ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Θα εξετάσουµε την προσέγγιση µιας συνάρτησης z που αντιστοιχεί σε µια επιφάνεια στον χώρο µε παρεµβολή σε δοσµένα σηµεία της µε πεπερασµένα στοιχεία Η προσέγγιση αυτή είναι βασικά ένα πολύεδρο που συµπίπτει µε την δοσµένη επιφάνεια στα σηµεία παρεµβολής που επιλέξαµε Συνήθως το πολύεδρο αυτό αποτελείται από τριγωνικές επίπεδες έδρες που κάθε µια τους ορίζεται από τρία σηµεία παρεµβολής Σε µερικές όµως περιπτώσεις χρησιµοποιούνται και τετραγωνικές έδρες που ορίζονται από τέσσερα σηµεία ή τριγωνικές που ορίζονται από έξη σηµεία τρία στις κορυφές και τρία στα µέσα των πλευρών του κάθε τριγώνου Στις τελευταίες όµως δυο περιπτώσεις οι έδρες δεν µπορούν πια να είναι εν γένει τµήµατα επιπέδων και είναι αντίστοιχα τµήµατα επιφανειών της µορφής φ c d δηλ δευτεροβαθµίων αν και είναι γραµµικές χωριστά ως προς και διγραµµικές ή της µορφής: φ c d e Ένας από τους λόγους για τους οποίους οι τελευταίες δυο προσεγγίσεις δεν χρησιµοποιούνται τόσο συχνά όσο η πρώτη είναι ότι έχουν το µειονέκτηµα ότι το πολύεδρο δεν αποτελεί συνεχή επιφάνεια γιατί κατά µήκος της ευθείας που είναι το σύνορο δυο εδρών η κάθε έδρα έχει εν γένει διαφορετική και µάλιστα ίσως µεταβαλλόµενη καµπυλότητα οπότε τα συνοριακά σηµεία τους δεν συµπίπτουν Για τούτο θα περιορισθούµε εδώ στην περιγραφή των τριγωνικών στοιχείων που ορίζονται µε τριάδες σηµείων παρεµβολής Αν έχουµε ένα σύνολο σηµείων r r r r n µιας συνάρτησης µε r r r τότε για να κατασκευάσουµε ένα πολύεδρο που έχει τα σηµεία αυτά ως κορυφές πρέπει πρώτα να προσδιορίσουµε ποιά τριάδα σηµείων θα χρησιµοποιηθεί για κάθε επίπεδη έδρα τρία σηµεία στον χώρο ορίζουν όπως είναι γνωστό ένα επίπεδο Το ζητούµενο πολύεδρο έχει δηλαδή τότε µόνον ορισµένη µορφή όταν ορισθούν αυτές οι τριάδες κόµβων Έτσι στον υπολογιστή πρέπει να εισαχθούν δύο κατάλογοι δεδοµένων: Ένας κατάλογος των συντεταγµένων r r r κάθε σηµείου παρεµβολής κόµβου r r n και ένας κατάλογος που να αναφέρει ποια τριάδα κόµβων απαρτίζει κάθε έδρα e Οι έδρες αυτές ονοµάζονται και "στοιχεία" elements του πολύεδρου Εδώ πρέπει να προσέξουµε ότι µεταξύ των δεικτών των κόµβων που απαρτίζουν µιαν έδρα και του δείκτη e της έδρας δεν υπάρχει συγκεκριµένη αριθµητική σχέση που θα µας επέτρεπε να αποφύγουµε τον δεύτερο κατάλογο Η επιλογή των τριάδων κόµβων είναι αυθαίρετη Αν τώρα η έδρα e έχει ως κορυφές τους κόµβους τότε το επίπεδο που περιγράφει αυτήν την έδρα δίνεται από την σχέση: e όπου e e e e BVPdoc 9//6: ΜΜ

