ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους τους δακτύλιους με την ιδιότητα αυτή (θεώρημα του Wedderbur) Η κλάση των δακτυλίων αυτών παίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων, πράγμα που θα δούμε στο κεφάλαιο 7 Θεώρημα του Wedderbur Ένα -πρότυπο λέγεται ημιαπλό αν είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Ο λέγεται ημιαπλός δακτύλιος αν είναι ημιαπλό ως -πρότυπο Δεχόμαστε ότι ο μηδενικός δακτύλιος είναι ημιαπλός Παραδείγματα Κάθε D-πρότυπο είναι ημιαπλό, όπου D είναι δακτύλιος διαίρεσης (Θεώρημα 5) Ειδικά κάθε k- διανυσματικός χώρος (πεπερασμένης ή άπειρης διάστασης) είναι ημιαπλό k-πρότυπο Για κάθε πρώτο αριθμό, το -πρότυπο είναι απλό και άρα ημιαπλό Επίσης και το όπου είναι ημιαπλό 3 Έστω q δυο πρώτοι αριθμοί Τότε το -πρότυπο q ισομορφισμό -προτύπων q q 4 Έστω ένας πρώτος αριθμός Το -πρότυπο είναι ημιαπλό αφού έχουμε έναν δεν είναι ημιαπλό Πράγματι, αν ήταν ημιαπλό θα είχαμε έναν ισομορφισμό -προτύπων της μορφής, όπου κάθε M είναι απλό - πρότυπο Τότε κάθε ισόμορφο με το που είναι άτοπο I IM M θα ήταν ισόμορφο με απλό - υποπρότυπο του, δηλαδή θα ήταν (από την ταξινόμηση υποομάδων πεπερασμένης κυκλικής ομάδας) Τότε 5 Το -πρότυπο είναι ημιαπλό αν και μόνο αν το δεν διαιρείται με το τετράγωνο ακεραίου > (γιατί;) 6 Αν και S είναι ημιαπλοί δακτύλιοι τότε και ο S είναι ημιαπλός Πράγματι, γράφοντας, S S, όπου τα και S είναι απλά ιδεώδη των και S αντίστοιχα, βλέπουμε ότι I J τα απλά ιδεώδη { 0}, S {0} S του S έχουν την ιδιότητα S S I J Μια οικογένεια { M } υποπροτύπων του Μ θα λέγεται ανεξάρτητη αν I m 0 κάθε m 0, m M είναι όλα σχεδόν μηδέν Τότε ορίζεται το εσωτερικό ευθύ άθροισμα σύμφωνα με την Πρόταση και ισχύει M M I Πρόταση ) Κάθε πρότυπο που παράγεται από απλά πρότυπα είναι ημιαπλό ) Έστω 0 L M N 0 μια ακριβής ακολουθία -προτύπων, όπου το Μ είναι ημιαπλό Τότε τα L, N είναι ημιαπλά -πρότυπα και επιπλέον η ακολουθία διασπάται I
Απόδειξη: ) Έστω για κάποιο M M, όπου τα M είναι απλά υποπρότυπα του Μ Θα δείξουμε ότι I J I Με τη βοήθεια του λήμματος του Zor, εύκολα επαληθεύεται ότι το σύνολο έχει μέγιστο στοιχείο, έστω J Ισχύει θεωρούμε ένα τυχαίο { J I { M } J M και παρατηρούμε ότι J είναι ανεξάρτητο} 8 M M, M M Πράγματι, M Για την άλλη σχέση, M J M M 0 ή M, J γιατί το M είναι απλό Η πρώτη περίπτωση δεν ισχύει λόγω του μεγίστου του J Συνεπώς M M M J για κάθε I Άρα M M για κάθε και M M ) Έστω κάθε J J : M N ο επιμορφισμός της δοθείσας ακριβούς ακολουθίας Γράφουμε M M, όπου M είναι απλό, και παρατηρούμε ότι ( ) 0 ή ( M ) M Άρα η εικόνα ( M ) N παράγεται M από κάποια απλά πρότυπα, οπότε λόγω του ) είναι ημιαπλό πρότυπο Ο