ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 000 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 A.. α. Ρ (Α) + Ρ (Β), β. - Ρ (Α). Β. α. Β, β. α -, β -, γ -. ΘΕΜΑ ο α. f () = ( - - - 7) = 6-6 -, IR β. f () = 0 6-6 - = 0 - - = 0 = ή = - γ. - - + f () + - + f () τοπικό μέγιστο f (-) = (-) - (-) - (-) - 7 = - - + - 7 = 0 τοπικό μέγιστο f () =. -. -. - 7 = 6 - - - 7 = -7 ΘΕΜΑ ο v v α. f % = 00% 5 = 00 v = 00 v 00 v 0 v 0 8 α = 60 8 = 60 v = v 00 6 v + v + v + v = v 0 + 7v = 00 v = 6v v = 6v v = 6 0 v = 0 v = 0 v = 0
β. 50 00 50 00 50 ΘΕΜΑ ο α. Για την πόλη Α 0 + 6 + 7 + 8 + 0 69 A = = = 0 0 Γράφουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά : 0, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 0, 0 7 + 7 δα = = 7 Μ = 7 0 0 A B Γ Δ 6,9 Για την πόλη Β + 5 + 6 + 7 + 8 + 0 + 69 Β = = 0 0 = Γράφουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά :, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 0, 6 + 7 δ Β = = 6,5 Μ = 6 0 6,9
β. Είναι A = Β και s A > s B άρα η πόλη Α έχει μεγαλύτερη διασπορά από την πόλη Β. γ. Κάθε θερμοκρασία της πόλης Α μειώνεται κατά 5. Άρα από εφαρμογή σχολικού βιβλίου είναι A = Α - 5 = 6,9-5 =,9 και s A = s A =,66 ος τρόπος s A sβ Είναι s A > s B και A < Β, άρα CV A = > = CV B, A Β δηλαδή μεγαλύτερη ομοιογένεια έχουν οι θερμοκρασίες της πόλης Β από τις θερμοκρασίες της πόλης Α. ος τρόπος sa,66 CV A = 00% = 00%,5%,9 A sβ,59 CV Β = 00% = 00% 5,% 6,9 Β Είναι CV B < CV A, άρα μεγαλύτερη ομοιογένεια έχουν οι θερμοκρασίες της πόλης Β από τις θερμοκρασίες της πόλης Α.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 0 A.. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό, στ. Λάθος. Β.. α -, β - 5, γ -. B.. f () = ( - ) = ( - ) = ( - ) ( - ) = ( - ) f (α) = 7 (α - ) = 7 α - = α = ΘΕΜΑ ο Α. α. v + v + v + v + v 5 + v 6 = 0 + v + v = 0 v + v = 9 v = 9 - v () ivi = v () + + v +5 (9-v )+6 +7, = 0 88 = + 9 + v + 5-5v + 5 + 8 88 = 9 - v άρα () άρα v = 6 0 6 ημέρες είχαν θερμοκρασία C v = 6 v = 9-6 v = 0 ημέρες είχαν θερμοκρασία 5 C
β. Τιμές Θερμοκρασίας i Πλήθος Ημερών 6 6 5 5 6 7 7 0 Σύνολα 0 - Μ 0 = Από τη στήλη Ν i παρατηρούμε ότι αν γράψουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά οι δύο μεσαίες παρατηρήσεις στις θέσεις 0 η και η + είναι. Άρα δ = = Β. Είναι δ =,5 και αν γράψουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά οι δύο μεσαίες παρατηρήσεις στις θέσεις 0 η και η είναι και 5 αντίστοιχα. Τότε v + v + v = 0 6 + v = 0 v = Επομένως ημέρες είχαν θερμοκρασία 0 C. Επίσης v + v + v + v + v 5 + v 6 = 0 5 + v = 0 v = 5 Επομένως 5 ημέρες είχαν θερμοκρασία 5 0 C. v i Ν i ΘΕΜΑ ο α. Κλάσεις v i N i f i % F i % [, ) 8 8 0 0 [, 7) 6 0 0 [7, 0) 8 0 60 [0, ) 0 68 5 85 [, 6) 80 5 00 Σύνολα 80-00 - β. f % + f 5 % = 5% + 5% = 0% των επιβατών θα έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση.
