ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 1 Φεβρουαρίου 26 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:-18:) ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) Κάθε ένας από n ανθρώπους επιλέγει εάν θα είναι πολιτικός υποψήφιος ή όχι, και, εφόσον επιλέξει να είναι, ποια θα είναι η τοποθέτησή του. Οι τοποθετήσεις ορίζονται ως σηµεία στο µονοδιάστατο διάστηµα [,1]. Υπάρχει ένα µεγάλο πλήθος από πολίτες-ψηφοφόρους, κάθε ένας από τους οποίους έχει µια προτιµητέα τοποθέτηση. Η κατανοµή των προτιµήσεων των ψηφοφόρων δίνεται από µια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f στο διάστηµα [,1], µε f(x)=1 για όλα τα x [,1] (δηλαδή όλες οι τοποθετήσεις είναι ισοπίθανες). Κάθε ψηφοφόρος ψηφίζει εκείνον τον υποψήφιο του οποίου η τοποθέτηση είναι εγγύτερα (σε σχέση µε τους υπόλοιπους υποψηφίους) στη δική του τοποθέτηση. Εάν k υποψήφιοι επιλέξουν την ίδια τοποθέτηση, τότε κάθε ένας εξ αυτών λαµβάνει το 1/k των ψήφων που προσελκύει συνολικά η τοποθέτησή τους. Νικητής αναδεικνύεται εκείνος που θα συγκεντρώσει τους περισσότερους ψήφους. Κάθε υποψήφιος προτιµά να είναι ο µοναδικός νικητής υποψήφιος από το να ισοβαθµήσει στην πρώτη θέση, προτιµά να ισοβαθµήσει στην πρώτη θέση µε λιγότερους παρά µε περισσότερους συνυποψήφιους, προτιµά να ισοβαθµήσει στην πρώτη θέση από το να µην συµµετάσχει στην εκλογική διαδικασία και προτιµά να µην συµµετάσχει στην εκλογική διαδικασία από το να συµµετάσχει και να µην κερδίσει. α) ιατυπώστε το παραπάνω πρόβληµα σε στρατηγική µορφή, δηλαδή ορίστε τις στρατηγικές, τα δυνατά αποτελέσµατα για κάθε παίκτη και κάποιες αυθαίρετες αριθµητικές απολαβές για τους παίκτες ανάλογα µε την έκβαση του παιχνιδιού (οι απολαβές θα πρέπει να είναι συµβατές µε τις προτιµήσεις των παικτών όπως εκφράστηκαν παραπάνω). εν είναι απαραίτητο να κατασκευάσετε τον πίνακα του παιχνιδιού. (1) β) Αποδείξτε ότι στην περίπτωση του παιχνιδιού µε n=2 παίκτες, η επιλογή και από τους δύο παίκτες της τοποθέτησης x=.5 αποτελεί το µοναδικό σηµείο ισορροπίας Nash. (1) Προσοχή: Θα πρέπει να αποδείξετε τόσο ότι το παραπάνω σηµείο αποτελεί σηµείο ισορροπίας Nash, όσο και ότι δεν υπάρχει κανένα άλλο σηµείο ισορροπίας Nash. γ) είξτε ότι δεν υπάρχει σηµείο ισορροπίας Nash για n=3. (.5) Απάντηση α) Οι διαθέσιµες στρατηγικές κάθε παίκτη είναι όλες