περιορισμός της σε κάθε απλό προσθετέο είναι ισομορφισμός ή μηδενική απεικόνιση Από αυτό έπεται ότι η ακριβής ακολουθία 0 L M N 0 διασπάται (Πρόταση 4) Άρα το Ker L είναι ισόμορφο με ευθύ προσθετέο του Μ και συνεπώς είναι ισόμορφο με πηλίκο του M Από αυτό που αποδείξαμε πριν, έπεται ότι το L είναι ημιαπλό I J Σημειώνουμε ότι, σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση, κάθε υποπρότυπο και κάθε πηλίκο ημιαπλού προτύπου είναι ημιαπλό πρότυπο Τονίζουμε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του πρώτου ισχυρισμού της Πρότασης ) Για παράδειγμα, αν είναι πρώτος, το -πρότυπο δεν είναι ημιαπλό ενώ το είναι ημιαπλό και έχουμε την ακριβή ακολουθία 0 0 3 Θεώρημα Weddebur Για κάθε δακτύλιο οι παρακάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες ) είναι ημιαπλός ) κάθε -πρότυπο είναι ημιαπλό 3) κάθε ακριβής ακολουθία 0 A B C 0 -προτύπων διασπάται 4) κάθε -πρότυπο είναι προβολικό 5) κάθε -πρότυπο είναι εμφυτευτικό 6) ως δακτύλιοι M ( D ) M ( D ), όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης Απόδειξη )) Από την υπόθεση και την Πρόταση 3 ) κάθε ελεύθερο -πρότυπο είναι ημιαπλό Από την Πρόταση 3 ) προκύπτει ότι κάθε -πρότυπο είναι ημιαπλό )3) Επειδή το Β είναι ημιαπλό, η ακριβής ακολουθία 0 A B C 0 διασπάται σύμφωνα με την Πρόταση ) 3)) Παρατήρηση: Με την υπόθεση 3) ισχύει ότι κάθε ιδεώδες I 0 του περιέχει ένα απλό ιδεώδες Απόδειξη: Έστω a I, a 0 Έστω ότι το κύριο ιδεώδες (a) δεν είναι απλό Τότε υπάρχει ιδεώδες J με
0 J ( a) Χρησιμοποιώντας το λήμμα του Zor, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μέγιστο τέτοιο J (Η απόδειξη είναι πανομοιότυπη με αυτή της Πρότασης 4 με την παρατήρηση ότι το ρόλο του παίζει εδώ το α) Η ακριβής ακολουθία -προτύπων 0 J ( a) ( a) / J 0 διασπάται σύμφωνα με την υπόθεση Έτσι το ( a ) / J είναι ισόμορφο ως -πρότυπο με ιδεώδες του, που είναι απλό λόγω του μεγίστου του J Επιστρέφουμε τώρα στην απόδειξη 3) ) Έστω Ι το ιδεώδες που παράγεται απ όλα τα απλά ιδεώδη του Είναι I 0 λόγω της παρατήρησης Από την ακριβή ακολουθία 0 I / I 0 και την υπόθεση παίρνουμε ότι το / I είναι ισόμορφο με ιδεώδες J του Ισχύει I J 0, γιατί η προηγούμενη ακολουθία διασπάται Αν J 0, η παρατήρηση μας πληροφορεί ότι το J περιέχει απλό ιδεώδες και κατά συνέπεια ο ορισμός του I δίνει I J 0, άτοπο Άρα / I 0, δηλαδή I Από τον ορισμό του Ι και την Πρόταση ) παίρνουμε ότι το είναι ημιαπλός ( 3) (4) (5) Έπεται αμέσως από την Πρόταση 33 ) και τον ορισμό στη Σημείωση 36 ( ) (6) Ξεκινάμε με τρεις απλές παρατηρήσεις o α) Υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Ed ( ), r f, όπου ( a) ar (πολλαπλασιασμός από δεξιά), a, r (Άσκηση 3) β) Έστω Μ ένα -πρότυπο Τότε υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Ed ( M ) M ( Ed ( M )) Πράγματι, αν Ed ( M ) θέτουμε Ed (M), ε : M M M M M όπου ε ( m) (0,, m,,0) είναι η εμφύτευση στη συνιστώσα και π ( m,, m ) m είναι η προβολή στην συνιστώσα Ορίζεται έτσι ομομορφισμός δακτυλίων Φ : Ed ( M ) M ( Ed ( M )), ) ( ) Στην αντίθετη κατεύθυνση ορίζουμε ομομορφισμό δακτυλίων Ψ : M ( Ed ( M )) Ed ( M r f r π ( ), ( f m όπου, f ( m,, m ) fk ( mk ),, f k ( mk ) (Συμβολικά, f ( m,, m ) ( f ) k k m πολλαπλασιασμός πινάκων) Είναι θέμα ρουτίνας να επαληθεύσουμε ότι οι συνθέσεις Φ Ψ και Ψ Φ είναι οι αντίστοιχες ταυτοτικές συναρτήσεις γ) Έστω Μ, Ν δυο -πρότυπα με Hom ( M, N) Hom ( N, M ) 0 Τότε υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Ed ( M N) Ed ( M) Ed ( N) Πράγματι, λόγω της Πρότασης και της υπόθεσης στα M, Ν υπάρχει ισομορφισμός αβελιανών ομάδων Ed ( M N) Ed ( M) Ed ( N) Αυτός ο συγκεκριμένος ) ισομορφισμός (δες την απόδειξη της Πρότασης ) εύκολα επαληθεύεται ότι είναι ισομορφισμός δακτυλίων Επιστρέφουμε τώρα στην απόδειξη ( ) (6) Έστω M, όπου τα M είναι απλά ιδεώδη Επειδή το είναι πεπερασμένα παραγόμενο -πρότυπο το ίδιο συμβαίνει για το I f I 9 M Άρα μόνο πεπερασμένου
πλήθους συνιστώσες του γράψουμε M είναι μη-μηδενικές, δηλαδή το Ι είναι πεπερασμένο Μπορούμε έτσι να I Έχουμε τώρα διαδοχικά ισομορφισμούς δακτυλίων o ( ) o ( Ed ( )) o (παρατήρηση α) o Ed M o M όπου M M Ed ( M ) (γιατί Hom ( M, M ) 0 αν Παρατήρηση γ) ( ) o Ed M ( S) o o S o o M ( Ed ( M ) ) (παρατήρηση β και άσκηση 33 )) Από το λήμμα του Schur (Λήμμα 7), κάθε Ed ) είναι δακτύλιος διαίρεσης και συνεπώς κάθε o D : Ed ( M ) είναι δακτύλιος διαίρεσης Έχουμε ( 6) () ( M M ( D ) Λόγω του Παραδείγματος 6), για να δείξουμε ότι ( 6) () αρκεί να δείξουμε ότι: D δακτύλιος διαίρεσης M (D) ημιαπλός δακτύλιος Έστω I k το (αριστερό) ιδεώδες του M (D) που αποτελείται από πίνακες της μορφής 0 a 0 0 a 0 όπου τα a υπάρχουν στην k στήλη Προφανώς M ( D) I I Θα δείξουμε ότι κάθε I k είναι απλό Έστω ( ) I k, α 0, και β I k Με E συμβολίζουμε τον εκτός από τη θέση (, ), όπου το στοιχείο είναι Ισχύει Αν γράψουμε ότι β β E k E E q 0 E q,, αν αν 0 πίνακα που έχει μηδέν παντού, τότε εύκολα ελέγχουμε με τη βοήθεια των προηγουμένων σχέσεων (άσκηση) β β Άρα το I k παράγεται σαν ιδεώδες από το τυχαίο μη μηδενικό στοιχείο του Η απόδειξη είναι πλήρης α 0k E 0 α Σημειώνουμε ότι η συνθήκη 6) στο Θεώρημα του Wedderbur είναι ιδιαίτερα σημαντική καθώς μας παρέχει πληροφορίες για τη δομή του δακτυλίου
