Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση 4 5 Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων
25 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια
Περιεχόμενα Μη-γραμμικά Δυναμικά Συστήματα Υπολογισμός Σημείων Ισορροπίας Ανάλυση Διαγράμματος Φάσεων Γραμμικοποίηση Μη-γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων Εκτίμηση Ευστάθειας Σημείου Ισορροπίας Παράδειγμα
Πότε ένα δυναμικό σύστημα είναι μη γραμμικό? Μη-γραμμικά Δυναμικά Συστήματα
Επανάληψη: Μορφές Δυναμικών Εξισώσεων Ένα μοντέλο μπορεί να περιγραφεί με δύο είδη Δυναμ. Εξισώσεων. Δυναμικές Εξισώσεις ως προς τους Βαθμούς Ελευθερίας q q = h q (q, q, f(t)) Σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης Περιγράφουν πως οι Μ εξωτερικές διεγέρσεις f επιδρούν στους Ν βαθμούς ελευθερίας q 2. Δυναμικές Εξισώσεις ως προς τις Μεταβλητές Κατάστασης x x = h x (x, f(t)) Σύστημα S ΣΔΕ ης τάξης Περιγράφουν πως οι Μ εξωτερικές διεγέρσεις f επιδρούν στις S μεταβλητές κατάστασης x
Επανάληψη: Μορφές Δυναμικών Εξισώσεων. Δυναμικές Εξισώσεις ως προς Βαθμούς Ελευθερίας q Γενική μορφή (μη-γραμμικές δυν. εξισώσεις) M(q) q + C(q) q + K(q) q = G(q) f(t) Ειδική περίπτωση (γραμμικές δυν εξισώσεις) M q + C q + K q = G f(t) Τα μητρώα M, C, K, G δεν εξαρτώνται από τους Β.Ε. 2. Δυναμικές Εξισώσεις ως προς Μεταβλητές Κατάστασης x Γενική μορφή (μη-γραμμικές δυν. εξισώσεις) x = h x (x, f t ) Ειδική περίπτωση (γραμμικές δυν. εξισώσεις) x = Α x + Β f(t)
Μη-Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα Περιγράφονται από μη-γραμμικές Δυναμικές Εξισώσεις Είτε ως προς τους Β.Ε. q είτε ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ως προς τις Μ.Κ. x. Εδώ, η περιγραφή θα χρησιμοποιήσει κυρίως ΣΔΕ ως προς τις x Εξωτερικές Διεγέρσεις f(t) q = h q (q, q, f(t)) Έξοδοι y(t) Εξωτερικές Διεγέρσεις f(t) Ισοδύναμα x = h x (x, f t ) Έξοδοι y(t)
Πηγές μη-γραμμικότητας. Ένα σύστημα περιέχει μη-γραμμικά στοιχεία Η τιμή της παραμέτρου του στοιχείου εξαρτάται από την κατάσταση του Παραδείγματα: Μη γραμμικό ελατήριο: f(x) = k x sign(x) Μη γραμμική πτώση πίεσης σε ακροφύσιο: δp(q) = c O Q Q 2. Ένα μηχανικό σύστημα περιέχει μόνο γραμμικά στοιχεία αλλά λόγω κινητικής διάφοροι όροι στις εξισώσεις Lagrange είναι μη-γραμμικοί Μ q q + C q + Κ q = ξ nonlin (q, q) + ξ grav (q) + G f(t)
Ανάλυση Μη-γραμμικών Συστημάτων Τα περισσότερα συστήματα είναι μη-γραμμικα Μπορούν να περιγραφούν από πολύπλοκα μη-γραμμικά μοντέλα Και όμως, πολλές φορές ένα απλό γραμμικό μοντέλο μπορεί να τα αναλύσει ικανοποιητικά Πολύ πιο πολύπλοκη και πλούσια συμπεριφορά συγκριτικά με τα γραμμικά Αντικείμενο για άλλα πιο προηγμένα μαθήματα Συνήθως δεν μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά η απόκριση τους ακόμα και σε απλές διεγέρσεις Εδώ: Βασικά αλλά ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΑ εργαλεία ανάλυσης
Πως υπολογίζονται στην γενική περίπτωση Υπολογισμός Σημείων Ισορροπίας
Σημεία Ισορροπίας Για την γενική μορφή των δυναμικών εξισώσεων ως προς τις Μ.Κ. x x = h x (x, f(t)) σημείο ισορροπίας (Σ.Ι.) θεωρείται μια σταθερή (χρονικά αμετάβλητη) κατάσταση x όπου μπορεί να καταλήξει το σύστημα για κάποια σταθερή διέγερση f : x = = h x (x, f ) Σημειώσεις: Συνήθως τα Σ.Ι. υπολογίζονται για την περίπτωση f = Ένα μη γραμμικό δυν. σύστημα μπορεί να έχει,, ή παραπάνω από ένα Σ.Ι. Ένα γραμμικό δυν. σύστημα έχει πάντα σημείο ισορροπίας!!
