HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 06/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017 1
Συναρτήσεις ένα-προς-ένα Μία συνάρτηση είναιένα-προς-ένα (1-1), αν και µόνο αν κάθε στοιχείο στο εύρος της σχετίζεται µε ένα µόνο στοιχείο του πεδίου ορισµού της. Τυπικά: δοσµένης f:a B, f, ένα-προς-ένα : ( x,y: x yf(x) f(y)). 4/7/2017 2
Συναρτήσεις «επί» Μία συνάρτηση f:a B είναι «επί» εάν το εύρος της είναι το ίδιο µε το πεδίο τιµών της ( b B, a A: f(a)=b). 4/7/2017 3
Αγγλική ορολογία 1. injection = 1-προς-1 2. surjection = επί 3. bijection = αµφιµονοσήµαντη 3 = 1&2 εποµένως, για να αποδείξουµε ότι µία συνάρτηση είναι αµφιµονοσήµαντη αρκεί να αποδείξουµε ότι είναι 1-1 και επί 4/7/2017 4
Αντίστροφη συνάρτηση Για µία αµφιµονοσήµαντη συνάρτηση f:a B, υπάρχει η αντίστροφη της f 1, f 1 : B A ιαισθητικά, αυτή είναι η συνάρτηση που ακυρώνει ότι κάνει η f Τυπικά, είναι η µοναδική εκείνη συνάρτηση για την οποία 1 f f = I A (θυµηθείτε ότι I A είναι η ταυτοτική συνάρτηση στο A) 4/7/2017 5
Μερικές χρήσιµες συναρτήσεις Συχνά χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες συναρτήσεις στους πραγµατικούς αριθµούς: Την συνάρτηση floor :R Z, όπου x είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος που είναι µικρότερος ή ίσος του x. ηλ., x : max({i Z i x}). Την συνάρτηση ceiling :R Z, όπου x είναι ο µικρότερος ακέραιος που είναι µεγαλύτερος ή ίσος του x. ηλ., x : min({i Z i x}) 4/7/2017 6
Οπτικοποίηση... 3 2 1 0 1 2 3 1.6 1.4... 3..... 1.6 =2 1.6 =1 1.4 = 1. 1.4 = 2 3 = 3 = 3 4/7/2017 7
Ισχύουν οι παρακάτω ισότητες; x = x x = x 4/7/2017 8
Εξαρτάται από το αν ο x είναι ακέραιος Εάν x Z τότε x = x = x, εποµένως x = x = x x = x = x Αλλά αν x R, τότε x x & x x Π.χ., 3.4 = 4 3 = 3.4 4/7/2017 9
Γραφικές παραστάσεις µε floor/ceiling: παράδειγµα f(x) = x/3 (x-πραγµατικός αριθµός): f(x) +2 3 2 +3 x 4/7/2017 10
Η αρχή του περιστερώνα (!) 4/7/2017 11
Η αρχή του περιστερώνα Pigeonhole principle Dirichlet drawer principle Εάν περισσότερα από k αντικείµενα τοποθετούνται σε k θέσεις, τότε τουλάχιστον σε µία θέση έχουν τοποθετηθεί τουλάχιστον 2 αντικείµενα. Σε σχέση µε την αντίστοιχη συνάρτηση: Εάν f:a B και A B +1, τότε η f δεν µπορεί να είναι 1-1 και εποµένως, περισσότερα από ένα στοιχεία του πεδίου ορισµού έχουν την ίδια εικόνα στο πεδίο τιµών 4/7/2017 12