e e e και ανάλογοι τύποι ισχύουν για τις Οι συναρτήσεις e r έχουν προφανώς την ιδιότητα ότι: e r s r s s δ rs 3 r s e Πχ γιατί τότε στην ο αριθµητής είναι ίδιος µε τον e e παρονοµαστή ενώ και γιατί τότε η ορίζουσα του αριθµητή έχει δυο ιδίες σειρές Η συνάρτηση παριστάνει δηλαδή µιαν τριγωνική πυραµίδα στον χώρο µε κορυφή ύψους στο σηµείο και βάση το τρίγωνο που ορίζεται από τα σηµεία e Η ιδιότητα 3 εξασφαλίζει τώρα την ισχύ των συνθηκών παρεµβολής: e e e γιατί πχ µε ο πρώτος προσθετέος στην έχει την τιµή ενώ οι άλλοι δυο µηδενίζονται Η συνολική προσέγγιση φ ορίζεται κατ' αρχήν από την σχέση: γιά e G e όπου G e το σύνολο των σηµείων του επιπέδου - που περιλαµβάνονται στο τρίγωνο µε κορυφές δηλαδή η βάση η προβολή στο επίπεδο του στοιχείου e Για να δώσουµε µιαν ενιαία περιγραφή της φ µπορούµε να ενοποιήσουµε σε µιαν ενιαία πυραµίδα τις επί µέρους πυραµιδοειδείς συναρτήσεις e ' e " e που έχουν κοινή κορυφή ύψους στο σηµείο και αντιστοιχούν στα επί µέρους στοιχεία e e' e" που έχουν τον κόµβο [] σαν κοινό κόµβο: ενώ e Ge e' Ge' 6 e" Ge" G G G 7 e e' e" ηλαδή η µηδενίζεται στο τµήµα του επιπέδου - που BVPdoc 9//6: ΜΜ

αντιστοιχεί σε στοιχεία που δεν περιλαµβάνουν τον κόµβο [] Με χρήση τέτοιων πυραµιδοειδών συναρτήσεων η φ µπορεί να γραφτεί στην µορφή: n 8 όπου n ο συνολικός αριθµός των κόµβων Για œg e µηδενίζονται όλες οι συναρτήσεις r εκτός από εκείνες που περιλαµβάνουν το τρίγωνο G e στην βάση τους Κάθε µια από αυτές τις συναρτήσεις ισούται στο G e µε την αντίστοιχη παράσταση e r και ο δείκτης r διατρέχει τις κορυφές του τριγώνου Ge Άρα η έχει εδώ την µορφή και παριστάνει την έδρα φ e του πολύεδρου Παράδειγµα Παρεµβολής µε τριγωνικά πεπερασµένα στοιχεία r r r [] o o [] [] o o [] 3 [3] o o [6] Στο παραπάνω σχήµα δίνεται µία διαµέριση σε επί µέρους στοιχεία του ορθογωνίου παραλληλογράµµου που έχει κορυφές του τους κόµβους [] [3] [] [6] Αν έχουν δοθεί οι τιµές 3 6 µιας συνάρτησης στους κόµβους αυτούς και στα ενδιάµεσά τους σηµεία [] [] να δοθεί στις δυο παραπάνω περιπτώσεις η πολυεδρική συνάρτηση που περνάει από τα ίδια σηµεία και να προσδιορισθεί η τιµή της στο σηµείο ** / / Οι συντεταγµένες των κόµβων αυτών είναι: 3 3 3 6 6 3 Λύση: δηλαδή 3 3 6 6 6 3 3 3 όπου έχουµε χρησιµοποιήσει τον συµβολισµό για την e e' e" για να δείξουµε πάνω σε ποιά στοιχεία εκτείνεται To σηµείο ** / / ανήκει στο στοιχείο αυτής της BVPdoc 3 9//6: ΜΜ

