F 0 6 6 0,3 0,3 30 30 1 4 10 0, 0,5 0 50 8 18 0,4 0,9 40 90 3 0 0,1 1 10 100 Άζξνηζκα 0 1 100 F F CV 10 s R s Βασικές έννοιες Γραφικές παραστάσεις Ομαδοποίηση Γραφική παράσταση ομαδοποίησης Παράμετροι θέσης και διασποράς υντελεστής μεταβολής Ερωτήσεις θεωρίας Θέματα εξετάσεων
Σηαηιζηική 1 1.1 Βαζηθέο Έλλνηεο Ση νλνκάδεηαη ζηαηηζηηθή; ηαηηζηηθή είλαη ν θιάδνο ησλ καζεκαηηθώλ ν νπνίνο σο έξγν έρεη ηε ζπγθέληξσζε ζηνηρείσλ, ηελ ηαμηλόκεζή ηνπο θαη ηελ παξνπζίαζή ηνπο ζε θαηάιιειε κνξθή ώζηε λα κπνξνύλ λα αλαιπζνύλ θαη λα εξκελεπζνύλ γηα ηελ εμππεξέηεζε δηαθόξσλ ζθνπώλ. Ση νλνκάδεηαη πιεζπζκόο θαη ηη άηνκα ηνπ πιεζπζκνύ; Ση νλνκάδεηαη κέγεζνο ελόο πιεζπζκνύ θαη πωο ζπκβνιίδεηαη; Γηα ηε ζύληαμε πηλάθσλ, ζπιιέγνληαη ζηνηρεία πνπ αλαθέξνληαη ζε έλα ζύλνιν αληηθεηκέλσλ. Σν ζύλνιν απηό ησλ αληηθεηκέλσλ νλνκάδεηαη πιεζπζκόο. Κάζε ζηνηρείν ηνπ πιεζπζκνύ νλνκάδεηαη άηνκν. Μέγεζνο ελόο πιεζπζκνύ νλνκάδεηαη ην πιήζνο ησλ αηόκσλ ηνπ θαη ζπκβνιίδεηαη κε. Ση νλνκάδεηαη κεηαβιεηή θαη ζε πνηεο θαηεγνξίεο ρωξίδνληαη; Μεηαβιεηή νλνκάδεηαη ην ραξαθηεξηζηηθό σο πξνο ην νπνίν εμεηάδνπκε έλαλ πιεζπζκό. Οη κεηαβιεηέο δηαθξίλνληαη ζε πνηνηηθέο θαη πνζνηηθέο. Πνηνηηθέο νλνκάδνληαη νη κεηαβιεηέο πνπ δελ κεηξνύληαη (π.ρ. ην ρξώκα ησλ καηηώλ). Πνζνηηθέο νλνκάδνληαη νη κεηαβιεηέο πνπ κπνξνύλ λα κεηξεζνύλ (π.ρ. ε ειηθία θάπνησλ αηόκσλ). Οη πνζνηηθέο κεηαβιεηέο δηαθξίλνληαη ζε δηαθξηηέο θαη ζπλερείο. Γηαθξηηέο νλνκάδνληαη νη κεηαβιεηέο πνπ κπνξνύλ λα πάξνπλ κόλν δηαθεθξηκέλεο ηηκέο (π.ρ. ν αξηζκόο ησλ παηδηώλ κηαο νηθνγέλεηαο). πλερείο νλνκάδνληαη νη κεηαβιεηέο πνπ κπνξνύλ λα πάξνπλ νπνηαδήπνηε ηηκή από έλα δηάζηεκα αξηζκώλ (π.ρ. ην ύςνο θάπνησλ αηόκσλ). Πνηνηηθέο Μεηαβιεηέο Γηαθξηηέο Πνζνηηθέο πλερείο
Ση νλνκάδεηαη ζ κηαο ηηκήο κηαο ηηκήο θαη πωο ζπκβνιίδεηαη; νλνκάδεηαη ην πιήζνο ησλ αηόκσλ ηνπ πιεζπζκνύ γηα ηα νπνία ε. κεηαβιεηή παίξλεη ηελ ηηκή θαη ζπκβνιίδεηαη κε... 1 Ση νλνκάδεηαη ζ ζ κηαο ηηκήο θαη πωο ζπκβνιίδεηαη; ζ κηαο ηηκήο νλνκάδεηαη ν ιόγνο ηεο ζο πξνο ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο θαη ζπκβνιίδεηαη κε, δει. 1... 