Παράδειγµα Υπάρχουν 101 δυνατοί βαθµοί (0-100) στην βαθµολόγηση µίας προόδου. Την πρόοδο ΗΥ118 την έδωσαν περισσότεροι από 101 φοιτητές. Εποµένως, πριν δω τα γραπτά, µε βάση την αρχή του περιστερώνα, είµαι βέβαιος ότι θα υπάρξουν τουλάχιστον δύο φοιτητές που θα πάρουν ακριβώς τον ίδιο βαθµό 4/7/2017 13
Γενικευµένη αρχή του περιστερώνα Εάν N αντικείµενα τοποθετούνται σε k θέσεις, τότε υπάρχει µία θέση στην οποία έχουν τοποθετηθεί τουλάχιστον N/k αντικείµενα. 4/7/2017 14
Απόδειξη της γενικευµένης αρχής Εάν N αντικείµενα τοποθετούνται σε k θέσεις, τότε υπάρχει µία θέση στην οποία έχουν τοποθετηθεί τουλάχιστον N/k αντικείµενα. Απόδειξη Ας υποθέσουµε πως κάθε θέση έχει λιγότερα από N/k αντικείµενα. Εποµένως: αριθµός αντικειµένων ανά θέση = Α N/k 1. Τότε ο συνολικός αριθµός αντικειµένων είναι το πολύ N N N ka= k 1 < k + 1 1 = k = N k k k Άρα, ο συνολικός αριθµός αντικειµένων είναι µικρότερος από N, γεγονός που έρχεται σε αντίφαση µε την υπόθεσή µας για N αντικείµενα! 4/7/2017 15
Γενικευµένη αρχή: Παράδειγµα οσµένο: Υπάρχουν 304 εγγεγραµµένοι φοιτητές στο ΗΥ118. Χωρίς να ξέρουµε τίποτε για τα γενέθλια του καθενός από εσάς, ποιά είναι η µεγαλύτερη δυνατή τιµή n για την οποία µπορούµε να ισχυριστούµε µε βεβαιότητα ότι τουλάχιστον n φοιτητές γεννήθηκαν τον ίδιο µήνα; 4/7/2017 16
Γενικευµένη αρχή: Παράδειγµα οσµένο: Υπάρχουν 304 εγγεγραµµένοι φοιτητές στο ΗΥ118. Χωρίς να ξέρουµε τίποτε για τα γενέθλια του καθενός από εσάς, ποιά είναι η µεγαλύτερη δυνατή τιµή n για την οποία µπορούµε να ισχυριστούµε µε βεβαιότητα ότι τουλάχιστον n φοιτητές γεννήθηκαν τον ίδιο µήνα; Απάντηση: 304/12 = 25.33 = 26 4/7/2017 17
Παράδειγµα Υποθέστε ότι µέσα στον Ιούνιο, µία οµάδα θα παίξει τουλάχιστον ένα παιχνίδι την ηµέρα, αλλά συνολικά, το πολύ 45 παιχνίδια. είξτε ότι θα πρέπει να υπάρχει µια ακολουθία από ηµέρες στον Ιούνιο κατά τις οποίες η οµάδα θα παίξει ακριβώς 14 παιχνίδια. 4/7/2017 18
Παράδειγµα Υποθέστε ότι µέσα στον Ιούνιο, µία οµάδα θα παίξει τουλάχιστον ένα παιχνίδι την ηµέρα, αλλά συνολικά, το πολύ 45 παιχνίδια. είξτε ότι θα πρέπει να υπάρχει µια ακολουθία από µέρες στον Ιούνιο κατά τις οποίες η οµάδα θα παίξει ακριβώς 14 παιχνίδια. Απόδειξη: Έστω a j ο αριθµός των παιχνιδιών που η οµάδα έχει παίξει µέχρι και τη µέρα j του Ιουνίου. Τότε, η a 1,,a 30 Z + είναι µία ακολουθία από 30 διαφορετικούς ακεραίους όπου 1 a j 45. Εποµένως, a 1 +14,,a 30 +14 είναι µία ακολουθία από 30 διαφορετικούς