσότερα του ενός μεταλλευτικά σώματα, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε για καθένα ξεχωριστά την πιθανότητα εντοπισμού του (Ρ xi ) με καννάβους διαφόρων διαστάσεων, σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο για την περίπτωση του ενός σώματος. Στη συνέχεια μπορούμε να υπολογίσουμε τα αναμενόμενα να εντοπιστούν με κάθε κάνναβο αποθέματα από τη σχέση: T exp = PT. (6.13) i= 1 xi i όπου: T exp = τα αναμενόμενα να εντοπιστούν αποθέματα Ρ xi = η πιθανότητα να εντοπιστεί το σώμα i T i = τα αποθέματα του σώματος i = ο αριθμός των σωμάτων Βασική παραδοχή που γίνεται στην περίπτωση αυτή είναι ότι οι θέσεις των σωμάτων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, δηλαδή ότι η κατανομή της μεταλλοφορίας μέσα στην ερευνώμενη περιοχή είναι κατά το δυνατόν τυχαία. Αν δεν εξασφαλίζεται η προϋπόθεση αυτή, μειώνεται η αξιοπιστία των συμπερασμάτων και οι συνέπειες μπορεί να είναι σημαντικές. Αν, για παράδειγμα, οι θέσεις των σωμάτων εμφανίζουν περιοδικότητα και συμπέσει το μήκος της περιόδου με την πλευρά του καννάβου, τότε η έρευνα ανάλογα με τη συγκεκριμένη θέση του καννάβου ή θα εντοπίσει όλα τα σώματα ή θα τα χάσει όλα. Αν τα σώματα μπορούν να ομαδοποιηθούν σε κ κλάσεις με ομοιόμορφο περίπου μέγεθος και σχήμα (ομοιόμορφα d και λ), τότε η σχέση 6.13 γίνεται: T exp κ = PT (6.14) j= 1 j xj j όπου: κ j = ο αριθμός των σωμάτων της κλάσης j j = j= 1 T j = τα αποθέματα κάθε σώματος που ανήκει στην κλάση j. P xj = η πιθανότητα εντοπισμού τους. Με την ομαδοποίηση αυτή περιορίζεται σημαντικά ο όγκος των υπολογισμών. Διαιρώντας στη συνέχεια τα αναμενόμενα να εντοπιστούν αποθέματα με το σύνολο των αποθεμάτων της περιοχής, υπολογίζουμε το ποσοστό της μεταλλοφορίας που αναμένεται να εντοπιστεί με τα διάφορα μεγέθη καννάβων, προκειμένου να επιλεγεί ο καταλληλότερος. 6..3. Επιλογή καταλληλότερου καννάβου Το πρόβλημα της επιλογής του καταλληλότερου καννάβου περιλαμβάνει δύο ξεχωριστές αποφάσεις:

Την επιλογή του είδους του, π.χ. τετραγωνικός, ορθογωνικός με διάφορες σχέσεις πλευρών α 1 και α, τριγωνικός, εξαγωνικός κ.τ.λ. Την επιλογή των διαστάσεών του. Η επιλογή του είδους του καννάβου εξαρτάται βασικά από τη μορφή της οριζόντιας προβολής του σώματος. Κριτήριο επιλογής είναι η αποτελεσματικότητα κάθε είδους καννάβου, που εκφράζεται από τη σχέση: επιτυγχανόμενη πιθανότητα εντοπισμού αποτελεσματικότητα = αριθμός γεωτρήσεων Έτσι, για παράδειγμα, όταν η προβολή του σώματος που αναζητείται είναι κύκλος με διάμετρο d και επιθυμείται η πιθανότητα εντοπισμού να είναι 100%, τότε ο τετραγωνικός κάνναβος θα πρέπει να έχει πλευρά α τ = d 3 και ο τριγωνικός α d ε =. Οι γεωτρήσεις που θα εκτελεστούν στην περιοχή εκτάσεως Ε, θα είναι: τ E = για τον τετραγωνικό κάνναβο α τ ε E = για τον τριγωνικό κάνναβο 3 α ε ε τ 4 3 = = 0,77 9 ο τριγωνικός κάνναβος, δηλαδή, στην περίπτωση αυτή είναι αποτελεσματικότερος γιατί απαιτεί το 77% των γεωτρήσεων του τετραγωνικού. Αν, όμως, η προβολή είναι έλλειψη, η σχετική αυτή υπεροχή του τριγωνικού καννάβου μειώνεται μέχρι της εξίσωσης της αποτελεσματικότητας των δύο καννάβων, ενώ παράλληλα αυξάνεται η αποτελεσματικότητα του ορθογωνικού, αν μάλιστα ληφθεί υπ όψιν και ο προσανατολισμός των σωμάτων. Εικόνα 6.6 Πλευρές τετραγωνικού και τριγωνικού καννάβου για 100% πιθανότητα εντοπισμού σώματος κυκλικής μορφής.

Τα συμπεράσματα πάντως από τη σύγκριση των διαφόρων μορφών καννάβου έχουν περιορισμένη σημασία στην πράξη. Και αυτό, γιατί η επιλογή εξαρτάται, όπως αναφέρθηκε, από τη μορφή και τον προσανατολισμό του κοιτάσματος, δηλαδή από τα στοιχεία που είτε δεν τα γνωρίζουμε καθόλου είτε τα γνωρίζουμε με πολύ μικρή ακρίβεια κατά τη φάση της αναζήτησης ενός κοιτάσματος. Ακόμη, η πραγματικότητα είναι συνήθως πιο πολύπλοκη, υπάρχουν δηλαδή στην περιοχή έρευνας πολλά σώματα με διάφορες μορφές και προσανατολισμούς. Για τον λόγο αυτό στη συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων επιλέγεται στην πράξη ο τετραγωνικός κάνναβος, λόγω της απλότητάς του, της ομοιομορφίας του και της ευκολίας τοποθέτησής του, οπότε το βασικό πρόβλημα της επιλογής περιορίζεται στον καθορισμό των διαστάσεών του. Ο καθορισμός των διαστάσεων του καννάβου είναι θέμα τεχνικοοικονομικό. Η μείωση των διαστάσεων αυξάνει την πιθανότητα εντοπισμού ενός σώματος ή της μεταλλοφορίας γενικότερα, αυξάνει όμως και τον αριθμό των γεωτρήσεων, τις ερευνητικές δηλαδή δαπάνες. Το ζητούμενο βέλτιστο, η καταλληλότερη δηλαδή πλευρά, υπολογίζεται με τον συγκερασμό των δύο αυτών αντιμαχόμενων επιδιώξεων (υψηλές πιθανότητες εντοπισμού χαμηλές ερευνητικές δαπάνες), ανάλογα με τη σχετική βαρύτητα που θα έχουν σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση και ανάλογα με την ακολουθούμενη από τον ερευνητικό φορέα (δημόσιο ή ιδιωτικό) πολιτική ερευνών. Έτσι, διαφορετικό θα είναι κάθε φορά το βέλτιστο, εξαρτώμενο από το μετάλλευμα (πλούσιο, στρατηγικό κ.λπ.), από το βάθος όπου απαντούν τα μεταλλοφόρα σώματα, από τις πιστώσεις που διατίθενται κ.λπ. Ο συγκερασμός αυτός γίνεται στην πράξη είτε με την παραδοχή μιας πιθανότητας εντοπισμού, παραδείγματος χάριν, 80% ως γενικά αποδεκτής για την εξεταζόμενη περίπτωση, οπότε και θα επιλεγεί αμέσως η άριστη πλευρά καννάβου, ή η τελευταία θα καθοριστεί από τη βελτιστοποίηση μιας αντικειμενικής συνάρτησης που θα λαμβάνει υπ όψιν τις αντικρουόμενες αυτές επιδιώξεις, για παράδειγμα, T ελαχιστοποίηση της ψ = C exp expl ή μεγιστοποίηση της ψ = Vexp Cexpl όπου T exp = τα αναμενόμενα να εντοπιστούν αποθέματα C expl = το κόστος της έρευνας V expl = το αναμενόμενο κέρδος. 6.3. Αριθμός γεωτρήσεων και βαθμός ασφάλειας της έρευνας Στην προηγούμενη ενότητα ασχοληθήκαμε με το πρόβλημα του καθορισμού του βέλτιστου αριθμού γεωτρήσεων προκειμένου να εντοπίσουμε μια ενδεχόμενη μεταλλοφορία, να την τμήσουμε δηλαδή με μία τουλάχιστον γεώτρηση. Από τη στιγμή που εντοπιστεί η μεταλλοφορία, το ερώτημα που ακολουθεί είναι, φυσικά, ο καθορισμός του αριθμού των γεωτρήσεων, στην περιοχή της μεταλλοφορίας πλέον, έτσι ώστε να εξάγουμε αξιόπιστες εκτιμήσεις των μέσων χαρακτηριστικών της. Με την απάντηση στο ερώτημα αυτό θα ασχοληθούμε στην τρέχουσα ενότητα. 6.3.1. Γενικά Ο υπολογισμός των αποθεμάτων ενός μεταλλευτικού κοιτάσματος από ερευνητικές γεωτρήσεις και γεωλογικές εκτιμήσεις, οι οποίες περιλαμβάνουν συνήθως πλήθος απρόβλεπτων στοιχείων, περιέχει υψηλά σφάλματα, τα οποία εξαρτώνται γενικά από τον βαθμό της έρευνας. Εάν ο ερευνητής, μηχανικός ή γεωλόγος, θεωρεί πως τα σφάλματα είναι πολύ μεγάλα, πρέπει να επιδιώξει την ελάττωσή τους μέσω της εκτέλεσης περαιτέρω ερευνητικών εργασιών. Παρ όλα αυτά, ένα ποσοστό αβεβαιότητας περιέχεται πάντα στους τελικούς υπολογισμούς. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι μεταξύ των σφαλμάτων κατά τον υπολογισμό των αποθεμάτων και των ερευνητικών εργασιών υπάρχει αντιστρόφως ανάλογη σχέση. Οι ορθολογικές έρευνες απαιτούν σε κάθε περίπτωση αναγκαία εργασία αναλόγως του επιδιωκόμενου σκοπού. Η πυκνότητα, δηλαδή, των ερευνητικών έργων πρέπει να είναι τέτοια ώστε να