διαµέρισης Άρα όπου ηλαδή Θεώρηµα 9: Αν η συνάρτηση έχει συνεχείς µέχρι και δεύτερες µερικές παραγώγους σε µιαν πολυγωνική περιοχή Π του επιπέδου διαµερισµένη σε τρίγωνα και αν { } m : M Π τότε για την πολυεδρική προσέγγιση φ µε επίπεδα στoιχεία που συµπίπτουν µε την στις κορυφές των τριγώνων ισχύει: 3 m M Π όπου η µεγαλύτερη πλευρά τριγώνου που υπάρχει στην διαµέριση σε τρίγωνα Παρατήρηση: Εξάρτηση του σφάλµατος από τον τρόπο διαµέρισης Όπως βλέπουµε όσο µικρότερα κάνουµε τα τρίγωνα της διαµέρισης τόσο καλύτερη προσέγγιση θα έχουµε και µάλιστα της τάξης µεγέθους του όπου το µήκος της µεγαλύτερης πλευράς τριγώνου στην διαµέριση που έχουµε Πώς όµως προσδιορίζουµε την διαµέριση αυτήν; Αν επιλέξουµε το µικρότερο µήκος πλευράς τριγώνου που θα χρησιµοποιήσουµε κατά την διαµέριση πώς πρέπει να κατασκευάσουµε τα τρίγωνα της διαµέρισης ώστε το µεγαλύτερο µήκος να µην είναι BVPdoc 9//6: ΜΜ

υπέρµετρα µεγάλο; Έστω ότι mn m είναι η µικρότερη πλευρά ενός τριγώνου της διαµέρισης και m M είναι η µεγαλύτερη πλευρά Τότε σύµφωνα µε την τριγωνοµετρία ισχύει: sn α υ snα M m όπου α Μ η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά Μ α m η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά m και υ το ύψος του τριγώνου που ξεκινάει από την ίδια κορυφή µε τις δυο αυτές πλευρές ηλαδή έχουµε: snα M M snα Όπως βλέπουµε το Μ είναι όσο το δυνατόν πιο µικρό αν τα δυο ηµίτονα είναι ίσα δηλαδή αν α Μ α m Αυτό σηµαίνει όµως ότι και οι τρεις γωνίες του τριγώνου θα είναι ίσες 6 κάθε µια γιατί α Μ είναι η µεγαλύτερη γωνία και α m η µικρότερη ηλαδή το µικρότερο δυνατό µέγιστο µήκος πλευράς το έχουµε αν όλα τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα Η ποιότητα της διαµέρισης χειροτερεύει αν έστω και ένα τρίγωνο εµφανίζει µιαν πολύ οξεία γωνία Όπως φαίνεται από την τελευταία σχέση αν η γωνία α Μ είναι σταθερή και η γωνία α m τείνει στο µηδέν τότε το Μ τείνει στο άπειρο! Εδώ πρέπει να σηµειώσουµε ότι µεγάλο σφάλµα προκύπτει σε µιαν διαµέριση µόνο στα τρίγωνα που έχουν έντονα οξείες γωνίες γιατί ισχύει m m M 3M e M 3M M για κάθε τρίγωνο e χωριστά όπου M e η µέγιστη απόλυτη τιµή δευτέρας µερικής παραγώγου στο τρίγωνο αυτό και Μ η µέγιστη πλευρά αυτού του τριγώνου Για τον λόγο αυτό µπορούµε ενδεχόµενα να προσπαθήσουµε να διορθώσουµε µιαν διαµέριση τοπικά σε όποιες περιοχές προκύπτουν κατά την πρόοδο της κατασκευής της ιδιαίτερα οξείες γωνίες Παράδειγµα προσδιορισµού του µέγιστου σφάλµατος: Να προσδιορισθεί το µέγιστο σφάλµα προσέγγισης της συνάρτησης sn µε επίπεδα τριγωνικά στοιχεία που να συµπίπτουν µε αυτήν στους κόµβους της παρακάτω διαµέρισης: [] [6] [] [] 3 [3] [] όπου ο κόµβος [] αντιστοιχεί στο σηµείο και οι οριζόντιες και κάθετες αποστάσεις των κόµβων µε τους γειτονικούς τους είναι δηλαδή: Π R : { } BVPdoc 9//6: ΜΜ