ακεραίους µε 15 a j +14 59. Άρα, (a 1,,a 30, a 1 +14,,a 30 +14) είναι µία ακολουθία 60 ακεραίων από το σύνολο {1,..,59}. Από την αρχή του περιστερώνα, δύο από αυτούς είναι ίσοι, αλλά οι a 1,,a 30 είναι διαφορετικοί µεταξύ τους και οι a 1 +14,,a 30 +14 είναι διαφορετικοί µεταξύ τους. Εποµένως, ij: a i = a j +14. Εποµένως, ij: a i a j =14, κι εποµένως υπάρχουν όντως ηµέρες i και j τέτοιες ώστε µεταξύ τους να έχουν παιχτεί 14 παιχνίδια. 4/7/2017 19
Κι άλλο παράδειγµα Αποδείξτε ότι εάν πέντε σηµεία επιλεγούν στο εσωτερικό ενός τετραγώνου πλευράς µήκους 1, τότε υπάρχουν δύο σηµεία που απέχουν το πολύ 2 / 2 4/7/2017 20
Κι άλλο παράδειγµα Πρόβληµα: Αποδείξτε ότι εάν πέντε σηµεία επιλεγούν στο εσωτερικό ενός τετραγώνου πλευράς µήκους 1, τότε αναγκαστικά πρέπει να υπάρχουν δύο σηµεία που απέχουν το πολύ 2 / 2 Λύση: Περιστέρια (5): Τα 5 επιλεγµένα σηµεία Περιστερώνες (4): Οι περιοχές 1/2 1/2 που παίρνουµε ενώνοντας τα µέσα των απέναντι πλευρών του τετραγώνου. Η επιλογή ενός σηµείου στο τετράγωνο αντιστοιχεί στην τοποθέτηση ενός περιστεριού σε ένα περιστερώνα. εδοµένου ότι 5 περιστέρια τοποθετούνται σε 4 περιστερώνες, τουλάχιστο ένα ζεύγος περιστεριών θα τοποθετηθεί στον ίδιο περιστερώνα. Γι αυτά τα σηµεία, είναι προφανές ότι η απόστασή τους είναι µικρότερη από το µήκος της διαγωνίου του 1/2 1/2 τετραγώνου (= 2/2). 4/7/2017 21
Κι άλλο παράδειγµα Πρόβληµα: Έστω µια σκακιέρα από την οποία αφαιρούµε το επάνω αριστερά και το κάτω δεξιά τετράγωνό της. Είναι δυνατόν να καλύψουµε το σκάκι µε κοµµάτια ντόµινο, καθένα από τα οποία έχει µέγεθος ακριβώς 2 τετράγωνα της σκακιέρας; (η τοποθέτηση ενός ντόµινο θεωρείται νόµιµη εάν είναι οριζόντια ή κατακόρυφη). Λύση??? 4/7/2017 22
Κι άλλο παράδειγµα Πρόβληµα: Έστω µια σκακιέρα από την οποία αφαιρούµε το επάνω αριστερά και το κάτω δεξιά τετράγωνό της. Είναι δυνατόν να καλύψουµε το σκάκι µε κοµµάτια ντόµινο, καθένα από τα οποία έχει µέγεθος ακριβώς 2 τετράγωνα της σκακιέρας; (η τοποθέτηση ενός ντόµινο θεωρείται νόµιµη εάν είναι οριζόντια ή κατακόρυφη). Λύση Τα τετράγωνα που αφαιρούµε έχουν το ίδιο χρώµα. Αυτό σηµαίνει πως µετά την αφαίρεσή τους, το ένα χρώµα θα έχει δύο τετράγωνα περισσότερα από το άλλο χρώµα Κάθε τοποθέτηση ενός ντόµινο στη σκακιέρα καλύπτει ακριβώς ένα άσπρο και ακριβώς ένα µαύρο τετράγωνο. Εποµένως, από την αρχή του περιστερώνα γνωρίζουµε ότι δεν θα µπορέσουµε τελικά να καλύψουµε όλα τα τετράγωνα. 4/7/2017 23
