Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ο µετασχηµατισµός Ζ Ψηφιακό (A/D Conversion) Μαθηµατική Ανάλυση της ιαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος σε Αναλογικό (D/A Conversion) Συστήµατα (στο χώρο συχνότητας) από δειγµατοληπτικά δεδοµένα
Κεφάλαιο 2: Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Μετατροπέας A/D(A/D converter) : µετατρέπει ένα αναλογικό σήµα (δηλ. µία συνάρτηση συνεχούς χρόνου και µε συνεχές πεδίο τιµών) σε ψηφιακό (συνάρτηση διακριτού χρόνου και µε διακριτό πεδίο τιµών), δηλαδή σε µία χρονοσειρά από bytes. ρα σαν ενδιάµεσος φορέας (interface) µεταξύ ενός αναλογικού συστήµατος & ενός ψηφιακού συστήµατος που οδηγείται από το αναλογικό. 2
Αναλογοψηφιακή Μετατροπή Η συσκευή δειγµατοληψίας & παρακράτησης σήµατος (Sample & Hold -S/H): τµήµα του A/D που χρησιµοποιείται για πραγµατοποίηση ταχείας δειγµατοληψίας ενός αναλογικού σήµατος και παρακράτηση του δείγµατος µέχρι που να ζητηθεί η επανάληψη νέας δειγµατοληψίας. Αυτό γίνεται γιατί ο κβαντιστής, που ακολουθεί, απαιτεί κάποιο χρόνο για να µετατρέψει τα αναλογικά σήµατα εισόδου σε ψηφιακά και αν το σήµα εισόδου του άλλαζε κατά την διάρκεια αυτού του χρόνου θα έδινε εσφαλµένα αποτελέσµατα. Ο κβαντιστής (quantizer) είναι το τµήµα του A/D που λαµβάνει ως είσοδο το σήµα (διακριτού χρόνου) δειγµατοληψίας από τον S/H και το κωδικοποιεί σε διακριτό πεδίο τιµών. Ένας από τους κλασσικούς κβαντιστές είναι αυτός του τύπου διαδοχικής προσέγγισης (successive approximation). 3
Αναλογοψηφιακοί Μετατροπείς: Χαρακτηριστικά q Εύρος Εισόδου ιακριτότητα ή επίπεδο κβαντισµού, q. Το επίπεδο κβαντισµού είναι πολύ T µικρό όταν ο αριθµός των bits που χρησιµοποιείται για την παράσταση του ψηφιακού σήµατος είναι µεγάλος πράγµα που ισχύει στην σύγχρονη τεχνολογία όπου (Ν = 32, 64, 28). = υ υ max min ( N 2 ) Χρόνος Μετατροπής Λόγω της σύγχρονης τεχνολογίας ηλεκτρονικών ο χρόνος µετατροπής είναι πολύ µικρός. f ( t) f(0) f T t f(t) f(2t) f(nt) 4
Αναλογοψηφιακοί Μετατροπείς: Χαρακτηριστικά f(0) f(t) f(2t) f(nt) ( 0) δ δ + f ( 2T ) δ ( t 2T ) + f t = f t + f T t T + δ f t = f kt t kt k=0= 0 f ( t) F ( s) = L f ( t) = L f ( kt ) δ ( t kt ) = k= 0 δ = f kt L t kt = k= 0 k T s F s = L f t = f kt e k= 0 f t k T s ( ) = L δ t kt e 5
Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Είναι προφανής η σηµασία της περιόδου δειγµατοληψίας Τ στην παράσταση του σήµατος από δειγµατοληψία. Θεώρηµα ειγµατοληψίας : (Nyquist - Shannon) Εάν ένα αναλογικό σήµα δεν εµπεριέχει καµιά συχνότητα υψηλότερη της ω c (rad/sec), τότε µπορεί να χαρακτηρισθεί εντελώς από τις τιµές του σήµατος που µετρώνται σε στιγµές που ισαπέχουν κατά T s =π/ω c. Στην πράξη T<<T s. k T s F ( s) = Η παραπάνω µορφή της f ( kt ) e δεν k = 0 είναι ανάλογη των γνωστών µας πολυωνυµικών. ΟΜΩΣ µέσω της σύµµορφης απεικόνισης T s z e s l n z τ ό τε T ln k T k = 0 = = F s = z = f ( kt ) z = F ( z) Αυτός είναι ο µετασχηµατισµός-ζ του που ορίζεται ως Ζ = = F z f t F s L f t s= ln z s= ln z T T 6
Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D = Y ( z) = G ( z) R( z) Y s G s R s = Y z G z D z 2 = D z G z R z } Y z = G z G z R z 2 G G z G z G z 2 2 = = Y z Z G2 s G s R z G2G z R z 7
Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος σε Αναλογικό (D/Α Conversion) Ψηφιοαναλογικός Μετατροπέας (D/A converter): συσκευή µετατροπής ενός ψηφιακού σήµατος (συνάρτηση διακριτού χρόνου - διακριτού πεδίου τιµών) σε αναλογικό (δηλ. συνάρτηση συνεχούς χρόνου - συνεχούς πεδίου τιµών). Αυτή η συσκευή είναι απαραίτητη σαν ενδιάµεσος φορέας (interface) µεταξύ ενός αναλογικού συστήµατος και ενός ψηφιακού συστήµατος που οδηγεί το αναλογικό. χρησιµοποιείται για µετατροπή ψηφιακών τιµών σε τιµή τάσης χρησιµοποιείται για προσέγγιση του σήµατος µεταξύ των στιγµών ανανέωσης κρατώντας ουσιαστικά σταθερή την τελευταία τιµή 8
Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή Ηλεκτρονική Υλοποίηση Μαθηµατική Ανάλυση ιαδικασίας D/A Ο αριθµός bits που χρησιµοποιείται για την παράσταση του ψηφιακού σήµατος είναι µεγάλος (Ν = 32, 64, 28) Μπορεί εποµένως να αγνοηθεί ο decoder οπότε αρκεί να δούµε την επίδραση του ΖΟΗ, το οποίο υλοποιεί την συνάρτηση E Er R r E0 = R f I f, I f = I0 = E0 = 6R 6R Σε µία ψηφιακή τιµή αντιστοιχεί I b b b b = b 2 n n n 2 i i= b b2 bn Er 0 = + + 2 n 3 2 2 2 R f n i /, ( ) ) uk t = u t t k T k + T = = u k T us t us t T 9
Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή /, ( ) ) uk t = u t t k T k + T = u k T us t us t T Gh o ( s) T s e e Gh ( s) = L u o s t us t T = L us t L us t T = = s s s T s z= e st G = h o ( z) 0
Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή = R( z) H z = = Y z Z G s Gh o s R z G z R z T s T s e G s e G s G s G ( z) = Z G ( s) Z Z ( z ) Z s = = s s s
Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή s = R( z) H z = = Y z Z G s Gh o s R z G z R z ( z ) Z 2 ( z ) s ( z ) T s T s e G s e G s G s G ( z) = Z G( s) Z Z ( z ) Z s = = = s s s Tz T = = = 2 z 2
Παράρτηµα: ο Μετασχηµατισµός Ζ F ( z) = Ζ f ( t) = F ( s) L f ( t) = = L f ( kt ) δ ( t k T ) = s= ln z s= ln z T T k = 0 s= ln z T k T s = f ( kt ) L δ ( t k T ) = f ( kt ) e = f ( kt ) z k = 0 0 s= ln z k = s= ln z k = 0 T T Ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του µετασχηµατισµού Ζ µίας συνάρτησης δοσµένης σε µορφή Laplace F s N s = k n,, 2,, D s ξ n = k µε πόλους είναι: k 3
Παράρτηµα: ο Μετασχηµατισµός Ζ, συνεχ. Απλοί Πόλοι F z ( ξn ) ( ξ ) k N dd = D ( ξ ) = ξ ξn T n n= D n e z d ( ξ ) ξ = ξ n Παράδειγµα: Z us t =? N s L us ( t ) = = D ( ξ ) = s D s F z = z ξ = 0 Μπορούµε επίσης να χρησιµοποιήσουµε και Πίνακα... 4
5
Παράρτηµα: ο Μετασχηµατισµός Ζ, συνεχ. Ενώ όταν οι πόλοι έχουν πολλαπλότητα mn ο καθένας m n i mn i i mn m d k n ( ) K T s d ( n ) ni e s ξ F s F ( z) = K mn i n = i i n= i= ( mn i)! ds ( i )! ds s= s ξn s= ln z T Παράδειγµα: s= ξ n Z [ t] sin ω =? ω N s L[ sinωt] = = ξ 2 2,2 = ± jω s + ω D s D ( ξ ) = 2ξ D ( ξ,2 ) = ± 2 jω z sinωt F ( z) = = 2 2 j ω T jωt j e z e z z 2z cosωt + 6
Παράρτηµα: Ιδιότητες Μετασχηµατισµού Ζ ± = ± a F ( z) n ( ) =. Z f t f2 t F z F2 z 2. Z a f t = 3. Z f t nt z F z n n k Z f ( t + nt ) = z F ( z) f ( kt ) z k = 0 at ± at 4. Z e f ( t) = F ( ze ) 5. f 0 lim f kt lim F z if lim F z exists = = k 0 z z = ( ) ( ) 6. lim f kt lim z F z if lim z F z exists 7. 8. k z z (, ) F ( z, a) f t a Z = a a k F z F z Z f nt f kt nt = ( ) 2 2 n= 0 7
f k T = Z F z Παράρτηµα: Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Ζ Ο πιο συνήθης τρόπος αντίστροφου µετασχηµατισµού είναι η αποσύνθεση σε απλά κλάσµατα και παράγοντες που είναι σε µία από τις µορφές που ευρίσκονται σε ένα πίνακα µετασχηµατισµών. Παράδειγµα: ( at e ) z ( )( at z z e ) f ( k T ) = Z =? F ( z) A B z z F ( z) f ( kt ) e at at z = z + z e = z z e = akt 8