ορίζεται εκ των προτέρων η επιθυμητή ακρίβεια καθορισμού των αποθεμάτων. Έτσι, μεγαλύτερη πυκνότητα ερευνητικών εργασιών οδηγεί σε περιττές επενδύσεις και αύξηση του χρόνου έρευνας. Αντιθέτως, ένα αραιό δίκτυο ερευνητικών εργασιών μπορεί να μειώσει το ποσό της επένδυσης όπως και τον απαιτούμενο χρόνο για την εκτέλεση των εργασιών, με την προϋπόθεση όμως ότι τα σφάλματα υπολογισμού παραμένουν πάντοτε εντός των καθορισμένων ορίων της επιθυμητής ακρίβειας. Η γεωτρητική έρευνα αποκτά ιδιαίτερη σημασία λόγω του γεγονότος ότι η εκτέλεσή της λαμβάνει χώρα τις περισσότερες φορές κατά το πρώτο στάδιο ανάπτυξης των μεταλλευτικών επιχειρήσεων, κατά το οποίο οι επενδύσεις πρέπει να εκτελούνται με μέγιστη προσοχή. Η επιτυχία ενός τέτοιου προγράμματος προϋποθέτει συνεχή παρακολούθηση των αποτελεσμάτων κατά τα διάφορα στάδια, πιθανή μεταβολή του αρχικού προγραμματισμού και έγκαιρη διακοπή της έρευνας, όταν έχουν ληφθεί τα επιθυμητά αποτελέσματα. Όπως έχουμε δει ήδη από την αρχή του Κεφαλαίου, ο βασικός τρόπος μέσω του οποίου μπορεί να εκφραστεί ο επιχειρηματικός κίνδυνος στην μεταλλευτική έρευνα είναι χρήση της θεωρίας των πιθανοτήτων. Εδώ, θα ασχοληθούμε, πιο ειδικά, με την αβεβαιότητα η οποία υφίσταται στους τελικούς υπολογισμούς για τη μέση τιμή της ποσότητας και ποιότητας των αποθεμάτων. Με τη θεώρηση των ποσοτήτων αυτών ως τυχαίων μεταβλητών, τα όρια της αβεβαιότητας ορίζονται από τις ακραίες τιμές του διαστήματος εμπιστοσύνης, η δε εμπιστοσύνη στο πρόσωπο του μελετητή αντικαθίσταται από το επίπεδο εμπιστοσύνης, το οποίο πάντοτε καθορίζεται εκ των προτέρων. Κατά τον υπολογισμό των αποθεμάτων είναι απαραίτητος επίσης ο προσδιορισμός της ποιότητάς τους, λαμβανομένου υπ όψιν ότι ο όρος μεταλλευτικά αποθέματα αναφέρεται στα εμπορεύσιμα αποθέματα, δηλαδή στην ποιότητα του μεταλλεύματος η οποία δύναται να υποστεί οικονομική επεξεργασία υπό τις τρέχουσες τεχνολογικές συνθήκες. Το μετάλλευμα του οποίου η περιεκτικότητα βρίσκεται κάτω από την οριακή τιμή της εκμετάλλευσης δεν περιλαμβάνεται στα μεταλλευτικά αποθέματα. Μεταβολές όμως του κόστους παραγωγής ή της τιμής εμπορίας του μεταλλεύματος, οι οποίες υφίστανται διακυμάνσεις αναλόγως της ζήτησης, ή ακόμη μεταβολές στις τεχνολογικές μεθόδους επεξεργασίας και εμπλουτισμού είναι δυνατόν να επηρεάσουν τις οριακές τιμές της εκμεταλλεύσιμης ποιότητας. Συνεπώς, τα αποθέματα είναι ένας συνεχώς μεταβαλλόμενος παράγοντας στις μεταλλευτικές επιχειρήσεις. Με βάση τα παραπάνω, είναι σκόπιμο να υπολογίζονται και τα αποθέματα κάτω από την οριακή τιμή της εκμεταλλεύσιμης ποιότητας, με τρόπο τέτοιο ώστε να είναι δυνατή η μεταφορά τμημάτων ή ολόκληρων κοιτασμάτων από τη μια κατηγορία στην άλλη, όπως είδαμε και στην ενότητα 3...9. 6.3.. Υπολογισμός μέσης τιμής αποθεμάτων Είναι γενικά αδύνατη, ή τουλάχιστον αντιοικονομική, η εκτέλεση μετρήσεων για το σύνολο ενός πληθυσμού και τον προσδιορισμό των μέσων χαρακτηριστικών του. Σε αυτή την περίπτωση λαμβάνονται τυχαία δείγματα, από τα οποία εξάγονται συμπεράσματα που αφορούν το σύνολο του πληθυσμού στο οποίο έγινε η δειγματοληψία. Είναι γνωστό, όμως, ότι όλες οι δειγματοληπτικές έρευνες υπόκεινται σε πειραματικά σφάλματα, καθώς και σφάλματα που οφείλονται στην ανομοιογένεια του πληθυσμού. Για τον λόγο αυτό, κατά τη δειγματοληψία ενός πλήθους, όσο μεγαλύτερη είναι η ποικιλία των τιμών του τόσο μεγαλύτερο μέγεθος δείγματος απαιτείται προκειμένου να επιτευχθεί ικανοποιητικός υπολογισμός των μέσων χαρακτηριστικών του. Στην εφαρμοσμένη κοιτασματολογία, και ιδιαίτερα στην έρευνα των υπόγειων κοιτασμάτων, στην οποία η δειγματοληψία επιτυγχάνεται μόνο μέσω γεωτρήσεων ή μεταλλευτικών έργων των οποίων το κόστος είναι αρκετά υψηλό, είναι απαραίτητη η λεπτομερής επεξεργασία των λαμβανομένων δεδομένων της έρευνας για την εξαγωγή συμπερασμάτων μέσω του μικρότερου δυνατού αριθμού δειγμάτων. Από τα αποτελέσματα της έρευνας, όσο εκτεταμένη και αν είναι, δεν είναι δυνατός ο ακριβής υπολογισμός των παραμέτρων του κοιτάσματος (μέση ποιότητα, αποθέματα κ.τ.λ.), παρ όλα αυτά οι αποκλίσεις των προσδιοριζόμενων τιμών των παραμέτρων μπορούν να υπολογιστούν στατιστικά. Τα ανωτέρω υπολογιζόμενα μεγέθη και σφάλματα υπόκεινται φυσικά στους νόμους των πιθανοτήτων και, κατά συνέπεια, είναι απαραίτητο να οριστεί από εμάς εκ των προτέρων το επίπεδο εμπιστοσύνης, δηλαδή ο κίνδυνος τον οποίο αποδεχόμαστε ως μέγιστη απόκλιση των υπολογιζόμενων παραμέτρων, λαμβάνοντας υπ όψιν τα μέγιστα αναμενόμενα σφάλματα. Επιπλέον, η στατιστική ανάλυση οποιασδήποτε σειράς παρατηρήσεων απαιτεί ορισμένες προϋποθέσεις ώστε οι προβλέψεις και τα συμπεράσματα να είναι αξιόπιστα. Η πιο συχνή στατιστική τεχνική

