υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 7. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyrigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All righs reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. - 7. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εκπαιδευτική Ενότητα7 η Μοντελοποίηση δοκού µεταβλητής διαµέτρου σε εφελκυσµό µε τη Μέθοδο των Πεπερασµένων Στοιχείων Γενικά Στην προηγούµενη Εκπαιδευτική Ενότητα, παρουσιάσθηκε η βασική ιδέα σχετικά µε τον τρόπο µοντελοποίησης συστηµάτων συνεχούς µέσου. Πιο συγκεκριµένα, παρουσιάστηκε η διαδικασία κατάστρωσης της εξίσωσης κίνησης, µε τη βοήθεια της Ενεργειακής Αρχής agrange, ορισµένων εκ των πλέον απλών περιπτώσεων ενός συνεχούς µέσου. Στην παρούσα Εκπαιδευτική Ενότητα θα σχολιασθεί η γενίκευση της εν λόγω διαδικασίας και θα επιλυθούν δύο τυπικά παραδείγµατα: µία εφελκυόµενη δοκός µεταβλητής διατοµής δύο Βαθµών Ελευθερίας και µία εφελκυόµενη δοκός τεσσάρων Βαθµών Ελευθερίας. ιατύπωση Πεπερασµένου Στοιχείου οκού σε εφελκυσµό µέσω της Ενεργειακής Αρχής agrange Έστω µονόπακτη δοκός (βλ. Σχήµα α) και έστω ένα τµήµα αυτής (βλ. Σχήµα β), κατά το µήκος του οποίου τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες υλικού παραµένουν σταθερές. Η δοκός του Σχήµατος α διαθέτει δύο τέτοια τµήµατα: ένα τµήµα µεταξύ των θέσεων και, και ένα τµήµα µεταξύ των θέσεων και. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, καθένα από αυτά τα τµήµατα, έχει το δικό του µήκος, διαθέτει τη δική του διατοµή και είναι κατασκευασµένο από διαφορετικό υλικό. ρ, Α, E, ρ, Α, E, () () x X, X,, (α) (β) (γ) X,,, X Σχήµα : Μονόπακτη δοκός µεταβλητής διατοµής σε εφελκυσµό: (α) σχηµατική απεικόνιση δοκού, (β) µοντελοποίηση τµήµατος της δοκού και (γ) γενίκευση µοντελοποίησης Για λόγους ευκολίας στην περιγραφή των τµηµάτων, αποδίδουµε σε καθένα από αυτά έναν αύξοντα αριθµό, έστω. Με άλλα λόγια, αποδίδουµε σε κάθε τµήµα µία αριθµητική ταυτότητα. Για παράδειγµα, στο Σχήµα α, διακρίνουµε τα τµήµατα µε τους αύξοντες αριθµούς = και =. Γεωµετρικά, κάθε τµήµα της δοκού περιγράφεται από τα δύο άκρα του. Για λόγους ευκολίας στην περιγραφή των άκρων, αυθαίρετα ορίζουµε το ένα άκρο ως αρχή και το άλλο άκρο ως πέρας του τµήµατος. Επίσης, πάλι για λόγους ευκολίας περιγραφής, είναι δυνατόν να χρησιµοποιήσουµε τους συµβολισµούς, και, προκειµένου να δηλωθεί η αρχή ( ) και το πέρας ( ) του τµήµατος. Για παράδειγµα (βλ. Σχήµα γ), η συντεταγµένη X, αφορά στην αρχή του τµήµατος, ενώ η µετατόπιση, αφορά στο πέρας του τµήµατος. Με βάση τον ανωτέρω συµβολισµό, το τµήµα έχει - 7.3 -
µήκος, διαθέτει διατοµή µε εµβαδόν γραµµικό υλικό πυκνότητας υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - A και έστω ότι είναι κατασκευασµένο από ρ και µέτρου ελαστικότητας E. Επίσης, για το εν λόγω τµήµα, οι µετατοπίσεις των άκρων του είναι, και,, αντίστοιχα, ενώ οι εξωτερικά ασκούµενες δυνάµεις στα άκρα του τµήµατος είναι, και,, αντίστοιχα. Για το τυχαίο, λοιπόν, τµήµα θα καταστρωθεί η εξίσωση κίνησης, ή, ισοδύναµα, η εξίσωση δυναµικής ισορροπίας. Επειδή, δε, το εν λόγω τµήµα έχει πεπερασµένο µήκος, καλείται και πεπερασµένο στοιχείο δοκού σε εφελκυσµό. Ολοκληρωτική διατύπωση ενεργειακών όρων στην εξίσωση agrange Με βάση όσα παρουσιάσθηκαν στην Εκπαιδευτική Ενότητα 6, έπεται ότι: Η κινητική ενέργεια T του τµήµατος ισούται µε: Η δυναµική ενέργεια T = dt = ρ A dx T = ρ A dx () U του τµήµατος ισούται µε: U = du = E A dx U = A E dx ' ' () Στο τµήµα δεν διαχέεται ενέργεια P C,, διότι θεωρήθηκε ότι το υλικό του τµήµατος είναι γραµµικά ελαστικό, άρα δεν εµφανίζει απόσβεση, οπότε ισχύει: P C, = (3) Η εξωτερική ισχύς P,, η οποία προσφέρεται στο τµήµα, ισούται µε: P = + (4),,,,, Παρεµβολή κινηµατικού µεγέθους Για τον υπολογισµό των ενεργειακών όρων των Εξ.(,) απαιτείται η περιγραφή της µετατόπισης ( X, ). Η πλέον απλή θεώρηση, η οποία, όπως αναφέρθηκε και στην προηγούµενη Εκπαιδευτική Ενότητα, αποτελεί και τη βάση µοντελοποίησης των συνεχών συστηµάτων, είναι η γραµµική παρεµβολή: (, ),,,,,,,, X = c X + c X c c R (5) όπου c, και c, είναι προσδιοριστέοι συντελεστές. Η Εξ.(5) ισχύει για όλο το τµήµα (δηλαδή, για X, ), εποµένως, θα πρέπει να ισχύει και για τα άκρα του τµήµατος αυτού. Αυτό σηµαίνει ότι ισχύουν τα ακόλουθα: - 7.4 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για την αρχή του τµήµατος Πρόκειται για τη θέση του τµήµατος µε συντεταγµένη X =. Από την Εξ.