4 Παρατήρηση Στην προηγούμενη απόδειξη, είδαμε ότι για κάθε ημιαπλό δακτύλιο υπάρχουν απλά ιδεώδη I,, I k με I Ik Εφαρμογή: Θεώρημα του Μachke Το επόμενο αποτέλεσμα μας πληροφορεί πότε ο δακτύλιος k [G] μιας πεπερασμένης ομάδας G, όπου k είναι σώμα, είναι ημιαπλός, πράγμα που θα χρησιμοποιηθεί στο κεφάλαιο 7 Θεώρημα (Machke) Έστω G μια πεπερασμένη ομάδα τάξης και k σώμα χαρακτηριστικής Αν 0 ή αν 0 και το δεν διαιρεί το, τότε ο δακτύλιος k [G] είναι ημιαπλός Αντίστροφα, αν διαιρεί το, τότε ο δακτύλιος k [G] δεν είναι ημιαπλός Απόδειξη: "" Έστω α 0 A B C 0 (*) μια ακριβής ακολουθία k[g]-προτύπων Θα δείξουμε ότι διασπάται (Θεώρημα 3 3)) Θεωρώντας την (*) ως ακολουθία k-διανυσματικών χώρων αυτή διασπάται (για παράδειγμα, βλ Πρόταση 3) Έτσι υπάρχει k-γραμμική απεικόνιση β : C B με την ιδιότητα C Από την β κατασκευάζουμε έναν ομομορφισμό k[g] -προτύπων β : C B, β( c) β( c) Παρατηρούμε εδώ ότι στο k έχουμε 0 λόγω της υπόθεσης στο Η απεικόνιση β είναι πράγματι ομομορφισμός k[g]-προτύπων, γιατί αν β ( hc) β( hc) G h h β( hc) G h β (( ) c) G h( β( c)) h G τότε Δηλαδή β( hc) hβ( c) για κάθε h G και c G Επειδή η β είναι προφανώς προσθετική προκύπτει ότι η β είναι ομομορφισμός k[g]-προτύπων Τέλος έχουμε, γιατί αν c k[ G] τότε β β( c) β( β( c)) G β G (γιατί καθώς το διατρέχει τη G, το h διατρέχει τη G) ( ββ( G c)) (γιατί β είναι ομομορφισμός k[g]-προτύπων) C ( G ( c) c c) Η ιδέα είναι να αντικαταστήσουμε την απεικόνιση, που είναι μόνο ομομορφισμός k προτύπων, με άλλη που είναι ομομορφισμός kg [ ]- προτύπων Αυτό επιτυγχάνεται λαμβάνοντας το μέσο όρο της υπεράνω της ομάδας G
"" Έστω τώρα ότι το 0 διαιρεί το Θεωρούμε το k ως k[g]-πρότυπο, r v r v G G κάθε v k Θα δείξουμε ότι ακριβής ακολουθία 0 ker ε k[ G] k 0 ε για δεν διασπάται, όπου ε : k[ G] k είναι ο ομομορφισμός k[g]-προτύπων ε r r Έστω για G G άτοπο ότι υπάρχει ομομορφισμός k[g]-προτύπων ε : k kg με εε k και έστω ε ( ) r Τότε για κάθε Συνεπώς h G ισχύει ε ( ) ε ( h ) hε () h r Άρα r G G r h r για κάθε h G G r για κάθε, G (γιατί;) Άρα υπάρχει r k με ε ( ) r G Όμως τότε εε( ) rε r 0, που είναι άτοπο γιατί εε k G G 3 Παρατηρήσεις στο Θεώρημα του Wedderbur Έστω ένας ημιαπλός δακτύλιος Από το θεώρημα του Wedderbur έχουμε M ( D ) M ( D ), όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης Είναι οι ακέραιοι,,, μονοσήμαντα ορισμένοι; Ένας δακτύλιος 0 λέγεται απλός αν δεν έχει αμφίπλευρα ιδεώδη 0, Σημειώνουμε ότι, αν είναι απλός, τότε δεν έπεται αναγκαστικά ότι είναι απλό -πρότυπο Αν όμως είναι απλό -πρότυπο, τότε είναι απλός δακτύλιος Για παράδειγμα κάθε δακτύλιος διαίρεσης είναι απλός Πιο γενικά έχουμε: 3 Λήμμα Ο M (D) είναι απλός αν ο D είναι δακτύλιος διαίρεσης Απόδειξη: Έστω I 0 αμφίπλευρο ιδεώδες του Θα δείξουμε ότι