Λύση: Εδώ είναι άρα ενώ Εποµένως sn M m Π sn sn sn 3M 6 sn BVPdoc 6 9//6: ΜΜ

Μονοδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών Θεωρία και Παραδείγµατα από το βιβλίο µου Αριθµητικής Ανάλυσης Εδώ θα περιγράψουµε τον τρόπο λύσης του προβλήµατος συνοριακών τιµών " ' και παραλλαγών του µε τις µεθόδους Πεπερασµένων ιαφορών και Πεπερασµένων Στοιχείων Η Μέθοδος Πεπερασµένων ιαφορών Η µέθοδος αυτή επιλέγει ισαπέχοντα σηµεία στο διάστηµα []: n n οπότε n και αναζητεί τιµές που να ικανοποιούν προσεγγιστικά την Ε στα σηµεία : " ' n 3 καθώς και τις συνοριακές συνθήκες Αυτό γίνεται µε χρήση τύπων προσεγγιστικής διαφόρισης όπως οι: 3 ' ' ξ 6 όπου ξ œ - και " " ζ µε ζ œ - που ισχύουν αντίστοιχα αν µέχρι και η 3 ή η είναι συνεχείς Έτσι προκύπτει από την : O 6 και µε παράλειψη του όρου σφάλµατος: n 7 όπου µε βάση πχ τις συνοριακές συνθήκες είναι n 8 Έτσι έχουµε ένα γενικά µη γραµµικό σύστηµα n- εξισώσεων µε τους BVPdoc 7 9//6: ΜΜ

n- αγνώστους n- Για την λύση αυτού του συστήµατος αποδεικνύεται ότι αν η συνάρτηση ' έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ως προς και ' και η έχει µέχρι και την τετάρτη παράγωγό της συνεχή τότε ισχύει: O 9 Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται συνήθως στην περίπτωση γραµµικών Ε όπως η " p ' q r οπότε το προς επίλυση σύστηµα 7 είναι γραµµικό και παίρνει την µορφή: q p r p όπου p : p q : q r : n- Το σύστηµα αυτό έχει τριδιαγώνιο πίνακα δηλαδή πίνακα όπου µόνο η κύρια διαγώνιος και οι δυο γειτονικές της διαγώνιοι έχουν µη µηδενικά στοιχεία και µπορεί να λυθεί πχ µε την µέθοδο απαλοιφής Guss Η µονοσηµαντότητα της λύσης του συστήµατος αυτού είναι εγγυηµένη αν η συνάρτηση q είναι θετική στο διάστηµα [ ] q Q > και το βήµα είναι τόσο µικρό ώστε να ισχύει: οπότε προκύπτει p / < n- 3 q > p / p / n- Το σύστηµα έχει τότε υπερισχύουσα διαγώνιο και µπορεί να λυθεί µε επαναληπτικές µεθόδους όπως η µέθοδος Guss - Jordn ή η µέθοδος Guss - Sedel Η απόδειξη της 9 είναι εδώ απλή Αν πάρουµε την για και χρησιµοποιήσουµε τις έχουµε: q p r τ p όπου 3 τ ξ p ζ O 6 και αφαιρώντας την από αυτήν: όπου q ε p ε τ p ε 6 BVPdoc 8 9//6: ΜΜ