(5) προκύπτει:,=,,,,, X = : X, = c X + c = c (6) Για το πέρας του τµήµατος Πρόκειται για τη θέση του τµήµατος µε συντεταγµένη X =. Από την Εξ.(5) προκύπτει:, = (, ) X = : X, = c X + c = c + c (7),,,,, Οι Εξ.(6,7) σχηµατίζουν ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους (τους συντελεστές c, και c, ), ενώ οι µετατοπίσεις, και, αποτελούν τις ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές (Βαθµοί Ελευθερίας) του τµήµατος:, = c, c,,, c, c, c =, = +, (8) Από την επίλυση του ανωτέρω συστήµατος, προκύπτει: c, ( ),,,,,,,, = = = c, =, ( ) ( ) ( ) ( ) c c,,,, = = =, =, (9) () Εισάγοντας τις Εξ.(9,) στην Εξ.(5), προκύπτει: (,,) X, = X +, X, (), Η Εξ.(), µε αναδιάταξη των όρων, γράφεται και ως εξής: X X X X ( X, ) =,, +, =, +,, X, N, ( X) N, ( X) () Στην Εξ.(), είναι δυνατόν να ορισθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις παρεµβολής (ή, ισοδύναµα, συναρτήσεις µορφής): - 7.5 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - X N, ( X) =, X, X N, ( X) =, X, (3) (4) Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων παρεµβολής παρουσιάζονται στο Σχήµα. N, N, X X (α) (β) Σχήµα : Συναρτήσεις παρεµβολής τµήµατος δοκού σε εφελκυσµό: (α) συνάρτηση N, ( X ) και (β) συνάρτηση N ( X ), Η Εξ.() περιγράφει τον µαθηµατικό τρόπο µε τον οποίο υπολογίζεται η µετατόπιση (, ) X σε οποιαδήποτε θέση Xτου τµήµατος. Η ποιοτική ερµηνεία της Εξ.() είναι πολύ απλή: η τιµή των µετατοπίσεων, ( X, ) και, (, ) συνεισφέρουν στην τιµή της µετατόπισης (, ) X στα άκρα του τµήµατος X οποιασδήποτε θέσης X, σύµφωνα µε τον τρόπο που περιγράφουν οι συναρτήσεις παρεµβολής, N X και Σχηµατικά, η Εξ.() είναι δυνατόν να αναπαρασταθεί όπως φαίνεται στο Σχήµα 3. (, ) = X, N, X N,, N X. +,, X, X Σχήµα 3: Σχηµατικά αναπαράσταση της Εξ.() Επίσης, από την Εξ.() προκύπτουν οι ακόλουθοι, χρήσιµοι στην εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής agrange, όροι: Η πρώτη χρονική παράγωγος της µετατόπισης ισούται µε: d X X X X ( X, ) =, +, =, +,, X, d (5) Η πρώτη χωρική παράγωγος της µετατόπισης ισούται µε: d X X ( X, ) =, +, =, +,, X, dx (6) - 7.6 -
Υπολογισµός ενεργειακών όρων στην εξίσωση agrange Εισάγοντας τις Εξ.(5,6) στις Εξ.(,), προκύπτει: Η κινητική ενέργεια T του τµήµατος ισούται µε: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - X X T = ρ A,, dx + X = X X X X T = ρ A,,,, dx + + X = X T = ρ A, dx X = X X + ρ A,, dx X = X + ρ A, dx (7) Από τη Γραµµική Άλγεβρα, αναγνωρίζουµε ότι η Εξ.(7) αποτελεί µία τετραγωνική έκφραση, η οποία, σε µητρωϊκή γραφή, λαµβάνει την ακόλουθη µορφή: X X X ( ρ A) dx ( ρ A) dx X X = = m, m, T =,,, X X, X ( ρ A) dx X ( ρ A) dx = m m,, T (8) Στην Εξ.(7), οι συνιστώσες του µητρώου (αναλυτικός υπολογισµός παρατίθεται στο Παράρτηµα Α ): έχουν διαστάσεις µάζας και είναι ίσοι µε X ρ A, = ( ρ ) = ( ρ ), = 3 3 m A dx A m (9) X X ρ A m, = m, = ρ A dx = ρ A m, = m,= 6 6 X = () X ρ A, = ρ = ρ, = 3 3 m A dx A m () - 7.7 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Ο συνδυασµός των Εξ.(8,9,,) δίδει την ακόλουθη γραφή για την κινητική ενέργεια: ρ A ρ A m, m,, 3 6, T =,,,, m, m, =, ρ A ρ A, 6 3 () Ισοδύναµα, η Εξ.(), παρατηρώντας και ότι m, = m,, γράφεται ως εξής: T = m,, + m,,, + m,, (3) Η δυναµική ενέργεια U του τµήµατος ισούται µε: ' U = AE ( ) dx AE,, dx = + X X = = U = AE,,,, dx + + X = U = AE, dx AE,, dx AE, dx + + X X = = AE AE AE U =, dx,, dx +, dx X = A E A E A E U =,,, +, (4) Από τη Γραµµική Άλγεβρα, αναγνωρίζουµε ότι και η Εξ.(4) αποτελεί µία τετραγωνική έκφραση. Στη συγκεκριµένη περίπτωση, η µητρωϊκή µορφή της εξίσωσης είναι: AE AE k, k,, U =,, A, E AE k, k, T (5) Στην Εξ.(5), οι συνιστώσες του µητρώου εκφράζουν δυσκαµψία και είναι ίσοι µε: k AE = k =,, k και,, AE = k = (6) - 7.8 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Ισοδύναµα, η Εξ.(6), παρατηρώντας και ότι k, = k,, γράφεται ως εξής: U = k,, + k,,, + k,, (7) Εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής agrange Οι ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές του εξεταζοµένου τµήµατος είναι οι (οριζόντιες) µετατοπίσεις, και,, οι οποίες αποτελούν και τους Βαθµούς Ελευθερίας του εν λόγω τµήµατος. Συνεπώς, θα πρέπει να εφαρµοσθεί η Ενεργειακή Αρχή agrange για καθένα από αυτούς τους Βαθµούς Ελευθερίας. Εφαρµόζοντας την Ενεργειακή Αρχή agrange, κατά τα γνωστά, για τον Βαθµό Ελευθερίας q=,, προκύπτουν τα ακόλουθα: Η ενεργειακή µεταβλητή agrange του τµήµατος, ισούται µε: Συνεπώς, από το συνδυασµό των Εξ.(3,7,8), προκύπτει: = T U (8) = T U = m,, + m,,, + m,, k,, + k,,, + k,, (9) Για τον αδρανειακό όρο, ισχύει: ( T U ) q=, Εξ. 9 = = m,, + m,, q,,, (3) Παραγωγίζοντας την Εξ.(3) ως προς το χρόνο, προκύπτει: d d = m + m = m + m d, d ( ),,,,,,,, (3) Για τον όρο ελαστικότητας, ισχύει: ( T U ) q=, Εξ. 9 = = + q,,, ( k,, k,, ) (3) Για τον όρο διάχυσης, ισχύει: PC, q= P, C, PC = ( ) = q,,, (33) - 7.9 -