I Έστω α ( α ) I με α 0 Τότε α ke 0 για κάποιους δείκτες k, Για τους στοιχειώδεις πίνακες E ισχύει Γράφοντας α E α, Άρα το Ι περιέχει το κάθε, Άρα I Αν 0, αν E E q (*) Eq, αν παίρνουμε από την προηγούμενη σχέση E α E E ) E α E E α kαek ( k k k k k Ek, k αk Ek και συνεπώς το E α ( α E ) Από την (*) προκύπτει ότι E I για k M ( D ) M ( D ) όπως στο Θεώρημα του Wedderbur, τότε, όπου κάθε ( ) M D είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του και επιπλέον απλός δακτύλιος από το προηγούμενο λήμμα 3 Λήμμα Έστω m και όπου τα και k k είναι αμφίπλευρα ιδεώδη του Αν
οι και απλοί δακτύλιοι, τότε m 3 Απόδειξη: Μια γενική παρατήρηση (άσκηση): Κάθε αμφίπλευρο ιδεώδες I του είναι της μορφής I I I, όπου I αμφίπλευρο ιδεώδες του Έχουμε ισομορφισμό δακτυλίων m Έστω m Θα δείξουμε ότι m με επαγωγή στο m Για m έχουμε ισομορφισμό και επειδή ο είναι απλός παίρνουμε ότι ο είναι απλός, οπότε Έστω m Η εικόνα του 0 0 είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του, άρα της μορφής I I σύμφωνα με την παρατήρηση Επειδή ο 0 0 είναι απλός, η εικόνα είναι της μορφής 0 I 0 και επειδή ο k είναι απλός η εικόνα είναι 0 0 Από τον ισομορφισμό k m m επάγεται ισομορφισμός, δηλαδή ισομορφισμός 0 0 0 0 Από την επαγωγική υπόθεση m m k k Τα δύο προηγούμενα λήμματα δίνουν αμέσως το εξής: 33 Πόρισμα Έστω ένας ημιαπλός δακτύλιος οπότε M ( D ) M ( D ) όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης Τότε ο αριθμός είναι μονοσήμαντα ορισμένος Το στο παραπάνω πόρισμα είναι ο αριθμός των απλών συνιστωσών του Θα δώσουμε παρακάτω ένα άλλο χαρακτηρισμό του (Πρόταση 35) που θα βρει εφαρμογή στην απόδειξη του Θεωρήματος 33 Έστω I, I ιδεώδη των δακτυλίων, αντίστοιχα Τα σύνολα I 0 και 0 I είναι - πρότυπα (ως ιδεώδη του ) 34 Λήμμα Με τους προηγούμενους συμβολισμούς ισχύει ότι κάθε ομομορφισμός -προτύπων I 0 I είναι ο μηδενικός 0 Απόδειξη: Έστω ομομορφισμός -προτύπων, φ: I 0 0 I και r Αν φ( r,0) (0, r ), τότε φ r,0) φ(( e,0)( r,0) ( e,0) φ( r,0) ( e,0)(0, r ) (0,0), όπου e είναι το μοναδιαίο στοιχείο του ( k k 35 Πρόταση Έστω ένας ημιαπλός δακτύλιος οπότε M ( D ) M ( D ), όπου κάθε είναι D είναι δακτύλιος διαίρεσης Tότε το πλήθος των ανά δύο μη ισόμορφων απλών -προτύπων Απόδειξη: Πρώτα θα δείξουμε ότι ο έχει τουλάχιστον ανά δύο μη ισόμορφα απλά πρότυπα Έστω V το απλό ( D ) -πρότυπο που αποτελείται από πίνακες της μορφής M