1 Ση νλνκάδεηαη αζξνηζηηθή ζ κηαο ηηκήο Αζξνηζηηθή ζ κηαο ηηκήο θαη πωο ζπκβνιίδεηαη; νλνκάδεηαη ην άζξνηζκα ησλ ζπρλνηήησλ ησλ ηηκώλ πνπ είλαη κηθξόηεξεο ή ίζεο κε ηελ ηηκή απηή θαη ζπκβνιίδεηαη κε. 1... Ση νλνκάδεηαη αζξνηζηηθή ζ ζ κηαο ηηκήο θαη πωο ζπκβνιίδεηαη; Αζξνηζηηθή ζ ζ κηαο ηηκήο νλνκάδεηαη ην άζξνηζκα ησλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ ησλ ηηκώλ πνπ είλαη κηθξόηεξεο ή ίζεο κε ηελ ηηκή απηή θαη ζπκβνιίδεηαη κε F. F... 1
Σηαηιζηική 3 1. Γξαθηθέο Παξαζηάζεηο Αζξνηζηηθή Αζξ. ζρεη. Αζξ. ζρεη. Γσλία Μεηαβιεηή ζ ζ ζ ζ ζ F F 360 0 6 6 0,3 0,3 30 30 108 ο 1 4 10 0, 0,5 0 50 7 ο 8 18 0,4 0,9 40 90 144 ο 3 0 0,1 1 10 100 36 ο ύλνιν 0 1 100 360 ο Ραβδνγξάκκαηα Ραβδόγραμμα ζυχνοηήηων Ραβδόγραμμα αθροιζηικών ζυχνοηήηων 10 4 8 18 6 4 1 6 0 0 1 3 0 0 1 3 50 40 30 Ραβδόγραμμα ζχεηικών ζυχνοηήηων 100 80 60 Ραβδόγραμμα αθροιζηικών ζχεηικών ζυχνοηήηων 0 40 10 0 0 0 1 3 0 0 1 3 Κπθιηθό δηάγξακκα 0 1 3
1.3 Οκαδνπνίεζε Γξαθηθή Παξάζηαζε Οκαδνπνίεζεο Πόηε θάλνπκε νκαδνπνίεζε ηωλ παξαηεξήζεωλ ελόο δείγκαηνο θαη πωο γίλεηαη; Οκαδνπνίεζε παξαηεξήζεσλ θάλνπκε όηαλ ην πξόβιεκα αλαθέξεηαη ζε πνζνηηθέο (θπξίσο ζπλερείο) κεηαβιεηέο θαη ε θαηαζθεπή ηνπ πίλαθα ζπρλνηήησλ είλαη δύζθνιε. Γηα ην ιόγν απηό βξίζθνπκε ηε δηαθνξά κεηαμύ ηεο κέγηζηεο θαη ηεο ειάρηζηεο ηηκήο θαη ηε δηαηξνύκε ζε ηζνκήθε δηαζηήκαηα. Ση νλνκάδνπκε θιάζε θαη ηη θέληξν θιάζεο; Σα ηζνκήθε δηαζηήκαηα πνπ ρσξίδνπκε ηηο ηηκέο απνηεινύλ ηηο θιάζεηο θαη ηα κέζα ησλ δηαζηεκάησλ απνηεινύλ ηα θέληξα ηωλ θιάζεωλ. Γξαθηθέο Παξαζηάζεηο Οκαδνπνίεζεο: Δηαζηήκαηα (θιάζεηο) Αζξνηζηηθή ζ Κέληξα θιάζεσλ 1, 60 170, 6 6 1,65 1, 70 1, 80 10 16 1,75 1, 80 1, 90 8 4 1,85 1, 90, 00 6 30 1,95 ύλνιν 30 Ιστόγραμμα συχνοτήτων Ιστόγραμμα αθρoιστικών συχνοτήτων 10 30 4 8 18 1 6 6 1,60 1,7 1,8 1,9,00 1,60 1,7 1,8 1,9,00 Γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ πνιπγώλνπ ζπρλνηήησλ (ή ζρεη. ζπρλνηήησλ) ελώλνπκε ηα κέζα ησλ νξζνγσλίσλ. Γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ πνιπγώλνπ αζξνηζηηθώλ ζπρλνηήησλ (ή αζξ. ζρεη. ζπρλνηήησλ) ελώλνπκε ηα δεμηά άθξα ησλ νξζνγσλίσλ.