προϋποθέτει κανονικό πληθυσμό από τον οποίο λαμβάνεται το δείγμα, θεωρώντας τυχαία δείγματα και σταθερό μέγεθος δείγματος. Εάν, για παράδειγμα, η κατανομή πενήντα ή περισσότερων τυχαίων τιμών από μία μεταβλητή (π.χ. χημικές αναλύσεις που αντιπροσωπεύουν περιεκτικότητα μεταλλεύματος) δεν παρουσιάζει σημαντική διαφορά από την κανονική κατανομή με μέση τιμή και σταθερή την απόκλιση, τότε μπορούμε να δεχθούμε ότι ο πληθυσμός από τον οποίο λάβαμε το δείγμα ακολουθεί τον κανονικό νόμο. Η κανονικότητα του πληθυσμού παρέχει πολλά πλεονεκτήματα στην επεξεργασία των δεδομένων και είναι μία από τις κατανομές που έχει μελετηθεί ευρέως. Για τους παραπάνω λόγους είναι βολικό τα δεδομένα που πρόκειται να γίνουν αντικείμενο επεξεργασίας να κατανέμονται κανονικά. Μικρές αποκλίσεις της συχνότητας των μεταβλητών από την κανονική κατανομή επιτρέπονται, αλλά, όταν δεν έχουμε προηγούμενη ανάλυση και γνώση των χαρακτηριστικών της δειγματικής κατανομής, η χρήση της παραδοχής κανονικότητας πρέπει να αποφεύγεται, καθώς και η χρήση στατιστικών κριτηρίων που προϋποθέτουν κανονικό πληθυσμό. Σε περίπτωση που τα δεδομένα δεν κατανέμονται κανονικά, είναι δυνατόν αυξάνοντας τον αριθμό των δειγμάτων, εφόσον αυτό είναι επιτρεπτό οικονομικά, να ελαττώσουμε πιθανά σφάλματα μέχρι να φτάσουμε στα όρια της κανονικότητας, τα οποία είναι απαραίτητο να ελέγχονται μέσω στατιστικού κριτηρίου (π.χ. έλεγχος X ). Στην περίπτωση που η αύξηση του αριθμού των δειγμάτων δεν είναι εφικτή ή δεν φέρνει τα επιθυμητά αποτελέσματα, τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί μαθηματικός μετασχηματισμός για την απόκτηση κανονικής κατανομής (π.χ. λογαριθμικός μετασχηματισμός). 6.3.3. Στατιστικές παράμετροι του κοιτάσματος Οι πιο συχνές στατιστικές παράμετροι που χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό της ποιότητας και των αποθεμάτων των μεταλλοφόρων κοιτασμάτων είναι η δειγματική μέση τιμή και η τυπική απόκλιση των δειγμάτων. Η δειγματική μέση τιμή δίνεται από την ακόλουθη σχέση: x + x +... + x x = = 1 i= 1 x i και η τυπική απόκλιση των δειγμάτων ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του αριθμητικού μέσου των αποκλίσεων των τιμών της μεταβλητής από τη μέση τιμή στο τετράγωνο και υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο: i= 1 σ = ( x x ) i όταν η τυπική απόκλιση αναφέρεται στον πληθυσμό και S = i= 1 ( x x ) i 1 όταν η τυπική απόκλιση αναφέρεται στο δείγμα. όπου: σ = τυπική απόκλιση που αφορά τον πληθυσμό S = τυπική απόκλιση που αφορά το δείγμα Χ i = τιμή της μεταβλητής x = αριθμητικός μέσος = αριθμός των παρατηρήσεων Οι γεωλογικές επιδράσεις, ή άλλοι παράγοντες που προκαλούν ακραίες τιμές, μπορεί να θεωρηθεί ότι δεν μεταβάλλουν τις παραμέτρους του κοιτάσματος ως ενιαίου συνόλου αλλά μόνο των συγκεκριμένων περιοχών, οι οποίες είναι δυνατόν να διαχωριστούν και να εξεταστούν μεμονωμένα.