4 στήλη 0 0 a a 0 M 0 ( D ) (Το ότι το V είναι απλό αποδείχτηκε στο (6) () του Θεωρήματος του Wedderbur) Έστω V 0 V 0 M ( D ) M ( D όπου το V βρίσκεται στην συνιστώσα Τότε βέβαια το V είναι απλό M ( D ) M ( D ) ) Από το Λήμμα 34 (με την προφανή γενίκευση για πεπερασμένο πλήθος συνιστώσες V V για -πρότυπο ) προκύπτει ότι Θα δείξουμε τώρα ότι ο έχει το πολύ ανά δύο μη ισόμορφα απλά πρότυπα Έστω V απλό - πρότυπο Επειδή ισχύει M D ) V V και παίρνουμε ( V V ως ( D ) M -πρότυπα V V (**) Επειδή τώρα το V είναι απλό θα είναι πηλίκο του (άσκηση ) και συνεπώς πηλίκο του δεξιού σκέλους της (**) Η Πρόταση ), το γεγονός ότι τα V είναι απλά και το γεγονός ότι το V είναι απλό δίνουν ότι το V είναι ισόμορφο με ένα από τα V Γνωρίζουμε λοιπόν ότι σε έναν ημιαπλό δακτύλιο, κάθε απλή συνιστώσα του M ( D ) συνεισφέρει ακριβώς ένα απλό -πρότυπο ισόμορφων απλών -προτύπων V και το σύνολο αυτών είναι ακριβώς ένα σύνολο των ανά δύο μη 36 Πόρισμα Έστω ημιαπλός δακτύλιος οπότε M ( D ) M ( D ), όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης Έστω V,,V τα αντίστοιχα απλά -πρότυπα Τότε για κάθε o υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Ed ( V ) D και συνεπώς οι D είναι μονοσήμαντα ορισμένοι dm V D, και συνεπώς οι αριθμοί είναι μονοσήμαντα ορισμένοι o Απόδειξη: Για τον ισομορφισμό Ed ( V ) D βλ άσκηση 6 Η σχέση dm D V είναι σαφής Εφαρμογή στις πεπερασμένες ομάδας Χρειαζόμαστε την ακόλουθη εκδοχή του Λήμματος του Schur 37 Πρόταση Έστω μια k-άλγεβρα, όπου k αλγεβρικά κλειστό σώμα, και Μ ένα απλό -πρότυπο με
dm k M Τότε Ed ( M ) k 5 Απόδειξη: Έστω f Ed ( M) Ως γραμμική απεικόνιση πεπερασμένης διάστασης διανυσματικού χώρου πάνω από αλγεβρικά κλειστό σώμα, η f έχει ιδιοτιμή f k Τότε f Ed ( M ) Επειδή το M f M είναι απλό -πρότυπο, έχουμε ker( f f M) M, οπότε f f M Είναι σαφές ότι η απεικόνιση f f είναι ισομορφισμός δακτυλίων Αν στην απόδειξη του θεωρήματος Wedderbur,) 6), χρησιμοποιήσουμε την προηγούμενη πρόταση στη θέση του Λήμματος του Schur, παίρνουμε το εξής αποτέλεσμα Έστω k αλγεβρικά κλειστό σώμα και k -άλγεβρα με dmk Αν ο είναι ημιαπλός, τότε υπάρχει ισομορφισμός k -αλγεβρών M ( ) ( ) k M k Ειδικά για άλγεβρες ομάδων έχουμε: 38 Πόρισμα Έστω k ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα και G μια πεπερασμένη ομάδα τέτοια ώστε ο δακτύλιος kg [ ] είναι ημιαπλός Τότε ) ) k[ G] M ( k) M ( k) (ως k -άλγεβρες),,, όπου G ) πλήθος των ανά δύο μη ισόμορφων απλών kg [ ] προτύπων, v),, είναι οι διαστάσεις των δύο μη ισόμορφων απλών kg [ ] προτύπων Απόδειξη: Τα ), ) και v) είναι γνωστά Το ) προκύπτει από το ) λαμβάνοντας διαστάσεις k -χώρων 39 Παραδείγματα ) Έστω G μια αβελιανή ομάδα με G Τότε [ G] ( φορές) Πράγματι, από το Θεώρημα του Machke, o δακτύλιος [ G ] είναι ημιαπλός Επειδή το κλειστό, η Πρόταση 38 δίνει [ G] M ( ) M ( ) Επειδή η G είναι αβελιανή παίρνουμε Αφού dm [ G] έχουμε και [ G] ( φορές) είναι αλγεβρικά Σημείωση: Στο