οι τοποθετήσεις στο διάστηµα [,1]. Με δεδοµένο ότι πρόκειται για άπειρο αριθµό στρατηγικών, δεν είναι δυνατό να κατασκευαστεί ο πίνακας του παιχνιδιού (ακόµη και στην περίπτωση που έχουµε δύο µόνο παίκτες). Για ένα παιχνίδι µε n παίκτες, υπάρχουν n+2 δυνατά αποτελέσµατα για κάθε έναν από αυτούς. Ειδικότερα: Ο παίκτης µπορεί να µην συµµετάσχει. Θεωρούµε ότι στην περίπτωση αυτή η απολαβή του είναι µηδέν. Ο παίκτης µπορεί να συµµετάσχει αλλά να µην κερδίσει. Θεωρούµε ότι στην περίπτωση αυτή η απολαβή του είναι -1. Ο παίκτης µπορεί να συµµετάσχει και να είναι ο µοναδικός νικητής. Θεωρούµε ότι στην περίπτωση αυτή η απολαβή του είναι 1. Ο παίκτης µπορεί να συµµετάσχει και να ισοβαθµήσει στην πρώτη θέση µαζί µε άλλους παίκτες. Το πλήθος των άλλων παικτών µπορεί να είναι από 1 έως n-1. Θεωρούµε ότι η απολαβή του παίκτη σε αυτές τις περιπτώσεις είναι αντίστοιχα 1/2, 1/3,, 1/n. β) Στην περίπτωση που υπάρχουν δύο παίκτες ας συµβολίσουµε µε (x,y) έναν συνδυασµό στρατηγικών για τους δύο παίκτες, όπου x, y [,1]. Σε αυτή την περίπτωση, και µε δεδοµένο ότι όλες οι τοποθετήσεις είναι ισοπίθανες για τους ψηφοφόρους, µπορεί να βρεθεί ότι το µοναδικό σηµείο ισορροπίας είναι το [,5,.5]. Οι

δύο παίκτες δηλαδή µοιράζονται όλους τους ψήφους και ισοβαθµούν στην πρώτη θέση, µε απολαβή 1/2 για κάθε έναν εξ αυτών. Θα αποδείξουµε δύο πράγµατα: Πρώτον, ότι το σηµείο [.5,.5] είναι σηµείο ισορροπίας Nash και, δεύτερον, ότι είναι το µοναδικό. Πράγµατι, από το σηµείο [.5,.5] κανείς παίκτης δεν τολµά να ξεφύγει, γιατί εάν αλλάξει την τοποθέτησή του, ο αντίπαλος θα κερδίσει. Πράγµατι, έστω ότι ο πρώτος παίκτης αλλάζει την τοποθέτησή του από.5 σε a>.5. Σε αυτή την περίπτωση ο παίκτης Β θα πάρει όλους τους ψήφους µε τοποθέτηση στο διάστηµα [, (a+.5)/2], ενώ ο παίκτης Α θα πάρει τους ψήφους µε τοποθέτηση στο διάστηµα [(a+.5)/2, 1]. Το πλάτος του πρώτου διαστήµατος είναι µεγαλύτερο από το πλάτος του δεύτερου διαστήµατος, και µε δεδοµένο ότι όλες οι τοποθετήσεις είναι ισοπίθανες, το πρώτο διάστηµα αντιστοιχεί σε µεγαλύτερο αριθµό ψήφων. Στο ίδιο αποτέλεσµα θα καταλήγαµε εάν ο παίκτης Α επέλεγε µια τοποθέτηση a<.5. Τέλος σε αντίστοιχα αποτελέσµατα θα καταλήγαµε εάν αποφάσιζε ο παίκτης Β να αλλάξει την τοποθέτησή του. Έστω τώρα ότι ψάχνουµε ένα σηµείο ισορροπίας διαφορετικό από το [.5,.5], έστω [a,b] αυτό, όπου τόσο το a όσο και το b είναι διαφορετικά από το.5 (δεν µπορεί να υπάρχει δεύτερο σηµείο ισορροπίας Nash όπου να ξαναεµφανίζεται η τιµή.5 σε οποιονδήποτε παίκτη, δεδοµένου του πρώτου σηµείο ισορροπίας Nash που εντοπίσαµε). Έστω ότι σε αυτή την περίπτωση κερδίζει ο Α µε την τοποθέτηση a. Τότε ο παίκτης Β µπορεί να αλλάξει την τοποθέτησή του, επιλέγοντας µια τιµή µεταξύ του a και του.5, κερδίζοντας το παιχνίδι. Άρα ο τυχαίος συνδυασµός [a,b], µε a,b.5, δεν µπορεί να αποτελεί σηµείο ισορροπίας Nash. γ) Έστω ότι υπάρχει σηµείο ισορροπίας για n=3 παίκτες. Εάν στο σηµείο ισορροπίας κερδίζει ο ένας µόνο παίκτης, τότε είναι πάντα δυνατό για τον ένα τουλάχιστον εκ των άλλων δύο παικτών να αλλάξει τοποθέτηση και να επιλέξει αυτή του νικητή, ισοβαθµώντας (τουλάχιστον) µε αυτόν στην πρώτη θέση. Εάν στο σηµείο ισορροπίας ισοβαθµούν στην πρώτη θέση δύο παίκτες, τότε είναι πάντα δυνατόν για τον τρίτο παίκτη να αλλάξει την τοποθέτησή του και να ισοβαθµίσει (τουλάχιστον) και αυτός στην πρώτη θέση. Άρα δεν είναι δυνατόν να υπάρξει σηµείο ισορροπίας µε λιγότερους από δύο νικητές, άρα θα κοιτάξουµε για σηµεία ισορροπίας µε τρεις ισοβαθµούντες νικητές. Έστω λοιπόν ένα σηµείο ισορροπίας µε τριπλή ισοβαθµία στην τοποθέτηση x. Σε αυτή την περίπτωση οποιοσδήποτε εκ των τριών παικτών µπορεί να αλλάξει λίγο την τοποθέτησή του, είτε στην x+ε, είτε στην x- ε, παίρνοντας ψήφους περισσότερους ή ίσους από τους µισούς που προηγουµένως µοιράστηκαν οι τρεις παίκτες, αφήνοντας τους υπόλοιπους δύο παίκτες να µοιραστούν µεταξύ τους υπόλοιπους (λιγότερους ή ίσους µε τους µισούς) ψήφους. Άρα ο παίκτης που τροποποίησε κατάλληλα την τοποθέτησή του κέρδισε την ψηφοφορία. Άρα ούτε το τριπλό σηµείου ισοβαθµίας µπορεί να αποτελέσει σηµείο ισορροπίας Nash στο παιχνίδι αυτό. Παρατήρηση: Τα αποτελέσµατα για ύπαρξη µοναδικού σηµείο ισορροπίας Nash στην περίπτωση δύο παικτών και για τη µη ύπαρξη οποιουδήποτε σηµείο ισορροπίας Nash στην περίπτωση τριών παικτών γενικεύονται και στην περίπτωση που η συνάρτηση f(x) δεν είναι η σταθερή συνάρτηση f(x)=1, αλλά πληρεί την προϋπόθεση f(x)> για όλα τα x [,1]. ΘΕΜΑ 2 ο (2.5) Έστω ένα παιχνίδι ταυτόχρονων κινήσεων στο οποίο δύο παίκτες ταυτόχρονα υποβάλλουν προσφορές. Αυτός που θα υποβάλλει τη µεγαλύτερη προσφορά κερδίζει ένα ευρώ, ενώ και οι δύο παίκτες πληρώνουν ποσό ίσο µε την προσφορά που υπέβαλλαν (τόσο αυτός που κέρδισε όσο και αυτός που έχασε). Σε περίπτωση που οι δύο παίκτες υποβάλλουν την ίδια προσφορά δεν κερδίζει κανείς (ενώ πληρώνουν το ποσό της προσφοράς που υπέβαλλαν). Θεωρείστε ότι οι παίκτες είναι ουδέτεροι ως προς το ρίσκο. Κατασκευάστε ένα συµµετρικό σηµείο ισορροπίας Nash µε µικτές στρατηγικές, όπου όλες οι στρατηγικές οι επιλογές στο διάστηµα (,1) έχουν µη µηδενική πιθανότητα. Ποιο είναι το αναµενόµενο όφελος κάθε παίκτη; Υπόδειξη: Θεωρείστε ότι η µικτή στρατηγική και των δύο παικτών ορίζεται από την ίδια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p(, όπου a µία προσφορά στο διάστηµα (,1). Ορίστε επίσης τη σωρευτική a συνάρτηση πιθανότητας P( = P( bid = p(, όπου bid η προσφορά ενός παίκτη. Η λύση σας θα πρέπει να βασιστεί στο γεγονός ότι σε µια ισορροπία µε µικτές στρατηγικές θα πρέπει το αναµενόµενο

όφελος κάθε καθαρής στρατηγικής του ενός παίκτη έναντι της µικτής στρατηγικής του αντιπάλου να είναι a πάντα το ίδιο. ίνεται επίσης το ολοκλήρωµα 1 = a Απάντηση: Έστω p( η πυκνότητα πιθανότητας κάποιος παίκτης να υποβάλλει προσφορά ίση µε a, όπου a 1. Προφανώς η πιθανότητα να υποβάλλει κάποιος παίκτης προσφορά µεγαλύτερη της µονάδας είναι µηδενική, µιας και αν ακόµη κερδίσει το παιχνίδι, το όφελός του σε αυτή την περίπτωση θα είναι αρνητικό. Για να επιλέξει ένας παίκτης µια µικτή στρατηγική θα πρέπει κάθε κίνηση της µικτής στρατηγικής από µόνη της να είναι καλύτερη απάντηση στην (πιθανώς µικτή) στρατηγική που επέλεξε ο αντίπαλος. Έστω λοιπόν ότι ο παίκτης Α έχει επιλέξει την µικτή στρατηγική να υποβάλλει προσφορά ίση µε a µε πυκνότητα πιθανότητας p(. Πρέπει να υπολογίσουµε τη συνάρτηση p(. Για το σκοπό αυτό θα βασιστούµε στο γεγονός ότι θα πρέπει κάθε καθαρή στρατηγική b του παίκτη Β να είναι καλύτερη απάντηση στη µικτή στρατηγική του παίκτη Α. Θα πάρουµε δύο τυχαίες περιπτώσεις, b 1 και b 2, όπου b 1 <b 2 1. Έστω P(b 1 )=P(bid b 1 ) η σωρευτική πιθανότητα η προσφορά του Α να είναι µικρότερη ή ίση από b 1. Προφανώς για τη συνάρτηση P ισχύουν τα εξής: P()=, P(1)=1, P( = a p( Το αναµενόµενο όφελος του Β εάν επιλέξει την καθαρή στρατηγική b 1 ισούται µε: Eu(b 1 )=P(b 1 ) (1-b 1 )+(1-P(b 1 )) (-b 1 )= P(b 1 )-P(b 1 ) b 1 - b 1 +P(b 1 ) b 1 = P(b 1 ) - b 1 