Το διάστημα εμπιστοσύνης μπορεί να χαρακτηριστεί ως ο βαθμός εμπιστοσύνης των αποτελεσμάτων ενός προγράμματος δειγματοληψίας, δεδομένου ότι οι τιμές των παρατηρήσεων οι οποίες χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των παραμέτρων του κοιτάσματος (π.χ. μέση ποιότητα) θα ήταν διαφορετικές, εάν, παραδείγματος χάριν, η δειγματοληψία γινόταν σε διαφορετικές θέσεις. Είναι απαραίτητο, λοιπόν, τα αποτελέσματα μιας δειγματοληψίας να συνοδεύονται από το αντίστοιχο διάστημα εμπιστοσύνης, το οποίο περιγράφει τα όρια όπου βρίσκεται η πραγματική τιμή της παραμέτρου, δηλαδή η τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται το δείγμα. Προκειμένου όμως να προσδιοριστεί το διάστημα εμπιστοσύνης, είναι αναγκαίο να προκαθοριστεί η πιθανότητα της πραγματικής τιμής της παραμέτρου να βρίσκεται εντός των ορίων του διαστήματος εμπιστοσύνης. Πρέπει, δηλαδή, εξαρχής να ορίσουμε το επίπεδο της αβεβαιότητας που λαμβάνεται υπ όψιν στον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης. Το μέγεθος του διαστήματος εμπιστοσύνης, με τη σειρά του, εξαρτάται από την τυπική απόκλιση και τον αριθμό των δειγμάτων. Τα όριά του προσδιορίζονται με τη βοήθεια του τυπικού σφάλματος, το οποίο, παραδείγματος χάριν, για τον αριθμητικό μέσο δίνεται από τη σχέση: S e = S Άρα, αν υποθέσουμε ότι ο δειγματικός μέσος κατανέμεται κανονικά και ληφθεί ικανός αριθμός δειγμάτων (άνω των 30), τότε με ασφάλεια, για παράδειγμα 95% (πιθανότητα 0:1), μπορούμε να πούμε ότι το διάστημα εντός του οποίου βρίσκεται η αληθινή τιμή του αριθμητικού μέσου ορίζεται από τις τιμές (Spiegel 1977): = x ± t S (6.15) e 0,05 e Όπου t 0,05 = τιμή του t, που λαμβάνεται από στατιστικούς πίνακες της κανονικής κατανομής και αναφέρεται στο συγκεκριμένο επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Εάν τα δείγματα είναι λιγότερα, θα πρέπει να δεχτούμε ότι ο δειγματικός μέσος ακολουθεί την κατανομή Τ του Studet με -1 βαθμούς ελευθερίας. Στην περίπτωση αυτή συνεχίζει να ισχύει η 6.15, αλλά το εκάστοτε t προσδιορίζεται τώρα από πίνακες της κατανομής Τ (βλ. Κριτήριο αξιολόγησης 3). Με αυτό τον τρόπο, εφόσον τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης οριστούν, όπως παραπάνω, στο 95%, τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο αριθμητικός μέσος του πατρικού πληθυσμού βρίσκεται εντός των ορίων αυτών, με πιθανότητα 5% η υπόθεσή μας να είναι εσφαλμένη. Το διάστημα εμπιστοσύνης μπορεί να προσδιοριστεί φυσικά για οποιονδήποτε βαθμό εμπιστοσύνης (π.χ. 90%, 95%, 99% κ.τ.λ.) με τη μεταβολή της τιμής του t. Η μεταβολή όμως του επιπέδου εμπιστοσύνης για παράδειγμα από 95% σε 99% για συγκεκριμένο αριθμό δειγμάτων έχει ως συνέπεια την αύξηση του διαστήματος εμπιστοσύνης. Αν, παραδείγματος χάριν, ζητήσουμε 100% εμπιστοσύνη, τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης θα εκτιναχθούν στο άπειρο. Για να το ξαναμειώσουμε στον επιθυμητό βαθμό, θα πρέπει να αυξήσουμε τον αριθμό των δειγμάτων, ώστε με αυτό τον τρόπο να πετύχουμε ελάττωση του τυπικού σφάλματος. 6.3.4. Εφαρμογή στον υπολογισμό της ποιότητας και του διαστήματος εμπιστοσύνης βωξιτικού κοιτάσματος Είναι γνωστό ότι εντός της ανθρακικής ιζηματογένεσης της ζώνης Παρνασσού-Γκιώνας αναπτύσσονται τρεις κύριοι ορίζοντες βωξιτικών κοιτασμάτων, οι οποίοι έχουν υποστεί μέχρι σήμερα εντατική εκμετάλλευση. Τα κοιτάσματα αυτά έχουν αποτεθεί εντός ακανόνιστων έγκοιλων των ασβεστόλιθων, γεγονός το οποίο προκάλεσε ευρείες διακυμάνσεις στο πάχος τους. 6.3.4.1. Πειραματικά δεδομένα Στην Εικόνα 6.7 απεικονίζονται οι ερευνητικές γεωτρήσεις που εκτελέστηκαν σε ένα από τα προαναφερθέντα βωξιτικά κοιτάσματα και η σχεδίαση του περιγράμματός του από τις θετικές και αρνητικές γεωτρήσεις

(Μάστορης 1970). Το πάχος του κοιτάσματος, το οποίο προσδιορίστηκε από κάθε γεώτρηση, δίνεται στον Πίνακα 6.1. Στη συνέχεια της ενότητας αυτής θα υπολογίσουμε το μέσο πάχος του κοιτάσματος, καθώς και το σφάλμα της εκτίμησης. Εικόνα 6.7 Ερευνητικές γεωτρήσεις βωξιτικού κοιτάσματος. Αναφέρθηκε ότι απαραίτητη προϋπόθεση για τη χρήση της στατιστικής ανάλυσης, όπως παρουσιάστηκε στα προηγούμενα, είναι η κανονικότητα του ιστογράμματος των τιμών του πάχους του κοιτάσματος ή να έχει διαπιστωθεί ότι ο πατρικός πληθυσμός κατανέμεται κανονικά. Στην πρώτη περίπτωση είναι επιτρεπτές μικρές αποκλίσεις από την κανονική κατανομή, που οφείλονται, προφανώς, στον μικρό αριθμό των μετρήσεων, οι οποίες δεν είναι επαρκείς ώστε να επιτευχθεί κανονικό ιστόγραμμα. Για τον προσδιορισμό της συχνότητας των εν λόγω τιμών, τα δεδομένα του Πίνακα 6.1 έχουν χωριστεί σε κλάσεις ίσων διαστημάτων. Οι συχνότητες των τιμών κάθε κλάσης δίνονται στον Πίνακα 6., βάσει του οποίου δημιουργήθηκε το ιστόγραμμα της Εικόνας 6.8. Στο συγκεκριμένο ιστόγραμμα παρατηρείται ότι οι συχνότητες των τιμών του πάχους του κοιτάσματος ακολουθούν κατά προσέγγιση την κανονική κατανομή.

α/α Στοιχεία Πάχος α/α Στοιχεία Πάχος γεώτρησης κοιτάσματος (m) γεώτρησης κοιτάσματος 1 91 4 35 19 13 93 4 36 18 7,5 3 31 37 50 1,5 4 3,5 38 8 7 5 89 39 39 11 6 30 4 40 80 6 7 34 7,5 41 7,5 8 88 4 4 6 9 7 10 43 15 5 10 8 10,5 44 8 7,5 11 87 8 45 56 5,5 1 67 5 46 76 6 13 5 15,5 47 73 8,5 14 6 1,5 48 51 15 15 90 9 49 65 11 16 36 6,5 50 94 3 17 9 9 51 84 8 18 66 10 5 40 6 19 4 13 53 0 11 0 68 8 54 5 5 1 3 9 55 96 6 11 9 56 98 6 3 37 10 57 10 1,5 4 77 9 58 101 4,5 5 58 8 59 43,4 6 79 9 60 55 5,5 7 10 9,5 61 41 10 8 1 3,5 6 54 3,5 9,5 63 16 4 30 38 1 64 19 5,5 31 83 3 65 14,5 3 6 4 66 116 1,5 33 9 8,5 67 75 6,5 34 13 4,5 68 48 5 Πίνακας 6.1 Εκτελεσθείσες γεωτρήσεις και πάχος κοιτάσματος που εντοπίστηκε.

Τιμές κλάσης Μέσες τιμές κλάσης Οριακές τιμές κλάσης Συχνότητα f 0,00-1,75 0,875 0,00-1,74 4 1,75-3,50,65 1,75-3,49 10 3,50-5,5 4,375 3,50-5,4 14 5,5-7,00 6,15 5,5-6,99 10 7,00-8,75 7,875 7,00-8,74 11 8,75-10,50 9,65 8,75-10,49 10 10,50-1,5 11,375 10,50-1,4 4 1,5-14,00 1,15 1,5-13,99 3 14,00-15,75 14,875 14,00-15,75 Σύνολο 68 Πίνακας 6. Συχνότητα κάθε κλάσης. Εικόνα 6.8 Ιστόγραμμα των τιμών του πάχους του κοιτάσματος και καμπύλη της κανονικής κατανομής προσαρμοσμένη στο ιστόγραμμα. Ο Πίνακας 6. περιγράφει μια κατανομή συχνότητας. Για τον υπολογισμό της θεωρητικής εξίσωσης της εν λόγω κατανομής προσδιορίστηκαν οι παράμετροι κάθε κλάσης και παρουσιάζονται στον Πίνακα 6.3.