παράδειγμα αυτό φαίνεται ότι υπάρχει ισομορφισμός αλγεβρών [ 4] [ ] αν και οι ομάδες 4, δεν είναι ισόμορφες ) Έστω G μια μη αβελιανή ομάδα τάξης 8 Τότε [ G] M( ) Πράγματι, όπως πριν έχουμε [ G] M ( ) M ( ) Από την Πρόταση 38 ) παίρνουμε ότι 8 οπότε έχουμε τις εξής περιπτώσεις ) 8 ) ), 4 5 Η περίπτωση ) απορρίπτεται γιατί η G δεν είναι αβελιανή Η περίπτωση ) απορρίπτεται γιατί κάποιο πρέπει να είναι ίσο με σύμφωνα με το Πόρισμα 36, αφού υπάρχει απλό [ G] -πρότυπο διάστασης : το με εξωτερικό πολλαπλασιασμό r v r v G G Θεωρήματος του Machke) Από την περίπτωση ) προκύπτει το ζητούμενο για κάθε v (βλ την απόδειξη του ' ' του
3) Εδώ θεωρούμε κυκλική ομάδα G τάξης 4 Για k από το Παράδειγμα έχουμε 6 Για το σώμα k ισχύει [ G] 4 [ G] [ x] ( x ) σύμφωνα με ην άσκηση 4 Επειδή έχουμε την ανάλυση 4 x ( x )( x )( x ) σε γινόμενο αναγώγων στο [ x ], to Κινεζικο θεωρημα υπολοίπων (βλ άσκηση 7) δίνει 4 [ x] ( x ) [ x] ( x ) [ x] ( x ) [ x] ( x ) και άρα [ G] ( ) Ασκήσεις (Οι άνω τριγωνικοί πίνακες δεν είναι γενικά ημιαπλοί δακτύλιοι) a b Έστω a, b, c 0 c Αποδείξτε ότι ο δεν είναι ημιαπλός Υπόδειξη: Ένας τρόπος είναι να θέσουμε M με εξωτερικό πολλαπλασιασμό τον a b x ax by πολλαπλασιασμό πινάκων Έστω L το υποπρότυπο του Μ που παράγεται από 0 c y cy το Τότε η ακριβής ακολουθία 0 L M M / L 0 δεν διασπάται 0 Έστω Μ ένα πεπερασμένο παραγόμενο D-πρότυπο, όπου D δακτύλιος διαίρεσης Ποιά μορφή έχουν τα Ed D (M ) -πρότυπα; Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι ο Ed D (M ) είναι δακτύλιος πινάκων με στοιχεία από δακτύλιο διαίρεσης και εφαρμόστε αποτελέσματα σχετικά με τη θεωρία των δακτυλίων αυτών 3 Ποιοι από τους παρακάτω δακτύλιους είναι ημιαπλοί; Για του ημιαπλούς δακτύλιους ποιά μορφή έχουν ετα απλά πρότυπα; ), ), 3) [ x ], 4) [ xy,, ] 5) [ x]/( x ) Υπόδειξη για το [ x ]: ένας από τους πολλούς τρόπους απόδειξης είναι να παρατηρήσουμε ότι αν ήταν ημιαπλός, τότε από το Θεώρημα του Wedderbur έπεται ότι, και άρα ο [ x ] είναι δακτύλιος διαίρεσης, άτοπο 4 Ένα -πρότυπο είναι ημιαπλό αν και μόνο αν κάθε κυκλικό υποπρότυπό του είναι ημιαπλό 5 ) Αν ο είναι ημιαπλός, τότε το κέντρο του είναι ημιαπλός δακτύλιος Υπόδειξη: Άσκηση 0 ) Κάθε μεταθετικός ημιαπλός δακτύλιος είναι ευθύ γινόμενο σωμάτων 6 ) Αληθεύει ότι γενικά μη μηδενικός υποδακτύλιος ημιαπλού δακτυλίου είναι ημιαπλός; ) Αποδείξτε ότι κάθε μη μηδενική επιμορφική εικόνα ημιαπλού δακτυλίου είναι ημιαπλός 7 Έστω k σώμα και G πεπερασμένη ομάδα Ο δακτύλιος k[g] είναι ημιαπλός αν και μόνο αν το k είναι προβολικό k[g]-πρότυπο Υπόδειξη: Βλ την απόδειξη του Θεωρήματος του Machke 8 ) Αληθεύει ότι για κάθε ακέραιο υπάρχει πεπερασμένος ημιαπλός δακτύλιος τάξης ; 4 ) Να ταξινομηθούν ως προς ισομορφισμό οι ημιαπλοί δακτύλιοι τάξης 5 9 Έστω M ( D ) M ( D ) ημιαπλός δακτύλιος Τότε υπάρχουν στοιχεία e,, e στο με τις ιδιότητες