γ. α = f. 60 0 = 0,. 60 0 = 6 0 α = f. 60 0 = 0,. 60 0 = 7 0 α = f. 60 0 = 0,. 60 0 = 08 0 α = f. 60 0 = 0,5. 60 0 = 90 0 α 5 = f 5. 60 0 = 0,5. 60 0 = 5 0 ΘΕΜΑ ο α. P(Α) = 0 7 = 00 0 0, Ρ (Γ) = = ή 00 0 5 και Ρ (ΑΓ) = Έστω ότι Α, Γ είναι ασυμβίβαστα. Ισχύει ο απλός προσθετικός νόμος 7 9 P(ΑΓ) = P(Α) + P(Γ) = + = άτοπο 0 0 0 Άρα τα Α, Γ δεν είναι ασυμβίβαστα. β. ος τρόπος Είναι Γ - Α Γ Ρ (Γ - Α) Ρ (Γ) Ρ (Γ - Α) 5 ος τρόπος Ρ (ΑΓ) = Ρ (Α) + Ρ (Γ) - Ρ (ΑΓ) 7 9 = + - Ρ (Α Γ) Ρ (Α Γ) = 0 0 0 9 Είναι Ρ (Γ - Α) = Ρ (Γ) - Ρ (Α Γ) = - = 0 0 0 5 7 9 8 γ. Ρ (Α - Γ) = Ρ (Α) - Ρ (Α Γ) = - = = 0 0 0 δ. ος τρόπος Ρ [(Α - Γ)(Γ - Α)] = P(Α) + P(Γ) - P(ΑΓ) = ος τρόπος Ρ [(Α - Γ)(Γ - Α)] = P(Α - Γ) + P(Γ - Α) = 8 + = 0 0 5 7 9 + - = 0 0 0 0 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6. Σχολικό βιβλίο σελίδα. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 Β.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 85. σταθμισμένο αριθμητικό μέσο, σταθμικό μέσο, = ΘΕΜΑ ο Α. f () = α( - ) = α - α και f () = α - α. H εφαπτομένη της C f στο Ο (0, f (0)) σχηματίζει με τον άξονα γωνία 5 0, άρα f (0) = εφ5 0 = α = α =. Β. Για α =, είναι f () = - και f () = -. w i w i i α. 0 =, y 0 = f () = και λ = f () = 0, (ε) : y - y 0 = λ( - 0 ) y - = 0( - ) y =. β. f () = 0 - = 0 = - + f () + - f () τ. μέγιστο f () =
ΘΕΜΑ ο α. f % = F % - F % = 0% - 0% = 0%, άρα v 0 f = 0, = 0, = v = 50. v v 5 β. Fi % 00 90 80 70 60 50 0 0 0 0 0 δ 8 0 6 8 0 γ. vi 0 δ = 5 Κλάσεις F i % f i % v i [0, ) 0 0 5 [, ) 0 0 0 [, 6) 70 0 0 [6, 8) 90 0 0 [8, 0) 00 0 5 Σύνολα - 00 50 5 0 5 0 0 6 8 0 βαθμολογία δ. Ρ(Α) = f % + f 5 % = 0% + 0% = 0%
ΘΕΜΑ ο A. i. P() + P() + P() + P(6) = + + + = > άτοπο 6 ii. P() + P() + P() + P(6) = + + + = 57 < άτοπο 8 6 6 iii. P() + P() + P() + P(6) = + + + = δεκτό 6 Β. α. Αν κ =, τότε η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα είναι η. Αν κ =, τότε η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα είναι η. Αν κ =, τότε η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα είναι η. Αν κ = 6, τότε η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα είναι η. Επομένως Α = {,, 6}. ++7+κ+κ+++ κ + 8 =,5 = 8 8 κ + 8 = 0 κ = Άρα Β = {}. β. Ρ(Α) = P() + P() + P(6) = + + = 6 Ρ(Β) = P() = ΑΒ = Ω, άρα Ρ(ΑΒ) =
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδες 50-5 Β. γ Γ. β Δ. Σχολικό βιβλίο σελίδα 96 ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει - 0. - - + - + - + Άρα A = (-, -] [, +). β. ( - ) f () = - = = = - - - - f () = = = = = = 8 ( ) f () - - - γ. imh () = im = im - - - - - + = im ( - ) - + - ( - )( +) im = im = ( - ) - + ( - ) - + + = im = = = - +
ΘΕΜΑ ο α. A = {,, 6, 8,, 0} και Β = { 5, 0, 5, 0, 5, 0} N (A) 5 N (Β) 6 P(A) = = = 0,5 και P(Β) = = = 0, N (Ω) 0 N (Ω) 0 N (A Β) β. ΑΒ = {0, 0, 0} και P(A Β) = = = 0,. N (Ω) 0 Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ) = 0,5 + 0, - 0, = 0,6. γ. Ρ(ΑΒ ) = Ρ(Α) + Ρ(Β ) - Ρ(ΑΒ ) = Ρ(Α) + - Ρ(Β) - Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) + - Ρ(Β) - [Ρ(Α) - Ρ(ΑΒ)] = Ρ(Α) + - Ρ(Β) - Ρ(Α) + Ρ(ΑΒ) = - Ρ(Β) + Ρ(ΑΒ) = - 0, + 0, = 0,9. δ. Ρ[(Α Β)(ΑΒ )] = Ρ[(Α - Β)(Β - Α)] = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ) = 0,5 + 0, -. 0, = 0,5. ΘΕΜΑ ο α. Το 50% των μαθητών του δείγματος έχουν βάρος το πολύ 65 Kg, άρα = δ = 65. % % Tο 7,5% των μαθητών του δείγματος 0,5% έχουν βάρος από 65Kg έως 75Kg, άρα + s = 75 65 + s = 75 s = 0 s = 5 β. s 5 CV = = 7,69% < 0% 65 Άρα είναι ομοιογενές.,5%,5% -s -s -s +s +s +s 68% 95% 99,7%,5%,5% 0,5%
γ. % % 0,5%,5%,5%,5%,5% 0,5% 50 55 60 65 70 75 80,5% + % + % = 8,5% δ. % %,5%,5% 0,5%,5%,5% 0,5% 50 55 60 65 70 75 80 [55, 60),5% vi 7 7 f i = 0,5 = v = v v 0,5 v = 00.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Β. α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8, β. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Γ. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Λάθος, στ. Σωστό. ΘΕΜΑ ο + ( + ) e - ( + ) (e ) - - f () = α. = = e (e ) e - - f () = 0 = 0 - - = 0 = - e - - + f () + - f () Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-, -] και γνησίως φθίνουσα στο [-, +). Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο την τιμή f (-) = e + - - + - - β. f () + f () = + = = e e e e γ. 0 = 0, y 0 = f ( 0 ) = f (0) = και λ = f ( 0 ) = f (0) = - (ε) : y - y 0 = λ ( - 0 ) (ε) : y - = -( - 0) (ε) : y = - +.