Mε έχουµε τότε: και εποµένως: ή ε : n 7 ε: m ε 8 q ε p ε p ε τ ε τ Qε ε- τ 9 M M ε ε P Q 6 3 όπου Μ είναι άνω φράγµα της Μ 3 άνω φράγµα της 3 και P άνω φράγµα της p στο διάστηµα [ ] Εδώ βλέπουµε και γιατί η προϋπόθεση είναι απαραίτητη Όσο πιο µικρό είναι το κάτω φράγµα Q της q τόσο χειρότερη είναι η εκτίµηση σφαλµατος Προσοχή: Εξ αιτίας των σφαλµάτων στρογγυλεύσεως ο τύπος 9 περιέχει ένα πρόσθετο σφάλµα ± ρ / Εποµένως η σχέση - O ρ ισχύει µόνο όταν << δηλαδή ρ << Μικτές Συνοριακές Συνθήκες Όπως είπαµε και στην αρχή συχνά οι συνοριακές συνθήκες δεν προδιαγράφουν απλά τις τιµές της λύσης στα δυο συνοριακά σηµεία αλλά τις τιµές πχ γραµµικών συνδυασµών της λύσης και της πρώτης παραγώγου της Ένα τέτοιο πρόβληµα είναι πχ το να προσδιορίσουµε την λύση της Ε 67 υπό τις συνοριακές συνθήκες: ' c d Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να εφαρµόσουµε την ίδια τεχνική όπως παραπάνω µόνο που θα πρέπει να προσεγγίσουµε και την τιµή ' µε πηλίκο διαφορών Εδώ όµως χρειάζεται προσοχή γιατί αν χρησιµοποιήσουµε την προσέγγιση: ' ' O O προκύπτει µια προσέγγιση µε σφάλµα O και όχι O έστω και αν σε όλα τα άλλα σηµεία χρησιµοποιήσουµε τους τύπους Σε τέτοιες περιπτώσεις προεκτείνουµε την λύση τεχνητά έξω από το διάστηµα [ ] εισάγοντας έναν όρο - - ώστε να µπορέσουµε να εφαρµόσουµε τον τύπο 3 και για Οι συνοριακές συνθήκες παίρνουν λοιπόν την µορφή: BVPdoc 9 9//6: ΜΜ

c d n 3 Το σύστηµα 3 έχει όµως τώρα έναν άγνωστο παραπάνω από τον αριθµό των εξισώσεων του Για τούτο το συµπληρώνουµε µε την αντίστοιχη εξίσωση για : p q p r Το παραπάνω τέχνασµα µπορεί να εφαρµοσθεί τόσο στο ένα όσο και στο άλλο συνοριακό σηµείο όταν έχουµε µονοδιάστατα προβλήµατα δηλαδή κοινές Ε Παραδείγµατα Εφαρµογής της Μεθόδου Πεπερασµένων ιαφορών Να λυθεί το πρόβληµα συνοριακών τιµών: " - ' ' - ' µε την µέθοδο πεπερασµένων διαφορών Λύση Αν στον τυχόντα εσωτερικό κόµβο αντικαταστήσουµε τις παραγώγους µε τα πηλίκα διαφορών έχουµε: n όπου /n n δηλαδή /n Επειδή και οι δυο συνοριακές συνθήκες περιλαµβάνουν πρέπει εδώ να εισαγάγουµε δυο ακόµα εξωτερικούς κόµβους: παραγώγους - - n οπότε µε χρήση πεπερασµένων διαφορών οι συνοριακές συνθήκες γίνονται: n n Συνολικά έχουµε έτσι n- n εξισώσεις µε n3 αγνώστους τους - n n Χρειαζόµαστε δηλαδή δυο ακόµα εξισώσεις Για τούτο χρησιµοποιούµε την πρώτη διαφοροεξίσωση και για n Ειδικά για n έχουµε έτσι το σύστηµα: - - : - - - - : - : 3 - - 3 3 BVPdoc 9//6: ΜΜ