Τιμές κλάσεων Μέσες τιμές κλάσεων Συχνότητα f t ft ft 0,00-1,74 0,875 4-4 -16 64 1,75-3,49,65 10-3 -30 90 3,50-5,4 4,375 14 - -8 56 5,5-6,99 6,15 10-1 -10 10 7,00-8,74 7,875 11 0 0 0 8,75-10,49 9,65 10 1 10 10 10,50-1,4 11,375 4 8 16 1,5-13,99 13,15 3 3 9 7 14,00-15,75 14,875 4 8 3 c = 1,75 x 0 =7,875 Σύνολο = 68-49 305 Πίνακας 6.3 Μέσες τιμές κλάσεων και συχνότητες. Εφόσον όλες οι κλάσεις έχουν το ίδιο πλάτος c, υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για τον υπολογισμό της μέσης τιμής και της διασποράς. Σε μια τέτοια «κωδικοποιημένη μέθοδο», όπως λέγεται (Spiegel 1977), αντιστοιχούμε έναν ακέραιο t στο κέντρο κάθε κλάσης με τον μετασχηματισμό x = x 0 + ct, όπου x 0 ένα από τα κέντρα των κλάσεων αυθαίρετα επιλεγμένο (στην περίπτωσή μας είναι το κέντρο της πέμπτης κλάσης). Οι σχέσεις για τη μέση τιμή και τυπική απόκλιση γίνονται: Σft x = x0 + c = 6, 614 και Σft Σft S = c = 3,484 Σf Σf Επομένως, από τα παραπάνω η θεωρητική εξίσωση της κατανομής δίνεται από τη σχέση: z 68 1 ψ = e 3, 484 π (6.16) όπου ο παράγοντας 68 εισάγεται ώστε τα αποτελέσματα να προκύπτουν κατευθείαν σε απόλυτο αριθμό δειγμάτων. Με χρήση της σχέσης 6.16 σχεδιάζεται, για μια σειρά τιμών της τυποποιημένης μεταβλητής z, η καμπύλη της κανονικής κατανομής της Εικόνας 6.8. Τα ζεύγη τιμών της καμπύλης υπολογίζονται στις δύο τελευταίες γραμμές του Πίνακα 6.4. Οι τιμές των τεταγμένων, για την καμπύλη που αντιστοιχεί στο ιστόγραμμα των πραγματικών τιμών, υπολογίζονται στην τέταρτη γραμμή του πίνακα αυτού με 68 πολλαπλασιασμό των τιμών της τυποποιημένης κατανομής επί τον παράγοντα 1, 75. Στην πέμπτη 3,484 γραμμή του ίδιου πίνακα δίνονται και οι τετμημένες της κανονικής καμπύλης.

x 6, 614 z = 0 ±0,5 ±1 ±1,5 ± ±,5 ±3,0 3, 484 ψ(z) = τεταγμένη τυπικής καμπύλης 0,399 0,35 0,4 0,130 0,054 0,018 0,004 ψ = 19,54 ψ 7,796 6,878 4,78,540 1,055 0,351 0,078 σ τεταγμένη κανονικής καμπύλης: 13,643 1,033 8,74 4,445 1,846 0,614 0,136 ψ c σ x = τετμημένη κανονικής καμπύλης 6,614 4,87 3,130 1,388-0,354 -,096-3,838 8,356 10,098 11,840 13,580 15,34 17,066 Πίνακας 6.4 Ζεύγη τιμών της θεωρητικής καμπύλης της κανονικής κατανομής. 6.3.4.. Έλεγχος κανονικότητας της δειγματικής κατανομής με το κριτήριο X Στον Πίνακα 6.5 δίνονται οι πραγματικές και οι θεωρητικές τιμές κάθε κλάσης, υπολογισμένες από την εξίσωση της κανονικής κατανομής. Με βάση τα στοιχεία αυτού του πίνακα γίνεται ο έλεγχος κανονικότητας της κατανομής και τα αποτελέσματα του ελέγχου παρατίθενται στον Πίνακα 6.6. Από τα αποτελέσματα αυτά και με τη χρήση στατιστικών πινάκων της κατανομής X με ν = 9-1- = 6 βαθμούς ελευθερίας (βλ. πχ. Spiegel 1977), προκύπτει ότι η τιμή του X είναι ικανοποιητική ακόμα και σε επίπεδο σημαντικότητας 50% και, συνεπώς, μπορούμε να δεχτούμε με ασφάλεια την υπόθεση ότι οι διακυμάνσεις του πάχους του κοιτάσματος ακολουθούν την κανονική κατανομή. Οριακές τιμές κλάσης Όριο κλάσης Χ x = X- x t = x/σ Εμβαδόν της τυπικής καμπύλης από 0 έως t Εμβαδόν κάθε κλάσης Θεωρητικές παρατηρήσεις Πραγματικές παρατηρήσεις 0,00-1,74 1,74-4,874-1,40 808 808 5,49 4 1,75-3,49 3,49-3,14-0,89 1.867 1.059 7,0 10 3,50-5,4 5,4-1,374-0,39 3,483 1.616 10,99 14 5,5-6,99 6,99 0,376 0,11 5.438 1.955 13,9 10 7,90-8,74 8,74,16 0,61 7.91 1.853 1,60 11 8,75-10,49 10,49 3,876 1,11 8.665 1.374 9,34 10 10,50-1,4 1,4 5,66 1,61 9.463 798 5,43 4 1,5-13,99 13,99 7,376,1 9,830 367,49 3 14,00-15,75 15,75 9,136,6 10.000 170 1,16 Πίνακας 6.5 Υπολογισμός των θεωρητικών τιμών κάθε κλάσης από την εξίσωση της κανονικής κατανομής, σύμφωνα με τον αριθμό των δειγμάτων, τον αριθμητικό μέσο και την τυπική απόκλιση της κατανομής των πραγματικών τιμών.

Τιμές κλάσης Πραγματική συχνότητα i Θεωρητική συχνότητα e i i - e i ( i - e i ) ( i - e i ) / e i 0,00-1,74 4 5,49 1,49, 0,404 1,75-3,49 10 7,0,80 7,84 1,088 3,50-5,4 14 10,99 3,01 0,06 0,84 5,5-6,99 10 13,9 3,9 10,8 0,814 7,00-8,74 11 1,60 1,60,56 0,03 8,75-10,49 10 9,34 0,66 0,43 0,046 10,50-1,4 4 5,43 1,43,04 0,375 1,5-13,99 3,49 0,51 0,6 0,104 14,00-15,75 1,16 0,84 0,70 0,603 Χ = 4,461 Πίνακας 6.6 Στοιχεία υπολογισμών για τον υπολογισμό του Χ. 6.3.4.3. Υπολογισμός των αποθεμάτων και του διαστήματος εμπιστοσύνης τους Οι ακραίες τιμές του διαστήματος εμπιστοσύνης της μέσης τιμής του πάχους του κοιτάσματος, σε επίπεδο εμπιστοσύνης 90%, δίνονται από τη σχέση: x ± t0,05se όπου S e S 3,484 = = = 0,44 8,4 επομένως το διάστημα εμπιστοσύνης είναι: 6,614 ± 1,671 0,44 ή από 5,906 έως 7,3 μέτρα ή 5,906 < μ < 7,3 μέτρα Το μέγιστο σφάλμα του μέσου εκφρασμένο σε ποσοστό είναι: 1,671 0,44 100 = 10,8% 6,614 Από τα παραπάνω συνεπάγεται ότι, εφόσον ως περίμετρος του κοιτάσματος ληφθεί η οριζόμενη από τις δεδομένες γεωτρήσεις, τότε το μέγιστο σφάλμα κατά τον υπολογισμό των αποθεμάτων είναι μόνο το προερχόμενο από τους υπολογισμούς του πάχους, δηλαδή περίπου 10%. Τα αποθέματα σε τόνους μεταλλεύματος λαμβάνονται ως το γινόμενο του όγκου επί το ειδικό βάρος αυτού. Ο όγκος υπολογίζεται ως το γινόμενο της επιφάνειας επί το μέσο πάχος. Οπότε έχουμε: Τ = Ε μ ε Όπου Τ = βάρος σε τόνους μεταλλεύματος Ε = επιφάνεια σε τετραγωνικά μέτρα ε = ειδικό βάρος μεταλλεύματος μ = μέσο πάχος κοιτάσματος