ΘΕΜΑ ο 5 5 ti ti 5 i = i = α. = = t i = 50 5 5 0 0 i = t t = = t = 0 i i 0 i = i = i 0 0 i = 5 0 ti - ti i = i = 50-0 0 = = = = 6 5 5 5 β. 5 ti 5 i = s = 5 5 ti ti i = i = 5000 - = - = - = 00-96 = 5 5 5 s s = s = = και CV = = = 0,9 ή,9% ΘΕΜΑ ο α. Έστω ότι P() = P() = P(5) = P() = P() = P(6) = κ. Άρα P() = P() = P(5) = κ, P() = P(6) = κ και P() = κ. Ισχύει P() + P() + P() + P() + P(5) + P(6) = κ + κ + κ + κ + κ + κ = 7κ = κ = 7 Άρα P() = P() = P(5) =, P() = P(6) = 7 7 β. Α = {,, 6} και Β = {,, 5} = Α P(Α) = P() + P() + P(6) = + + = 5 7 7 7 7 P(B) = P(A ) = - P(A) = - 5 = 7 7 και P() = 7
γ. f () = -κ +. Για να είναι η f γνησίως αύξουσα στο IR, πρέπει f () 0, για κάθε ΙR. Άρα πρέπει το τριώνυμο να έχει Δ 0 (-κ) -.. 0 κ - 6 0 κ - 0 κ - - + κ - + - + άρα - κ και επειδή κ Ω, θα είναι κ = ή κ =. Γ = {, } και Ρ(Γ) = Ρ() + Ρ() = + = 6 7 7 7
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 8-7 - 005 ΘΕΜΑ ο Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα s s Α.. CV =, αν > 0, ενώ CV =, αν < 0. - Β. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό, στ. Σωστό. ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει > 0, άρα A f = (0, +). β. f () = (α n - β ) = - β, > 0. γ. Α (, ) C f f () = α. ln - β. = - β = β = -. Η εφαπτομένη της C f στο Α (, ) είναι η y = -, άρα f () = α - β = α + = α =. α = α α δ. imf () = im - β = - β 8 = α - β = 6 β = - α ΘΕΜΑ ο α. Το 50% των παρατηρήσεων έχουν τιμή μεγαλύτερη του 0, άρα = 0. Το 8,5% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα (6, ), άρα s =. % % β. Στο διάστημα - s, + s βρίσκεται το 68%,5% 0,5%,5%,5%,5% 0,5% των παρατηρήσεων. Στο διάστημα - s, + s 6 8 0 6 βρίσκεται το 95% των παρατηρήσεων. Στο διάστημα - s, + s βρίσκεται το 99,7% των παρατηρήσεων. Άρα α =.
γ. R 6s = 6. = f () = R ( + ) + 9s = 6 - + 8. f () = - f () = 0 - = 0 = = - + f () - + f () f min = f () = 6. -. + 8 = -6. ΘΕΜΑ ο α. A = (A B)(A - B) = {,,,, 6} N(A) 5 P(A) = = = 0,5 N(Ω) 0 B = (A B) - (A - B) = {,,, 5} N(B) P(B) = = = 0, N(Ω) 0 + Πρέπει - 0 - + ( - ) ( - ) Ω, άρα - > 0 - + - - - - - - = ή =. άρα Γ = {, } N(Γ) P(Γ) = = = 0, N(Ω) 0 N(B Γ) β. Είναι ΒΓ = {} και P(B Γ) = = = 0, N(Ω) 0 Ρ(Β - Γ) = Ρ(Β) - Ρ(ΒΓ) = 0, - 0, = 0, γ. Ρ((Β - Γ)(Γ - Β)) = Ρ(Β) + Ρ(Γ) -. Ρ(ΒΓ) = 0, + 0, - 0, = 0,
λ + λ + 5λ 9λ δ. = = = λ (λ - λ) + (λ - λ) + (5λ - λ) λ + 0 + λ 8λ s = = = λ Ω 8λ s > > 8λ > 7 λ > 9 λ > λ>0 άρα Δ = {, 5, 6, 7, 8, 9, 0} και Ν(Α) 7 Ρ(Α) = = = 0,7. Ν(Ω) 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΛΙΟΥ 006 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο σελίδες 50-5 Β.. Σχολικό βιβλίο σελίδα,. Σχολικό βιβλίο σελίδα. Γ. α. ΛΑΘΟΣ, β. ΛΑΘΟΣ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ. ΘΕΜΑ ο α. Η εφαπτομένη της C f στο Α (, e ) είναι y = -e + e, τότε f () = e και f () = -e. f () = e e (α. + β. + 9) = e α + β + 9 = α + β = - () f () = [e (α + β+ 9)] = (e ). (α + β+ 9) + e. (α + β+ 9) = e (α + β+ 9) + e (α + β) = e (α + β +α + β + 9) f () = -e e (α. + β. +α. + β + 9) = -e 8α + β = -0 () Από τις () και () παίρνουμε α = και β = -6. β. Για α = και β = - 6 είναι : f () = e ( - 6 + 9) και f () = e ( - + ) f () = 0 e ( - + ) = 0 - + = 0 = ή = - + f () + - + f () τ. μέγιστο τ. ελάχιστο τ. μέγιστο f () = e ( - 6. + 9) = e τ. ελάχιστο f () = e ( - 6. + 9) = 0
ΘΕΜΑ ο α. Α : «Ο πελάτης έχει πάρει στεγαστικό δάνειο» Β : «Ο πελάτης έχει πάρει καταναλωτικό δάνειο» Είναι P ((A - B) (B - A)) = 0,7 και P ((A B) ) = 0, P ((A B) ) = 0, - P (A B) = 0, P (A B) = 0,9 () P ((A - B) (B - A)) = 0,7 P (A) + P(B) - P(A B) = 0,7 P (A) + P(B) - P(A B) - P(A B) = 0,7 () P(A B) - P(A B) = 0,7 0,9 - P(A B) = 0,7 P(A B) = 0, () Άρα A B, δηλαδή τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β. Α - Β : «Ο πελάτης έχει πάρει μόνο στεγαστικό δάνειο» Β - Α : «Ο πελάτης έχει πάρει μόνο καταναλωτικό δάνειο» Είναι P (A - B) = 0,6. P ((A - B) (B - A)) = P (A - B) + P (B - A) 0,7 = 0,6 + P (B - A)) P (B - A) = 0, () P (B - A) = P (B) - P (A B) 0, = P (B) - 0, P (B) = 0, ΘΕΜΑ ο α. Η η κλάση είναι [7, 7 + c) και η η είναι [7 + c, 7 + c). Για την τέταρτη κλάση έχουμε : 7 + c + 7 + c + c = 0 = c = β. Αν f = τότε f =. f + f + f + f = 0, + + 0, + = = 0,6 = 0,, άρα f = 0, και f = 0,. Απουσίες i f i i f i [, 5) 0, 0, [5, 7) 6 0,, [7, 9) 8 0,, [9, ) 0 0,
Σύνολα - 8 γ. i. = ii f = 8 ii. α τρόπος Απουσίες i f i i f i i f i [, 5) 0, 0,,6 [5, 7) 6 0,, 7, [7, 9) 8 0,, 9, [9, ) 0 0, 0 Σύνολα - 8 68 k k v k i i i vi i = i = s = i vi - s = - v i = v v k k vi s = i - s = i f i - v i = i = s = 68-8 = 68-6 =, άρα s = s = = β τρόπος Απουσίες i f i i f i i - ( i - ) ( i - ) f i [, 5) 0, 0, - 6,6 [5, 7) 6 0,, - 0,8 [7, 9) 8 0,, 0 0 0 [9, ) 0 0,,6 Σύνολα - 8 - - k ( i - ) vi k i = vi s = s = ( i - ) v v k i i i = s = ( - ) f s = Άρα s s i =
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 007 ΘΕΜΑ ο Α. Απόδειξη από το σχολικό βιβλίο, σελ. 5. Β. α. Ορισµός από το σχολικό βιβλίο, σελ.. β. Ορισµός από το σχολικό βιβλίο, σελ. 87. Γ. Ερωτήσεις Σ Λ α Σ β Σ γ Λ f = = v Γ. ( ) ( ) v v f ( ) = ( ln ) = f ( ) = ( ) = f = συν = ηµ ΘΕΜΑ ο ( ) ( ) f = e + e = f f παραγωγίσιµη στο R µε, f ( ) = ( ) e + ( e ) + ( ) = e + e α. ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) f = e + f f = f + e β. ( ) f e e lim = lim 0 0 + e 0 e e e lim lim 0 = 0 = 0 = = ( ) e = ΘΕΜΑ ο α. P( ) = P( 0) = P( ) = P( ) = P( ) = P( ) = P( 5) P( ) P( ) = P( ) = P( 5) = P( ) + P( 0) + P( ) + P( ) + P( ) + P( ) + P( 5) = P( ) P( ) P( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P + P + P + P + + + = P( ) + P( ) + P( ) + P( ) + P( ) + P( ) + P( ) = P( ) = P( ) = Άρα P( ) = P( 0) = P( ) = P( ) = P( ) = P( ) = P( 5) = β. Για κάθε ( A B) A. Άρα ( ) Οµοίως ( A B) B. Αφού ( A B) = {, } A, A Άρα πρέπει = = 0 A B A και B, B. = ή = Για = έχουµε A= {,, } και B= {,, 8, } Άρα A B= { }, άτοπο αφού εξ υποθέσεως A B= {, } Για = έχουµε A= {,, } και B= {, 0,, } Άρα A B= {, } Εποµένως η τιµή = είναι δεκτή γ. Για =, έχουµε A= {,, -} και B= {, 0, -, } 5 P( A) = P( ) + P( ) + P( ) = + + =
7 P( B) = P( ) + P( 0) + P( ) + P( ) = + + + = P( A B) = P( ) + P( ) = + = 5 P( A B) = P( A) P( A B) = = ( ) ( ) ( ) ( ) P( A) P( B ) P( A B) P A B = P A + P B P A B = = + = = P( A) + P( B) P( A) P( A B) + = 7 7 = P( B) + P( A B) = + = ΘΕΜΑ ο α. 5 ti i= + 8+ t +... + t5 + 8+ 5 75 A = = = = = 5 5 5 5 5 5 t 6+ + t +... + t 6+ + 5 75 5 5 5 5 i i= 5 B = = = = = 5 = = 5 5 A B i i 5 i= 5 i= β. s s ( t ) ( t ) ( 5) + ( 8 5) + ( t 5 ) +... + ( t 5) 5 = 5 ( 6 5) + ( 5) + ( t 5 ) +... + ( t 5) 5 = 5 = ( ) + + ( t 5) 9+ 9 6 = = 5 5 +... + ( t 5) ( ) ( t 5)... ( t 5) 5 5 5 = sa γ. CVA = = sa = A sa = 5 sa = 5 5 5 5 A sa sb = 6 s 6 6 9 B = sa sb = sb = sb = 5 5 5 5 5 CV s 5 75 5 B B = = = = 5 B
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 008 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ o A. Σχολικό βιβλίο σελίδα Β. α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 β. Σχολικό βιβλίο σελίδα Γ. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ ο α. α = f. 60 0 08 0 = f. 60 0 f = 0, ή f = 0 Κλάσεις i f i i f i [0, 0) 0 f 0f [0, 60) 50 f 50f [60, 80) 70 f 70f [80, 00) 90 0, 7 ΣΥΝΟΛΑ - 7 + 80f + 70f f = f + f + 0, = f = 0,7 - f () β. i. i () = ii f 70 = 7 + 80f + 70f 70 = 7 + 80f + 70(0,7 - f ) 70 = 7 + 80f + 9-0f 60f = 6 f = 0, ή f = f = 0 f = 0, () f = 0,7-0, f = 0,5 ή f = 0 Κλάσεις i v i f i [0, 0) 0 5 0, [0, 60) 50 5 0, [60, 80) 70 5 0,5 [80, 00) 90 5 0, ΣΥΝΟΛΑ - 50 ii. To πλήθος των μαθητών με βαθμολογία τουλάχιστον 60, είναι ν + ν = 5 + 5 = 0 μαθητές. iii. Το ποσοστό των μαθητών με βαθμολογία από 50 ως 70, f % f% 0% 50% 60% είναι + = + = = 0%. 5
