ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ των ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ των ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ σε συνδυασμό με ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ τα ΘΕΜΑΤΑ των ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ (εκτεταμένες) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ για τις άλυτες ασκήσεις

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Τα μαθηματικά δεν είναι κτήμα κανενός και γι αυτό δεν τίθεται θέμα αντιγραφής. Η ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ όμως και ο τρόπος παρουσίασης του βιβλίου αυτού, αποτελούν πνευματική ιδιοκτησία του συγγραφέα και γι αυτό απαγορεύεται η αναδημοσίευση ή οποιαδήποτε αναπαραγωγή, χωρίς ν αναφέρεται ρητά το όνομα του συγγραφέα. Copyright Γ. Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ Τηλ. 310 71631 & 310 939967 ISBN: 978-960-9551-08-3 Σελιδοποίηση Εκτύπωση Κ. Ν. Επισκόπου 7 54635 Θεσσαλονίκη Τηλ. 310 03566 www.copycity.gr ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Βιβλιοπωλείο ΑΝΙΚΟΥΛΑ Εγνατία 148 5461 Θεσσαλονίκη Τηλ. 310 3597, 310 6516 anikoula@otenet.gr

Για κάθε διευκρίνιση ή σχόλιο μπορείτε ν απευθύνεστε στο: ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. Γ. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗ Καρόλου Ντηλ Θεσσαλονίκη 5463 Τηλ. & Fax: 310 71631 Ευχαριστίες Επιθυμώ να ευχαριστήσω το συνεργάτη μου και εκλεκτό μαθηματικό Νίκο Δραγούτση την κόρη μου Μαρία Καρεκλίδου για τη συμβολή τους στην έκδοση αυτού του βιβλίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό γράφτηκε κυρίως για να βοηθήσει τους μαθητές της Γ τάξης Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης. Χωρίζεται σε τέσσερα μέρη: Στο 1ο μέρος παρουσιάζονται απλές ασκήσεις για να μπορέσει ο μαθητής να κατανοήσει τους Μιγαδικούς αριθμούς. Στο ο μέρος χωρίζονται οι Μιγαδικοί σε ομάδες μεθοδολογία για να αναπτύξει ο μαθητής την κρίση του. Στο 3ο μέρος γράφονται γενικές ασκήσεις για να ελέγξει ο μαθητής τις γνώσεις του. Στο 4ο μέρος περιέχονται γενικές ασκήσεις Μιγαδικών σε συνδυασμό με Συναρτήσεις Ολοκληρώματα, για να ασχοληθεί ο μαθητής στο τέλος (λίγο πριν από τις Εξετάσεις). Στο τέλος του βιβλίου δίνονται όλα τα θέματα των Πανελλαδικών Εξετάσεων που δόθηκαν από το 001 μέχρι σήμερα και περιέχουν μιγαδικούς αριθμούς. Για όλες τις άλυτες ασκήσεις δίνονται υποδείξεις (αρκετά εκτεταμένες) απαντήσεις. Τελειώνοντας, θα ήθελα να τονίσω ότι, παρόλη την προσπάθεια που κατέβαλα για να παρουσιάσω αυτό το βιβλίο και παρότι όλες τις α- σκήσεις του τις έχω διδάξει επανειλημμένα, τα λάθη είναι αναπόφευκτα και γι αυτό κάθε καλοπροαίρετη κριτική είναι ευπρόσδεκτη. Θεσσαλονίκη 013 Γιώργος Καρεκλίδης

ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ (με όλες τις απαραίτητες διευκρινίσεις) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ (για κατανόηση των μιγαδικών αριθμών) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ z ή z φανταστικός Μέτρο μιγαδικού.. Τριγωνική ανισότητα ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Γεωμετρικοί τόποι.. Απόσταση δύο σημείων.. Μέγιστη και ελάχιστη τιμή του z και του z1 z.. Με Διανύσματα. Κωνικές τομές Μεγάλες Δυνάμεις... Εξισώσεις στο Εύρεση του ν.. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ των ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. των ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ σε συνδυασμό με ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ.. Τα ΘΕΜΑΤΑ των ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ... 13 7 11 13 133 137 149 153 163 167 171 177 187 189 05 41 6 77

y Im(z) M(z) M(, ) O z = + i x Re(z) Τα στοιχεία του δεν είναι «εξωπραγματικά», αφού εμφανίζονται με τη μορφή σημείων ή διανυσμάτων του επιπέδου και μπορούν να εκφράσουν με σαφήνεια και συντομία ένα πλήθος εννοιών από τα Μαθηματικά ή τη Φυσική.