Αποδεικνύοντας προτάσεις µέσω της αρχής του περιστερώνα Αποφάσισε ποιά είναι τα «περιστέρια» Αποφάσισε ποιοί είναι οι «περιστερώνες» Αποφάσισε τον κανόνα µε τον οποίο τα «περιστέρια» αντιστοιχίζονται στους «περιστερώνες» Εφάρµοσε την αρχή του περιστερώνα προκειµένου να εξακριβωθεί αν µπορεί να εξαχθεί το επιθυµητό συµπέρασµα 4/7/2017 24
Κι άλλο παράδειγµα Έστω ότι σε ένα κουτί υπάρχουν 10 µπλε και 12 καφέ κάλτσες. Πόσες είναι οι ελάχιστες που πρέπει να βγάλετε (χωρίς να βλέπετε) για να είστε σίγουροι ότι τελικά θα έχετε τουλάχιστο ένα ζευγάρι κάλτσες του ίδιου χρώµατος; 4/7/2017 25
Κι άλλο παράδειγµα Τρεις! Γιατί;;;; Περιστέρια: Κάλτσες που επιλέγονται. Περιστερώνες: τα δύο διαφορετικά χρώµατα. Ψάχνουµε να βρούµε εκείνο το ελάχιστο πλήθος «περιστεριών» που εάν τοποθετήσουµε στους «περιστερώνες», θα µας οδηγήσει στην τοποθέτηση δύο περιστεριών στον ίδιο περιστερώνα. Από την αρχή του περιστερώνα, αυτό είναι 3 Όντως, αν επιλέξω τρεις κάλτσες, τουλάχιστον οι δύο από αυτές θα είναι αναγκαστικά του ίδιου χρώµατος 4/7/2017 26
Κι άλλο παράδειγµα Ένα µπώλ περιλαµβάνει 10 κόκκινες και 10 κίτρινες µπάλες. Πόσες πρέπει να επιλέξουµε προκειµένου να εξασφαλίσουµε ότι θα έχουµε τρεις του ίδιου χρώµατος; Πόσες µπάλες απαιτούνται αν έχουµε 2 χρώµατα και κάποιος πρέπει να επιλέξει 3 µπάλες ίδιου χρώµατος; Πόσα περιστέρια πρέπει να έρθουν στον περιστερώνα αν πρέπει 3 να µπουν υποχρεωτικά στην ίδια θέση και υπάρχουν 2 θέσεις; Αριθµός θέσεων: k = 2 Θέλουµε N/k = 3 Ποιο είναι το ελάχιστο N? N = 5 27
Μέσα σε έξι αµοιβαίες γνωριµίες, µπορεί κανείς να βρει αναγκαστικά µια υποοµάδα τριών αµοιβαίων φίλων, ή τριών αµοιβαίων εχθρών.
Μέσα σε έξι αµοιβαίες γνωριµίες, µπορεί κανείς να βρει αναγκαστικά µια υποοµάδα τριών αµοιβαίων φίλων, ή τριών αµοιβαίων εχθρών. Φ Φ Φ
Μέσα σε έξι αµοιβαίες γνωριµίες, µπορεί κανείς να βρει αναγκαστικά µια υποοµάδα τριών αµοιβαίων φίλων, ή τριών αµοιβαίων εχθρών. E E E
Μέσα σε έξι αµοιβαίες γνωριµίες, µπορεί κανείς να βρει αναγκαστικά µια υποοµάδα τριών αµοιβαίων φίλων, ή τριών αµοιβαίων εχθρών. Πως θα το αποδεικνύαµε αυτό; Θα µπορούσαµε να απαριθµήσουµε όλες τις σχέσεις γνωριµίας Υπάρχουν 15 ζεύγάρια... Για κάθε ζευγάρι, υπάρχουν δύο ενδεχόµενα, να είναι φίλοι ή εχθροί Άρα, 2 15 δυνατές σχέσεις Αν θέλουµε ένα λεπτό για να αναλύσουµε κάθε σχέση, θα χρειαζόµασταν 546 ώρες...