Σηαηιζηική 5 1.4 Παξάκεηξνη Θέζεο θαη Γηαζπνξάο πληειεζηήο Μεηαβνιήο Πνηεο είλαη νη παξάκεηξνη ζέζεο θαη πωο ζπκβνιίδνληαη; Οη παξάκεηξνη ζέζεο είλαη: ε επηθξαηνύζα ηηκή ( Ε.Τ. ) ε κέζε ηηκή ( ) ε δηάκεζνο ( δ ) Ση νλνκάδεηαη επηθξαηνύζα ηηκή κηαο κεηαβιεηήο; Δπηθξαηνύζα ηηκή κηαο κεηαβιεηήο νλνκάδεηαη ε ηηκή κε ηε κεγαιύηεξε ζ. Αλ δύν ή πεξηζζόηεξεο ηηκέο έρνπλ ηε κέγηζηε ζ, ηόηε ππάξρνπλ πεξηζζόηεξεο από κία επηθξαηνύζεο ηηκέο. Ση νλνκάδεηαη κέζε ηηκή κηαο πνζνηηθήο κεηαβιεηήο; Μέζε ηηκή κηαο πνζνηηθήο κεηαβιεηήο νλνκάδεηαη ην πειίθν ηνπ αζξνίζκαηνο ησλ ηηκώλ ηεο κεηαβιεηήο πξνο ην πιήζνο ηνπο. Ση νλνκάδεηαη δηάκεζνο ελόο δείγκαηνο ν παξαηεξήζεωλ πνπ έρνπλ δηαηαρζεί ζε αύμνπζα ζεηξά; Γηάκεζνο ελόο δείγκαηνο ν παξαηεξήζεσλ πνπ έρνπλ δηαηαρζεί ζε αύμνπζα ζεηξά νλνκάδεηαη: ε κεζαία παξαηήξεζε, αλ ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη πεξηηηό ην εκηάζξνηζκα ησλ δύν κεζαίσλ παξαηεξήζεσλ, αλ ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη άξηην. ύγθξηζε Παξακέηξωλ Θέζεο Η κέζε ηηκή επεξεάδεηαη από ηηο αθξαίεο ηηκέο θαη εμαξηάηαη απ όιεο ηηο ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο. Η επηθξαηνύζα ηηκή εμαξηάηαη κόλν από ηε ηηκή κε ηε κεγαιύηεξε ζ. Η δηάκεζνο δελ επεξεάδεηαη από ηηο αθξαίεο ηηκέο θαη εμαξηάηαη απ όιεο ηηο ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο. Ο ππνινγηζκόο ηεο δηακέζνπ παξνπζηάδεη δπζθνιίεο ζε νξηζκέλεο πεξηπηώζεηο (π.ρ. ζε ζπλερή κεηαβιεηή).
Πνηεο είλαη νη παξάκεηξνη δηαζπνξάο θαη πωο ζπκβνιίδνληαη; Οη παξάκεηξνη δηαζπνξάο είλαη: ην εύξνο ( R ) ε δηαθύκαλζε ( s ) ε ηππηθή απόθιηζε ( s ) ε κέζε απόιπηε απόθιηζε ( εθηόο ύιεο ) Ση νλνκάδεηαη εύξνο ηωλ ηηκώλ κηαο κεηαβιεηήο; Δύξνο ησλ ηηκώλ κηαο κεηαβιεηήο νλνκάδεηαη ε δηαθνξά ηεο κηθξόηεξεο ηηκήο από ηε κεγαιύηεξε. Ση νλνκάδεηαη δηαθύκαλζε ηωλ ηηκώλ t 1, t,..., t κηαο κεηαβιεηήο κε κέζε ηηκή ; Γηαθύκαλζε ησλ ηηκώλ t 1, t,..., t κηαο κεηαβιεηήο κε κέζε ηηκή νλνκάδεηαη ην πειίθν: t t t 1... s Ση νλνκάδεηαη δηαθύκαλζε ηωλ ηηκώλ 1,,..., κηαο κεηαβιεηήο κε αληίζηνηρεο ζπρλόηεηεο 1,,..., θαη κέζε ηηκή ; Γηαθύκαλζε ησλ ηηκώλ 1,,..., κηαο κεηαβιεηήο κε αληίζηνηρεο ζπρλόηεηεο 1,,..., θαη κέζε ηηκή νλνκάδεηαη ην πειίθν: 1 1... s Ση νλνκάδεηαη ηππηθή απόθιηζε ηωλ ηηκώλ t 1, t,..., t κηαο κεηαβιεηήο κε κέζε ηηκή ; Σππηθή απόθιηζε ησλ ηηκώλ t 1, t,..., t κηαο κεηαβιεηήο κε κέζε ηηκή νλνκάδεηαη ην: s t t t 1...