Για τον όρο διέγερσης, ισχύει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - P P P ( ), q=,,, =,, +,, =, q,,, (34) Η µαθηµατική έκφραση για την Ενεργειακή Αρχή agrange είναι: P P + = q q q q C,, (35) Αντικαθιστώντας στην Εξ.(35) µε τις Εξ.(3,3,33,34), προκύπτει: m + m + k + k = (36),,,,,,,,, Επαναλαµβάνοντας την προηγηθείσα διαδικασία για τον Βαθµό Ελευθερίας q=,, προκύπτουν τα ακόλουθα: Για τον αδρανειακό όρο, ισχύει: ( T U ) q=, Εξ. 9 = = + q,,, ( m,, m,, ) (37) Παραγωγίζοντας την Εξ.(37) ως προς το χρόνο, προκύπτει: d d = m + m = m + m d, d ( ),,,,,,,, (38) Για τον όρο ελαστικότητας, ισχύει: ( T U ) q=, Εξ. 9 = = + q,,, ( k,, k,, ) (39) Για τον όρο διάχυσης, ισχύει: PC, q= P, C, PC, = ( ) = q,,, (4) Για τον όρο διέγερσης, ισχύει: P P P ( ), q=,,, =,, +,, =, q,,, (4) Αντικαθιστώντας στην Εξ.(35) µε τις Εξ.(38,39,4,4), προκύπτει: m + m + k + k = (4),,,,,,,,, Οι Εξ.(36,4), σε µητρωϊκή γραφή, λαµβάνουν την ακόλουθη µορφή: - 7. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - m, m,, k, k,,, m, m +, k,, k =,,, δυν άµεις αδρανείας δυν άµεις ελαστικότητας εξωτερικές δυν άµεις (43) Στη συγκεκριµένη εξίσωση, αναγνωρίζουµε τις ακόλουθες ποσότητες: Σταθερός συντελεστής (µητρώο µάζας) στον όρο αδρανείας: ρ A ρ A m m 3 6 m, m, ρ A ρ A 6 3,, = = (44) Σταθερός συντελεστής (µητρώο δυσκαµψίας) στον όρο ελαστικότητας: AE AE k, k, = k, k =, AE AE (45) Εξωτερική διέγερση:, =, (46) Απόκριση:, =, (47) Η Εξ.(43) αφορά σε ένα οποιοδήποτε τυχαίο τµήµα (βλ. Σχήµα γ) µίας εφελκυόµενης δοκού και εµπλέκει δύο ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές. Μία ειδική περίπτωση είναι εκείνη κατά την οποία το ένα από τα δύο άκρα του εν λόγω τµήµατος αποτελεί σηµείο στήριξης της δοκού. Από µαθηµατικής απόψεως, η συνθήκη στήριξης εκφράζεται ως µηδενισµός του αντιστοίχου Βαθµού Ελευθερίας (όπως λέγεται, δεσµεύεται ο αντίστοιχος Βαθµός Ελευθερίας ). Αυτή η περίπτωση εξετάζεται στην επόµενη παράγραφο., X, X,,, X, X,, X X, = (α),,, = Σχήµα 4: Μοντελοποίηση στηριζόµενου τµήµατος δοκού: (α) η στήριξη στην αρχή του τµήµατος και (β) η στήριξη στο πέρας του τµήµατος (β) - 7. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω ότι η αρχή του εφελκυοµένου τµήµατος αποτελεί σηµείο στήριξης (βλ. Σχήµα 4α). Ισοδύναµα, έστω ότι ο Βαθµός Ελευθερίας (ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή), είναι δεσµευµένος, δηλαδή αποκτά τη µηδενική, άρα συγκεκριµένη, τιµή:,( ) = (48) Συνεπώς, στο γραµµικό σύστηµα της Εξ.(43), δηλαδή στο γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων, εµπλέκεται πλέον µόνον µία άγνωστη ποσότητα (ο Βαθµός Ελευθερίας,,), δεδοµένου ότι ο άλλος άγνωστος (ο Βαθµός Ελευθερίας,,) έχει αποκτήσει συγκεκριµένη αριθµητική τιµή. Επίσης, είναι προφανές ότι, λόγω της Εξ.(48), οι αντίστοιχες χρονικές παράγωγοι µηδενίζονται: = = (49),, Για τον υπολογισµό του Βαθµού Ελευθερίας,, αρκεί να χρησιµοποιηθεί µία από τις δύο εξισώσεις του συστήµατος της Εξ.(43). Ο συνδυασµός των Εξ.(43,48,49) δίδει: m, m, k, k,, m m + = k k,,,,,,, Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(5), προκύπτει: m + k = m + k =,,,,,,,,,, (5) (5) Αφού, λοιπόν, είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί οποιαδήποτε από τις δύο ισότητες της Εξ.(5), επιλέγεται η δεύτερη ισότητα, η οποία γράφεται και ως εξής: m + = k,,,,, (5) Εάν το σηµείο στήριξης βρίσκεται στο πέρας του εφελκυοµένου τµήµατος (βλ. Σχήµα 4β) τότε, επαναλαµβάνοντας τις ίδιες σκέψεις, καταλήγουµε στην εξίσωση: m,,, k,, + = (53) Συνοψίζοντας, η Εξ.(43) είναι µια γραµµική ιαφορική Εξίσωση (.Ε.), η οποία περιγράφει την δυναµική ισορροπία σε µία εφελκυόµενη µακροσκοπική υποδιαίρεση ( τµήµα) µίας δοκού. Εάν η εν λόγω υποδιαίρεση περιλαµβάνει σηµείο στήριξης, τότε η Εξ.(43) λαµβάνει τη µορφή της Εξ.(5) ή της Εξ.(53). Ακριβώς επειδή η.