ΘΕΜΑ ο α. Είναι Α Β Α Α Β άρα Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β) και επειδή οι πιθανότητες είναι ανά δύο διαφορετικές μεταξύ τους, τότε Ρ (Α Β) < Ρ (Α) < Ρ (Α Β) (). Επίσης 0 < p <, άρα p - < 0 και p + >. Επομένως τα p - και p + δεν είναι πιθανότητες () p>0 p>0 0 < p < 0 < p < p 0 < p < p Επομένως p < p < p (). Από (), () και () συμπεραίνουμε ότι : Ρ (Α Β) = p, Ρ (Α) = p και Ρ (Α Β) = p. β. Ρ (Α Β) = Ρ (Α) + P (B) - Ρ (Α Β) P (B) = Ρ (Α Β) - Ρ (Α) + Ρ (Α Β) P (B) = p - p + p γ. Ρ (Β - A) > Ρ (Α - B) P (B) - Ρ (Α Β) > Ρ (Α) - Ρ (Α Β) P (B) > Ρ (Α) p - p + p > p p - p + p > 0 p. (p - p + ) > 0 p. (p - ) > 0 που ισχύει διότι p > 0 και p. Επομένως Ρ (Β - A) > Ρ (Α - B). ΘΕΜΑ ο y y α. + y = 00 y = 00 - y = 00 -. Εμβαδόν περιφραγμένης περιοχής =. y f () =. (00 - ) > 0 f () = 00 -, 0 < < 00. y > 0 00 - > 0 00 - > 0 < 00
β. f () = 00-0 00 00 f () = 00 - + - f () Η f παρουσιάζει μέγιστο για = 00 την τιμή f (00) = 00. 00-00 = 0000-5000 = 5000 m. γ. f (00) = 00-00 = 0 f (0) = 00-0 = - f (0) = 00-0 = - f (0) = 00-0 = - f (0) = 00-0 = - 0 + (-) + (-) + (-) + (-) -0 = = = - 5 5 δ. Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου έχουμε : = + c = - + c = c - και s = s. s s s s CV = CV = = c - - = c - = c - = ή c - = - c - c = ή c =. Σημείωση : Θα μπορούσε κάποιος να είχε υπολογίσει την τυπική απόκλιση. (0+) + (-+) + (-+) + (-+) + (-+) 0 s = = = 5 5 s = s = = s s s CV = CV = = c - - = c - = c - = ή c - = - c - c = ή c =.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 009 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ o A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Β. α. Σχολικό βιβλίο σελίδα β. Σχολικό βιβλίο σελίδα 85 Γ. α. Σωστό αν l = 0 ή l = ν, Λάθος σε κάθε άλλη περίπτωση, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ ο α. im f () = im(α - 8) = α - 8 im f () = - 7 α - 8 = -7 α = β. Για α = είναι f () = - 8 i. f () - 8 im = im - - ( - )( - + ) = im - = im( - + ) ii. = 0 = + + = y 0 = f () = - 8 = 0 f () = ( - 8) = λ = f () = = (ε) : y - y = λ( - ) 0 0 (ε) : y - 0 = ( - ) (ε) : y = -
ΘΕΜΑ ο ν 0 0 ν 0 α. α = 60 50 = 60 50 = 5ν ν = 0 ν 7 ν 0 0 ν 0 α = 60 0 = 60 0 = 5ν ν = 6 ν 7 ν + ν + ν + ν = ν άρα 0 + 6 + ν + ν = 7 ν = 56 ν = και ν = ν ν 7 ν ν 7 0 0 0 β. α = 60 = 60 α = 70 0 0 α = 60 = 60 α = 0 0 γ. i ν i Ν i i v i 0 0 0 6 6 6 0 7 ΣΥΝΟΛΑ 7-0 + 6 + + R = - v i i 0 + 6 + + = = v 7 Από τη στήλη Νi προκύπτει ότι αν γράψουμε τις παρατηρήσεις η η με αύξουσα σειρά, οι "μεσαίες" παρατηρήσεις (θέσεις 6 και 7 ) είναι, άρα δ =. 0 + 6 + + 0R + 7 = 0( - ) + 7 7 = 0-0 + 0 + 6 + + = 5 + 6 + = 5 + 6 (-7) + = 5 - + = 5δ
ΘΕΜΑ ο A.α. f () = (v + - ) = v - 8 - = v - 8 v - 8 =, (0, ). v - 8 Για (0, ) : f () > 0 > 0 v - 8 > 0 v > 8 8 > > > v v v 0 v f () - + f () Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, v, ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, v. β. Η f παρουσιάζει ελάχιστο για = v την τιμή f = v + = v + = v + v = v v v v v Άρα για κάθε (0, ) είναι : f () f v f () v