Υπολογισμός Σημείων Ισορροπίας Τα σημεία ισορροπίας x (για δεδομένη f ) υπολογίζονται λύνοντας το ακόλουθο μη-γραμμικό σύστημα S εξισώσεων h x x, f h x x, f = = h xs x, f Για συστήματα με λίγες Μ.Κ. οι λύσεις x των παραπάνω S εξισώσεων υπολογίζονται αναλυτικά, αριθμητικά, ή γραφικά Για συστήματα με πολλές Μ.Κ. η επίλυση των παραπάνω S εξισώσεων γίνεται μόνο αριθμητικά και είναι αρκετά δύσκολη
Γραφικός Υπολογισμός Σημείων Ισορροπίας Σε συστήματα με S = 2 Μ.Κ. x = x T Ο υπολογισμός των Σ.Ι. x μπορεί να γίνει λύνοντας γραφικά μέσω του διαγράμματος φάσης το εξής σύστημα: h x x, f = h x x,, f = h x2 x,, f = Η μέθοδος αυτή εκτός από τον υπολογισμό των Σ.Ι. x μπορεί να βοηθήσει στην εκτίμηση της ευστάθειας τους (βλέπε παρακάτω).
Περιγράφοντας την δυναμική με γραφικό τρόπο Ανάλυση Δυναμικών Εξισώσεων 2 ης Τάξης Μέσω Διαγράμματος Φάσεων
Διαγράμματα Φάσεων σε Γραμμικές ΣΔΕ 2 ης Τάξης Μια γραμμική ΣΔΕ 2 ης τάξης χωρίς διέγερση έχει ως μοναδικό σημείο ισορροπίας το x =. Αυτό που αλλάζει είναι ο τρόπος απόκρισης γύρω από το x.5 =, = 2.5 =, =.4 5 =, = rad/sec =, = 2 rad/sec =, = 4 rad/sec 6 4 2 =.5, =. dy(t)/dt -.5 dy(t)/dt -.5 u(t) -5 dy(t)/dt -2 - - -.5.5 y(t) - - -.5.5 y(t) - -2-2 y(t) -4-6 -3-2 - 2 3 y(t)
Δυναμικές Εξισώσεις ως προς Μ.Κ. Οι δυναμικές εξισώσεις για ενα γραμμικό σύστημα 2 ης τάξης q + 2 ζ ω q + ω 2 q = f(t) Μια δυνατή επιλογή για Μ.Κ. x είναι x = x x = q 2 q Οι δυναμικές εξισώσεις ως προς τις Μ.Κ. x είναι: d q dt q = ω 2 2 ζ ω q q + f(t) Οπότε ως προς την μορφή x = h x (x, f(t)) οι δύο συναρτήσεις h x είναι: h x (x, f(t)) = q h x2 x, f t = 2 ζ ω q ω 2 q + f(t)
Αναλυτικός Υπολογισμός Σημειών Ισορροπίας Το σημείο ισορροπίας x για f = υπολογίζεται θέτωντας h x x, = h x2 x, = ω 2 2 ζ ω q q = To παραπάνω 2 2 γραμμικό σύστημα έχει σαν μοναδική λύση x = q q = Η λύση παριστάνει την αρχή των αξόνων των Μ.Κ., ανεξάρτητα από τις παραμέτρους ζ και ω του συστήματος
Γραφικός Υπολογισμός Σημειών Ισορροπίας Λύνοντας την h x x, = ως προς προκύπτει μια ευθεία στο Δ.Φ.: q = Η οποία χωρίζει το επίπεδο των Μ.Κ. σε δύο περιοχές Στην μια h x x, > M.K. q αυξάνεται Στην άλλη h x x, < η M.K. q μειώνεται q > q < * Το σχήμα παρουσιάζει την ένταση h x x, = dq/dt.5 -.5 h (x,) η η η - - -.5.5 x = q