Σηαηιζηική 7 Ση νλνκάδεηαη ηππηθή απόθιηζε ηωλ ηηκώλ 1,,..., κηαο κεηαβιεηήο κε αληίζηνηρεο ζπρλόηεηεο 1,,..., θαη κέζε ηηκή ; Σππηθή απόθιηζε ησλ ηηκώλ 1,,..., κηαο κεηαβιεηήο κε αληίζηνηρεο ζπρλόηεηεο 1,,..., θαη κέζε ηηκή νλνκάδεηαη ην: s 1 1... ύγθξηζε Παξακέηξωλ Γηαζπνξάο Σν εύξνο έρεη ην κεηνλέθηεκα όηη ρξεζηκνπνηνύκε κόλν ηηο αθξαίεο ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο θαη θαζόινπ ηηο ππόινηπεο. Η ρξήζε ηεο δηαθύκαλζεο παξνπζηάδεη έλα ζνβαξό πξόβιεκα: νη κνλάδεο ηεο δηαθύκαλζεο είλαη ηα ηεηξάγσλα ησλ κνλάδσλ ηεο αληίζηνηρεο κεηαβιεηήο. Γηα ην ιόγν απηό αληί ηεο δηαθύκαλζεο ρξεζηκνπνηνύκε σο κέηξν δηαζπνξάο ηελ ηππηθή απόθιηζε. πληειεζηήο Μεηαβνιήο Ση νλνκάδεηαη ζπληειεζηήο κεηαβνιήο (ή ζπληειεζηήο κεηαβιεηόηεηαο) ελόο δείγκαηνο; πληειεζηήο κεηαβνιήο (ή ζπληειεζηήο κεηαβιεηόηεηαο) ελόο δείγκαηνο νλνκάδεηαη ην s πειίθν ηεο ηππηθήο απόθιηζεο s κε ηε κέζε ηηκή, δει. CV 100 Πόηε έλα δείγκα ζεωξείηαη νκνηνγελέο; Έλα δείγκα ζεσξείηαη νκνηνγελέο όηαλ ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο ηνπ CV είλαη κηθξόηεξνο ηνπ 10, δει. CV 10 Σηις επόμενες δύο ζελίδες ακολοσθούν ζσνοπηικοί εύτρηζηοι πίνακες, με ηοσς οποίοσς μπορούμε εύκολα και γρήγορα να σπολογίζοσμε οποιοδήποηε μέηρο θέζης ή διαζποράς μας ζηηηθεί, ανάλογα με ηη μορθή ηης άζκηζης.
Παράμεηροι Θέζεις : Επικραηούζ α Τιμή Ε.Τ., Μέζη Τιμή, Διάμεζος δ Δπηθξαηνύζα Σηκή Δ.Σ. Αλαιπηηθά Σηκέο Πηλαθάθη Οκαδνπνίεζε Καηαζκεςάζοςμε ηο ιζηόγπαμμα ζςσνοηήηων (ή ζσεη. ζςσνοηήηων) Η επηθξαηνύζα ηηκή ηζνύηαη κε ηελ ηηκή ηεο κεηαβιεηήο πνπ έρεη ηε κέγηζηε ζ. Αλ ππάξρνπλ πεξηζζόηεξεο ηηκέο κε κέγηζηε ζ, ηόηε νη επηθξαηνύζεο ηηκέο είλαη πεξηζζόηεξεο από κία. 8 6 4 10 1 14 16 18 0 Μέζε Σηκή Γηάκεζνο δ t1 t... t 1 1... Γπάθοςμε ηιρ παπαηηπήζειρ ζε αύξοςζα ζειπά! Αλ λ πεξηηηόο, ηόηε ε δηάκεζνο ηζνύηαη κε ηε κεζαία παξαηήξεζε, δει. t 1 Αλ λ άξηηνο, ηόηε ε δηάκεζνο ηζνύηαη κε ην εκηάζξνηζκα ηωλ δύν κεζαίωλ παξαηεξήζεωλ, t t δει. 1 F 100 80 60 50 40 0 Δ.Σ. 1 1... Καηαζκεςάζοςμε ηο πολύγωνο αθποιζηικών ζσεηικών ζςσνοηήηων 10 1 14 16 18 0 δ
Σηαηιζηική 9 Παράμεηροι Διαζποράς: Εύρος R, Διακύμανζη s, Τσπική Απόκλιζηs Δύξνο R Αλαιπηηθά Σηκέο Πηλαθάθη Οκαδνπνίεζε Σν εύξνο ηζνύηαη κε ηε δηαθνξά ηεο κηθξόηεξεο ηηκήο από ηε κεγαιύηεξε R t ma t mn Σν εύξνο ηζνύηαη κε ηε δηαθνξά ηνπ θαηώηεξνπ νξίνπ πξώηεο ηάμεο από ην αλώηεξν όξην ηειεπηαίαο ηάμεο Γηαθύκαλζε s t t 1... t s 1 1... s Σππηθή Απόθιηζε s s s
ΕΡΩΣΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ 1.. Ση νλνκάδεηαη ζηαηηζηηθή;.. Ση νλνκάδεηαη πιεζπζκόο θαη ηη άηνκα ηνπ πιεζπζκνύ; Ση νλνκάδεηαη κέγεζνο ελόο πιεζπζκνύ θαη πσο ζπκβνιίδεηαη; 3.. Ση νλνκάδεηαη κεηαβιεηή θαη ζε πνηεο θαηεγνξίεο ρσξίδνληαη; 4.. Ση νλνκάδεηαη ζ κηαο ηηκήο θαη πσο ζπκβνιίδεηαη; 5.. Με ηη ηζνύηαη ην άζξνηζκα ησλ ζπρλνηήησλ όισλ ησλ ηηκώλ κηαο κεηαβιεηήο; 6.. Ση νλνκάδεηαη ζ ζ κηαο ηηκήο θαη πσο ζπκβνιίδεηαη; 7.. Με ηη ηζνύηαη ην άζξνηζκα ησλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ όισλ ησλ ηηκώλ κηαο κεηαβιεηήο; 8.. Ση νλνκάδεηαη αζξνηζηηθή ζ κηαο ηηκήο θαη πσο ζπκβνιίδεηαη; 9.. Ση νλνκάδεηαη αζξνηζηηθή ζ ζ κηαο ηηκήο θαη πσο ζπκβνιίδεηαη; 10.. Πόηε θάλνπκε νκαδνπνίεζε ησλ παξαηεξήζεσλ ελόο δείγκαηνο θαη πσο γίλεηαη; 11.. Ση νλνκάδνπκε θιάζε θαη ηη θέληξν θιάζεο; 1.. Πνηεο είλαη νη παξάκεηξνη ζέζεο θαη πσο ζπκβνιίδνληαη; 13.. Ση νλνκάδεηαη επηθξαηνύζα ηηκή κηαο κεηαβιεηήο; 14.. Ση νλνκάδεηαη κέζε ηηκή κηαο πνζνηηθήο κεηαβιεηήο; 15.. Ση νλνκάδεηαη δηάκεζνο ελόο δείγκαηνο ν παξαηεξήζεσλ πνπ έρνπλ δηαηαρζεί ζε αύμνπζα ζεηξά; 16.. Πνηεο είλαη νη παξάκεηξνη δηαζπνξάο θαη πσο ζπκβνιίδνληαη; 17.. Ση νλνκάδεηαη εύξνο ησλ ηηκώλ κηαο κεηαβιεηήο; 18.. Ση νλνκάδεηαη δηαθύκαλζε ησλ ηηκώλ t 1, t,..., t κηαο κεηαβιεηήο κε κέζε ηηκή ; 19.. Ση νλνκάδεηαη δηαθύκαλζε ησλ ηηκώλ 1,,..., κηαο κεηαβιεηήο κε αληίζηνηρεο ζπρλόηεηεο 1,,..., θαη κέζε ηηκή ; 0.. Ση νλνκάδεηαη ηππηθή απόθιηζε ησλ ηηκώλ t 1, t,..., t κηαο κεηαβιεηήο κε κέζε ηηκή ; 1.. Ση νλνκάδεηαη ηππηθή απόθιηζε ησλ ηηκώλ 1,,..., κηαο κεηαβιεηήο κε αληίζηνηρεο ζπρλόηεηεο 1,,..., θαη κέζε ηηκή ;.. Ση νλνκάδεηαη ζπληειεζηήο κεηαβνιήο (ή ζπληειεζηήο κεηαβιεηόηεηαο) ελόο δείγκαηνο; 3.. Πόηε έλα δείγκα ζεσξείηαη νκνηνγελέο;
Σηαηιζηική 11 ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟΤ ΛΑΘΟΤ 1.. Σν ρξώκα ησλ καηηώλ θάπνησλ αηόκσλ απνηειεί κηα πνηνηηθή κεηαβιεηή... Σν ύςνο θάπνησλ αηόκσλ απνηειεί κηα δηαθξηηή κεηαβιεηή. 3.. Σν άζξνηζκα όισλ ησλ ζπρλνηήησλ κηαο κεηαβιεηήο ηζνύηαη κε ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο. 4.. Σν άζξνηζκα όισλ ησλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ κηαο κεηαβιεηήο ηζνύηαη κε 100. 