ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Προπαρασκευαστικό μάθημα: Αναλογισμός Κ. Πολίτης Πανεπιστήμιο Πειραιά, Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Οκτώβριος 2014 1
Τι είναι αναλογισμός; Η αναλογιστική επιστήμη χρησιμοποιεί μαθηματικές και στατιστικές μεθόδους για τη μελέτη και την αποτίμηση των κινδύνων στο χώρο της ασφάλισης, των χρηματοοικονομικών αλλά και σε άλλους κλάδους. Κίνδυνος είναι οποιαδήποτε ενδεχόμενη απώλεια μιας επιχείρησης η οποία μπορεί να ποσοτικοποιηθεί. 2
a Τι είναι αναλογισμός; Μαθηματικά Στατιστική Πιθανότητες Οικονομική θεωρία Αναλογισμός Δημογραφία Επιστήμη Υπολογιστών Χρηματοοικονομικά 3
Αναλογισμός Πεδία εφαρμογών Διοικητική Κινδύνου Χρηματοοικονομικά και Επενδύσεις Γενικές Ασφαλίσεις Ασφαλίσεις Υγείας Ασφαλίσεις Ζωής Συντάξεις 4
Δομή του Προγράμματος Σπουδών Α Εξάμηνο Οικονομικά και χρηματοοικονομικά μαθηματικά Θεωρία Κινδύνου Ι Ζημιοκατανομές και θεωρία ακραίων τιμών Συμβάντα Ζωής και Θανάτου Ι Θεωρία Επενδύσεων και διοίκησης χαρτοφυλακίου Στατιστικές Μέθοδοι Στοχαστικές διαδικασίες Κύρια μαθηματικά εργαλεία Θεωρία κατανομών πιθανότητας Διακριτές και συνεχείς κατανομές Δεσμευμένη πιθανότητα Γεννήτριες συναρτήσεις Από κοινού κατανομές Άλλες βασικές έννοιες Ράντες Χρηματοροές 5
Ιστορία της ασφάλισης Θαλάσσια ασφάλιση 4 ος αιώνας π. Χ. στην αρχαία Ελλάδα Το 14 ο αιώνα η μελέτη των κινδύνων διαχωρίζεται για πρώτη φορά από τα χρηματοοικονομικά 16 ος αιώνας ασφαλιστικά συμβόλαια στη Μ. Βρετανία για συντάξεις και θαλάσσια ταξίδια 1583 το πρώτο ασφαλιστήριο ζωής 1693 ο πρώτος πίνακας επιβίωσης (life table) που χρησιμοποιείται για την αγορά ασφάλισης ζωής (Edmond Halley, 1693) 1848 ίδρυση του Institute of Actuaries στο Λονδίνο 6
Σήμερα το Ινστιτούτο Αναλογιστών έχει περίπου 25000 μέλη (~60% ασχολούνται με Ασφαλίσεις Ζωής και Συντάξεις) Άλλοι αναλογιστικοί οργανισμοί Society of Actuaries (ΗΠΑ, 1909) International Actuarial Association Στην Ελλάδα υπάρχει από το 1979 η Ένωση Αναλογιστών Ελλάδος 7
Αρχές υπολογισμού του ασφαλίστρου Θεωρία ωφελιμότητας Ας φανταστούμε ότι μας προτείνουν να συμμετάσχουμε στο παρακάτω τυχερό παιχνίδι Παιχνίδι Α: Ρίχνουμε ένα ζάρι. Αν το αποτέλεσμα είναι άρτιος, κερδίζουμε 100 ευρώ. Αν είναι περιττός, χάνουμε 80. Θα συμμετείχαμε σε αυτό; Πιθανότατα τρέχοντας!! Ας θεωρήσουμε τώρα ότι μας προτείνεται ένα εναλλακτικό παιχνίδι Παιχνίδι Β: Ρίχνουμε ένα ζάρι. Αν το αποτέλεσμα είναι άρτιος, κερδίζουμε 50000 ευρώ. Αν είναι περιττός, χάνουμε 40000. Θα συμμετείχαμε σε αυτό το παιχνίδι; 8
Χμμμμ... Και στα δύο παιχνίδια το αναμενόμενο κέρδος είναι θετικό. Αν Χ,Υ είναι τα αντίστοιχα κέρδη για τα δύο παιχνίδια, τότε 1 1 E( X ) = 100 + = 2 2 ( 80) ) 10 Με βάση το αναμενόμενο κέρδος το Παιχνίδι Β είναι σαφώς προτιμότερο. Όμως προϋποθέτει Α. μεγάλη οικονομική δυνατότητα, και 1 1 E( Y ) = 50000 + = 2 2 ( 40000) ) 5000 Β. Επιθυμία για κέρδος (έστω και αν αυτό σημαίνει ανάληψη μεγάλου κινδύνου). 9
Οι περισσότεροι άνθρωποι δεν διαθέτουν αυτή την οικονομική δυνατότητα Δεν επιθυμούν να αναλάβουν έναν τόσο μεγάλο κίνδυνο (κινδυνοφοβία, risk aversion) Για μία εταιρεία, όμως, το πρώτο από αυτά δεν αποτελεί πρόβλημα (αρχή της ωφελιμότητας) Το δεύτερο εξαρτάται από τη στρατηγική της εταιρείας ως προς τον κίνδυνο (διαχείριση κινδύνου) 10