e e, e e 0 για, e e, e v v για κάθε ν στο D ), και e M ( ) 0 D M ( 0 Ένας δακτύλιος λέγεται δεξιά ημιαπλός αν είναι ευθύ άθροισμα απλών δεξιών ιδεωδών Αποδείξετε ότι ένας δακτύλιος είναι δεξιά ημιαπλός αν και μόνο αν είναι (αριστερά) ημιαπλός Ποιά είναι τα απλά δεξιά ιδεώδη του M (D), όπου D δακτύλιος διαίρεσης; Αν Μ είναι ένα -πρότυπο, συμβολίζουμε με oc ( M ) (το βάθρο του Μ) το υποπρότυπο του Μ που παράγεται από τα απλά υποπρότυπα του Μ Αν το Μ δεν έχει απλά υποπρότυπα θέτουμε oc ( M) 0 Παρατηρούμε ότι ένα μη μηδενικό Μ είναι ημιαπλό αν και μόνο αν oc ( M) M Ποια είναι τα oc ( ), oc ( ) όπου πρώτος, oc ( ) ; Ένα ημιαπλό πρότυπο είναι πεπερασμένα παραγόμενο αν και μόνο αν είναι ευθύ άθροισμα πεπερασμένου πλήθους απλών προτύπων 7 3 Αν το Μ είναι πεπερασμένα παραγόμενο ημιαπλό -πρότυπο, τότε ο δακτύλιος Ed ( ) M είναι ημιαπλός Υπόδειξη: Υπολογίστε τον Ed ( M ) (Bλαπόδειξη )6) του Θεωρήματος του Wedderbur) 4 Έστω ένας ημιαπλός δακτύλιος ) Η γραφή κάθε πεπερασμένα παραγόμενου -προτύπου ως ευθύ άθροισμα απλών προτύπων είναι ουσιαστικά μοναδική ) Η τάξη ελεύθερου -προτύπου είναι καλά ορισμένη 5 ) Να βρεθούν όλοι οι ημιαπλοί δακτύλιοι το κέντρο των οποίων είναι σώμα ) Αποδείξτε ότι το κέντρο της [ S 3] έχει διάσταση 3, όπου S 3 είναι η ομάδα μεταθέσεων 3 συμβόλων ) Έστω G μια ομάδα τάξης 0 για την οποία η άλγεβρα [ G ] έχει τουλάχιστον 8 ανά δύο μη ισόμορφα απλά πρότυπα Αποδείξτε ότι G 0 6 Έστω D ένας δακτύλιος διαίρεσης και ένας θετικός ακέραιος Θεωρούμε το δακτύλιο M ( D) και v το -πρότυπο V v Dμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό τον πολλαπλασιασμό πινάκων v o ) Αποδείξτε ότι η απεικόνιση : D Ed ( V), ( d)( v) vd είναι μονομορφισμός δακτυλίων ) Αποδείξτε ότι η Φ είναι επί 0 Υπόδειξη: Ένας οικονομικός τρόπος είναι ο εξής Έστω v V Επειδή ως -πρότυπο, το V 0 είναι απλό, βλ απόδειξη του Θεωρήματος Wedderbur, έχουμε V () v Αν f Ed ( V), τότε η f καθορίζεται από την εικόνα () f v και έχουμε f ( v) f E v E f ( v) dv vd ( dv), για
κάποιο d D (Σημείωση: Η ίδια ιδέα εφαρμόζει και στην άσκηση 9 ) 7 Αν ο είναι ημιαπλός δακτύλιος, τότε και ο M ( ) είναι ημιαπλός 8 Έστω k σώμα και A M ( k) Με ka [ ] συμβολίζουμε τον υποδακτύλιο m 0 m { a I a A a A m, a k} του A M ( k) ) Δείξτε ότι αν ο A είναι διαγωνίσιμος, τότε ο ka [ ] είναι ημιαπλός ) Για και A αληθεύει ότι ka [ ] είναι ημιαπλός; 0 ) Δείξτε ότι αν το k είναι αλγεβρικά κλειστό, τότε ισχύει το αντίστροφο του ) 8