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Ως τώρα μιλήσαμε για τα σύνολα Ì Ì Ì στα οποία ορίσαμε πράξεις και ιδιότητες των πράξεων αυτών. R Q Z N Επίσης στα σύνολα αυτά ορίσαμε διάταξη. x' - -1 0 1 x Έτσι μπορούμε να λύνουμε εξισώσεις και ανισώσεις στα σύνολα αυτά. Αλλά στο σύνολο δεν μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση x =- 1 και γενικά μια εξίσωση ου βαθμού αx + βx+ γ = 0, α ¹ 0, με αρνητική διακρίνουσα. Αν λοιπόν τώρα θέλουμε η εξίσωση x =- 1 ( 1) να έχει ρίζα, αυτή θα πρέπει να είναι ένας φανταστικός αριθμός (imaginaire). Έτσι θεωρούμε ως ρίζα της (1) το i (αρχικό της λέξης imaginaire) και τότε ισχύει: i = - 1. Διευρύνουμε λοιπόν το σύνολο σε ένα σύνολο, το οποίο να έχει τις ίδιες πράξεις με το, τις ίδιες ιδιότητες των πράξεων αυτών και στο οποίο να υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης x =- 1 δηλαδή ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i = - 1. Επομένως το σύνολο θα έχει ως στοιχεία:

14 Γ. Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ Όλους τους πραγματικούς αριθμούς α Όλα τα στοιχεία της μορφής βi, β Î που είναι γινόμενα των στοιχείων του με το i και ονομάζονται φανταστικοί αριθμοί. Όλα τα αθροίσματα της μορφής α+βi με α, β Î. Τα στοιχεία του λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω ορίζουμε το σύνολο ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ: Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υ- περσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε να έχουν τις ίδιες ι- διότητες όπως και στο, με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα (1) το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε: i = - 1. Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή z=α+βi, όπου α, β Î. Ένας μιγαδικός αριθμός z=α+βi, αποτελείται από: ένα πραγματικό αριθμό α και ένα φανταστικό αριθμό βi Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του z και σημειώνεται Re( z ), δηλαδή α=re( z ) και ο β λέγεται φανταστικό μέρος του z και σημειώνεται Im( z ), δηλαδή β=im( z ). Άρα είναι: z=re( z ) +Im( z) i Επιπλέον, στο κάθε πραγματικός αριθμός α εκφράζεται ως α+ 0i, ενώ κάθε φανταστικός αριθμός βi εκφράζεται ως 0+ βi.

ΘΕΩΡΙΑ 15 Από τον ορισμό του συνόλου, προκύπτει ότι: Δύο μιγαδικοί αριθμοί z1 = α + βi και z = γ + δi είναι ίσοι, αν και μόνο αν α = γ και β= δ. Δηλαδή ισχύει: z = z α +βi = γ + δi α = γ και β = δ 1 Επομένως, επειδή 0=0+0i, έχουμε: z = 0 α + β i = 0 α = 0 κ α ι β = 0 1 Ως τώρα επεκτείναμε το σύνολο στο ως προς τις πράξεις και τις ιδιότητες των πράξεων αυτών. R C Αλλά στο σύνολο έχουμε και διάταξη. x' - -1 0 1 x Δημιουργείται επομένως το ερώτημα: Η διάταξη και οι ιδιότητές της που ισχύουν στο, μεταφέρονται και στο ; ΟΧΙ Στο δεν μεταφέρονται η διάταξη και οι ιδιότητές της. Έτσι: 1. Αν δίνεται ότι ισχύει: π.χ. α+ βi> 0 αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός α+ βi είναι πραγματικός δηλαδή είναι β= 0 και τότε είναι: α+ 0i= α> 0 Δηλαδή έχουμε: ì β= 0 α+ βi> 0 ï í ï ïî α> 0. Είναι ΛΑΘΟΣ να γράψουμε: 3+ 5i> + i Είναι ΛΑΘΟΣ να γράψουμε: 4+ i< 6+ i Είναι ΛΑΘΟΣ να γράψουμε: α + βi> γ+ δi ( α + βi) -( γ+ δi) > 0 αφού η ισοδυναμία α> β α- β> 0 ορίστηκε για τη διάταξη στο. (Άλγεβρα Α Λυκείου)