που σημαίνει Τ = 6,614 μέτρα 78.000 τετραγωνικά μέτρα 3, τόνοι / κυβικό μέτρο = 1.650.854 τόνοι. Το διάστημα εμπιστοσύνης εντός του οποίου βρίσκεται η πραγματική τιμή των αποθεμάτων είναι: 1.474.137 < Τ < 1.87.751 τόνοι. Συνεπώς, τα αποθέματα του εν λόγω κοιτάσματος που υπολογίζονται σε 1.650.854 τόνους, σε επίπεδο εμπιστοσύνης 90% και περιέχουν μέγιστο σφάλμα περίπου 10%. Άρα, μπορούν να καταταγούν στην κατηγορία Α του συστήματος Ι.Γ.Μ.Ε. (βλ. ενότητα 3...6). Κατά τις μετρήσεις όμως του πάχους του κοιτάσματος από τις γεωτρήσεις δεν αποκλείονται συστηματικά σφάλματα τα οποία επηρεάζουν τους τελικούς υπολογισμούς. Επίσης, παρά το πυκνό δίκτυο των γεωτρήσεων δεν αποκλείεται κάποια γεωλογική ανωμαλία, μη καλυπτόμενη από τα όρια της κατανομής που υπολογίστηκε. Από τα παραπάνω και δεδομένου ότι ο υπολογισμός αφορά αποθέματα της κατηγορίας Α, δηλαδή αποθέματα τα οποία συνηθίζουμε να αποκαλούμε βέβαια, είναι προτιμότερο το επίπεδο εμπιστοσύνης να οριστεί στο 95%, ώστε να παραμείνει το υπόλοιπο 5% για τα συστηματικά σφάλματα των μετρήσεων, όπως επίσης και για τις τυχόν γεωλογικές ανωμαλίες. Σε αυτή την περίπτωση, το διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου πάχους διευρύνεται και, κατά συνέπεια, το μέγιστο σφάλμα αυξάνεται. Για το εν λόγω επίπεδο ισχύει η σχέση: x ± t0,05se Επομένως, το διάστημα εμπιστοσύνης για το πάχος είναι: 5,766 < μ < 7,46 μέτρα. 6,614 ± 0,44 ή Αντίστοιχα, για τα αποθέματα έχουμε: 1.439.194 < Τ < 1.86.484 τόνοι. Το μέγιστο σφάλμα του μέσου όρου του πάχους, εκφρασμένο σε ποσοστό είναι: 0,44 100 = 1,8% 6,614 6.3.4.4. Αριθμός αναγκαίων γεωτρήσεων για τον προσδιορισμό αποθεμάτων κατηγορίας Β (±0%) υπό τις συνθήκες της κατανομής που υπολογίστηκε Είναι πολύ χρήσιμο, κατά την αρχή της έρευνας, να είμαστε σε θέση να προσδιορίσουμε κατά προσέγγιση τον αριθμό των αναγκαίων γεωτρήσεων για τον υπολογισμό των αποθεμάτων κάθε κατηγορίας. Ο αριθμός αυτός ποικίλλει βεβαίως ανάλογα με τη μεταβλητότητα του κοιτάσματος και μπορεί να προσδιοριστεί ως συνάρτηση του μεγέθους αυτού. Έτσι, κατά τη διενέργεια μεταλλευτικών ερευνών ευρείας έκτασης, όπως, για παράδειγμα, κατά την έρευνα ενός μεταλλεύματος σε εθνική κλίμακα, είναι δυνατόν να προϋπολογιστεί ο αριθμός των αναγκαίων γεωτρήσεων ανάλογα με το μέγεθος του κοιτάσματος, για κάθε κατηγορία αποθεμάτων. Η πρόβλεψη αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με τον παρακάτω τρόπο (Μάστορης 1970): Όπως έχει προαναφερθεί, η μεταβλητότητα των τιμών των παρατηρήσεων (πάχος κοιτάσματος, χημικές αναλύσεις κ.τ.λ.) σε σχέση με τον μέσο όρο εκφράζεται από την τυπική απόκλιση S, ενώ οι διακυμάνσεις του υπολογιζόμενου αριθμητικού μέσου εκφράζονται μέσω του τυπικού σφάλματος S e το οποίο δίνεται από τη σχέση: S e = S

Έχει, επίσης, αναφερθεί στα προηγούμενα (ενότητα 3...6) ότι κατά τον προσδιορισμό των αποθεμάτων κατηγορίας Β του Ι.Γ.Μ.Ε. επιτρέπονται σφάλματα ±0% σε επίπεδο εμπιστοσύνης 90%. Παρά το γεγονός, όμως, ότι η αυστηρή τήρηση των προδιαγραφών κατά την εφαρμογή της μεθόδου της στατιστικής ανάλυσης απαλλάσσει τους τελικούς υπολογισμούς από τα προσωπικά κριτήρια του μελετητή, η φύση των προβλημάτων που παρουσιάζονται στην πράξη κατά τον υπολογισμό των αποθεμάτων επιβάλλει την εφαρμογή της μεθόδου αυτής με σχετική ελαστικότητα. Η ελαστικότητα αυτή επιτυγχάνεται με τη μεταβολή του επιπέδου εμπιστοσύνης ή ακόμη και με τη μεταβολή των επιτρεπομένων για κάθε κατηγορία σφαλμάτων. Έτσι, ειδικά για το παράδειγμα που εξετάζεται εδώ, κατά τον προσδιορισμό δηλαδή των αποθεμάτων βωξιτικού κοιτάσματος, το επίπεδο εμπιστοσύνης συνηθίζεται να διατηρείται σε επίπεδα 90-95% και τα επιτρεπόμενα σφάλματα να μην υπερβαίνουν το ποσοστό 0-5%. Συνεπώς, ο αριθμός των αναγκαίων γεωτρήσεων για τον προσδιορισμό αποθεμάτων της κατηγορίας Β (επίπεδο εμπιστοσύνης 95% και επιτρεπόμενα σφάλματα ±0%) προκύπτει από τη σχέση 6.15 με αντικατάσταση των τιμών και επίλυση ως προς : 3,484 > 100 0 6,614 ή 8 Εάν επιθυμείται να προσδιοριστεί ο αριθμός των αναγκαίων γεωτρήσεων για τον υπολογισμό αποθεμάτων της κατηγορίας C 1, τότε, επειδή επιτρέπονται μεγαλύτερες αποκλίσεις της παραμέτρου, πρέπει να εργαστούμε σε επίπεδα εμπιστοσύνης 90-95% με επιτρεπόμενα σφάλματα ±30%, κάτι που σημαίνει: 3,484 > 100 30 6,614 ή 13 6.4. Καθορισμός βέλτιστης πυκνότητας δειγματοληψίας Πέρα από έναν πρώτο χαρακτηρισμό της υπό έρευνα μεταλλοφορίας μέσω στατιστικών παραμέτρων, όπως δείξαμε στην προηγούμενη ενότητα, αυτό που μας ενδιαφέρει για την αξιολόγηση της εκμεταλλευσιμότητάς της είναι η λεπτομερής χαρτογράφηση των κοιτασματολογικών χαρακτηριστικών της, σε όλη την περιοχή ανάπτυξής της. Το θέμα αυτό αποτελεί αντικείμενο του επόμενου κεφαλαίου, στην ενότητα αυτή, όμως, θα ασχοληθούμε με τον καθορισμό της πυκνότητας δειγματοληψίας η οποία θα επιτρέψει την αξιόπιστη ανάπτυξη του επιδιωκόμενου χωρικού μοντέλου του κοιτάσματος. 6.4.1. Στοιχεία από τη θεωρία Σε όλα τα προηγούμενα αναφερθήκαμε σε δειγματοληψίες με στόχο τον εντοπισμό ενός κοιτάσματος ή τη διενέργεια συνολικών (μέσων) εκτιμήσεων. Ειδικότερα, στην προηγούμενη ενότητα υπολογίσαμε τον αριθμό των γεωτρήσεων που απαιτούνται για την επίτευξη της επιζητούμενης ακρίβειας για τις εκτιμήσεις μας. Δεν μιλήσαμε όμως για την πυκνότητά τους. Όπως θα φανεί και στο επόμενο κεφάλαιο, ο υπολογισμός των αποθεμάτων με σκοπό την οικονομική αξιολόγηση απαιτεί την τρισδιάστατη χαρτογράφηση του κοιτάσματος, τη διενέργεια δηλαδή «τοπικών» εκτιμήσεων. Από την άλλη μεριά, η επιστήμη της πληροφορικής ασχολείται με το ίδιο πρόβλημα όταν ένα σήμα πρόκειται να ανακατασκευαστεί από δείγματά του. Σημειώνεται εδώ ότι ένας χάρτης μπορεί να θεωρηθεί ως ένα «σήμα» δύο διαστάσεων. Σύμφωνα με το θεώρημα της δειγματοληψίας, η πλήρης ανακατασκευή ενός σήματος από τα δείγματά του είναι εφικτή μόνον όταν αυτό είναι συχνοτικά περιορισμένο, δηλαδή είναι σχετικά ομαλό. Επίσης, θα πρέπει η συχνότητα δειγματοληψίας να είναι μεγαλύτερη από το διπλάσιο της μέγιστης συχνότητας που περιλαμβάνεται στο σήμα. H κρίσιμη αυτή συχνότητα ονομάζεται συχνότητα Nyquist.