Παρόµοια, το αναµενόµενο όφελος του Β εάν επιλέξει την καθαρή στρατηγική b 2 ισούται µε: Eu(b 2 )= P(b 2 ) - b 2 Θα πρέπει Eu(b 1 )=Eu(b 2 ), οπότε προκύπτει ότι P(b 1 ) - b 1 = P(b 2 ) b 2 ή ισοδύναµα P(b 1 ) - P(b 2 ) = b 1 - b 2. Αν στην τελευταία σχέση θέσουµε b 1 =, οπότε και P(b 1 )=, παίρνουµε P(b 2 ) = b 2. Τέλος χρησιµοποιώντας τη σχέση που συσχετίζει τη σωρευτική πιθανότητα µε την απλή πυκνότητα πιθανότητας, P( = a p(, βρίσκουµε: a p( = a p( = 1 Άρα η πυκνότητα πιθανότητας είναι η σταθερή συνάρτηση 1, δηλαδή όλες οι προσφορές a 1 είναι ισοπίθανες. Αντικαθιστώντας στις εκφράσεις που βρήκαµε παραπάνω για το αναµενόµενο όφελος, προκύπτει ότι αυτό είναι ίσο µε µηδέν. ΘΕΜΑ 3 ο (2.5) Τρεις εταιρείες λειτουργούν σε µια ολιγοπωλιακή αγορά µε αντίστροφη καµπύλη ζήτησης P(Q)=a-Q, όπου Q=q 1 +q 2 +q 3 και q i η ποσότητα που παράγει η εταιρεία i. Το µοναδιαίο κόστος παραγωγής για κάθε εταιρεία είναι c. Οι εταιρείες επιλέγουν τις ποσότητες παραγωγής τους µε τον ακόλουθο τρόπο: Πρώτα η εταιρεία 1 επιλέγει την ποσότητα που θα παράγει, q 1. Στη συνέχεια οι εταιρείες 2 και 3 παρατηρούν την ποσότητα παραγωγής της εταιρείας 1 και αποφασίζουν ταυτόχρονα (χωρίς µεταξύ τους συνεννόηση) για τις δικές τους ποσότητες παραγωγής, q 2 και q 3. Βρείτε τις ποσότητες παραγωγής των τριών εταιρειών. Υπόδειξη: Η συγκεκριµένη άσκηση αποτελεί περίπτωση δυναµικού (ακολουθιακού) παιχνιδιού. Για να το λύσετε θα πρέπει να εφαρµόσετε τη µέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής. Ειδικότερα θα πρέπει πρώτα να βρείτε τις ποσότητες παραγωγής των εταιρειών 2 και 3 (q 2 και q 3 ), µε παράµετρο την ποσότητα παραγωγής της εταιρείας 1 (q 1 ), µε δεδοµένο ότι αυτές θα πρέπει να αποτελούν σηµείο ισορροπίας Nash στο υποπαίγνιο

µεταξύ των εταιρειών 2 και 3. Στη συνέχεια θα βρείτε την ποσότητα παραγωγής της εταιρείας 1, έτσι ώστε να µεγιστοποιηθεί το κέρδος της. Απάντηση: Έστω ότι η εταιρεία 1 έχει παράγει ποσότητα q 1. Οι εταιρείες 2 και 3 πρέπει να επιλέξουν ποσότητες q 2 και q 3, οι οποίες, δεδοµένης της ποσότητας q 1, πρέπει να αποτελούν σηµείο ισορροπίας Nash για το µεταξύ τους υποπαίγνιο. Έστω λοιπόν ότι η εταιρεία 3 επιλέγει ποσότητα q 3. Η καλύτερη απάντηση της 2 είναι αυτή που µεγιστοποιεί το κέρδος της. Το κέρδος της εταιρείας 2, αν παράγει ποσότητα q 2, είναι: G 2 =q 