Γραφικός Υπολογισμός Σημειών Ισορροπίας Λύνοντας την h x2 x, = ως προς προκύπτει μια ευθεία στο Δ.Φ.: 2 ζ ω q ω 2 q = q = ω 2 ζ q Η οποία χωρίζει το Δ.Φ. σε δύο περιοχές Στην μια h x2 x, > M.K. q αυξάνεται (ζ>) Στην άλλη h x2 x, < 2 η M.K. q μειώνεται (ζ>) q > q < * Το σχήμα παρουσιάζει την ένταση h x2 x, = dq/dt.5 -.5 h 2 (x,)= η 2 η η - - -.5.5 x = q
Γραφικός Υπολογισμός Σημειών Ισορροπίας Αναπαριστώντας τις δύο παραπάνω καμπύλες h x x, = και h x2 x, = στο επίπεδο των Μ.Κ. Οι δύο καμπύλες τέμνονται στο μοναδικό Σ.Ι. q = = rad/sec, =.5 q = = dq/dt.5 -.5 h (x,) h 2 (x,)= - - -.5.5 x = q
Γραφική Περιγραφή Απόκρισης Αναπαριστώντας τις δύο παραπάνω καμπύλες h x x, = και h x2 x, = στο επίπεδο των Μ.Κ. προκύπτουν τέσσερεις περιοχές που περιγράφουν την απόκριση = rad/sec, =.5 Η απόκριση x(t) στο Δ.Φ. εφάπτεται του διανυσματικού πεδίου h x x, = dq/dt.5 -.5 h (x,) h 2 (x,)= Απόκριση σε αρχικές συνθήκες (f =, x =.9, x = ) σε σύστημα 2 ης τάξης - - -.5.5 x = q
Διαγράμματα Φάσεων σε Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης Απόκριση ευσταθών γραμμικών συστημάτων 2 ης τάξης (ζ > ): = rad/sec, = 2 = rad/sec, =.5 h 2 (x,)= = dq/dt.5 h 2 (x,)= h (x,) = dq/dt.5 h (x,) -.5 -.5 - - -.5.5 x = q - - -.5.5 x = q
Διαγράμματα Φάσεων σε Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης Απόκριση γραμμικών συστημάτων 2 ης χωρίς απόσβεση (ζ = ):.5 = rad/sec, = h 2 (x,)= = dq/dt -.5 h (x,) - - -.5.5 x = q
Διαγράμματα Φάσεων σε Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης Απόκριση ασταθών γραμμικών συστημάτων 2 ης τάξης (ζ < ) : = rad/sec, = -.5 h 2 (x,)= = rad/sec, = -2 = dq/dt.5 h (x,) = dq/dt.5 h (x,) h 2 (x,)= -.5 -.5 - - -.5.5 x = q - - -.5.5 x = q
Διαγράμματα Φάσεων σε Μη-Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης Σε μη-γραμμικά συστήματα Οι συναρτήσεις h xi x, f δεν είναι γραμμικές. Τα συστήματα έχουν πολύ μεγαλύτερη ποικιλία συμπεριφορών σε σύγκριση με τα γραμμικά Οι καμπύλες h xi x, = δεν είναι αναγκαστικά ευθείες Μπορούν να έχουν,, ή > σημεία ισορροπίας
Παράδειγμα Ανάλυσης Διαγράμματος Φάσεων σε Μη-Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης Κίνηση εκρεμούς (μη-γραμμικό σύστημα 2 ης τάξης) m L 2 θ + c T θ + m g L sin(θ) = τ(t) Μη-γραμμικές Δυναμικές Εξισώσεις ως προς Μ.Κ. x = θ θ T : d θ dt θ = h x x, f θ = h x2 x, f c T m L 2 θ g L sin(θ) + m L 2 τ(t)