Διαχείριση (ή διοικητική) κινδύνου Είναι η ταυτοποίηση, (ποσοτική) αξιολόγηση και ιεράρχηση των κινδύνων με στόχο την αξιοποίηση των διαθέσιμων οικονομικών πόρων έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί η πιθανότητα ή/και το μέγεθος κάποιου ανεπιθύμητου συμβάντος. Στην πράξη υπάρχουν διάφορες μέθοδοι ανάλογα με το είδος του κινδύνου, όπως Πιστωτικός κίνδυνος Λειτουργικός κίνδυνος Κίνδυνος αγοράς κοκ. 11
Κύριο κανονιστικό πλαίσιο: Solvency II Με τον όρο φερεγγυότητα (solvency) μιας ασφαλιστικής επιχείρησης εννοούμε ένα πλαίσιο κανόνων, αντίστοιχο του συστήματος κεφαλαιακής επάρκειας για τις τράπεζες και τις επενδυτικές εταιρείες. ΤρειςβασικοίπυλώνεςστοσχεδιασμότουSolvency II Ποσοτικές προδιαγραφές Ποιοτικές προδιαγραφές Εφαρμογή 12 Αρχική οδηγία από το Ευρ. Κοινοβούλιο το 2009 Αναθεώρηση το 2013 Omnibus 2013 καθορίζει ημερομηνία έναρξης για την εφαρμογή της Οδηγίας την 1/1/2016.
Είδη ασφαλίσεων Βασική διάκριση στον ασφαλιστικό χώρο είναι ανάμεσα σε: Ασφαλίσεις ζωής (Life insurance) Άλλες ασφαλίσεις (Non-Life insurance) Μία ουσιώδης διαφορά είναι ότι σε μία ασφάλιση ζωής, ο ασφαλισμένος δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία απαιτήσεις! Επίσης στις ασφαλίσεις ζωής, το ύψος της αποζημίωσης είναι τις περισσότερες φορές προκαθορισμένο. 13
Ασφαλίσεις ζωής Το πρώτο είδος ασφάλισης που αναπτύχθηκε Από το 17 ο αιώνα χρησιμοποιούνται μαθηματικά εργαλεία για τον υπολογισμό ενός ασφαλίστρου ζωής Όπως αναφέρθηκε, το κύριο ενδιαφέρον γιατονασφαλιστήδενείναιτοποσότης αποζημίωσης αλλά το πότε (και αν) θα πληρωθεί το ποσό αυτό. 1000 σήμερα δεν έχουν την ίδια αξία με 1000 π.χ. σε 30 έτη. 14
Ασφαλίσεις ζωής κύρια είδη συμβολαίων Τα κυριότερα είδη ενός ασφαλιστικού συμβολαίου ζωής είναι: Απλή ή πρόσκαιρη ασφάλιση ζωής Η ασφαλιστική προστασία είναι περιορισμένη π.χ. για 10 ή 20 έτη. Αν ο ασφαλισμένος αποβιώσει μέσα σε αυτό το διάστημα, το ασφαλισμένο κεφάλαιο καταβάλλεται στον δικαιούχο. Διαφορετικά, ο ασφαλιστής δεν έχει καμία υποχρέωση. Ισόβια ασφάλιση ζωής Προστασία εφ όρου ζωής (συνήθως μέχρι την ηλικία των 100 ετών). Μικτή ασφάλιση Αν ο ασφαλισμένος αποβιώσει μέσα σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, το ασφάλισμα καταβάλλεται στο δικαιούχο. Αν επιβιώσει για το διάστημα αυτό, λαμβάνει ο ίδιος το συμφωνηθέν κεφάλαιο. 15
Σύνθετος τόκος Απλός τόκος: Αν επενδύσουμε 100 για 5 έτη και το ετήσιο επιτόκιο είναι 4%, το ποσό που θα λάβουμε στο τέλος της περιόδου θα είναι 100+4 5=100 (1+0,04 5)=120 με την προϋπόθεση ότι ο τόκος δεν κεφαλαιοποιείται. Σύνθετος τόκος: ο τόκος στο τέλος κάθε έτους γίνεται μέρος του κεφαλαίου για το επόμενο. Στο τέλος του 1 ου έτους, τοδιαθέσιμοποσόείναι 100 (1+0,04)=104, Στο τέλος του 2 ου έτους, τοδιαθέσιμοποσόείναι 104 (1+0,04)= 100 (1+0,04) 2 =108,16 κοκ. Το ποσό που θα εισπράξουμε στο τέλος των 5 ετών είναι 100 (1+0,04) 5 =121,67. Η εξέλιξη του κεφαλαίου είναι τώρα μη γραμμική συνάρτηση 16 του χρόνου.