ε. είναι γραµµική, υπόκειται στην αρχή της υπερθέσεως. Αυτό σηµαίνει ότι, εάν ένα δυναµικό σύστηµα αποτελείται από - 7. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - τµήµατα της µορφής του Σχήµατος γ, τότε, για την κατάστρωση της εξίσωσης κίνησης του συστήµατος, είναι δυνατή η εφαρµογή της ακόλουθης διαδικασίας: ιαδικασία # Βήµα : ιάκριση του συστήµατος σε τµήµατα (ισοδύναµα, σε πεπερασµένα στοιχεία ή υποφορείς) της µορφής του Σχήµατος γ Βήµα : Για κάθε τµήµα, καταγραφή της εξίσωσης δυναµικής ισορροπίας (Εξ.(43) ή Εξ.(5) ή Εξ.(53)) Βήµα 3: Σύνθεση (υπέρθεση) των εξισώσεων του προηγουµένου βήµατος Το ίδιο αποτέλεσµα προκύπτει και από την εφαρµογή της ακόλουθης διαδικασίας: ιαδικασία # Βήµα : ιάκριση του συστήµατος σε τµήµατα της µορφής του Σχήµατος γ Βήµα : Υπολογισµός των ενεργειακών όρων της Εξίσωσης agrange. Βήµα 3: Εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής agrange. Οι δύο ανωτέρω διαδικασίες είναι απολύτως ισοδύναµες και η µόνη διαφορά τους έγκειται στην ευκολία εφαρµογής τους. Ειδικότερα, πλεονεκτεί η πρώτη διαδικασία διότι χαρακτηρίζεται από επαναληψιµότητα και εύκολη διαχείριση πινάκων. Για την καλύτερη κατανόηση, στις επόµενες παραγράφους παρατίθενται δύο χαρακτηριστικές εφαρµογές. Εφαρµογή #: Εφελκυόµενη δοκός µεταβλητής διατοµής δύο Βαθµών Ελευθερίας Έστω η µονόπακτη δοκός (πρόβολος) του Σχήµατος 4, η οποία υπόκειται στις εφελκυστικές δυνάµεις και. Ζητείται η εξίσωση κίνησης της δοκού. ρ, Α, E, ρ, Α, E, () () x X, X, X, X,,, X,,, = (α) (β) (γ) Σχήµα 5: Μονόπακτη δοκός µεταβλητής διατοµής σε εφελκυσµό: (α) σχηµατική αναπαράσταση, (β) πεπερασµένο στοιχείο # και (γ) πεπερασµένο στοιχείο #,,, X Λύση Για τον εξεταζόµενο φορέα (δοκός εν προκειµένω), ισχύουν τα εξής: Είναι συµµετρικός ως προς τον διαµήκη άξονά του. Εξ αιτίας της στηρίξεώς του, παραµορφώνεται (δεν κινείται ως απολύτως στερεό σώµα). Θεωρείται ότι οι εξωτερικές δυνάµεις είναι αξονικές (ασκούνται κατά τον διαµήκη άξονά του), συνεπώς η παραµόρφωσή του είναι, οµοίως, αξονική. Θεωρείται ότι η παραµόρφωση είναι µικρή, άρα προσεγγίσεις πρώτης τάξεως (γραµµικές) είναι αποδεκτές. - 7.3 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Συνυπολογίζοντας όλα αυτά τα στοιχεία, έπεται ότι ο φορέας υπόκειται σε (καθαρό) εφελκυσµό, άρα είναι εφαρµόσιµα όσα αναφέρθηκαν προηγουµένως στην ιατύπωση Πεπερασµένου Στοιχείου οκού σε εφελκυσµό µέσω της Ενεργειακής Αρχής agrange. Για την κατάστρωση της εξίσωσης κίνησης, θα ακολουθηθεί πρώτα η ιαδικασία # και στη συνέχεια η ιαδικασία # Για τη ιαδικασία # Βήµα : ιάκριση του συστήµατος σε τµήµατα (υποφορείς) της µορφής του Σχήµατος γ Η δοθείσα δοκός είναι µεταβλητής διατοµής. Το τµήµα της δοκού µεταξύ των θέσεων και (βλ. Σχήµα 5α), έχει µήκος και διαθέτει διατοµή µε εµβαδόν A. Το τµήµα της δοκού µεταξύ των θέσεων και (βλ. Σχήµα 5), έχει µήκος και διαθέτει διατοµή µε εµβαδόν A. Και τα δύο τµήµατα της δοκού είναι κατασκευασµένα από γραµµικά ελαστικό υλικό πυκνότητας ρ και µέτρου ελαστικότητας E. Συνεπώς, η δοκός διακρίνεται σε δύο τµήµατα (υποφορείς), όπως απεικονίζεται στα Σχήµατα (5β,5γ). Βήµα : Για κάθε υποφορέα, καταγραφή της εξίσωσης δυναµικής ισορροπίας Για το Τµήµα #: Το τµήµα αυτό συµβολίζεται ως = και απεικονίζεται στο Σχήµα 5α. Η αρχή του τµήµατος αποτελεί σηµείο στήριξης, άρα ισχύει (βλ. Εξ.(5)): = : m,, ( + ) k =,, ( ), (54) Για το Τµήµα #: Το τµήµα αυτό συµβολίζεται ως =, απεικονίζεται στο Σχήµα 5β, ενώ δεν περιλαµβάνει σηµείο στήριξης. Συνεπώς, ισχύει (βλ. Εξ.(43)): m, m,, k, k,,, = : m, m +, k,, k =,,, (55) Βήµα 3: Σύνθεση (υπέρθεση) των εξισώσεων του προηγουµένου βήµατος Από το Σχήµα 5, προκύπτει ότι οι ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές (Βαθµοί Ελευθερίας) του προβλήµατος είναι δύο: οι µετατοπίσεις στις θέσεις και (µετατοπίσεις και, αντίστοιχα). Συνεπώς, η εξίσωση δυναµικής ισορροπίας θα είναι της µορφής: [ ] [ ] [ ]?????? + =?? : : : : [ ] : [ ] Στην Εξ.(56), πρέπει να υπολογισθούν τα µητρώα και, καθώς και το διάνυσµα. Προς τούτο, θα διατυπωθεί συλλογιστική, βάσει της οποίας τα στοιχεία των, και θα (56) - 7.4 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - συµπληρωθούν από τα στοιχεία των,,,,,. Ειδικότερα, παρατηρούµε ότι ισχύει η αντιστοιχία, η οποία περιγράφεται στον Πίνακα. Πίνακας : Αντιστοιχία µεταξύ θέσεων στο τµήµα και θέσεων στη δοκό Τµήµα = = Θέση στο τµήµα είκτης στα σύµβολα και στις Εξ.