Β.α. Προφανώς P(A) > 0 αν P(A) =, τότε η v P(Α) + P(A) = v γίνεται v + = v v - v + = 0 ν = - ή ν = Aπό το δειγματικό χώρο Ω προκύπτει ότι νιν, άρα ν = και Ν (Α) = - f αν 0<P(A)< f P(Α) >f fp(α) > v άτοπο άτοπο αν 0 < P(A) <, τότε v P(Α) + = v f P( Α) = v P(A) v v ν - 9ν - 8 = ν - 9ν - 0 = 0 ν = 0 ή v = - αν f <P(A)< f <f P(Α) fp(α) > v άτοπο v v Ν(A) άρα P(A) = = v ν v Ν(A) = Aπό το δειγματικό χώρο Ω προκύπτει ότι το ν είναι φυσικός αριθμός άρα ν = 0 και P(A) =. 0 P(A) = 5 β. ος τρόπος Ρ(Α Β) = Ρ(Α ) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) = - Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Β - Α) = - Ρ(Α) + Ρ(Β) - [Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ)] = - Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Β) + Ρ(ΑΒ) = - Ρ(Α) + Ρ(ΑΒ) 9 = - + = 5 6 0 ος τρόπος Από το διάγραμμα Venn προκύπτει ότι Α Β = (ΑΒ ). Ρ(Α Β) = Ρ((ΑΒ ) ) = Ρ((Α - Β) ) = - Ρ(Α - Β) Α = - [Ρ(Α) - Ρ(ΑΒ)] = - Ρ(Α) + Ρ(ΑΒ) = - + = 5 6 9 0 Ω Β
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 0 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Α. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β Β. Κλάσεις i v i f i f i % i v i [0, ) 0, 0 [, ) 0, 0 56 [, 6) 5 0, 0 60 [6, 8) 7 6 0, 0 0 [8, 0) 9 6 0, 0 ΣΥΝΟΛΑ - 60 00 86 i i B. = v = 86 v 60 =, B. v + v = + = μαθητές B. Θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες μέσα στις κλάσεις άρα f % + f % = 5% + 0% = 5% των μαθητών ΘΕΜΑ Γ Γ. ΑΒ = και ΑΒ = Ω, άρα Α = Β και Β = Α Είναι Α - Β = Α και Β - Α = Β, άρα Ρ (Α - Β) = Ρ (Α) και Ρ (Β - Α) = Ρ (Β) Γ. Ρ (Α) + Ρ (Β) = άρα v + v - + = v - v - = 0 v + v v = - ή ν = και επειδή ν είναι θετικός ακέραιος θα είναι ν =. + 5 - Γ. Ρ (Α) = = και Ρ (Β) = = + 8 8 Γ. Ρ (Α Β ) = Ρ (ΒΑ) = Ρ (Ω) =
ΘΕΜΑ Δ Δ. f (t) = (t - ) (t - ) = (t - ) 00s 00s Eίναι f (t) 0 και το "=" ισχύει μόνο για t = άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR. Δ. f (t) = (t - ) (t - ) = (t - ) 00s 50s t - + f (t) - + f (t) ελάχιστο Ο ρυθμός μεταβολής γίνεται ελάχιστος για t =. f min = f () = ( - ) = 0. 00s s Δ. f (0) = = = 00s 00 CV = CV = ή CV = 0%. 00 0 Είναι CV 0%, άρα το δείγμα είναι ομοιογενές. f (t ) + f (t ) +... + f (t v ) Δ. = v (t - ) + (t - ) +... + (t v - ) = 00s 00s 00s v (t - ) + (t - ) +... + (t v - ) = 00s v = s 00s = 00
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β t - B. θ (t) = t - t + α = - = - =, t (0, ] t t t t - θ (t) < 0 < 0 t - < 0 t < t < t άρα η θεροκρασία μειώνεται για t (0, ] t - θ (t) > 0 > 0 t - > 0 t > t > t άρα η θεροκρασία αυξάνεται για t (, ] B. θ = θ () - = α - α = B. min t = θ (t) = 0 t - t + = 0 - + = 0 = t = t = 0:00 = t = t = 9 09:00 = ή = t - θ (t) t - ( t - )( t + ) B. im = im t = im = im t t t t - 6 t - 6 t t (t - 6) t(t - )(t + )( t + ) = im t t - = im = t t (t - ) (t + )( t + ) t(t + )( t + ) 6
ΘΕΜΑ Γ Γ. f % = 00% + + 0 + + - 6 = 00 i - - 80 = 0 = 0 ή = -8 (απορρίπτεται) f % = 0%, f % = 0%, f % = 0% και f % = 0%. Γ. Κλάσεις f i % F i % [5, 5+c) 0 0 [5+c, 5+c) 0 0 [5+c, 5+c) 0 60 [5+c, 5+c) 0 00 ΣΥΝΟΛΑ 00 - Κατασκευάζουμε ιστόγραμμα και πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Ιστόγραμμα & πολύγωνο Fi% αθροιστ. σχετικών συχνοτήτων 00 80 60 Ε 0 A Γ 0 Η Ι Θ 0 5 5+c 5+c 50 5+c 5+c Το Ε είναι το μέσο του ΑΓ και η ΕΖ είναι μεσοπαράλληλη των ΑΒ και ΓΔ, άρα το Ζ είναι το μέσο του ΔΒ και η ΖΙ είναι μεσοπαράλληλη των ΔΗ και ΒΔ, άρα το Ι είναι μέσο του ΗΘ. Δ Ζ B 5 + c + 5 + c 5 + c + 5 + c = 50 = 50 50 + 5c = 00 5c = 50 c = 0
Γ. Κλάσεις i ν i f i % Ν i F i % i v i [5, 5) 0 5 0 5 0 50 [5, 5) 0 5 0 0 0 600 [5, 55) 50 0 0 0 60 500 [55, 65) 60 0 0 50 00 00 ΣΥΝΟΛΑ - 50 00 - - 50 ivi 50 = = = 9 v 50 Η μέση τιμή των ηλικιών είναι 9 χρόνια. Γ. Έστω ότι προσλαμβάνονται άτομα που ανήκουν στην η κλάση Ο πίνακας τότε διαμορφώνεται ως εξής: Κλάσεις i ν i i v i [5, 5) 0 5 + 50 + 0 [5, 5) 0 5 600 [5, 55) 50 0 500 [55, 65) 60 0 00 ΣΥΝΟΛΑ - 50 + 50 + 0 ivi 50 + 0 = 0 = v 50 + 0(50 + ) = 50 + 0 000 + 0 = 50 + 0 0-0 = 50-000 0 = 50 = 5 Άρα για να γίνει η μέση ηλικία 0 χρόνια, πρέπει να προσληφθούν 5 άτομα που ανήκουν στην πρώτη κλάση.