5.. Ο ιόγνο ηεο ζο κηαο κεηαβιεηήο κε ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο, ηζνύηαη κε ηε ζ ζ. 6.. Αζξνηζηηθή ζ κηαο ηηκήο ιέγεηαη ην άζξνηζκα ησλ ζπρλνηήησλ όισλ ησλ ηηκώλ πνπ είλαη κηθξόηεξεο από ηελ ηηκή απηή. 7.. Σν θέληξν θάζε θιάζεο ελόο δείγκαηνο ηζνύηαη κε ηελ εκηδηαθνξά ησλ άθξσλ ηεο θιάζεο. 8.. ε έλα ηζηόγξακκα, ην πνιύγσλν ζπρλνηήησλ κε ηνλ νξηδόληην άμνλα ζρεκαηίδεη ρσξίν ίζνπ εκβαδνύ κε απηό πνπ ζρεκαηίδνπλ ηα νξζνγώληα. 9.. Η επηθξαηνύζα ηηκή εμαξηάηαη κόλν από ηε ηηκή κε ηε κεγαιύηεξε ζ. 10.. Ο κέζνο όξνο ππνινγίδεηαη κόλν ζε πνζνηηθέο κεηαβιεηέο. 11.. Η κέζε ηηκή δελ επεξεάδεηαη από ηηο αθξαίεο ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο. 1.. Η κέζε ηηκή εμαξηάηαη από όιεο ηηο ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο. 13.. Αλ ζε κηα θαηαλνκή απαιείςνπκε ηε κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή, ε δηάκεζνο ζα κεηαβιεζεί. 14.. Η δηάκεζνο εμαξηάηαη από όιεο ηηο ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο. 15.. Η δηάκεζνο ελόο δείγκαηνο παξαηεξήζεσλ νη νπνίεο έρνπλ δηαηαρζεί ζε αύμνπζα ζεηξά ηζνύηαη κε ηε κεζαία παξαηήξεζε, όηαλ ν είλαη άξηηνο αξηζκόο. 16.. Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ εύξνπο ησλ ηηκώλ κηαο κεηαβιεηήο, ρξεζηκνπνηνύκε κόλν ηηο αθξαίεο ηηκέο ηεο. 17.. Οη κνλάδεο ηεο δηαθύκαλζεο είλαη ίδηεο κε ηηο κνλάδεο ηεο αληίζηνηρεο κεηαβιεηήο. 18.. Ο πιεζπζκόο ελόο δείγκαηνο ζεσξείηαη νκνηνγελήο όηαλ ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο ηνπ είλαη κηθξόηεξνο από 10.
ΘΕΜΑΣΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΣΑΕΩΝ ΘΔΜΑ 1 ν Δίλεηαη ν πίλαθαο ζπρλνηήησλ 1 1 15 3 8 4 5 5 10 Αζξνίζκαηα 001 α. Να γξάςεηε ζην ηεηξάδηό ζαο ηνλ παξαπάλσ πίλαθα θαη λα ηνλ ζπκπιεξώζεηε. Μνλάδεο 19 β. Να βξείηε ηε κέζε ηηκή. Μνλάδεο 6 00 ΘΔΜΑ 1 ν Οη βαζκνί ησλ 11 καζεηώλ κηαο ηάμεο ελόο Σ.Ε.Ε. ζε έλα κάζεκα είλαη: Γηα ηα δεδνκέλα απηά: 1, 1, 9, 15, 1, 16, 17, 7, 19, 18, 17. α. Να θαηαζθεπάζεηε ηνλ πίλαθα ζπρλνηήησλ. Μνλάδεο 5 β. Να βξείηε ηε κέζε ηηκή. Μνλάδεο 5 γ. Να βξείηε ηελ επηθξαηνύζα ηηκή. Μνλάδεο 5 δ. Να βξείηε ηε δηάκεζν. Μνλάδεο 5 ε. Να βξείηε ηε δηαθύκαλζε. Μνλάδεο 5
Σηαηιζηική 13 003 ΘΔΜΑ 1 ν Μηα κεηαβιεηή παίξλεη ηηο ηηκέο: 5, 3, 3ω, 3, ω, 3, 3ω, ω, κε 0 α. Αλ ε κέζε ηηκή ηνπο είλαη 4, λα απνδείμεηε όηη. Μνλάδεο 7 β. Γηα λα βξείηε:. Σν εύξνο ησλ ηηκώλ. Μνλάδεο 5. Σελ επηθξαηνύζα ηηκή. Μνλάδεο 5. Σελ ηππηθή απόθιηζε. Μνλάδεο 8 004 ΘΔΜΑ 1 ν Εμεηάζακε δείγκα 5 νηθνγελεηώλ κηαο πόιεο, σο πξνο ηνλ αξηζκό ησλ παηδηώλ ηνπο. Σα