(54,55) Θέση στη δοκό : Αρχή, : Πέρας, : Αρχή, : Πέρας, Βάσει του Πίνακα, η Εξ.(54) γράφεται ως εξής: = ί m,, ( + ) k Πνακας,, ( = ), m, ( + = ) k, ( ) Οι µετατοπίσεις και οι δυνάµεις στην Εξ.(57) προέκυψαν ως εξής: Η µετατόπιση,( ) για το τµήµα = γράφεται ως, (57). Από τον Πίνακα, προκύπτει ότι η µετατόπιση µε δείκτη, αντιστοιχεί στη µετατόπιση της δοκού στη θέση, άρα αντιστοιχεί στη µετατόπιση ( ). Η εξωτερική δύναµη, για το τµήµα = γράφεται ως,. Από τον Πίνακα, προκύπτει ότι η εξωτερική δύναµη µε δείκτη, αντιστοιχεί στην εξωτερική δύναµη, η οποία ασκείται στη δοκό στη θέση, άρα αντιστοιχεί στην εξωτερική δύναµη. Επίσης, πάλι βάσει του Πίνακα, η Εξ.(55) γράφεται ως εξής: = Πίνακας m m k k m m m, m,, k, k,,, m, m, k, k, + = +,,,,,,,,, k, k =, ( ) Όπως και προηγουµένως, οι µετατοπίσεις και οι δυνάµεις στην Εξ.(58) προέκυψαν ως εξής: Η µετατόπιση,( ) για το τµήµα = γράφεται ως, (58). Σύµφωνα µε τον Πίνακα, η µετατόπιση µε δείκτη, αντιστοιχεί στη µετατόπιση της δοκού στη θέση, άρα αντιστοιχεί στη µετατόπιση ( ). Η εξωτερική δύναµη, για το τµήµα = γράφεται ως,. Από τον Πίνακα, προκύπτει ότι η εξωτερική δύναµη µε δείκτη, αντιστοιχεί στην εξωτερική δύναµη, η οποία ασκείται στη δοκό στη θέση, άρα αντιστοιχεί στην εξωτερική δύναµη. - 7.5 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Η µετατόπιση,( ) για το τµήµα = γράφεται ως,. Από τον Πίνακα, προκύπτει ότι η µετατόπιση µε δείκτη, αντιστοιχεί στη µετατόπιση της δοκού στη θέση, άρα αντιστοιχεί στη µετατόπιση ( ). Η εξωτερική δύναµη, για το τµήµα = γράφεται ως,. Από τον Πίνακα, η εξωτερική δύναµη µε δείκτη, αντιστοιχεί στην εξωτερική δύναµη, η οποία ασκείται στη δοκό στη θέση, άρα αντιστοιχεί στην εξωτερική δύναµη. Για τη συµπλήρωση της Εξ.(56) από τα στοιχεία της Εξ.(57), συγκρίνουµε µεταξύ τους τις δύο εξισώσεις. Στη συνέχεια, εισάγουµε τα στοιχεία του µητρώου στο µητρώο, έτσι ώστε να αναπαράγεται σωστά το γινόµενο. Κατόπιν, εισάγουµε τα στοιχεία του µητρώου στο µητρώο, µε αντίστοιχο τρόπο, δηλαδή έτσι ώστε να αναπαράγεται σωστά το γινόµενο παρακάτω εξίσωση:. Το αποτέλεσµα της ανωτέρω διαδικασίας φαίνεται στην [ ] [ ] [ ] m,? k,??? + =?? : : : : [ ] : [ ] Επαναλαµβάνουµε την ανωτέρω διαδικασία, προκειµένου να συµπληρωθεί η Εξ.(59) µε τα στοιχεία της Εξ.(58). Η µόνη διαφορά, σε αυτήν την περίπτωση, είναι ότι εάν εισάγεται ένα νέο στοιχείο, είτε στο µητρώο είτε στο µητρώο, σε θέση όπου ήδη υπάρχει στοιχείο, τότε αθροίζουµε τα στοιχεία αυτά µεταξύ τους (υπέρθεση). Το αποτέλεσµα της συµπλήρωσης της Εξ.(59) µε τα στοιχεία της Εξ.(58) φαίνεται στην παρακάτω εξίσωση: [ ] [ ] [ ] m, + m, m, k, + k, k, m, m +, k, k =, [ ] :[ ] : : : : Η Εξ.(6) αποτελεί την ζητούµενη εξίσωση κίνησης. (59) (6) Στο ίδιο ακριβώς αποτέλεσµα καταλήγουµε εάν ακολουθήσουµε τη ιαδικασία # (βλ. σελ. 7.3). Σε αυτήν την περίπτωση, ισχύουν τα ακόλουθα: Βήµα : ιάκριση του συστήµατος σε τµήµατα της µορφής του Σχήµατος γ Το βήµα αυτό είναι ακριβώς το ίδιο µε εκείνο της ιαδικασίας #. Βήµα : Υπολογισµός των ενεργειακών όρων της Εξίσωσης agrange. Η κινητική ενέργεια T της δοκού ισούται µε (βλ. Εξ.(3)): x= + (6) x= T = dt = dt+ dt = T + T - 7.6 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Η δυναµική ενέργεια U της δοκού ισούται µε: x= + (6) x= U = du = du+ du = U + U Στη δοκό δεν διαχέεται ισχύς διότι θεωρήθηκε ότι το υλικό του τµήµατος είναι γραµµικά ελαστικό, άρα δεν εµφανίζει απόσβεση, οπότε ισχύει: P = (63) Η εξωτερική ισχύς P, η οποία προσφέρεται στη δοκό, ισούται µε: C = P= + + P= + (64) Από τις Εξ.(3,7), από τον Πίνακα και από την ύπαρξη στήριξης στη θέση της δοκού (άρα = ), προκύπτουν τα ακόλουθα: Η κινητική ενέργεια T του τµήµατος = ισούται µε: T m m m = =,, +,,, +,, Πνακας ί T = m,, + m,,, + m,, = T = m, + m, + m, T = m, Η κινητική ενέργεια T του τµήµατος = ισούται µε: (65) T m m m = =,, +,,, +,, Πνακας ί T = m,, + m,,, + m,, T = m, + m, + m, (66) Η δυναµική ενέργεια U του τµήµατος = ισούται µε: U k k k = =,, +,,, +,, U= k,, + k,,, + k,, = U= k, + k, + k, - 7.7 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - U= k, (67) Η δυναµική ενέργεια U του τµήµατος = ισούται µε: U k k k U = k,, + k,,, + k,, = =,, +,,, +,, U = k, + k, + k, (68) Εποµένως, συνολικά για τη δοκό ισχύουν τα ακόλουθα: Η κινητική ενέργεια T της δοκού ισούται µε: T = T + T = m, + m, + m, + m, T = ( m, + m,) + m, + m, (69) Η δυναµική ενέργεια U της δοκού ισούται µε: U = U+ U = k, + k, + k, + k, U = k + k + k + k (,,),, (7) Η διάχυση ισχύος στη δοκό ισούται µε: Η εξωτερική ισχύς, η οποία προσφέρεται στη δοκό, ισούται µε: P = (7) C = (7) P= + + P= + Βήµα 3: Εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής agrange. Οι ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές (Βαθµοί Ελευθερίας) της δοκού είναι οι (οριζόντιες) µετατοπίσεις και. Κατά τα γνωστά, θα εφαρµοσθεί η Ενεργειακή Αρχή agrange για καθένα από αυτούς τους Βαθµούς Ελευθερίας. Για τον Βαθµό Ελευθερίας q=,, προκύπτουν τα ακόλουθα: Η ενεργειακή µεταβλητή agrange της δοκού, ισούται µε: = T U (73) - 7.8 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Συνεπώς, από το συνδυασµό των Εξ.(69,7,73), προκύπτει: = T U = ( m, + m,) + m, + m, + + + ( k, k,) k, k, (74) Για τον αδρανειακό όρο, ισχύει: Εξ ( m m ) m q= T U. 74 = = + + q,,, (75) Παραγωγίζοντας την Εξ.(75) ως προς το χρόνο, προκύπτει: d d = + + = + + d d (( m, m,) m, ) ( m, m,) m, (76) Για τον όρο ελαστικότητας, ισχύει: Εξ ( k k ) k q= T U. 74 = = + + q,,, (77) Για τον όρο διάχυσης, ισχύει: PC q= P C PC = ( ) = q (78) Για τον όρο διέγερσης, ισχύει: P q= P P = ( + ) = q (79) Η µαθηµατική έκφραση για την Ενεργειακή Αρχή agrange είναι: P P + = q q q q C,, (8) Αντικαθιστώντας στην Εξ.(8) µε τις Εξ.(76,77,78,79), προκύπτει: m + m + m + k + k + k = (8),,,,,, Για τον Βαθµό Ελευθερίας q=,, προκύπτουν τα ακόλουθα: Για τον αδρανειακό όρο, ισχύει: Εξ q= T U. 74 = = m, + m, q (8) - 7.9 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Παραγωγίζοντας την Εξ.(8) ως προς το χρόνο, προκύπτει: d d = m + m = m + m d d ( ),,,, (83) Για τον όρο ελαστικότητας, ισχύει: Εξ q= T U. 74 = = k, + k, q (84) Για τον όρο διάχυσης, ισχύει: PC q= P C PC = ( ) = q (85) Για τον όρο διέγερσης, ισχύει: P q= P P = ( + ) = q (86) Αντικαθιστώντας στην Εξ.(8) µε τις Εξ.(83,84,85,86), προκύπτει: m + m + k + k = (87),,,, Οι Εξ.(8,87), σε µητρωϊκή γραφή, λαµβάνουν την ακόλουθη µορφή: m, + m, m, k, + k, k, + = m ( ), m, k, k, δυν άµεις αδρανείας δυν άµεις ελαστικότητας εξωτερικές δυν άµεις (88) Η Εξ.(88) αποτελεί την εξίσωση κίνησης της δοκού και είναι ίδια µε την Εξ.(6). Συγκρίνοντας τις ιαδικασίες # και # µεταξύ τους, διαπιστώνουµε ότι στη ιαδικασία #, αν και είναι πολύ εύκολος ο υπολογισµός της κινητικής ενέργειας, της δυναµικής ενέργειας, της διάχυσης ισχύος και της εξωτερικά προσφερόµενης ισχύος, απαιτείται η εφαρµογή της εξίσωσης agrange για κάθε Βαθµό Ελευθερίας, υπολογισµός ο οποίος καθίσταται δυσχερής όσο αυξάνεται το πλήθος των Βαθµών Ελευθερίας του εξεταζοµένου συστήµατος. Αντιθέτως, το µεγάλο πλεονέκτηµα της ιαδικασίας # έγκειται στο γεγονός ότι η κατασκευή της τελικής εξίσωσης κίνησης επιτυγχάνεται µέσω της κατάλληλης υπέρθεσης πινάκων, τα στοιχεία των οποίων προκύπτουν άµεσα από τις Εξ.(44,45). Πρόκειται, λοιπόν, για µία απλή και εύκολα επαναλαµβανόµενη διαδικασία, βασικό σηµείο στην εκτέλεση της οποίας αποτελεί ο τρόπος συµπλήρωσης των µητρώων και από τα επί µέρους µητρώα και. Αυτή η διαδικαστική λεπτοµέρεια παρουσιάζεται λεπτοµερέστερα στην επόµενη εφαρµογή. - 7. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εφαρµογή #: Εφελκυόµενη δοκός τεσσάρων Βαθµών Ελευθερίας Έστω η µονόπακτη δοκός (πρόβολος) του Σχήµατος 6. Ζητείται η εξίσωση κίνησης της δοκού, στην περίπτωση κατά την οποία η δοκός υφίσταται αξονική φόρτιση. 3 4 x X, () () () 3 () 4 (), X, X,,, X,, X X, = 3 4,, (α) (β) (γ), Σχήµα 6: Μονόπακτη δοκός: (α) σχηµατική αναπαράσταση, (β) πεπερασµένο στοιχείο = και (γ) πεπερασµένο στοιχείο =, 3, 4 Λύση Η δοκός του Σχήµατος 6α διακρίνεται σε τέσσερα τµήµατα (τέσσερα πεπερασµένα στοιχεία). Για κάθε τµήµα θεωρείται ότι το κινηµατικό µέγεθος της µετατόπισης ακολουθεί γραµµική κατανοµή της µορφής:,, = c X + c (89) όπου c, και c, αποτελούν σταθερούς συντελεστές, ο προσδιορισµός των οποίων επιτυγχάνεται από την ικανοποίηση της Εξ.(89) στα άκρα του εκάστοτε τµήµατος (εάν η παρεµβολή είναι υψηλοτέρας τάξεως, π.