Διάγραμμα φάσεων στην περίπτωση = και τ = c T m L 2 = g L Παράδειγμα Ανάλυσης Διαγράμματος Φάσεων σε Μη-Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης 2 Σημεία ισορροπίας: h 2 (x,)= Οι καμπύλες h x x, = και h x2 x, = τέμνονται σε δύο σημεία ισορροπίας: = d /dt x h (x,)= x = και = π - -2 2 3 4 5 x =
Διάγραμμα φάσεων στην περίπτωση = και τ = c T m L 2 = g L Παράδειγμα Ανάλυσης Διαγράμματος Φάσεων σε Μη-Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης 2 = dq/dt.5 -.5 h (x,) = rad/sec, =.5 h 2 (x,)= = dq/dt.5 -.5 h (x,) = rad/sec, = -.5 h 2 (x,)= Γύρω από τα σημεία ισορροπίας, η μορφή του διανυσματικού πεδίου θυμίζει γραμμικά συστήματα δεύτερης τάξης Θυμίζει περίπτωση ζ > κοντά στο x Θυμίζει περίπτωση ζ < κοντά στο = d /dt - -2 - - -.5.5 x = q x - - -.5.5 x = q h 2 (x,)= h (x,)= 2 3 4 5 x =
Επεκτάσεις Η παραπάνω ανάλυση δίνει μια ποιοτική εκτίμηση για την συμπεριφορά μη-γραμμικών δυναμικών συστημάτων 2 ης τάξης Παράδειγμα «διακόπτη» bistable switch d dt x = x + a + β + a 2 +x γ a, a 2, β, γ παράμετροι 2.2 2.8 a =a 2 =2, = =3 3 2.5 2 a =a 2 =2, = =3.6.6.4.2.8.6.4..2.3.4.5.6 a =a =2 x, = =3 2.5.5.5.5 2 3 x
Μέθοδος κλειδί.. Γραμμικοποίηση Μη-γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων Γύρω από ένα Σημείο Ισορροπίας
Γραμμικοποίηση: Γενική Ιδέα Ξεκινώντας από το σετ S μη-γραμμικών δυναμικών εξισώσεων που περιγράφουν ένα μη-γραμμικό σύστημα x = h x (x, f t ) Προκύπτει ένα σετ S γραμμικών δυναμικών εξισώσεων δ x = Α δx + Β δf(t) δx(t) = x(t) x είναι η απόκλιση των Μ.Κ. από το σημείο ισορροπίας x δf(t) = f(t) f είναι η απόκλιση της διέγερσης από την σταθερή διέγερση f για την οποία προέκυψε το σημείο ισορροπίας x Το παραπάνω σετ των γραμμικοποιημένων εξισώσεων περιγράφει ικανοποιητικά το σύστημα «γύρω» από ένα σημείο ισορροπίας Ισχύει για σχετικά «μικρές» τιμές των δx και δf Η απόκριση γύρω από κάθε σημείο περιγράφεται από διαφορετικό σετ γραμμικοποιημένων εξισώσεων
Γραμμικοποίηση: Γενική Ιδέα Το εκρεμμές περιγράφεται από τις μηγραμμικές δυναμικές εξισώσεις Κοντά στο Σ.Ι. x = το δυναμικό σύστημα περιγράφεται από τις δ x = Α δx + Β δf(t) Οι γραμμικές δυν. εξισώσεις δεν ισχύουν όταν απομακρυνόμαστε από το x Αντίστοιχα, κοντά στο Σ.Ι. = π το δυν. σύστημα περιγράφεται από τις -2 δ = Α 2 δ + Β 2 δf(t) 2 3 4 5 = d /dt = dq/dt 2 -.5 -.5 h (x,) - - -.5.5 x = q x = rad/sec, =.5 h 2 (x,)= δx x = h 2 (x,)= h (x,)=
