ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 13a: Συνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
ΘΕΩΡΙΑ
ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Kανονική κατανομή Ομοιόμορφη κατανομή Γάμμα κατανομή Κατανομή Student t Κατανομή F
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Abraham de Moivre, 1667-1754 Pierre Laplace, 1749-1827 Karl Gauss, 1777-1855
ΔΙΑΚΡΙΣΕΙΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Τυποποιημένη Κανονική κατανομή Γενική Κανονική κατανομή
ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η τυχαία μεταβλητή Ζ με τιμές z ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή, όταν η συνάρτηση πυκνότητας, πιθανότητας αυτής θα είναι: f 1 ( x) e 2 2 z 2, z
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ε(z)=0 V(z)=1 Η τυποποιημένη κανονική κατανομή συμβολίζεται: Ν(0,1)
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΗΣ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ u 1 z P Z z 2 ( ) ( ) e 2 z 2 du, z
ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ Φ(z)
ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή, όταν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: f ( x) 1 e ( X ) 2 2 2, x 2
ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (1) Μία μεταβλητή η οποία κατανέμεται κανονικά με μέσο μ και διακύμανση σ 2, συμβολίζεται Χ ακολουθεί Ν(μ, σ 2 ). Το πεδίο ορισμού μίας τέτοιας μεταβλητής είναι θεωρητικά, Το μεγαλύτερο πλήθος τιμών βρίσκεται στο (μ-3σ, μ+3σ).
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (2) Στο διάστημα (μ-σ, μ+σ) βρίσκεται το 68,72% των τιμών της μεταβλητής. Στο διάστημα (μ-2σ, μ+2σ) βρίσκεται το 95,45% των τιμών της μεταβλητής. Στο διάστημα (μ-3σ, μ+3σ) βρίσκεται το 99,73% των τιμών της μεταβλητής δηλαδή σχεδόν το σύνολο των τιμών της.
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (3) Η καμπύλη της κανονικής κατανομής έχει μορφή καμπάνας και είναι πλήρως συμμετρική περί τον αριθμητικό μέσο μ. Η καμπύλη παρουσιάζει μέγιστη τιμή στο σημείο 1 x=μ το f ( x) 2 Στα σημεία μ±σ παρουσιάζει σημεία καμπής.
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (4) Αν εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό η κανονική κατανομή μετατρέπεται σε τυποποιημένη κανονική κατανομή.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ)
ΑΣΚΗΣΗ Έστω τυχαία μεταβλητή Ζ που ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: 1.Το Ζ μικρότερο του -2. 2. Το Ζ μεγαλύτερο του 2. 3. Το Ζ από -2 έως 2. 4. Το Ζ μικρότερο του -2 και μεγαλύτερο του 2.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ)
ΑΣΚΗΣΗ Να προσπαθήσετε να κάνετε τη γραφική παράσταση της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, υπολογίζοντας ακριβώς τα σημεία του οριζόντιου άξονα.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1 1.Αν μια μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο 100 και διακύμανση 64, να βρεθεί η πιθανότητα η Χ να πάρει τιμή μικρότερη του 92.
ΑΣΚΗΣΗ 2 2.Το βάρος Χ εμφιαλωμένου νερού ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο 500 ml και διακύμανση 100 ml 2. Να υπολογιστεί η πιθανότητα ένα μπουκάλι νερού που επιλέγεται τυχαία: a)να έχει βάρος μικρότερο των 495 ml. b)να έχει βάρος μεγαλύτερο των 495 ml. c)να έχει βάρος μεταξύ 495 και 505 ml. d)να έχει βάρος μικρότερο των 490 ml ή μεγαλύτερο των 510 ml.
ΑΣΚΗΣΗ 3 3. Αν μια κατανομή του βάρους Χ μιας ομάδας ανθρώπων ακολουθεί την κανονική κατανομή και γνωρίζουμε ότι το 10,3% του μελών της ομάδας έχει βάρος μικρότερο των 50 κιλών και το 25, 14% έχει βάρος μεγαλύτερο των 80 κιλών, να βρεθεί το μέσο βάρος και η διακύμανση του πληθυσμού.
ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