χ. παραβολική, τότε εκτός των άκρων χρησιµοποιούνται και εσωτερικά σηµεία του τµήµατος). Εν γένει, το σηµείο στο οποίο ικανοποιείται η συνάρτηση παρεµβολής του κινηµατικού µεγέθους καλείται κόµβος. Συνεπώς, οι τέσσερεις υποδιαιρέσεις της εξεταζοµένης δοκού εµπλέκουν, συνολικά, πέντε κόµβους. Για την περιγραφή τους, αποδίδουµε σε κάθε κόµβο έναν αύξοντα αριθµό (η αρίθµηση πρέπει να είναι συνεχής). Από τη φύση του προβλήµατος (αξονική φόρτιση), κάθε κόµβος δύναται να µετατοπισθεί µόνον αξονικά. Η δυνατότητα µετατόπισης καλείται και Βαθµός Ελευθερίας. Συνεπώς, κάθε κόµβος χαρακτηρίζεται από έναν Βαθµό Ελευθερίας, για την περιγραφή των οποίων αποδίδουµε (σε κάθε Βαθµό Ελευθερίας) έναν αύξοντα αριθµό. Ο µαθηµατικός τρόπος απόδοσης αύξοντα αριθµού σε Βαθµό Ελευθερίας είναι πολύ απλός: Έστω ότι ασχολούµαστε µε τον κόµβο i, άρα έχουµε ήδη ασχοληθεί µε ( i ) κόµβους. Σε κάθε κόµβο, χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω ότι αποδίδονται n Βαθµοί Ελευθερίας. Για τους προηγηθέντες ( i ) κόµβους έχουν χρησιµοποιηθεί οι αριθµοί από το έως και το ( i ) n. Για τον κόµβο i, οι αντίστοιχοι Βαθµοί Ελευθερίας θα έχουν αύξοντες αριθµούς ίσους µε ( i ) n+, ( i ) n+,, ( ) i n+ n. Στην εξεταζόµενη περίπτωση, λόγω της φύσεως του προβλήµατος, σε κάθε κόµβο εµπλέκονται n= Βαθµοί Ελευθερίας. Συνεπώς, για τον κόµβο i, ο αντίστοιχος Βαθµός - 7. -
Ελευθερίας θα έχει αύξοντα αριθµό ίσο µε ( i ) υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - + = i. Στην εξεταζόµενη περίπτωση η αρίθµηση των κόµβων ταυτίζεται µε την αρίθµηση των Βαθµών Ελευθερίας (αυτό συµβαίνει µόνον όταν εµπλέκεται ένας Βαθµός Ελευθερίας ανά κόµβο). Με βάση την προαναφερθείσα τεχνική, συµπληρώνεται ο Πίνακας, στον οποίο αποτυπώνεται η αρίθµηση των κόµβων και των αντιστοίχων Βαθµών Ελευθερίας. Πίνακας : Αρίθµηση Βαθµών Ελευθερίας Στοιχείο = = = 3 = 4 Κόµβος 3 3 4 4 5 Μετατόπιση 3 3 4 Βαθµός Ελευθερίας # # # #3 #3 #4 #4 #5 Η Εξ.(43), η οποία επαναλαµβάνεται για λόγους πληρότητας του κειµένου, εκφράζει τη δυναµική ισορροπία του στοιχείου: m, m,, k, k,,, m, m +, k,, k =,,, (9) Όπως προκύπτει από την Εξ.(9), τα µητρώα και κάθε στοιχείου απευθύνονται στους συγκεκριµένους Βαθµούς Ελευθερίας, και,, τους οποίους είναι δυνατόν να εντοπίσουµε, µε τη βοήθεια του Πίνακα. Η εξίσωση δυναµικής ισορροπίας ολόκληρης της δοκού είναι της ακόλουθης µορφής:? +? = 3 3 3 4 4 4 Με βάση τον ορισµό των επί µέρους µητρώων και (9) καθώς και την αρίθµηση των Βαθµών Ελευθερίας του Πίνακα, επιτυγχάνεται η συµπλήρωση των µητρώων και ολόκληρης της δοκού από τα επί µέρους µητρώα και και το µητρώο δυσκαµψίας για το στοιχείο είναι (βλ. Εξ.(44,45)):. Ειδικότερα, το µητρώο µάζας ρ A ρ A m m 3 6 m, m, ρ A ρ A 6 3,, = = AE AE k, k, = k, k =, AE AE (9) - 7. -
Συνεπώς, τα επί µέρους µητρώα µάζας υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ισούνται µε: ρa ρa m, m, 3 6 = m, m =, ρa ρa 6 3 ρ A ρ A m, m, 3 6 = m, m =, ρ A ρ A 6 3 (93) 3 ρ3a3 3 ρ3a3 3 m3, m3, 3 6 = m3, m = 3, ρ3a3 3 ρ3a3 3 6 3 4 ρ4 A4 4 ρ4 A4 4 m4, m4, 3 6 = m4, m = 4, ρ4 A4 4 ρ4 A4 4 6 3 (94) Τα, δε, επί µέρους µητρώα δυσκαµψίας 3 A E A E k, k, = k, k =, A E A E A3 E 3 A3 E 3 k 3, k3, 3 3 = k3, k = 3, A3 E 3 A3 E 3 3 3 ισούνται µε: 4 A E A E k, k, = k, k = (95), A E A E A4 E 4 A4 E 4 k 4, k4, 4 4 = k4, k = 4, A4 E 4 A4 E 4 4 4 Σύµφωνα µε τον Πίνακα, το στοιχείο = εµπλέκει τους Βαθµούς Ελευθερίας # και # (µετατοπίσεις, ). Συνεπώς, τα στοιχεία των µητρώων, θα τοποθετηθούν στα µητρώα, και στις θέσεις που αντιστοιχούν στους Βαθµούς Ελευθερίας # και #: (96) m, m, k, k, m, m, k, k, + = 3 3 3 4 4 4 (97) Σύµφωνα µε τον Πίνακα, το στοιχείο = εµπλέκει τους Βαθµούς Ελευθερίας # και #3 (µετατοπίσεις, ). Συνεπώς, τα στοιχεία των µητρώων, θα τοποθετηθούν στα µητρώα, και στις θέσεις που αντιστοιχούν στους Βαθµούς Ελευθερίας # και #3: m, m, k, k, m, m, m, m, k, k, k, k, + + m, m, + k, k, = 3 3 4 4 3 4 (98) - 7.3 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Σύµφωνα µε τον Πίνακα, το στοιχείο = 3 εµπλέκει τους Βαθµούς Ελευθερίας #3 και #4 (µετατοπίσεις, 3 ). Συνεπώς, τα στοιχεία των µητρώων, θα τοποθετηθούν στα µητρώα, και στις θέσεις που αντιστοιχούν στους Βαθµούς Ελευθερίας #3 και #4: m, m, k, k, m, m, + m, m, k, k, + k, k, (99) m, m,+ m3, m3, + k, k,+ k3, k3, = m3, m3, 3 k3, k3, 3 3 4 4 4 Σύµφωνα µε τον Πίνακα, το στοιχείο = 4 εµπλέκει τους Βαθµούς Ελευθερίας #4 και #5 (µετατοπίσεις 3, 4 ) και τα µητρώα, συµπληρώνονται από τα 4, 4 ως εξής: m, m, k, k, m, m, m, m, + k, k, + k, k, ( ) () m, m, + m3, m3, + k, k,+ k3, k3, = m3, m3, + m4, m4, 3 k3, k3,+ k4, k4,3 3 m4, m4, 4 k4, k 4, 4 4 Λόγω της στήριξης (οριακή συνθήκη προβλήµατος: = ), από την Εξ.(5), προκύπτει: m k m k = + = + =,,,,,,,,,, Π m, ( ) k, ( ) ίνακας + = () Ενηµερώνοντας την Εξ.() µε την Εξ.