Ας επιλέξουµε ένα άτοµο: * Έχει 5 γνωριµίες * Αυτές οι 5 πρέπει να είναι είτε µε εχθρούς, είτε µε φίλους Η αρχή του περιστερώνα µας λέει ότι τουλάχιστον τρεις θα πρέπει να είναι ίδιες, δηλαδή είτε τρεις φίλοι είτε τρεις εχθροί
Έστω οι τρεις φίλοι του * *???
Έστω οι τρεις φίλοι του * Είτε τουλάχιστον δύο από τους τρείς είναι φίλοι µεταξύ τους *?? Οπότε έχουµε µια παρέα 3 φίλων
Έστω οι τρεις φίλοι του * Είτε τουλάχιστον δύο από τους τρείς είναι φίλοι µεταξύ τους Είτε κανείς δεν είναι φίλος µε τους υπόλοιπους δύο * Οπότε έχουµε τρεις εχθρούς
Ανάλογα αν θεωρήσουµε ότι και οι τρεις είναι εχθροί του * *???
Κάποιοι ορισµοί Υποθέστε ότι οι a 1,a 2, a n αποτελούν µια ακολουθία διαφορετικών πραγµατικών αριθµών. Μια υποακολουθία αυτής της ακολουθίας είναι µια ακολουθία a i1, a i 2,, a i m, όπου 1 i 1 < i 2 <... < i m n Μια ακολουθία λέγεται αυστηρά αύξουσα αν κάθε όρος της είναι αυστηρά µεγαλύτερος από τον προηγούµενο. Μια ακολουθία λέγεται αυστηρά φθίνουσα αν κάθε όρος της είναι αυστηρά µεγαλύτερος από τον επόµενο. Πχ: {1, 5, 6, 2, 3, 9} είναι µια ακολουθία. {5,6,9} είναι µια αυστηρά αύξουσα υπακολουθία
Θεώρηµα Θεώρηµα: Κάθε ακολουθία n 2 +1 διαφορετικών πραγµατικών αριθµών περιλαµβάνει υποακολουθία µήκους τουλάχιστον n+1, η οποία είναι αυστηρά αύξουσα ή φθίνουσα Παράδειγµα: 8, 11, 9, 1, 4, 6, 12, 10, 5, 7 10 = 3 2 +1 όροι, άρα πρέπει να υπάρχει υπακολουθία µήκους 4 η οποία είναι αυστηρά αύξουσα ή φθίνουσα. Πράγµατι, 1,4,6,12 1,4,6,7 11,9,6,5
Θεώρηµα Έστω a 1, a 2,, a n 2+1 ακολουθία n 2 +1 διαφορετικών αριθµών. Σχετίστε κάθε όρο της µε ένα διατεταγµένο ζεύγος (i k,d k ) όπου i k το µήκος της µέγιστης αύξουσας ακολουθίας που ξεκινά από το a k και d k το µήκος της µέγιστης φθίνουσας ακολουθίας που ξεκινά από το a k. Πχ: 8, 11, 9, 1, 4, 6, 12, 10, 5, 7 a 2 = 11, (2,4) a 4 = 1, (4,1) Απόδειξη µε αντίφαση: Ας υποθέσουµε ότι δεν υπάρχει αύξουσα ή φθίνουσα ακολουθία µήκους n+1 ή µεγαλύτερου. Τότε, οι i k και d k είναι θετικοί ακέραιοι n, για k=1 έως το n 2 +1.
Υπάρχουν n 2 δυνατά διατεταγµένα ζεύγη (i k,d k ). (Γιατί;;;). Από την αρχή του περιστερώνα, εφόσον έχουµε n 2 +1 διατεταγµένα ζεύγη (ένα για κάθε όρο της ακολουθίας) δύο από αυτά θα είναι ακριβώς τα ίδια. Τυπικά, όροι a s και a t της ακολουθίας, µε s<t τέτοιοι ώστε i s = i t και d s = d t. Θα δείξουµε ότι αυτό δεν είναι δυνατόν. Επειδή οι όροι της ακολουθίας είναι διαφορετικοί, είτε a s <a t είτε a s > a t. Αν a s < a t, µια αύξουσα υπακολουθία µήκους i t +1 (ή µεγαλύτερου) µπορεί να κατασκευαστεί, ξεκινώντας από το a s ακολουθούµενο από αύξουσα υπακολουθία µήκους i t, ξεκινώντας από το a t. Αλλά είπαµε ότι i s = i t. Αυτό είναι αντίφαση. Όµοια, αν a s > a t, µπορούµε να δείξουµε ότι το d s πρέπει να είναι µεγαλύτερο από το d t, το οποίο είναι επίσης αντίφαση.
Ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις Αυτή ήταν µια «δύσκολη» απόδειξη, που µας πήρε λίγη ώρα να διατυπώσουµε και να καταλάβουµε Πόσο χρόνο θα µας έπαιρνε για να λύσουµε αυτό το πρόβληµα δοκιµάζοντας όλα τα δυνατά ενδεχόµενα; Για ακολουθίες µήκους 2: 2 ενδεχόµενα Για ακολουθίες µήκους 5: 120 ενδεχόµενα Για ακολουθίες µήκους 10: 3.628.800 ενδεχόµενα Για ακολουθίες µήκους 17: 3,6 x 10 14 ενδεχόµενα Για ακολουθίες µήκους 26: 4.0 x 10 26 ενδεχόµενα Για ακολουθίες µήκους 37: 1.4 x 10 43 ενδεχόµενα
Ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις Ταχύτητα του φωτός: 3,0 x 10 8 m/sec ιάµετρος πρωτονίου: 10-15 m Ας υποθέσουµε ένα υπολογιστή που κάνει µια πράξη στο χρονικό διάστηµα που χρειάζεται το φως για να διανύσει απόσταση ίση µε τη διάµετρο του πρωτονίου. Μιλάµε για ένα υπολογιστή που κάνει 3,0 x 10 23 πράξεις το δευτερόλεπτο Συγκρίνετέ τον µε τους σηµερινούς σειριακούς υπολογιστές που µπορούν να κάνουν 6,0 x 10 11 πράξεις το δευτερόλεπτο
Ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις Το Big Bang συνέβει πριν από περίπου 14 δισεκατοµµύρια χρόνια ηλαδή πριν από 4,4 x 10 17 sec Άρα, αν ξεκινάγαµε µε το Bing Bang, θα είχαµε κάνει 1,33 x 10 41 πράξεις σε αυτόν τον υπολογιστή ηλαδή, η εξαντλητική απαρίθµηση δεν θα είχε ολοκληρωθεί και δεν θα είχαµε καταφέρει να αποδείξουµε το θεώρηµα ούτε καν για ακολουθίες 37 διαφορετικών αριθµών Για την ακρίβεια, θα χρειαζόµασταν κάπου 100 φορές την ηλικία του σύµπαντος Η µαθηµατική απόδειξη πήρε πολύ λιγότερο και µας δίνει τη βεβαιότητα για οποιοδήποτε µήκος ακολουθίας
Συνέπειες Συµπίεση χωρίς απώλειες (Lossless compression) Κάθε αλγόριθµος συµπίεσης γενικού σκοπού ο οποίος επιτρέπει πλήρη ανάκτηση της αρχικής πληροφορίας και ο οποίος µειώνει το µέγεθος ενός αρχείου εισόδου, είναι καταδικασµένος να κάνει το µέγεθος κάποιου άλλου αρχείου µεγαλύτερο! ( Αλλιώς, δύο αρχεία θα έπρεπε υποχρεωτικά να συµπιέζονται στο ίδιο, µικρότερο αρχείο, πράγµα που θα σήµαινε ότι δεν θα µπορούσαµε να ανακτήσουµε την αρχική πληροφορία) (Hash functions Τα collisions είναι αναπόφευκτα σε hash tables γιατί ο αριθµός των κλειδιών είναι µεγαλύτερος από τον αριθµό των δεικτών στο hash table. ) 4/7/2017 44
4/7/2017 45