2 (P(Q)-c)=q 2 (a-q 1 -q 2 -q 3 -c) Μηδενίζοντας την πρώτη παράγωγο του G 2 ως προς q 2 έχουµε: a-q 1-2q 2 -q 3 -c= q 2 =R 2 (q 3,q 1 )=(a-q 1 -q 3 -c)/2 Η παραπάνω σχέση αποτελεί τη συνάρτηση καλύτερης απάντησης της εταιρείας 2 ως προς την ποσότητα παραγωγής της εταιρείας 3, µε παράµετρο την ποσότητα παραγωγής της εταιρείας 1. Παρόµοια βρίσκουµε την καλύτερη απάντηση της εταιρείας 3 ως προς την ποσότητα παραγωγής της εταιρείας 2, µε παράµετρο την ποσότητα παραγωγής της εταιρείας 1: q 3 =R 3 (q 2,q 1 )=(a-q 1 -q 2 -c)/2 Στο σηµείο ισορροπίας (q 2 *,q 3 *) θα πρέπει να ισχύει q 2 *=R 2 (q 3 *,q 1 ) και q 3 *=R 3 (q 2 *,q 1 ). Λύνοντας το σύστηµα των δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους καταλήγουµε στη σχέση: q 3 *=(a-q 1 -(a-q 1 -q 3 *-c)/2-c)/2 2q 3 *=a-q 1 -a/2+q 1 /2+q 3 */2+c/2-c 2q 3 *=a/2-q 1 /2+q 3 */2-c/2 3q 3 */2=a/2-q 1 /2-c/2 3q 3 *=a-q 1 -c q 3 *=(a-q 1 -c)/3 Και παρόµοια: q 2 *=(a-q 1 -c)/3 Με βάση τα παραπάνω, τα οποία µπορεί να τα προβλέψει και η εταιρεία 1, η εταιρεία 1 πρέπει να υπολογίσει τη δική της παραγωγή, ώστε να µεγιστοποιήσει το κέρδος της. Έστω λοιπόν ότι η εταιρεία 1 παράγει ποσότητα q 1. Το κέρδος της θα είναι: G 1 =q 1 (a-q 1 -q 2 -q 3 -c)=q 1 (a-q 1 -(a-q 1 -c)/3-(a-q 1 -c)/3-c)=q 1 (a/3-q 1 /3-c/3). Βλέπουµε λοιπόν ότι το κέρδος της εταιρείας 1 εξαρτάται µόνο από τη δική της παραγωγή q 1. Για να βρούµε πού µεγιστοποιείται το G 1, µηδενίζουµε την πρώτη παράγωγό του ως προς q 1 και έχουµε: a/3-2q 1 * /3-c/3= q 1 *=(a-c)/2. Αντικαθιστώντας τελικά στις σχέσεις που µας δίνουν τις ποσότητες παραγωγής των εταιρειών 2 και 3 βρίσκουµε και τις ποσότητες παραγωγής των εταιρειών 2 και 3: q 2 *=q 3 *=(a-(a-c)/2-c)/3 = (a-c)/6 ΘΕΜΑ 4 ο (2.5) ίνεται ο παρακάτω πίνακας παιχνιδιού γύρου. P 2 Q 2 R 2 S 2 P 1 2,2 x, -1,, Q 1,x 4,4-1,, R 1,,,2, S 1,-1,-1-1,-1 2, Στον παραπάνω πίνακα ισχύει x>4, µε αποτέλεσµα το σηµείο (Q 1,Q 2 ) να µην αποτελεί σηµείο ισορροπίας Nash. Έστω λοιπόν ότι το παραπάνω παιχνίδι παίζεται για δύο γύρους, χωρίς να υπάρχουν προεξοφληµένες ανταµοιβές. Μετά τον πρώτο γύρο οι παίκτες παρατηρούν το αποτέλεσµα, πριν επιλέξουν τις στρατηγικές τους για τον δεύτερο γύρο. Βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες η παρακάτω στρατηγική αποτελεί τέλειο σηµείο ισορροπίας Nash για υποπαίγνια.