ΘΕΜΑ Δ λ + Δ. P((A - B) (B - A)) = λ λ - λ - P((A B) ) = P(A B) = - = λ λ λ λ - P((A B) ) = P(A B) = - = λ - λ - λ - P((A - B) (B - A)) = P(A - B) + Ρ( B - A) P((A - B) (B - A)) = P(A) - P(A B) + Ρ(B) - P(A B) P((A - B) (B - A)) = P(A B) - P(A B) λ + λ - λ + λ - = - = λ λ - λ λ λ - λ - 9λ = λ - λ - 9λ + = 0 λ = ή λ = Για λ =, είναι P((A B) ) < 0 άτοπο Άρα λ =. Δ. α. Για λ =, είναι P(A B) = και P(A B) = Ν(Α) = Ν(Β) - 50 () Ν(Α) Ν(Β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) = + - 600 600 00 = Ν(Α) + Ν(Β) - 50 () 00 = Ν(Β) - 50 + Ν(Β) - 50 00 Ν(Β) = 00 Ν(Β) = 00 και Ρ(Β) = = 600 Ν(Β) = 00 50 () N(A) = 50 και Ρ(Α) = = 600 600
Ν(A - B) P(A - B) = Ρ(Α) - P(A B) = - = = 6 600 6 Ν(Α-B) = 00, άρα 00 κρίθηκαν κατάλληλοι μόνο από την εταιρεία Α Ν(Β - Α) P(Β - Α) = Ρ(Β) - P(A B) = - = = 600 Ν(Β - Α) = 50, άρα 50 κρίθηκαν κατάλληλοι μόνο από την εταιρεία Β Ν(A B) P(A B) = = Ν(Α B) = 50, άρα 600 50 κρίθηκαν κατάλληλοι και από τις δύο εταιρείες και θα βρεθούν στο δίλημμα να επιλέξουν σε ποιά από τις δύο εταιρίες επιθυμούν να προσληφθούν Ν(A B) β. P(A B) = = Ν(Α B) = 00, άρα 600 00 κρίθηκαν κατάλληλοι να προσληφθούν από τις εταιρείες Α ή Β Δ. P(A B) = P((A B) ) = Ν((Α B) ) = 00, άρα 00 απόφοιτοι κρίθηκαν ακατάλληλοι από τις εταιρείες Α και Β. Γ : Ο απόφοιτος που κρίθηκε ακατάλληλος βρίσκει εργασία Ρ (Γ) = Ρ(Γ ) Ρ (Γ) = [ - Ρ(Γ)] Ρ (Γ) = - Ρ(Γ) Ρ (Γ) = Ρ (Γ) = Ν (Γ) Ν (Γ) = = Ν (Γ) = 00, άρα Ν((Α B) ) 00 00 από αυτούς που κρίθηκαν ακατάλληλοι και από τις δύο εταιρείες θα βρουν εργασία. Παρατήρηση : Έπρεπε να δοθεί ότι όλοι όσοι παρακολούθησαν το πρόγραμμα θα βρουν εργασία και όσοι δεν παρακολουθήσουν το πρόγραμμα δεν θα βρουν.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 85 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β B. Β. ν i 8 0 6 8 0 Κλάσεις i v i f i N i F i [6, 0) 8 6 0, 6 0, [0, ) 8 0, 0, [, 8) 6 0, 8 0,6 [8, ) 0 0, 7 0,9 [, 6) 8 0, 80 ΣΥΝΟΛΑ - 80 - - Ιστόγραμμα και πολύγωνο συχνοτήτων 6 0 8 6
B. Κλάσεις i v i i v i i - ( i - ) ( i - ) v i [6, 0) 8 6 8-8 6 0 [0, ) 8 96-6 8 [, 8) 6 8 0 0 0 [8, ) 0 80 6 8 [, 6) 8 9 8 6 5 ΣΥΝΟΛΑ - 80 80 - - 08 v 80 v 80 i i = = = 6 ( i - ) vi 08 s = = = 5,6 v 80 s = s = 5,6 5,06 B. Στην κλάση [0, ) έχουμε : Σε πλάτος ( 0) αντιστοιχεί το 0% των υπαλλήλων Σε πλάτος ( ) αντιστοιχεί το % των υπαλλήλων =. 0 = 5% των υπαλλήλων Στην κλάση [, 8) αντιστοιχεί το 0% των υπαλλήλων Στην κλάση [8, ) αντιστοιχεί το 0% των υπαλλήλων Στην κλάση [, 6) έχουμε : Σε πλάτος (6 ) αντιστοιχεί το 0% των υπαλλήλων Σε πλάτος (5 ) αντιστοιχεί το y% των υπαλλήλων y =. 0 y = 7,5% των υπαλλήλων Επομένως το ποσοστό των υπαλλήλων που πήραν άδεια από μέχρι 5 μέρες είναι : 5% + 0% + 0% + 7,5% = 7,5%
ΘΕΜΑ Γ Γ. 6α - 0α - αβ + β + = 0 5α - 0α + + α - αβ + β = 0 (5α - ) + (α - β) = 0 5α - = 0 και α - β = 0 α = β = 5 P (A) = P ( ω ) + P (ω ) + P (ω ) = α + β + γ = + + γ = γ = 5 5 0 Γ. g () = P(ω ) g () = P(ω ) H εφαπτομένη της Cg στο σημείο (, g ()) είναι παράλληλη στην ευθεία y = άρα g () = P(ω ) = P(ω ) = P(ω ) + P(ω ) + P(ω ) + P(ω ) + P(ω ) = 5 5 + + + + P(ω 5) = + P(ω 5)= 5 5 0 6 5 P(ω 5 ) = 6 P(ω 5 ) = - 6 Γ. ( 5 Κ = (A - Β) Β - Α) = { ω, ω,ω,ω } 9 άρα P(Κ) = - P(ω ) = - = 0 0 Λ = A Β = Α, άρα P(Λ) = P(Α) =
ΘΕΜΑ. Οι διαστάσεις του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι : α = 6 -, β = 6 - και γ = Επομένως ο όγκος της δεξαμενής είναι : f () = (6 - ). (6 - ). = ( - ). ( - ). = ( - ), 0 < <. f () = ( - ) = () ( - ) + ( - ) = ( - ) + ( - ) ( - ) = ( - ) - 8 ( - ) = ( - ) ( - - ) = ( - ) ( - ) 0 f () + - f () Η δεξαμενή έχει μέγιστο όγκο όταν = m. f ( + ) - 8 ( + ) [ - ( + )] - 8 im = im 0 0. ( + ) ( - ) - 8 = im 0 ( + 8) ( - + ) - 8 = im 0-8 + + 8-6 + 8-8 = im 0 ( - ) = im = im ( - ) = - 0 0