Εικόνα 6.9 Ανακατασκευή του αρχικού σήματος από τα δείγματά του με τη συνάρτηση sic. H ανακατασκευή του αρχικού σήματος γίνεται πολλαπλασιάζοντας κάθε δείγμα με μια συγκεκριμένη συνάρτηση (που ονομάζεται συνάρτηση sic) και, στη συνέχεια, προσθέτοντας όλες τις συναρτήσεις (κυματομορφές) που προκύπτουν, όπως στην Εικόνα 6.9. Όπως φαίνεται από την εικόνα, οι συναρτήσεις sic παίζουν τον ρόλο του συντελεστή βαρύτητας κάθε δείγματος, ανάλογα με τη θέση όπου πρόκειται να γίνει η εκτίμηση μιας άγνωστης (μη μετρημένης) τιμής. Σημειώνεται ότι για κάθε άγνωστο σημείο λαμβάνονται υπ όψιν (με την αντίστοιχη βαρύτητα) όλες οι μετρήσεις. Η χρήση της συνάρτησης sic είναι περισσότερο θεωρητική, ενώ στην πράξη άλλες συναρτήσεις χρησιμοποιούνται κατά προσέγγιση για την παρεμβολή των δειγματικών τιμών σε μία ή περισσότερες διαστάσεις. H απλούστερη μέθοδος αντιστοίχισης μίας τιμής z(x) στην άγνωστη θέση x είναι να χρησιμοποιηθεί η τιμή z(x i ), όπου x i είναι η πλησιέστερη θέση δειγματοληψίας στο x. H μέθοδος αυτή καλείται μέθοδος του πλησιέστερου γειτονικού σημείου ή παρεμβολή μηδενικής τάξης επειδή μπορεί, προφανώς, να ανακατασκευάσει ιδανικά μια σταθερή (μηδενικού βαθμού) συνάρτηση. Κατά την ανακατασκευή αυτή, η συνάρτηση sic προσεγγίζεται με έναν τετραγωνικό παλμό, όπως φαίνεται στην Εικόνα 6.10(α). H παρεμβολή πρώτης τάξης προκύπτει αντίστοιχα εάν χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση της sic η τριγωνική συνάρτηση. H μέθοδος αυτή δεν είναι άλλη από τη γνωστή μας γραμμική παρεμβολή. Όπως φαίνεται στην Εικόνα 6.10(β), η μέθοδος αυτή ισοδυναμεί με την ένωση των δειγματικών τιμών με ευθύγραμμα τμήματα. Σε δύο διαστάσεις το πρόβλημα λύνεται αντίστοιχα με τη διγραμμική παρεμβολή. Υψηλότερης τάξης παρεμβολές, όπως η κυβική ή η διπλή κυβική, προκύπτουν αντίστοιχα με την προσέγγιση της sic με πολυώνυμα ανάλογου βαθμού. Εικόνα 6.10 Ανακατασκευή του αρχικού σήματος από τα δείγματά του με συναρτήσεις παλμού και τριγωνική.

Φαίνεται λοιπόν από την προηγούμενη ανάλυση ότι, για την ακριβή ανακατασκευή ενός σήματος στο οποίο έχει γίνει δειγματοληψία με συχνότητα μεγαλύτερη από την κρίσιμη, αρκεί να προσθέσουμε μια σειρά από κατάλληλα ζυγισμένες συναρτήσεις sic, μία για κάθε δείγμα. Όλες οι υπόλοιπες μέθοδοι παρεμβολής προκύπτουν από την προσέγγιση της sic με κάποια άλλη απλούστερη συνάρτηση. Στην περίπτωση των γεωεπιστημών, έχει αποδειχθεί (Modis & Papaodysseus 006) ότι, εάν το υπό μελέτη φαινόμενο είναι ομοιόμορφο (Μόδης 010) και η συνάρτηση βαριογράμματος (βλ. Κεφάλαιο 7) εμφανίζει ακτίνα επιρροής α, τότε η TΣ που αναπαριστά την υπό μελέτη φυσική μεταβλητή είναι κατά προσέγγιση συχνοτικά περιορισμένη με κρίσιμο μήκος δειγματοληψίας: α s = (6.17) Σε περίπτωση ανομοιομορφίας μπορεί, βέβαια, να προηγηθεί αφαίρεση της τάσης. Με τον τρόπο αυτό καθίσταται εφικτή η εφαρμογή του θεωρήματος δειγματοληψίας, ενώ η ύπαρξη περισσότερων της μίας διαστάσεων στο αρχικό σήμα δεν αποτελεί εμπόδιο. Τι γίνεται, όμως, παραμένοντας στην περίπτωση των γεωεπιστημών, όταν η δειγματοληψία είναι αραιότερη από την κρίσιμη τιμή; Συμπερασματικά, μπορούμε να αναφέρουμε (Modis et al. 008) ότι, όταν η πλευρά του ερευνητικού καννάβου είναι μικρότερη από το μισό της ακτίνας επιρροής, απλές τεχνικές παρεμβολής όπως γραμμική, διγραμμική ή δικυβική μπορούν να εφαρμοστούν με την ίδια ακρίβεια όπως οι πιο πολύπλοκοι αλγόριθμοι της γεωστατιστικής. Αντιθέτως, όσο η δειγματοληψία γίνεται αραιότερη και οι αιτιοκρατικές μέθοδοι αποδεικνύονται λιγότερο ακριβείς, οι στοχαστικοί αλγόριθμοι ελάχιστου τετραγωνικού σφάλματος της γεωστατιστικής αποτελούν σαφώς καλύτερη επιλογή. 6.4.. Εφαρμογή σε κοίτασμα βιομηχανικών ορυκτών Στην παράγραφο αυτή εφαρμόζεται το κριτήριο των Μόδη και Παπαοδυσσέα που παρουσιάστηκε προηγουμένως (Modis & Papaodysseus 006), βάσει του οποίου μπορεί να υπολογιστεί η βέλτιστη πυκνότητα ερευνητικού καννάβου για κοίτασμα δεδομένης μεταβλητότητας. Στόχος είναι η εφαρμογή της θεωρίας αυτής σε ένα ασβεστολιθικό κοίτασμα της Κύπρου, το οποίο χρησιμοποιείται στην παραγωγή υλικού για τσιμέντο (Meegaki & Modis 01). Το παραγόμενο υλικό χαρακτηρίζεται από τον δείκτη ποιότητας LSF, ο οποίος υπολογίζεται βάσει των περιεκτικοτήτων του σε συγκεκριμένα συστατικά. Εικόνα 6.11 Κάνναβος γεωτρήσεων στην περιοχή ασβεστολιθικού κοιτάσματος.