Απάντηση: Στον πρώτο γύρο οι δύο παίκτες επιλέγουν Q i. Εάν το αποτέλεσµα του πρώτου γύρου είναι (Q 1,Q 2 ), τότε στον δεύτερο γύρο επιλέγουν P i. Εάν το αποτέλεσµα του πρώτου γύρου είναι (y,q 2 ), όπου y Q 1, τότε επιλέγουν R i στον δεύτερο γύρο. Εάν το αποτέλεσµα του πρώτου γύρου είναι (Q 1,z), όπου z Q 2, τότε επιλέγουν S i στον δεύτερο γύρο. Τέλος εάν το αποτέλεσµα του πρώτου γύρου είναι (y,z), όπου y Q 1 και z Q 2, τότε επιλέγουν P i στον δεύτερο γύρο. Προφανώς, σύµφωνα και µε την εκφώνηση, x>4. Όπως προκύπτει εύκολα από τον πίνακα του παιχνιδιού, υπάρχουν τρία σηµεία ισορροπίας Nash, τα (P 1,P 2 ), (R 1,R 2 ) και (S 1,S 2 ). Είναι φανερό ότι το καλύτερο σηµείο ισορροπίας είναι το (P 1,P 2 ), γεγονός που το καθιστά κατάλληλο ως ανταµοιβή για το δεύτερο γύρο, σε περίπτωση που οι δύο παίκτες τηρήσουν τη συµφωνία του πρώτου γύρου. Έστω λοιπόν ότι στον πρώτο γύρο ο παίκτης 1 σπάει τη συµφωνία. Προφανώς αυτός θα επιλέξει P 1, για να κερδίσει x>4, αντί για 4. Εφόσον λοιπόν έσπασε η συµφωνία, στον δεύτερο γύρο οι δύο παίκτες θα επιλέξουν (R 1,R 2 ), µε αποτέλεσµα ο παίκτης 1 να κερδίσει. Έτσι το συνολικό του κέρδος και για τους δύο γύρους θα είναι x+=x. Εάν δεν έσπαγε τη συµφωνία, τότε το κέρδος του στον πρώτο γύρο θα ήταν 4 και στον δεύτερο (όπου θα επέλεγαν (P 1,P 2 )) 2, άρα το συνολικό του κέρδος θα είναι 6. Για να έχει λοιπόν κίνητρο να σπάσει τη συµφωνία θα πρέπει το κέρδος του εάν τη σπάσει να είναι µεγαλύτερο από το κέρδος του αν δεν την σπάσει, θα πρέπει δηλαδή x>6. Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε και αν εξετάσουµε την περίπτωση η συµφωνία να σπάσει από τον δεύτερο παίκτη. Άρα οι τιµές εκείνες του x για τις οποίες η συµφωνία δεν σπάει είναι οι 5 και 6. Τέλος, το ενδεχόµενο να σπάσει η συµφωνία και από τους δύο παίκτες στον πρώτο γύρο δεν χρειάζεται να µας απασχολήσει, µιας και κάτι τέτοιο δεν σχετίζεται µε τον ορισµό µιας στρατηγικής/συµφωνίας ως σηµείο ισορροπίας Nash για υποπαίγνια (µια συµφωνία είναι σηµείο ισορροπίας Nash, εάν κανένας παίκτης µόνος του δεν έχει συµφέρον να την σπάσει το ενδεχόµενο να προκύπτει κέρδος από το ταυτόχρονο σπάσιµο της συµφωνίας και από τους δύο παίκτες επιτρέπεται στα σηµείο ισορροπίας Nash). ΘΕΜΑ 5 ο (2.5) Έστω η περίπτωση ενός δυοπωλίου Bertrand µε ασύµµετρη πληροφόρηση για παραγωγή διαφοροποιηµένων προϊόντων. Συγκεκριµένα, η ζήτηση για την εταιρεία i, i=1,2, καθορίζεται από τη σχέση q i (p i,p j )=a-p i -b i p j, όπου j=1,2, j i. Το κόστος παραγωγής είναι µηδενικό και για τις δύο εταιρείες. Η εξάρτηση της ζήτησης για το προϊόν της εταιρείας i, σε σχέση µε την τιµή πώλησης που καθορίστηκε από την εταιρεία j για το δικό της προϊόν, καθορίζεται από την παράµετρο b i και µπορεί να είναι υψηλή (b i =b H ) ή χαµηλή (b i =b L ), όπου b H >b L >. Για κάθε εταιρεία i η πιθανότητα να ισχύει b i =b H ισούται µε θ, και η πιθανότητα να ισχύει b i =b L ισούται µε 1-θ. Κάθε εταιρεία γνωρίζει την δική της τιµή b i, όχι όµως και της ανταγωνίστριας εταιρείας. Το παραπάνω σενάριο είναι γνωστό και στις δύο εταιρείες. Αναζητούµε ένα συµµετρικό σηµείο ισορροπίας Bayes-Nash µε καθαρές στρατηγικές, δηλαδή ένα σηµείο ισορροπίας της µορφής ((p L, p H ), (p L, p H )), όπου p L η τιµή µε την οποία πουλά το προϊόν της η κάθε εταιρεία όταν η εξάρτηση της ζήτησης από την τιµή της άλλης εταιρείας είναι χαµηλή, και p H η τιµή µε την οποία πουλά το προϊόν της κάθε εταιρεία όταν η εξάρτηση της ζήτησης από την τιµή της άλλης εταιρείας είναι υψηλή. Βρείτε το σύστηµα εξισώσεων που ορίζει τις τιµές p L και p H (δεν χρειάζεται λόγω πράξεων - να λύσετε το σύστηµα των εξισώσεων για να βρείτε τις πραγµατικές τιµές των ζητούµενων παραµέτρων). Απάντηση: Το σηµείο ισορροπίας Bayes-Nash που ψάχνουµε θα έχει τη µορφή ((p 1L, p 1H ), (p 2L, p 2H )) = ((p L, p H ), (p L, p H )), αφού, εφόσον σύµφωνα µε την εκφώνηση πρέπει να είναι συµµετρικό, ισχύει p 1L =p 2L και p 1H =p 2H, όπου p il η τιµή µε την οποία πουλά το προϊόν της η εταιρεία i όταν η εξάρτηση της ζήτησης από την τιµή

της εταιρείας j είναι χαµηλή, και p ih η τιµή µε την οποία πουλά το προϊόν της η εταιρεία i όταν η εξάρτηση της ζήτησης από την τιµή της εταιρείας j είναι υψηλή, i,j {1,2}, i j. Ψάχνουµε λοιπόν να βρούµε δύο τιµές, τις p L και p H. Έχουµε λοιπόν: Για κάθε εταιρεία, η τιµή p L θα πρέπει να αποτελεί καλύτερη απάντηση στο συνδυασµό τιµών p L και p H της ανταγωνίστριας εταιρείας, µε πιθανότητες εµφάνισης (1-θ) και θ αντίστοιχα. Εάν λοιπόν η ζήτηση για την εταιρεία i έχει χαµηλή εξάρτηση από την τιµή της εταιρείας j, το κέρδος της εταιρείας i είναι: G i =(1-θ)p L (a-p L -b L p L )+θp L (a-p L -b L p H ) Παραγωγίζοντας ως προς p L και µηδενίζοντας την πρώτη παράγωγο παίρνουµε: (1-θ)a-2(1-θ)p L -2b L (1-θ)p L + θa-2θp L -θb L p H = a-2p L -2b L (1-θ)p L -θb L p H = p L = (a-θb L p H )/(2+2b L (1-θ)) (1) Παρόµοια, για κάθε εταιρεία, η τιµή p H θα πρέπει να αποτελεί καλύτερη απάντηση στο συνδυασµό τιµών p L και p H της ανταγωνίστριας εταιρείας, µε πιθανότητες εµφάνισης (1-θ) και θ αντίστοιχα. Εάν λοιπόν η ζήτηση για την εταιρεία i έχει υψηλή εξάρτηση από την τιµή της εταιρείας j, το κέρδος της εταιρείας i είναι: G i =(1-θ)p H (a-p H -b H p L )+θp H (a-p H -b H p H ) Παραγωγίζοντας ως προς p H και µηδενίζοντας την πρώτη παράγωγο παίρνουµε: (1-θ)a-2(1-θ)p H -b H (1-θ)p L + θa-2θp H -2θb H p H = a-2p H -b H (1-θ)p L -2θb H p H = p H = (a-(1-θ)b H p L )/(2+2θb H )) (2) Οι εξισώσεις (1) και (2) είναι οι ζητούµενες εξισώσεις που ορίζουν τα p L και p H. ΑΠΑΝΤΗΣΤΕ 4 ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ 5 ΘΕΜΑΤΑ