απνηειέζκαηα θαίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Αξηζκόο παηδηώλ 0 4 1 5 3 4 4 3 5 Αζξνίζκαηα Αζξνηζηηθή ρ. α. Να κεηαθέξεηε ηνλ παξαπάλσ πίλαθα ζην ηεηξάδηό ζαο θαη λα ηνλ ζπκπιεξώζεηε. Μνλάδεο 5 β. Να βξείηε ηελ επηθξαηνύζα ηηκή. Μνλάδεο 5 γ. Να βξείηε ηε δηάκεζν. Μνλάδεο 5 δ. Ση πνζνζηό νηθνγελεηώλ έρεη ηξία παηδηά; Μνλάδεο 5 ε. Πόζεο νηθνγέλεηεο έρνπλ κέρξη θαη δύν παηδηά; Μνλάδεο 5
005 ΘΔΜΑ 1 ν Εξσηήζεθαλ 50 καζεηέο ελόο ζρνιείνπ γηα ηνλ αξηζκό ησλ βηβιίσλ πνπ δηάβαζαλ ζηηο δηαθνπέο. Σα απνηειέζκαηα ηεο έξεπλαο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Σηκέο Αζξνηζηηθή 0 11 1 5 4 3 47 4 50 Αζξνίζκαηα α. Να κεηαθέξεηε ηνλ παξαπάλσ πίλαθα ζην ηεηξάδηό ζαο θαη λα ηνλ ζπκπιεξώζεηε. Μνλάδεο 8 β. Να βξείηε ηε κέζε ηηκή ησλ παξαηεξήζεσλ. Μνλάδεο 8 γ. Να βξείηε ηε δηάκεζν ησλ παξαηεξήζεσλ. Μνλάδεο 5 δ. Να βξείηε ην εύξνο ησλ ηηκώλ. Μνλάδεο 4 006 ΘΔΜΑ 1 ν Δίλνληαη 5 παξαηεξήζεηο κηαο πνζνηηθήο κεηαβιεηήο X: 16, 14,, 18, 0, όπνπ. Αλ ν ζπληειεζηήο κεηαβιεηόηεηαο CV ησλ παξαηεξήζεσλ απηώλ είλαη 0 θαη ε ηππηθή απόθιηζή ηνπο s είλαη 4, ηόηε: α. Να δείμεηε όηη ε κέζε ηηκή ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη 0. Μνλάδεο 7 β. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ. Μνλάδεο 10 γ. Γηα ηελ ηηκή ηνπ πνπ ππνινγίζαηε ζην εξώηεκα β, λα βξείηε ηε δηάκεζν ηνπ δείγκαηνο. Μνλάδεο 5 δ. Είλαη ην δείγκα νκνηνγελέο ή όρη θαη γηαηί. Μνλάδεο 3
Σηαηιζηική 15 007 ΘΔΜΑ 1 ν Οη ρξόλνη θαζπζηεξήζεσλ πνπ παξαηεξήζεθαλ ζε 5 δξνκνιόγηα ελόο νξγαληζκνύ ζηδεξνδξόκσλ δίλνληαη από ην παξαθάησ ηζηόγξακκα ζπρλνηήησλ: 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 4 6 8 10 1 t (mn) α. Να κεηαθέξεηε ηνλ παξαθάησ πίλαθα ζην ηεηξάδηό ζαο θαη λα ηνλ ζπκπιεξώζεηε κε ηε βνήζεηα ηνπ παξαπάλσ ηζηνγξάκκαηνο ζπρλνηήησλ. Γηάζηεκα,4 4,6 6,8 8,10 10,1 Αζξνίζκαηα Μέζν Γηαζηήκαηνο K K αζξνηζηηθή ζ Μνλάδεο 10 β. Να βξείηε ην κέζν ρξόλν θαζπζηεξήζεσλ ησλ δξνκνινγίσλ. Μνλάδεο 5 γ. Πόζα δξνκνιόγηα είραλ θαζπζηέξεζε ηνπιάρηζηνλ 6 ιεπηά; Μνλάδεο 5 δ. Πνην είλαη ην πνζνζηό ησλ δξνκνινγίσλ πνπ είραλ θαζπζηέξεζε ιηγόηεξν από 8 ιεπηά; Μνλάδεο 5