Ράντες (annuities) Στις ασφαλίσεις ζωής η πληρωμή του ασφαλίστρου γίνεται με τη μορφή μιας ράντας (>rent= ενοίκιο). Μία σειρά πληρωμών που γίνεται σε ισαπέχουσες χρονικές στιγμές. Αν η κάθε πληρωμή γίνεται στην αρχή κάθε περιόδου, έχουμε προκαταβλητέα ράντα. Αν γίνεται στο τέλος κάθε περιόδου, έχουμε ληξιπρόθεσμη ράντα. 17
Ράντες Μία άλλη βασική κατηγοριοποίηση για τις ράντες είναι ανάμεσα σε: Βέβαιες ράντες όλες οι πληρωμές, δηλαδή οι όροι της ράντας είναι προκαθορισμένες εξαρχής (χρηματοοικονομικά μαθηματικά) Μη βέβαιες ράντες οι πληρωμές εξαρτώνται από την επιβίωση ενός ή περισσοτέρων ατόμων (Συμβάντα ζωής και θανάτου συντάξεις) 18
Βέβαιες ράντες Κεντρική ιδέα είναι αυτή της παρούσας αξίας η συνολική αξία των πληρωμών τη χρονική αξία έναρξης του συμβολαίου. Π.χ. ας υποθέσουμε ότι για ένα διάστημα 15 ετών γίνεται καταβολή 1 στην αρχή κάθε έτους. Η συνολική παρούσα αξία αυτών των 15 πληρωμών ισούται με (1+i) 0 + (1+i) -1 + (1+i) -2 + + (1+i) -14 Αν αντί για 1, η ετήσια καταβολή είναι α, τότε το παραπάνω αποτέλεσμα πολλαπλασιάζεται επί α. 19
Μη βέβαιες ράντες Εδώ ο αριθμός των πληρωμών δεν είναι γνωστός εκ των προτέρων π.χ. διακόπτεται με το θάνατο ενός ασφαλισμένου Η παρούσα αξία της ράντας είναι τώρα μία τυχαία μεταβλητή Για τη μελέτη αυτής της μεταβλητής, καθώς και άλλων συναφών ποσοτήτων, χρειάζεται να γνωρίζουμε την πιθανότητα θανάτου για κάθε ασφαλισμένο π.χ. ανά έτος Δύο κύριοι παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται αυτή η πιθανότητα Α. η ηλικία του ασφαλισμένου Β. το φύλο του 20
Πίνακες επιβίωσης Ένας πίνακας επιβίωσης περιγράφει τη θνησιμότητα ενός πληθυσμού, όπως αυτή καθορίζεται από ιστορικά (κυρίως) δεδομένα Παραδοσιακά υπάρχουν ξεχωριστοί πίνακες για άντρες και γυναίκες Επίσης, ξεχωριστοί πίνακες για κάθε χώρα 21
Πίνακες επιβίωσης Ας υποθέσουμε ότι ένας πληθυσμός 40000 ατόμων αποτελείται από άτομα ηλικίας 40 ετών. Η ποσότητα l x στον πίνακα δεξιά δείχνει τον αναμενόμενο αριθμό ατόμων που θα επιβιώσουν έως την ηλικία x. Έτσι, ο πίνακας μας δίνει (εύκολα) μία εκτίμηση για την πιθανότητα επιβίωσης ενός ατόμου ηλικίας x έως την ηλικία x+k (για διάφορα x,k). Π.χ. Για ένα άτομο 40 ετών, η πιθανότητα να επιβιώσει σε ένα διάστημα 5 ετών είναι l l 39041 40000 45 = = 40 0,97603. x l x 40 40000 41 39879 42 39752 43 39406 44 39228 45 39041 46 38849 47 38638 48 38412 22