Η περιοχή του κοιτάσματος έχει ερευνηθεί με έναν κάνναβο 400 γεωτρήσεων, όπως φαίνεται στην Εικόνα 6.11. Είναι εμφανές ότι ούτε οι θέσεις των γεωτρήσεων ακολουθούν συγκεκριμένο σχέδιο, αλλά και οι αποστάσεις μεταξύ τους μεταβάλλονται σημαντικά. Η μικρότερη απόσταση μεταξύ διαδοχικών γεωτρήσεων είναι τα 4 m ενώ η μεγαλύτερη τα 400 m, με μέση απόσταση τα 0 m. Από την επεξεργασία των αποτελεσμάτων υπολογίστηκαν οι συναρτήσεις βαριογράμματος για τον δείκτη, καθώς και για τα συστατικά του ξεχωριστά. Στην Εικόνα 6.1 φαίνεται το βαριόγραμμα (βλ. Κεφάλαιο 7) για τον δείκτη LSF. Σύμφωνα με μοντέλο αυτού του βαριογράμματος, η ακτίνα επιρροής του είναι περίπου 34 m, γεγονός που σημαίνει ότι, σύμφωνα με τη σχέση 6.17, ο βέλτιστος κάνναβος πρέπει να έχει απόσταση διαδοχικών γεωτρήσεων τα 17 m. Εικόνα 6.1 Βαριόγραμμα του δείκτη ποιότητας LSF. Από την ανωτέρω ανάλυση γίνεται φανερό ότι το βόρειο τμήμα του κοιτάσματος έχει υποστεί αραιότερη δειγματοληψία από την απαιτούμενη. Το κεντρικό κομμάτι, αντιθέτως, έχει ερευνηθεί τοπικά ακόμη και περισσότερο του απαιτούμενου, καθώς υπάρχουν αρκετές γεωτρήσεις σε αποστάσεις μεταξύ τους μικρότερες των 4 m. Συμπερασματικά, μπορεί να λεχθεί ότι οι γεωτρήσεις είναι ακανόνιστα κατανεμημένες, ενώ ένας κάνναβος ενδιάμεσης πυκνότητας θα μπορούσε να έχει καλύτερα αποτελέσματα με το ίδιο περίπου κόστος. Είναι εμφανές ότι, για να μειωθεί το κόστος της γεωτρητικής έρευνας με ταυτόχρονη μεγιστοποίηση της αποκτώμενης πληροφορίας, θα πρέπει να σχεδιαστεί ένας αποτελεσματικότερος ερευνητικός κάνναβος. Βιβλιογραφία Μάστορης, Κ. 1970. Η μαθηματική ανάλυσις των πιθανοτήτων εις την κοιτασματολογίαν. Αθήνα: Ι.Γ.Μ.Ε. Μάστορης, Κ. & Ι. Γκίκας. 1979. Μέθοδος επιλογής διαστάσεων καννάβου για τον εντοπισμό φακοειδών κοιτασμάτων στο αρχικό στάδιο των ερευνών. Μεταλλευτικές Έρευνες. Αθήνα: Ι.Γ.Μ.Ε. Μόδης, Κ. 010. Εισαγωγή στη γεωστατιστική. Πανεπιστημιακές σημειώσεις. Ε.Μ.Π. Meegaki, M. & K. Modis. 01. Validatio of a samplig grid desity i a limestoe deposit i Cyprus. I Proceedigs of the 1st Iteratioal Symposium o Mie Plaig ad Equipmet Selectio (MPES 01). New Delhi, Idia, 8-30 November 01, 438 446. Calgary, Caada: Readig Matrix.

Modis, K., Papatoopoulos, G., Komitsas, K. & K. Papaodysseus. 008. Mappig optimizatio based o samplig size i earth related ad evirometal pheomea. Stochastic Evirometal Research ad Risk Assessmet (1):83 93. Modis, K. & K. Papaodysseus. 006. Theoretical estimatio of the critical samplig size for homogeeous orebodies with small ugget effect. Mathematical Geology 38(4):489 501. Siger, D. & F. Wickma. 1969. Probability tables for locatig elliptical targets with square, rectagular ad hexagoal poit ets. Special publicatio o 1-69. The Pesylvaia State Uiversity. Spiegel, M. 1977. Πιθανότητες και στατιστική. Αθήνα: ΕΣΠΙ. Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 Έστω ότι τα στατιστικά στοιχεία της εταιρείας «Εξορυκτική Α.Ε.» δείχνουν ότι στην περιοχή των 14,4 στρεμμάτων που πρόκειται να ερευνήσει με γεωτρήσεις υπάρχει τουλάχιστον ένας βωξιτικός φακός, οριζόντιας κυκλικής προβολής διαμέτρου 30 μέτρων, σε βάθος όχι μεγαλύτερο των 50 μέτρων. Η εταιρεία θέλει να εντοπίσει οπωσδήποτε τον φακό και αποφάσισε να ερευνήσει την περιοχή με κανονικό τριγωνικό κάνναβο γεωτρήσεων (οι γεωτρήσεις στα κέντρα ισόπλευρων τριγώνων). Εάν το κόστος των γεωτρήσεων ανέρχεται σε 150 ευρώ ανά μέτρο, να υπολογιστεί το ελάχιστο κόστος για τον εντοπισμό κοιτάσματος με 100% πιθανότητα. Απάντηση Στην Εικόνα 6.13 φαίνεται μια στοιχειώδης κυψελίδα τριγωνικού καννάβου με τη γεώτρηση σημειωμένη με πράσινη κουκίδα στο κέντρο. Οι γειτονικές γεωτρήσεις σχηματίζουν ένα κανονικό εξάγωνο (βλ. Εικόνα 6.1). Εικόνα 6.13 Οι γεωτρήσεις βρίσκονται στα κέντρα ισόπλευρων τριγώνων ή στις κορυφές κανονικών εξαγώνων. Ισχύει: d a d d d α 3 OA = OB + AB = + = α = d. 4 4 16 4

1 d 1 3 αλλά BA = BΓ = BΓ BΓ= d 3 4 3 4 3 3 d d 3 3 και ε = 4 = d = 0,3d = 88 16 E 14400 = = = 50 ε 88 μέτρα Συνολικό ποσό = 50 γεωτρήσεις 50 150 = 375.000 γεώτρηση μέτρο Κριτήριο αξιολόγησης Έστω ότι, κατά την έρευνα περιοχής με εμβαδόν Ε, επιθυμείται ο εντοπισμός κοιτάσματος κυκλικής προβολής, διαμέτρου d με πιθανότητα 100%. Να επιλεγεί ο αποτελεσματικότερος κάνναβος γεωτρήσεων μεταξύ τετραγωνικού και εξαγωνικού. Απάντηση Στην Εικόνα 6.14 φαίνεται μια στοιχειώδης κυψελίδα εξαγωνικού καννάβου με τη γεώτρηση σημειωμένη στο κέντρο. Οι γειτονικές γεωτρήσεις σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο (βλ. Εικόνα 6.1). Εικόνα 6.14 Οι γεωτρήσεις βρίσκονται στα κέντρα κανονικών εξαγώνων ή στις κορυφές ισόπλευρων τριγώνων. (α) Τετραγωνικός κάνναβος: Όπως έχουμε δει και στην ενότητα 6..3, όταν η προβολή του σώματος που αναζητείται είναι κύκλος με διάμετρο d και επιθυμείται η πιθανότητα εντοπισμού να είναι 100%, τότε ο τετραγωνικός κάνναβος θα πρέπει να έχει πλευρά α d τ =.