008 ΘΔΜΑ 1 ν Οη βαζκνί ελόο καζεηή ζε πέληε καζήκαηα ήηαλ: 8, 14, 0, 1, 16 α. Να ππνινγηζζεί ε κέζε βαζκνινγία ηνπ καζεηή. Μνλάδεο 4 β. Να πξνζδηνξηζζεί ε δηάκεζνο. Μνλάδεο 3 γ. Να ππνινγηζζεί ε ηππηθή απόθιηζε. Μνλάδεο 6 δ. Να ππνινγηζζεί ην εύξνο. Μνλάδεο 3 ε. Να ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο κεηαβιεηόηεηαο θαη ζηε ζπλέρεηα λα εμεηαζηεί αλ ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο. Μνλάδεο 9 009 ΘΔΜΑ ν Ρσηήζεθαλ 5 καζεηέο κηαο ηάμεο ελόο Λπθείνπ πόζα ινγνηερληθά βηβιία δηάβαζαλ ηελ πεξζηλή ρξνληά. Οη απαληήζεηο ηνπο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Βηβιία 1 4 3 8 4 7 Αζξνίζκαηα Μαζεηέο Αζξνηζηηθή Αζξνηζηηθή α. Να κεηαθέξεηε ζην ηεηξάδηό ζαο ηνλ πίλαθα θαη λα ηνλ ζπκπιεξώζεηε. Μνλάδεο 10 β. Να ππνινγίζεηε ηε δηάκεζν. Μνλάδεο 5 γ. Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή. Μνλάδεο 5 δ. Πνην είλαη ην πνζνζηό ησλ καζεηώλ πνπ δηάβαζε ηνπιάρηζηνλ δύν βηβιία; Μνλάδεο 5
Σηαηιζηική 17 010 ΘΔΜΑ Β Οη εκέξεο απνπζίαο 50 ππαιιήισλ κηαο εηαηξείαο από ηελ εξγαζία ηνπο, ηνλ πεξαζκέλν κήλα, θαίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Ηκέξεο απνπζίαο Τπάιιεινη 0 8 1 10 3 10 4 5 5 Αζξνίζκαηα Αζξνηζηηθή Αζξνηζηηθή Β1. Να κεηαθέξεηε ζην ηεηξάδηό ζαο ηνλ πίλαθα θαη λα ηνλ ζπκπιεξώζεηε. Μνλάδεο 10 Β. Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο. Μνλάδεο 5 Β3. Να ππνινγίζεηε ηε δηάκεζν ηεο κεηαβιεηήο. Μνλάδεο 5 Β4. Να βξείηε ην πιήζνο θαη ην πνζνζηό ησλ ππαιιήισλ πνπ απνπζίαζαλ από έσο θαη 4 εκέξεο. Μνλάδεο 5 011 ΘΔΜΑ Γ Δίλεηαη ην παξαθάησ ηζηόγξακκα, πνπ αθνξά ηηο ειηθίεο 40 εξγαδνκέλσλ ζε κηα επηρείξεζε. () 15 1 7 6 5 35 45 55 65 Ηιηθίεο ζε έηε
Γ1. Να κεηαθέξεηε ζην ηεηξάδηό ζαο ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί θαη λα ηνλ ζπκπιεξώζεηε κε βάζε ην παξαπάλσ ηζηόγξακκα. Ηιηθίεο, 5,35 35,45 45,55 55,65 ύλνια Μέζν Γηαζηήκαηνο K Μνλάδεο 10 Γ. Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή ησλ ειηθηώλ ησλ εξγαδνκέλσλ. Μνλάδεο 5 Γ3. Πόζνη εξγαδόκελνη έρνπλ ειηθία ηνπιάρηζηνλ 45 εηώλ; Μνλάδεο 5 Γ4. Ση πνζνζηό εξγαδνκέλσλ έρνπλ ειηθία θάησ ησλ 35 εηώλ; Μνλάδεο 5 K Αζξνηζηηθή N 01 ΘΔΜΑ Β ηνλ παξαθάησ πίλαθα δίλνληαη νη εκεξήζηεο ώξεο δηαβάζκαηνο 5 καζεηώλ κηαο ηάμεο ελόο ΕΠΑ.Λ. Ηκεξήζηεο ώξεο Αζξνηζηηθή Μαζεηέο δηαβάζκαηνο N 1 6 5 3 4 4 5 1 ύλνια 5 100 Β1. Να ππνινγίζεηε ηνλ αξηζκό κ. Μνλάδεο 4 Β. Γηα 3 λα κεηαθέξεηε θαη λα ζπκπιεξώζεηε ζην ηεηξάδηό ζαο ηνλ παξαπάλσ πίλαθα. Μνλάδεο 8 Β3. Γηα 3 λα ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή θαη λα βξείηε ηε δηάκεζν δ ησλ παξαηεξήζεσλ. Μνλάδεο 10 Β4. Γηα 3 λα ππνινγίζεηε ην πνζνζηό ησλ καζεηώλ πνπ δηαβάδνπλ ηνπιάρηζηνλ 3 ώξεο εκεξεζίσο. Μνλάδεο 3