Γραμμικοποίηση: Πράξεις To σετ των γραμμικοποιημένων δυναμικών εξισώσεων δ x = Α δx + Β δf(t) γύρω από το σημείο ισορροπίας x που προκύπτει για διέγερση f Α = h x (x,f) x x,f και Β = όπου δx(t) = x(t) x και δf(t) = f(t) f h x (x,f) f x,f Τα μητρώα Α και Β είναι ιακωβιανοί πίνακες A i,j = h xi(x,f) x j και B i,j = h xi(x,f) f j
η μέθοδος του Lyapunov Εκτίμηση Ευστάθειας Σημείου Ισορροπίας σε Μη-γραμμικές Δυναμικές Εξισώσεις
Ευστάθεια Σημείου Ισορροπίας Ένα σημείο ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθές αν μετά από μια μικρή απόκλιση δx από το Σ.Ι., το σύστημα θα επιστρέψει στο ΣΙ (καθώς t τότε δx ) Ένα σημείο ισορροπίας είναι ασταθές αν μετά από μια μικρή απόκλιση δx από το Σ.Ι., το σύστημα απομακρίνεται περισσότερο από το Σ.Ι. όσο περνά ο χρόνος (καθώς t τότε δx αυξάνεται) Η ευστάθεια είναι ιδιότητα του συστήματος και μπορεί να διαφέρει για κάθε σημείο ισορροπίας
Ευστάθεια Σημείου Ισορροπίας Ασυμπτωτικά ευσταθές Σ.Ι. Μετά από μια μικρή απόκλιση από το Σ.Ι., το σύστημα επιστρέφει στο ΣΙ 2 Ασταθές Σ.Ι. Μετά από μια μικρή απόκλιση από το Σ.Ι., το σύστημα απομακρυνεται ακόμα περισσότερο από το Σ.Ι. h 2 (x,)= = d /dt x h (x,)= - -2 2 3 4 5 x =
Σημεία Ισορροπίας και Ευστάθεια σε Γραμμικοποιημένα Δυναμικά Συστήματα Το γραμμικοποιημένο σύστημα (Γ.Σ.) δ x = Α δx + Β δf(t) έχει (εξ ορισμού) μοναδικό Σ.Ι. το δx = Επειδή ένα γραμμικό δυν. σύστημα έχει ένα σημείο ισορροπίας, η ευστάθεια του μοναδικού Σ.Ι. περιγράφει ολόκληρο το Γ.Σ. Αντίθετα σε ένα μη-γραμμικό σύστημα κάθε Σ.Ι. μπορεί να έχει άλλο τύπο ευστάθειας Η ευστάθεια του Γ.Σ. εξαρτάται από τις ιδιοτιμές λ i του πίνακα Α Αν Re λ i <, i τo Γ.Σ. είναι ασυμπτωτικά ευσταθές Αν Re λ i i τo Γ.Σ. είναι οριακά ευσταθές Αν Re λ i > έστω και για μια ιδιοτιμή τo Γ.Σ. είναι ασταθές
Εκτίμηση Ευστάθειας Σ.Ι. Μέσω του Γραμμικοποιημένού Δυναμικού Συστήματος Έστω το Σ.Ι. x του δυναμικού συστήματος x = h x (x, f t ) για f Οι αντίστοιχες γραμμικοποιημένες δυν. εξισώσεις γύρω από το x : δ x = Α δx + Β δf(t) Η πρώτη μέθοδος του Lyapunov εκτιμά την ευστάθεια του Σ.Ι. x με βάση την ευστάθεια του γραμμικοποιημένου συστήματος Ιδιοτιμές λ i του πίνακα Α Ευστάθεια γραμμικοποιημ. συστήματος Ευστάθεια του Σ.Ι. x Re λ i <, i Ασυμπτωτικά ευσταθές Ασυμπτωτικά ευσταθές Re λ i, i Οριακά ευσταθές Η μέθοδος αυτή δεν μπορεί να δώσει συμπέρασμα Re λ i > για κάποια ιδιοτιμή Ασταθές Ασταθές
Παράδειγμα Μέθοδος κλειδί..
Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς Βαθμός ελευθερίας: q = θ Μεταβλητές κατάστασης: x = θ θ T Κατάστρωση δυν. Εξισώσεων μέσω Lagrange T = 2 m L2 θ 2 V = m g L cos(θ) δw = δq (τ t c T θ) Δυναμικές εξισώσεις ως προς τον Β.Ε.: m L 2 θ + c T θ + m g L sin(θ) = τ(t) Δυναμικές εξισώσεις ως προς τα Μ.Κ.: d dt θ θ = h x x, f θ h x2 x, f = c T m L 2 θ g L sin(θ) + m L 2 τ(t)
Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς Διάγραμμα φάσεων 2 h 2 (x,)= = d /dt x h (x,)= Σημεία ισορροπίας (για f = ): Οι καμπύλες h x x, = και h x2 x, = τέμνονται σε δύο σημεία ισορροπίας: - -2 2 3 4 5 x = x = και = π
Γραμμικοποίηση: Α = h x (x, f) x Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς x,f = h x θ h x2 θ Β = h x θ h x2 θ x,f h x (x, f) f = x,τ = g L cos θ c T m L 2 h x τ h x2 τ x,f = x,f = x,f = g L cos θ c T m L 2
Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς Γραμμικοποιημένες δυν. εξισώσεις γύρω από το πρώτο Σ.Ι. x = : δ x = Α δx + Β δτ(t) d δθ dt δθ = g c T L m L 2 Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι: c T δθ δθ + m L 2 δτ(t) λ,2 = 2 m L 2 ± 2 ( c T m L 2)2 4 g L Επειδή Re λ i < το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές το Σ.Ι. x = είναι ασυμπτωτικά ευσταθές
Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς Κοντά στο Σ.Ι. x = το δυναμικό σύστημα περιγράφεται από τις δ x = Α δx + Β δτ(t) = dq/dt 2.5 -.5 h (x,) = rad/sec, =.5 h 2 (x,)= - - -.5.5 x = q h 2 (x,)= = d /dt x δx h (x,)= - -2 2 3 4 5 x =
Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς Γραμμικοποιημ. δυν. εξισώσεις γύρω από το δεύτερο Σ.Ι. = π : d δθ dt δθ = g L c T m L 2 Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι: δ = Α 2 δ + Β 2 δτ(t) c T δθ δθ + m L 2 δτ(t) λ,2 = 2 m L 2 ± 2 ( c T m L 2)2 +4 g L Επειδή Re λ > το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι ασταθές το Σ.Ι. = π είναι ασταθές
Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς Κοντά στο Σ.Ι. = π το δυναμικό.5 = rad/sec, = -.5 h 2 (x,)= σύστημα περιγράφεται από τις δ = Α 2 δ + Β 2 δτ(t) 2 = dq/dt -.5 h (x,) - - -.5.5 x = q h 2 (x,)= = d /dt x δ h (x,)= - -2 2 3 4 5 x =