Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 0 Πάτρα 2008
MIMO αυτορυθμιζόμενος ελεγκτής για τοποθέτηση των πόλων ενός κλειστού (Σ) σε συγκεκριμένες θέσεις Θεωρούμε το ακόλουθο ελέγξιμο και παρατηρήσιμο (Σ) που περιγράφεται από την ΔΕ: k [ I A( z )] yt z B( z ) ut [ I C( z )] et + = + + () όπου A(z ), B(z ) και C(z ) είναι της μορφής: x X ( z ) = X z + + X z x
Εισάγουμε τον παρακάτω νόμο ελέγχου: ut G( z )( I F( z )) yt = + (2) όπου η F(z ) είναι της ίδιας μορφής με την X(z ) και g G( z ) = G + G z + + G z 0 g Οπότε αντικαθιστώντας την (2) στην () έχουμε: yt = [ I + F( z )][ I + P( z )] [ I + C( z )] et όπου I P z I A z I F z z B z G z k + ( ) = [ + ( )][ + ( )] ( ) ( ) (3)
Αν οι συντελεστές των πολυωνύμων F(z ) και G(z ) επιλέγονταν έτσι ώστε: I P z I C z I T z + ( ) = [ + ( )][ + ( )] (4) όπου + + k t a b c τότε το κλειστό σύστημα γίνεται: yt = [ I + F( z )][ I + T( z )] et
H λύση των (3) και (4) απαιτούν τη λύση των παρακάτω γραμμικών εξισώσεων: I 0 A F 0 I B F f ( a + b + k ) p = G 0 A a B B a G g A B a b ( + k) p a p P A A a 0 P p 0 b
Η υλοποίηση του ελέγχου της (2) μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: Έχουμε: [ I + F( z )] = [det( I + F( z ))] adj( I + F( z )) κι επομένως: {[det( + ( )]} t = ( ){ j [ + ( )]} I F z Iu G z adj I F z y t απ όπου η είσοδος ελέγχου u t μπορεί να υπολογιστεί
2 Ας υποθέσουμε ότι: * F ( z) = z f ( I + F( z )), * G ( z) = z g G( z ) (5) * * και ότι ο ρυθμιστής έχει τα F ( z), G ( z) relatively right prime με όλους τους δείκτες ελεγξιμότητας και παρατηρησιμότητας ίσους με f και a = b = Έπεται ότι η σχέση (2) μπορεί να γραφεί στην μορφή: = + (6) ut ( I F( z )) G( z ) yt όπου = f f και g g = (7)
f T G 0 T T G G0 T G 0 + g T G g T G g T G g f I T F I T F f F f T Αυτή η υπόθεση είναι απαραίτητη ώστε να διασφαλιστεί ότι ο προηγούμενος πίνακας (που χρειάζεται στον μετασχηματισμό από [ I F( z + ), G( z )] σε [ I F( z + ), G ( z )]) είναι πλήρης τάξης και ισχύουν οι σχέσεις (6) και (7) Από την εξίσωση (2) ο νόμος ελέγχου μπορεί να γραφτεί ως: u = F z u + G z y t ( ) t ( ) t και επομένως είναι εύκολα υλοποιήσιμος
Ο σχεδιασμός αυτού του ΜΙΜΟ ελεγκτή προϋποθέτει ότι γνωρίζουμε τις A( z ), B( z ) και C( z ) Αυτές οι παράμετροι μπορούν να εκτιμηθούν olie ως ακολούθως: Ισχύει ότι το olie μοντέλο του (Σ) δίδεται από: y = α z y + β z u + ε (8) t ( ) t β ( ) t t όπου a α( z ) = α z + + α z a b β( z ) = β z + + β z b + k k
Ο νόμος ελέγχου δίδεται από την (2) αλλά αντίθετα με τον offlie σχεδιασμό οι F(z ) και G(z ) υπολογίζονται επιλύοντας την παρακάτω ισότητα: + + = + (9) [ I α ( z )][ I F ( z )] β ( z ) G ( z ) I T ( z ) όπου για την τάξη του T(z ) ισχύει: t + + k a b c Η ορίζουσα det( I + T ( z )) δίδει τους πόλους του κλειστού (Σ)
Επομένως η αυτορυθμιζόμενη διαδικασία έχει ως εξής: (i) Υπολογισμός των α(z ) και β(z ) στην (8) χρησιμοποιώντας RLS (ii) Επίλυση της (9) (iii) Επίλυση για F z ηγ ( ) και Gz ( ) όπου και = f [ I + F( z )] G( z ) = G( z )[ I + F( z )] =, f g g έτσι ώστε ο νόμος ελέγχου να είναι της μορφής της σχέσεως (2) (iv) Εφαρμογή του ελέγχου u t επανάληψη της διαδικασίας Επιστροφή στο βήμα (i) και Αν το (Σ) συγκλίνει τότε: yt = [ I + F( z )][ I + T( z )] et
Παράδειγμα Θεωρούμε το πολυμεταβλητό (Σ): [ I + Az + Az ] y = [ Bz + B z ] u + [ I+ Cz ] e (0) 2 2 2 t 2 t t με A 4 4 02 02 048 048 0 0 = 0 09 A2 = 0 02 B 0 5 5 = 0 0 B2 = 0
C 05 0 = 0 03 και e t : λευκός θόρυβος με μηδενική μέση τιμή και διασπορά: 0 0 R = 0 0
Οι πόλοι του κλειστού (Σ) πρόκειται να τοποθετηθούν στο z=05 και z=04 έτσι ώστε η κατάλληλη επιλογή για το I T ( z ) ί + είναι: I 05 0 + z 0 04 O offlie σχεδιασμός του ρυθμιστή γι αυτό το (Σ) επιτυγχάνεται επιλύοντας την εξίσωση (4) και επικαλούμενοι τον μετασχηματισμό: ( I + Fz ) [ G + G z ] = [ G + G z ] [ I + Fz ] () 0 0
Ο προκύπτον νόμος ελέγχου: όπου u t = Fu t + G y t + G y t 0 F 023 0203 = 055 0286 00 0048048 G 0 = 06 05 00682 00265 G = 00495 00469
Η αυτορυθμιζόμενη (olie) έκδοση του ελεγκτή βρίσκεται ως εξής: Φέρνουμε την σχέση (0) στην μορφή: y = α y α y + β u + β u + ε t t 2 t2 t 2 t2 t όπου οι μήτρες συντελεστών εκτιμώνται χρησιμοποιώντας την RLS μέθοδο Ο νόμος ελέγχου βρίσκεται olie από τις εξισώσεις (9) και ()
Η σύγκλιση των παραμέτρων ελέγχου είναι αισθητή μετά από 3000 επαναλήψεις όπου οι μήτρες ελέγχου παίρνουν τις τιμές: F 0275 023 = 039 0292 G 0 002 0058 = 053 006 053 006 00707 00382 G = 00459 00332