. = < < < < = 5 f στο [, ] f () = f ( ) > f ( ) > f ( ) > f ( ) > f ( ) = f () 5 6 = y > y > y > y > y = 8 5 R = y - y 5 = 6-8 R = 8 sy CV y = = = y 6 Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου όταν σε όλες τις τιμές μιας μεταβλητής y i προσθέσουμε μια σταθερά α, τότε οι νέες τιμές ω i που προκύπτουν, έχουν: ω = y + α = + α > 0 s ω = s y = και sω Επομένως CV = = ω + α. R 8 Είναι CV = CV y + = + + α 6 = + α = α = - 0 + α 5. f P (B) f στο [0, ] Α Β 0 < P (A) P (B) f P (A) P (A) [ - P (A)] P (Β) [ - P (Β)] και επειδή Ρ (Β) > 0 και [ - Ρ (Β)] > 0, έχουμε P(A) - P(Β) P (A) [ - P (Β)] P (Β) [ - P (Α)] P(Β) - P (Α)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 IOYNIΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Σωστό*, δ. Λάθος, ε. Λάθος. *έπρεπε να δίνεται ότι η μεταβλητή είναι ποσοτική διακριτή ΘΕΜΑ Β Β. f () = e ( - ) = e ( - ) + e = e ( - ) f () = 0 e ( - ) = - f () - + f () + Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο -,, ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο, +. Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο = την τιμή f ( ) = f = e - = e(-) = - e
Β. Ρ (A) = = f ( ) - e 6 e 6 e 6 Ρ (B) = - = - = = Β. Έστω ότι Α, Β είναι ασυμβίβαστα Ισχύει ο απλός προσθετικός νόμος 7 Ρ (Α Β) = Ρ (Α) + Ρ (Β) = + = 6 > 0 ΑΤΟΠΟ Άρα τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. Β. Α - B = Α (Β ) = Α Β = Β Α = Β - Α Β - Α Β Ρ(Β - Α) Ρ(Β) Ρ(Α - Β ) () ή Α - Β Α Ρ(Α - Β ) Ρ(Α ) Ρ(Α - Β ) < Θα δείξουμε ότι Ρ(Α - Β ) Ρ(Β - Α) 6 6 Ρ(Β) - Ρ (Α Β) - Ρ (Α Β) 6 6 Ρ (Α Β) - Ρ (Α Β) που ισχύει διότι 6 Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) άρα Ρ(Α - Β ) ( ) 6 Από () και () : Ρ(Α - Β ) 6 ()
ΘΕΜΑ Γ Γ. F 5 = και F 5 % = 00 Από τύπους Vieta έχουμε : 8 8 F + F = F + = F = F 5 = 5 5 5 F = 5 κ κ κ F F 5 = F = = κ = 5 5 5 5 5 5 κ = F % = 00 κλ - λ + 0 = 00 λ - λ - 70 = 0 Δ = 89 και λ = 0 ή λ = -7 Όμως F % = λ 0, άρα λ = 0 Γ. f % = F % = λ = 0 F % = λ + 0 = 0 f % = F % - F % = 0-0 = 0 F % = 00. F = 60 f % = F % - F % = 60-0 = 0 F % = κλ - λ + 0 = 90 f % = F % - F % = 90-60 = 0 f 5 % = F 5 % - F % = 00-90 = 0 f % Γ. 5% = f % + = 6 () f % 5% = + f 5% = () () - = c c = 8 () c = η κλάση : [ α, α + ), η κλάση : [ α +, α + 8 ) α + + α + 8 α + = 6 = α + = α = 0 α = 0
Κλάσεις Κεντρικές τιμές i f i % F i F i % [0, ) 0 0, 0 [, 8) 6 0 0, 0 [8, ) 0 0 0,6 60 [, 6) 0 0,9 90 [6, 0) 8 0 00 ΣΥΝΟΛΑ - 00 - - Γ. Το 0% (f % + f 5 %) των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες ή ίσες του. Στο 0% των παρατηρήσεων αντιστοιχούν 800 παρατηρήσεις Στο 00% των παρατηρήσεων αντιστοιχούν ν παρατηρήσεις 0ν = 800. 00 0ν = 80000 ν = 000 ΘΕΜΑ Δ Δ.α. P(ω ) = P(-) = f (-) - = - + - = 6 P(ω ) = P(0) = f (0) - = - = f () = + = = = + ( + ) ( + ) f () im = - ( + ) - - -( - )( + im - ( - ) ( + ) ( + ) - -( + ) - = im = = - ( + ) f () P(ω ) = - im = - - = 6-6 P(ω ) = - P(ω ) - P(ω ) - P(ω ) = - - - = 6 ( + ) )
Δ.β. - ω ω + > 0 f (ω) 0 0 - ω 0 (ω + ) ω ω ω ή ω - Άρα Α = {-, ω, ω } και Ρ(Α) = P(-) + P(ω ) + P(ω ) = + + = 6 ω ω ω + > 0 f (ω) > + > > 0 ω > 0 ω + ω + Άρα Β = {ω, ω } και Ρ(Β) = P(ω ) + P(ω ) = + = 6 άθε IR + ω + 0, για κάθε IR Πρέπει Δ 0 ω - 0 ω ω - ω + ω -, για κ Άρα Γ = {-, 0} και Ρ(Γ) = P(-) + P(0) = + = 6 5 6 Α - Β = {-} και P(Α - Β) = P(-) = 6 Δ. - f ( ) = εφ5 = = 0 0 0 ( 0 + ) ( + ) = - + + = - 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 + = 0 ( + ) = 0 = 0 = 0 f (0) = και f (0) =, άρα (ε) : y - f (0) = f (0) ( - 0) y - = y = + 0
Δ. ω i = -, 0, ω, ω M ε y = ω + = - + = 0 M ε y = ω + = 0 + = M ε y = ω + M ε y = ω + Είναι < ω < ω, άρα y < y < y < y R y = y - y 5 = (ω + ) - 0 5 = ω + ω = 0 + ω ω δ ω = = κ + ω + + ω δ y = = κ Eίναι δ = δ ω ω + ω = ω = + ω ω = κ y κ ( )
Γενικό Λύκειο Νεστορίου Σχολικό έτος 0-0 Βοηθητικό Υλικό της Γ Λυκείου