ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ

Transcript

1 Σωστός σχεδιασµός C ( z ) οδηγεί σε u() t = uc(), t t = kt, k =,,... Για το σχεδιασµό και υλοποίηση της C ( z) απαιτείται βασικά γνώση του µετασχηµατισµού z Ορισµός µετασχηµατισµού z Ζ [ ] ( ) = i f () i F z f() i z f = i= (για i<, ) i Π.χ. f () i i z = a Ζ a i = z a /8

2 [ β ] ( ) [ ] k ( ) k Ζ af () i + g() i = af z + βg( z) Ζ f ( i+ k) = z F z f( i) z Π.χ. i= 2 i+ z z k Ζ a = z a = z a z a f () = lim F( z) z lim f ( kh) lim( z ) F( z) k z Αν F( z) = N( z) D( z) Ιδιότητες µετασχηµατισµού z = εάν ρίζες (F(z)=)) < πρέπει οι ρίζες του D(z)= να βρίσκονται εντός του µοναδιαίου κύκλου n (( + ) ) = [ ( ) ] Z f k n h z F z F όπου [ f kh ] F( z) =Ζ ( ) και n F ( z) = f( jh) z j= n j 2 /8

3 Είσοδος Βηµατική (kh) Ράµπα Εκθετικό t in( ωt) / e t T co( t) Laplace 2 T + T ω 2 2 +ω + ω ω coh( t) ω ω z z z hz ( z ) 2 z z h/ T e zin( ωh) 2 z 2zco( ωh) + zz ( co( ωh)) z 2zco( ωh) + zz ( coh( ωh)) z 2zcoh( ωh) + 3 /8

4 Έστω όπου ο διακριτός ελεγκτής προσδιορίζεται από την εξίσωση διαφορών: aui ( n)... aui () ei () n = Ζ [ e] = E( z) [ ()] = au( z) Z aui n n [ ( )] ( ) Z aui n azu z n + = ( u(), u(),..., u( n ) = ) n n ( az az... an ) U( z) E( z) ( ) U z = ( ) E z = az + az + + a n n... n n n az + az a n 4 /8

5 Ζητείται ο Μετασχηµατισµός C () C () z Ηγενική µορφή της συνάρτησης µεταφοράς ενός διακριτού ελεγκτή ( ) m b + bz bm z n a + az anz k C z = z, b k c Αλγόριθµος υλοποίησης U( z) Αν C ( z) = E z ( ) ( m ) = ( n ) ( ) k m n Ezz ( ) b bz... bz Uz ( ) a az... az, mn, 5 /8

6 Υπολογισµός του αντίστροφου µετασχηµατισµού z b e( i k) + be( i k ) b e( i k m) = a u( i) a u( i n) m n Το µόνο άγνωστο στην παραπάνω σχέση είναι το είναι στοιχεία για στιγµές που είναι γνωστά). t i ui () (τα υπόλοιπα u( i) = be( i k) bme( i k m) au ( i )... + anu( i n) a [ ] 6 /8

7 z-domain: z e T = -Domain: η Μέθοδος ιακριτοποίησης Impule Invariant Tranformation (IIT) Κρατά αναλλοίωτη την κρουστική απόκριση - w(t) Κρουστική απόκριση t ut () = wt ( τ )( eτ) τ 7 /8

8 ec uc ίνεται uc A An = C = + + e + a + a c c ( )... n L A + a = t Ae at z Az G z = + + A z n ( )... at a T z e z e n Az Z i ant i Ae i, n=,,... at i z e 8 /8

9 3 Π.χ. C () =, +.4 κρουστική απόκριση 3e.4 t C κρουστική απόκριση 3z () z =.4.4T z e nt 3 e, T S = ec 9 /8

10 C ( ) jωt ω = απόκριση στο πεδίο της συχνότητας z e C ( ω) Συσχέτιση µε C ( ) c ω Επιθυµητό C ( ω) = C ( ω), ω Αλλά c j l2π ( ω + ) j( ωt + l2 π) T T jωt e = e = e, l =,2,... /8

11 Το διάγραµµα C ( ω) παρουσιάζει µια περιοδικότητα (µε συχνότητα 2π ) T 2π T C 2π ω + = Τ C ( ω ) /8

12 Πλεονεκτήµατα ΙΙΤ-Μεθόδου C ( z ) C () + ) έχει ίδια κρουστική απόκριση µε τις χρονικές στιγµές nt, n =,,... C () c C ( z) + 2) Αν είναι ευσταθής ευσταθής c Μειονεκτήµατα ΙΙΤ-Μεθόδου -) C ( ω) C ( ω) c -2) Η απαιτούµενη ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα είναι χρονοβόρος διαδικασία 2 /8

13 Η ΙΙΤ-Μέθοδος εξασφαλίζει την ταύτιση των τιµών ανάµεσα στην κρουστική απόκριση του συνεχούς και του διακριτού συστήµατος τις χρονικές στιγµές T,2 T,... Ποια η συµπεριφορά του συστήµατος τις χρονικές στιγµές ανάµεσα στα σηµεία δειγµατοληψίας; 3 /8

14 εδοµένου των δειγµάτων u(kh), k=,,.ενός σήµατος u(t), µπορεί να αναπαραχθεί το σήµα ; ut () t Θεώρηµα Shannon Εστω u(t) µε µετασχηµατισµό Fourier U ( ω) = ω > ω Το σήµα u(t) προσδιορίζεται πλήρως (και µε µοναδικό τρόπο) από τις δειγµατοληφθείσες 2π τιµές, αν η συχνότητα δειγµατοληψίας ω = > 2ω h ( t kh) ( t kh) + in ω 2 ut () = ukh ( ) ω 2 k = 4 /8

15 ( t kh) ( t kh) + in ω 2 ut () = ukh ( ) ω 2 k= Σχεδιασµός ψηφιακού ελεγκτή + iωt iωt U( ω) = e u( t) t ut () = e U( ω) ω + + U ( ω) = U( ω + kω ) h k = Φάσµαδειγµατοληφθέντος σήµατος 2π ω = h 5 /8

16 Π.χ. ut () = in 2π t 2 T.5 Impule repone T π U ( ω) = ω > ω = Τ Από το θεώρηµα Shannon προκύπτει η συνθήκη για τη συχνότητα δειγµατοληψίας T T < 2 6 /8

17 ω > 2ω Αν U µε ( ω) h + k = c e k ikhω ω ikhω ck = e U( ω) ω ω ck = U( kh) 7 /8

18 ω < 2ω Αν U(ω) -ω -ω ω ω ω U (ω) ω -ω-ω -ω -ω ω -ω+ω ω-ω ω ω+ω Υπάρχει παραµόρφωση και δεν µπορεί να αναδηµιουργηθεί το σήµα 8 /8