Πίνακες επιβίωσης Στην αναλογιστική συμβολίζεται με 5 p 40. ορολογία, η πιθανότητα αυτή Γενικά, ο συμβολισμός k p x δηλώνει την πιθανότητα ένα άτομο με (ακέραιη) ηλικία x έτη να επιβιώσει για ένα διάστημα (τουλ.) k ετών. Για k=1, γράφουμε απλά p x = 1 p x Η αντίστοιχη πιθανότητα για ένα άτομο με ηλικία x να μην επιβιώσει σε ένα διάστημα k ετών συμβολίζεται με k q (για k=1, ο συμβολισμός είναι q x x). Προφανώς ισχύουν οι σχέσεις k q x =1- k px, q x =1-p x 23
Άλλες Ασφαλίσεις (εκτός ζωής) Κάποιες βασικές έννοιες στις γενικές ασφαλίσεις είναι: Η θεωρία του συλλογικού κινδύνου Μέθοδοι αποθεματοποίησης Καταστροφικοί κίνδυνοι (π.χ. από φυσικές καταστροφές) θεωρία ακραίων τιμών ανάγκη για αντασφάλιση; 24
Θεωρία συλλογικού κινδύνου Στις ασφαλίσεις ζωής, η μαθηματική ανάλυση για τα έσοδα και τα έξοδα της ασφαλιστικής εταιρείας γίνεται σε μεγάλο βαθμό ανά άτομο Εδώ υποθέτουμε ότι κάθε ασφαλιζόμενος μπορεί να έχει περισσότερες από μία απαιτήσεις Η εταιρεία ενδιαφέρεται μόνο για τις συνολικές απαιτήσεις που θα κληθεί να καταβάλει σε ένα διάστημα π.χ.. 2 ετών. Έστω S αυτές οι συνολικές απαιτήσεις (τ.μ.).) 25
Θεωρία συλλογικού κινδύνου Το μέγεθος των συνολικών απαιτήσεων εξαρτάται από Α. το πλήθος των απαιτήσεων Β. τα μεγέθη των απαιτήσεων Καθεμία από αυτές τις ποσότητες μπορεί να παρασταθεί με μία τυχαία μεταβλητή Έστω Ν η μεταβλητή που δηλώνει το πλήθος των απαιτήσεων στο διάστημα που εξετάζουμε και Χ 1, Χ 2, Χ 3,..., τα μεγέθη αυτών των απαιτήσεων 26
Θεωρία συλλογικού κινδύνου - υποθέσεις Οι συνήθεις υποθέσεις που κάνουμε σε ένα τέτοιο υπόδειγμα είναι : Ο χρονικός ορίζοντας που εξετάζουμε είναι σταθερός Οι Χ 1, Χ 2, Χ 3,..., είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. Χ 1, Χ 2, Χ 3,... είναι ανεξάρτητες από το πλήθος Ν των απαιτήσεων. Όλες οι απαιτήσεις πληρώνονται αμέσως και στο ακέραιο!! (άρα( απαίτηση = αποζημίωση) 27
Θεωρία συλλογικού κινδύνου Τι είδους κατανομή ακολουθεί η μεταβλητή S που παριστάνει τις συνολικές απαιτήσεις; Από μαθηματική άποψη η S μπορεί να γραφεί στη μορφή S=Χ 1 + Χ 2 +Χ 3 +...+Χ Ν (αν Ν=1,2,...) S=0 (αν N=0) Δηλαδή ως άθροισμα τυχαίου αριθμού τυχαίων μεταβλητών (random sum) 28
Η κατανομή του συνολικού κινδύνου Αυτός είναι ο ορισμός μίας σύνθετης κατανομής! Βασικό αποτέλεσμα από τις πιθανότητες Ε(S)= E(N)E(X i ) (ταυτότητα του Wald) Προκύπτει από τη γνωστή σχέση Ε Υ [Ε Χ (Χ Υ)] = Ε(Χ) που ισχύει για οποιεσδήποτε τυχαίες μεταβλητές Χ,Υ 29
Κατανομές πιθανότητας στον αναλογισμό Δύο είδη τυχαίων μεταβλητών (και κατανομών πιθανότητας) Διακριτές Συνεχείς Στην αναλογιστική επιστήμη, Διακριτές κατανομές Μοντέλα για το πλήθος των ζημιών Συνεχείς κατανομές Μοντέλα για το μέγεθος των ζημιών (ζημιοκατανομές ή κατανομές απώλειας) 30