(), τελικά προκύπτει:,,, m + m m k, + k, k, m, m, + m3, m3, + k, k, + k m3, m3, + m4, m4, 3 m m ( ) () 3, k3, = k3, k3,+ k4, k4,3 3 k4, k 4, 4 4 4, 4, 4 ιαπιστώνουµε ότι στην Εξ.() είναι δυνατόν να διαγραφεί η πρώτη γραµµή και η πρώτη στήλη των µητρώων,, δηλαδή ισχύει: m, + m, m, m, m, + m3, m3, m m + m m m m 3, 3, 4, 4, 4, 4, k, + k, k, + k, k,+ k3, k3, 3 k k + k k 4 k k 3, 3, 4, 4, 4, 4, (3) = 3 3 4 4 Η διαγραφή της πρώτης στήλης οφείλεται στο γεγονός ότι πολλαπλασιασµός επί µηδενικό στοιχείο δίδει µηδενική τιµή, συνεπώς όλοι οι συντελεστές της πρώτης στήλης του µητρώου, πολλαπλασιαζόµενοι επί =, δίδουν µηδενικές τιµές, άρα δεν συµµετέχουν στο σύστηµα της Εξ.(3). Επίσης, επειδή είναι µηδενική ( =, πολλαπλασιαζόµενοι επί = έπεται ότι και η δεύτερη χρονική παράγωγος ). Συνεπώς, όλοι οι συντελεστές της πρώτης στήλης του µητρώου =, δίδουν, οµοίως, µηδενική τιµή, άρα ούτε και αυτοί - 7.4 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - συµµετέχουν στο σύστηµα της Εξ.(3). Η διαγραφή της πρώτης γραµµής οφείλεται στο γεγονός ότι αφού µία κινηµατική µεταβλητή αποκτά συγκεκριµένη τιµή (στην προκειµένη περίπτωση, η κινηµατική µεταβλητή αποκτά τη µηδενική τιµή, έπεται ότι το πλήθος των αγνώστων κινηµατικών µεταβλητών του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος µειώνεται κατά έναν άγνωστο. Αυτό σηµαίνει ότι επιτρέπεται η αποµάκρυνση (διαγραφή) µίας (οποιασδήποτε) εξίσωσης από το αρχικό σύστηµα εξισώσεων (δηλαδή από το σύστηµα της Εξ.(3)). Επιλέγεται να διαγραφεί η πρώτη εξίσωση, δηλαδή η εξίσωση η οποία εµπεριέχει τη δύναµη, η οποία ασκείται στη στήριξη (αντίδραση). Με αυτήν την επιλογή απαλλασσόµαστε από µία εξωτερική δύναµη, η οποία, αρχικά, είναι άγνωστη ( εν γνωρίζουµε από την αρχή τις αντιδράσεις στα σηµεία στήριξης. Αυτές τις δυνάµεις τις υπολογίζουµε σε δεύτερο χρόνο). Με βάση όλα τα ανωτέρω, τελικά προκύπτει η εξίσωση: m, + m, m, k, + k, k, m, m, m3, m3, + k, k,+ k3, k3, ( ) + = m3, m3, + m4, m 4, k 3 3, k3,+ k4, k 4, 3 3 m4, m4, k 4 4, k4, 4 4 (4) Η Εξ.(4) αποτελεί τη ζητούµενη εξίσωση κίνησης. Παρατηρήσεις Στις προηγηθείσες εφαρµογές, παρουσιάσθηκε η βασική ιδέα της Μεθόδου των Πεπερασµένων Στοιχείων (inie Elemen ehod), η οποία συνοψίζεται σε δύο παραδοχές: Παραδοχή περί τµηµατικά συνεχούς κατανοµής της κινηµατικής κατάστασης του εξεταζοµένου σώµατος Παραδοχή περί µη-µηδενικής τιµής των συναρτήσεων παρεµβολής των στοιχείων, τα οποία συντρέχουν σε έναν κόµβο (ισοδύναµα, των στοιχείων που συνδέονται στον ίδιο Βαθµό Ελευθερίας). Συνεπώς, η κατασκευή της εξίσωσης δυναµικής ισορροπίας ενός συνεχούς µέσου είναι δυνατή εφαρµόζοντας την Ενεργειακή Αρχή agrange στο εν λόγω µέσο. Εναλλακτικά, το ίδιο αποτέλεσµα λαµβάνεται µέσω ενός συστηµατικού τρόπου κατασκευής των µητρώων µάζας και δυσκαµψίας οποιουδήποτε δυναµικού συστήµατος συνεχούς µέσου, αθροίζοντας κατάλληλα τα µητρώα µάζας και δυσκαµψίας των επί µέρους στοιχείων στα οποία διακριτοποιείται το συνεχές µέσο. Όσον αφορά στην επιλογή των διαµερίσεων, στις οποίες πρέπει να διακριτοποιηθεί ένα συνεχές µέσο, το βασικό κριτήριο είναι η γεωµετρία του συνεχούς µέσου. Ο Μηχανικός έχει στη διάθεσή του τη δυνατότητα να επιλέξει µεταξύ πολλών δυνατοτήτων σχετικά µε τη διαµέριση, όπως να αυξήσει το πλήθος των διαµερίσεων (π.χ. κοντά σε σύνορα µε υψηλές συγκεντρώσεις τάσεως) ή να αυξήσει την τάξη της παρεµβολής (π.χ. παραβολική αντί γραµµική) ή και τα δύο αυτά µαζί. Όλα αυτά εξετάζονται µε περισσότερες λεπτοµέρειες στα µαθήµατα του 6 ου και 7 ου εξαµήνου Ανάλυση Μηχανολογικών Κατασκευών Ι & ΙΙ. - 7.5 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Υπολογισµός ολοκληρωµάτων στον όρο αδρανείας Ολοκλήρωµα προς υπολογισµό: x= X m = ρ A dx x= X Αλλαγή µεταβλητής: a= da= dx dx = da X Αλλαγή ορίων ολοκλήρωσης: a= a= Άρα, ισχύει: X = a=, a x= a= a= 3 a= X a ρ A = ρ = ρ ρ ρ = = = 3 3 x= a= a= a= m A dx A a da A a da A Ολοκλήρωµα προς υπολογισµό: x= x= X X X X m = ρ A dx ρ A dx = x x = = X Αλλαγή µεταβλητής: a= da= dx dx = da X Αλλαγή ορίων ολοκλήρωσης: a= a= Άρα, ισχύει: X = a=, a x= a= a= X X m = ρ A dx = ρ A ( a a ) da= ρ A ( a a ) da x = a= a= 3 a= a a ρ A ρ ρ m = A = A m 3 = 3 6 a= Ολοκλήρωµα προς υπολογισµό: x= X m = ρ A dx x= X Αλλαγή µεταβλητής: a= da= dx dx = da X Αλλαγή ορίων ολοκλήρωσης: a= a= Άρα, ισχύει: X = a=, a x= a= a= 3 a= X a ρ A = ρ = ρ = ρ = ρ = 3 3 x= a= a= a= m A dx A a da A a da A - 7.6 -