16 Γ. Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ Γεωμετρική παράσταση μιγαδικών Αφού λοιπόν ένας μιγαδικός αριθμός z= α+ βi δεν μπορεί να παρασταθεί σ έναν άξονα xx ( αφού δεν ορίζεται διάταξη στο ), μήπως μπορεί να παρασταθεί σε δύο άξονες xx και yy ; ΝΑΙ Ο Gauss (1777-1855) παρέστησε γεωμετρικά τους μιγαδικούς αριθμούς με σημεία του επιπέδου και απέδειξε έτσι ότι οι μιγαδικοί αριθμοί είναι εξίσου συγκεκριμένοι (και όχι φανταστικοί) όπως και οι πραγματικοί αριθμοί. Έτσι, κάθε μιγαδικό αριθμό z= α+ βi μπορούμε να τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο M( α, β ) ενός καρτεσιανού επιπέδου και αντιστρόφως κάθε σημείο M( α, β ) του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στον μιγαδικό z= α+ βi. Το σημείο Μ λέγεται εικόνα του μιγαδικού z= α+ βi και συμβολίζεται και με M( z ) ή M( α + βi). Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών θα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο (επίπεδο Gauss) Ο άξονας xx λέγεται πραγματικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M( α, 0 ) ή M( α + 0i), ενώ ο άξονας yy λέγεται φανταστικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M( 0, β ) ή M( βi ). Ο z= 0 απεικονίζεται στην αρχή Ο. Ένας μιγαδικός z= α+ βi παριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική ακτίνα OM, του σημείου M( α, β ). y O TO MI A IKO E I E O M(, ) M(z) x

ΘΕΩΡΙΑ 17 Πράξεις στο σύνολο των μιγαδικών Σύμφωνα με τον ορισμό του, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικών αριθμών γίνεται όπως ακριβώς και οι αντίστοιχες πράξεις με διώνυμα α+ βx στο, όπου αντί για x έχουμε το i, και είναι: i = - 1 και (-i) = - 1 Πρόσθεση αφαίρεση μιγαδικών Αν z1 = α + βi και z = γ + δi δύο μιγαδικοί, τότε: για την πρόσθεση έχουμε: z 1 +z = ( α+ βi) + ( γ+ δi) = α+ βi+ γ+ δi = = α+ γ+ βi+ δi = ( α+γ ) + ( β+δ) i για την αφαίρεση έχουμε: z - z 1 = ( α+ βi) -( γ+ δi) = α+ βi-γ- δi = = α - γ+ βi - δi = ( α-γ ) + ( β-δ) i Γεωμετρική ερμηνεία της πρόσθεσης και αφαίρεσης Έστω οι μιγαδικοί z1 = α + βi και z = γ + δi, τότε M1( α, β), M( γ, δ ) είναι οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο και OM, OM είναι οι διανυσματικές ακτίνες τους. 1 Επειδή z1 + z = ( α + γ) + ( β+ δ) i άρα το άθροισμα z1 + z παριστάνεται με το σημείο M( α + γ, β+ δ) Επομένως ισχύει: OM + OM = ( α, β) + ( γ, δ) = ( α+ γ, β+ δ) = OM 1 y M (z ) M(z 1 +z ) y M(z 1 +z ) M 1 (z 1 ) M (z ) M 1 (z 1 ) O x O x