Κατανομές πιθανότητας στον αναλογισμό Έτσι, π.χ. για το πλήθος των ζημιών σε ένα χαρτοφυλάκιο σε ένα χαρτοφυλάκιο οι κατανομές που χρησιμοποιούνται ως μοντέλα είναι διωνυμική, γεωμετρική, Poisson, αρνητική διωνυμική κα. 31
Κατανομές πιθανότητας στον αναλογισμό Για το μέγεθος κάθε (ατομικής) ζημιάς χρησιμοποιούνται συνεχείς κατανομές, όπως Εκθετική, Γάμμα, μετασχηματισμένη Γάμμα, Weibull, Pareto, γενικευμένη Pareto, Burr, Λογαριθμοκανονική, paralogistic, κλπ. Οι περισσότερες από αυτές είναι κατανομές με βαριά ουρά (η συνάρτησηεπιβίωσης, 1-F(x), συγκλίνει πιο αργά στο μηδέν από την αντίστοιχη συνάρτηση για την εκθετική κατανομή). 32
Κατανομές πιθανότητας στον αναλογισμό εκτιμητική και προσαρμογή σε πραγματικά δεδομένα Όταν η κατανομή και για το πλήθος και για τα μεγέθη των αποζημιώσεων θεωρείται γνωστή, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες αυτής της κατανομής για να υπολογίσουμε την κατανομή άλλων ποσοτήτων, π.χ. το συνολικό κίνδυνο σε ένα χαρτοφυλάκιο Στην πράξη, είναι πιθανόν καμία από αυτές (ή οι παράμετροι αυτών των κατανομών) να μην είναι γνωστή χρειάζεται να εκτιμηθεί από τα δεδομένα επίσης, να ελεγχθεί η προσαρμογή αυτής της κατανομής στα δεδομένα που έχουμε.. Πολλές φορές, καμία από τις γνωστές κατανομές δεν προσαρμόζεται ικανοποιητικά 33
Κατανομές πιθανότητας στον αναλογισμό πώς δημιουργούμε «νέες κατανομές» Έστω Χ 1, Χ 2,..., Χ ν τυχαίες μεταβλητές με αντίστοιχες συναρτήσεις κατανομής F 1, F 2,,, F ν (όπου τα F 1, F 2,,, F ν είναι διαφορετικά ανά δύο) Τότε η συνάρτηση με τύπο F(y)= )=α 1 F 1 (y)+ α 2 F 2 (y)+ + α v F v (y), y 0 είναι μία νέα συνάρτηση κατανομής με την προϋπόθεση ότι α+ α 2 + + α v =1, α i 0. Η κατανομή αυτή ονομάζεται μείξη των F 1, F 2,,, F ν 34
Η κατανομή του συνολικού κινδύνου (συνέχεια) Έστω Ν η μεταβλητή που δηλώνει το πλήθος των απαιτήσεων σε ένα χαρτοφυλάκιο και Χ 1, Χ 2, Χ 3,..., τα μεγέθη αυτών των απαιτήσεων Τότε είδαμε ότι ο συνολικός κίνδυνος γράφεται στη μορφή S=Χ 1 + Χ 2 +Χ 3 +...+Χ Ν (αν Ν=1,2,...) S=0 (αν N=0) Το κύριο πρόβλημα είναι Μπορώ αν γνωρίζω την κατανομή G του Ν και την κατανομή F των X i να υπολογίσω τη συνάρτηση κατανομής, έστω H, της μεταβλητής S; 35
Η κατανομή του συνολικού κινδύνου Ένα πρώτο ερώτημα είναι: Τι είδους είναι η κατανομή του συνολικού κινδύνου S(διακριτή ή συνεχής); Αν η κατανομή των ατομικών ζημιών F είναι διακριτή, τότε και η κατανομή Η του S είναι διακριτή. Αν η κατανομή F είναι συνεχής, τότε η Η είναι μία μεικτή κατανομή έχει μάζα πιθανότητας στο σημείο 0, πυκνότητα στο διάστημα (0, ). 36