18 Γ. Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ Επειδή z - z = ( α- γ) + ( β- δ) i 1 άρα η διαφορά z1 - z παριστάνεται με το σημείο N( α- γ, β- δ) Επομένως ισχύει: OM - OM = ( α, β) -( γ, δ) = ( α-γ, β- δ) = ON 1 y M (z ) y N(z 1 -z ) O M 1 (z 1 ) x O M 1 (z 1 ) M '(-z ) x M (z ) N(z 1 -z ) M '(-z ) Πολλαπλασιασμός μιγαδικών Είναι: z z = ( α + βi) ( γ+ δi) = α( γ+ δi) + βi( γ+ δi) = 1 = αγ+ αδi+ βγi+ βδi = ( αγ- βδ ) + ( αδ+ βγ) i Διαίρεση μιγαδικών Αν z1 = α + βi και z = γ + δi με γ+ δi ¹ 0, τότε: z z 1 α+βi α+ βi γ-δi αγ- αδi+ βγi-βδi = = = = γ δi γ δi γ δi γ+δi + - - ( αγ+ βδ) + ( βγ-αδ) i αγ +βδ βγ- αδ = = + i γ+ δ γ +δ γ +δ

Ο αριθμός γ- δi λέγεται συζυγής του γ+δi και συμβολίζεται με γ+δi Δηλαδή είναι: γ+δi= γ-δi ΘΕΩΡΙΑ 19 ΣΧΟΛΙΟ Η γεωμετρική ερμηνεία του γινομένου και του πηλίκου δύο μιγαδικών είναι εκτός ύλης. Δυνάμεις στο Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού z= α+ βi με εκθέτη ακέραιο ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς. Δηλαδή ορίζουμε: z 1 = z, z = z z,... ν ν 1 και γενικά z = z - z για κάθε * ν Î και ν³. Επίσης, αν z ¹ 0, ορίζουμε: z0 1, = ν 1 z - = για κάθε θετικό ακέραιο ν zν Αποδεικνύεται ότι και για τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που ισχύουν για τις δυνάμεις των πραγματικών αριθμών. Έτσι, έχουμε: ( - 3i ) = - 3i + ( 3i ) = 4-1i - 9 =-5-1i 4 ( - 3i) = é ( 3i) ù ê - = (-5-1i) = 5+ 10i+ 144i = ë úû =- 119+ 10i

0 Γ. Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ Στο λογισμό με μιγαδικούς αριθμούς είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε τις δυνάμεις του i. Έχουμε: i 0 = 1 και i1 = i i5 = i4 i= i i =- 1 i6 = i4 i = 1 ( - 1) =- 1 i3 = i i=- i i7 = i4 i3 = 1 ( - i) =- i i4 = i i = 1 i8 = i4 i4 = 1 1= 1 κτλ. Παρατηρούμε ότι μετά το i 4 οι τιμές του i ν επαναλαμβάνονται. Επομένως για να υπολογίσουμε τη δύναμη iν, ν Î * γράφουμε τον εκθέτη ν, με τη βοήθεια της Ευκλείδειας διαίρεσης δια του 4, στη μορφή ν = 4ρ+ υ, όπου ρ Î το πηλίκο της διαίρεσης και υ το υπόλοιπο ( υ = 0, 1,, 3), οπότε έχουμε: ì 1, αν υ= 0 ρ i, αν υ= 1 ν 4ρ+ υ 4ρ υ 4 υ ρ υ υ i = i = i i = ( i ) i = 1 i = i =í ï - 1, αν υ= ï ïî - i, αν υ = 3 Για παράδειγμα 7 4 6+ 3 4 6 3 i = i = i i = 1 ( - i) =-i 013 4 503+ 1 4 503 503 ( ) i = i = i i = 1 i = i ΣΧΟΛΙΟ ΔΕΝ ισχύει: αν z κ = z λ, τότε κ λ * = ( zî, κ, λ Î ) 3 7 π.χ. ισχύει: i = i αλλά 3¹ 7 και 10 æ ö æ ö + i = + i ç è ø çè ø αλλά ¹ 10