Η κατανομή του συνολικού κινδύνου Κύριο εργαλείο από τις πιθανότητες: ροπογεννήτριες συναρτήσεις Αν Χ το μέγεθος μιας ζημιάς, τότε Μ X (t)= )=E(e tx ) είναι η ροπογεννήτρια συνάρτηση για την X. Αντίστοιχα Μ Ν (t)=e(e tν ) είναι η ροπογεννήτρια συνάρτηση για το πλήθος Ν των ζημιών 37
Η κατανομή του συνολικού κινδύνου Βασικό αποτέλεσμα από τις πιθανότητες: Η ροπογεννήτρια της σύνθετης τυχαίας μεταβλητής S=Χ 1 + Χ 2 +...+Χ Ν είναι M S (t)=m N (log (M X (t)) Π.χ. Αν η Ν είναι Poisson, τότε Μ Ν (t) = exp[λ(e t -1)] Συνεπώς Μ S (t) = exp[λ(m X (t)-1)] 38
Fisher Tippett (1928) Θεωρία ακραίων τιμών Έστω Χ 1, Χ 2,..., Χ ν ένα τυχαίο δείγμα από μία κατανομή F με μέση τιμή μ, και X ο δειγματικός μέσος. Τότε Από τον ισχυρό νόμο μεγάλων αριθμών, μ με πιθανότητα 1 (σχεδόν βέβαια). ΑπότοΚεντρικόοριακόθεώρημα, X Χ σ / μ Ν(0,1) ν καθώς ν 39
Θεωρία ακραίων τιμών Στη θεωρία ακραίων τιμών, αντί για το δειγματικό μέσο αναζητούμε την ασυμπτωτική κατανομή του μεγίστου Χ (ν) =max{χ 1, Χ 2,..., Χ ν } ενός δείγματος από μία κατανομή F. Αρχικά παρατηρούμε ότι P(Χ (ν) x)=p(χ 1 x, Χ 2 x,..., Χ ν x) =[F(x F(x)] ν το οποίο συγκλίνει στη μονάδα, αν F(x)=1 στο 0, αν F(x)<1. 40
Θεωρία ακραίων τιμών Συνεπώς, το πρόβλημα για τη μελέτη της ασυμπτωτικής κατανομής του Χ (ν) είναι τετριμμένο. Το βασικό πρόβλημα με ενδιαφέρον (αντίστοιχο του ΚΟΘ) είναι το εξής: Να βρεθούν δύο ακολουθίες αριθμών (a ν ), (b( ν ) έτσι ώστε (Χ (ν) a ν )/ b ν H (σύγκλιση κατά κατανομή), για κάποια μη εκφυλισμένη κατανομή H. Το βασικό αποτέλεσμα είναι ότι η Η ανήκει αναγκαστικά σε μία από τρεις οικογένειες (τύπους) κατανομών κατανομές ακραίων τιμών. 41
Αντασφάλιση Με την ασφάλιση ένα άτομο, ή μία ομάδα ατόμων εκχωρεί μέρος ενός κινδύνου στον ασφαλιστή. Σε περιπτώσεις που ο ασφαλιστής δεν μπορεί να αναλάβει όλον αυτόν το σωρευτικό κίνδυνο, ασφαλίζεται και αυτός (σε έναν ή περισσότερους αντασφαλιστές). 42
Είδη Αντασφάλισης Δύο είναι οι κύριοι τύποι αντασφάλισης: Αναλογική αντασφάλιση: για κάθε απαίτηση Χ, ο ασφαλιστής πληρώνει ένα σταθερό ποσοστό αχ αυτής της απαίτησης. Το υπόλοιπο ποσό (1-α)Χ καλύπτεται από τον αντασφαλιστή. Μη αναλογική αντασφάλιση: Το κυριότερο είδος είναι η κάλυψη υπερβάλλοντος ποσού ζημίας (excess of loss reinsurance). Ο ασφαλιστής καλύπτει εξ ολοκλήρου κάθε απαίτηση που δεν υπερβαίνει ένα προκαθορισμένο ποσό Μ. Για κάθε απαίτηση Χ που είναι μεγαλύτερη από Μ, Ο ασφαλιστής αποζημιώνει Μ χρηματικές μονάδες Ο αντασφαλιστής καλύπτει το υπόλοιπο ποσό, Χ-Μ Γενικά δηλαδή για οποιαδήποτε απαίτηση Χ, το ποσό που πληρώνει ο αντασφαλιστής παριστάνεται από την τυχαία μεταβλητή max(0,x-m). 43