Να λυθεί το µη γραµµικό πρόβληµα συνοριακών τιµών: " ' µε την µέθοδο πεπερασµένων διαφορών Λύση Αντικατάσταση των παραγώγων µε πηλίκα διαφορών µας δίνει εδώ το σύστηµα µη γραµµικών εξισώσεων: n όπου n Tο σύστηµα αυτό µπορεί να λυθεί µε κάποιαν επαναληπτική µέθοδο για µη γραµµικά συστήµατα Η Μέθοδος Πεπερασµένων Στοιχείων Η όλη διαδικασία της αντικατάστασης των παραγώγων µε πηλίκα διαφορών γίνεται εξαιρετικά δυσχερής σε πολυδιάστατα προβλήµατα δηλ σε Ε µε µερικές παραγώγους που πρέπει να ισχύουν πχ στο εσωτερικό ενός διδιάστατου χωρίου ενώ είναι δοσµένες οι τιµές της ζητούµενης συνάρτησης πάνω στα σηµεία της συνοριακής καµπύλης του χωρίου αυτού Άµεσα µπορούν να γενικευθούν όσα είπαµε παραπάνω µόνον όταν το χωρίο έχει σχήµα ορθογώνιο γιατί σε αυτό µπορούν να επιλεγούν µε οµοιόµορφο τρόπο ισαπέχοντα σηµεία Αν το σύνορο του χωρίου είναι ακανόνιστο τότε για την προσέγγιση των παραγώγων κοντά στο σύνορο ενδέχεται να χρειασθούµε σηµεία που βρίσκονται έξω από αυτό όπως έγινε ήδη παραπάνω στην µονοδιάστατη περίπτωση και µάλιστα µεγάλο πλήθος τέτοιων σηµείων Αυτό δυσχεραίνει πολύ την αυτοµατοποίηση της όλης διαδικασίας Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο κατά τις τελευταίες δεκαετίες έχει επικρατήσει η χρήση της µεθόδου Πεπερασµένων Στοιχείων για όλα τα πολυδιάστατα προβλήµατα Η µέθοδος αυτή αξιοποιεί άµεσα και χωρίς δυσκολίες τις συνοριακές συνθήκες είτε είναι απλές είτε σύνθετες αλλά οδηγεί σε περιπλοκότερα γραµµικά συστήµατα αν η Ε είναι γραµµική που οι συντελεστές τους πρέπει να προσδιορισθούν µε αριθµητικές ολοκληρώσεις Εδώ θα περιγραφεί ο τρόπος εφαρµογής της µεθόδου αυτής µόνο σε µονοδιάστατα προβλήµατα όπου στην πράξη δεν έχει κανένα πλεονέκτηµα Στόχος µας είναι όµως όπως και σε πολλά άλλα σηµεία αυτού του βιβλίου να διευκολυνθεί η κατανόηση των βασικών χαρακτηριστικών της µεθόδου αυτής χωρίς την επιβάρυνση από πρόσθετες τεχνικές λεπτοµέρειες που επιβάλλει η αντιµετώπιση πολυδιάστατων προβληµάτων Έτσι όποιος ενδιαφέρεται θα µπορεί να την εφαρµόσει και σε πολυδιάστατα προβλήµατα διαβάζοντας µε µεγαλύτερη άνεση την εκτενέστατη βιβλιογραφία που υπάρχει γι' αυτά BVPdoc 9//6: ΜΜ

Πιο συγκεκριµένα θα µελετήσουµε εδώ την λύση του προβλήµατος προσέγγισης της συνάρτησης œ C [ ] που ικανοποιεί τις σχέσεις: και ή εναλλακτικά " p ' q r 6 ' c d 7 όπου p q r œ C[ ] Η προσέγγιση που ζητούµε βασίζεται σε µιαν διαµέριση { < << n } του διαστήµατος [ ] και έχει την µορφή: n 8 όπου προσέγγιση της τιµής και φ µια µη αρνητική συνάρτηση µε µέγιστη τιµή που βρίσκεται στην θέση και µηδενίζεται σε όλο το διάστηµα [ ] εκτός από τα γειτονικά υποδιαστήµατα [ - και [ που εδώ ονοµάζονται «στοιχεία» της διαµέρισης Έτσι θα είναι για n Παραδείγµατος χάριν µπορούµε να βάλουµε: [ ] 9 και φ για [ - ] µε α αν θέλουµε οι συναρτήσεις φ άρα και η να έχουν τµηµατικά συνεχή πρώτη παράγωγο ή µε α αν θέλουµε οι φ να έχουν συνεχή ως και την δεύτερη παράγωγο Στην πράξη όµως προτιµούµε τις "τριγωνικές" η "πυραµιδοειδείς" συναρτήσεις φ : όπου: [ 3 [ και για [ - που δεν έχουν παρά µόνον τµηµατικά συνεχή πρώτη παράγωγο Ο λόγος της προτιµήσεως αυτής είναι ότι µειώνεται σηµαντικά ο όγκος των πράξεων αφού οι συναρτήσεις είναι τµηµατικώς πρωτοβάθµια πολυώνυµα αντί δευτεροβάθµια ή τριτοβάθµια Για να προσδιορίσουµε τους αγνώστους που προσεγγίζουν τις τιµές ξεκινάµε από την σχέση: - r œ 3 όπου : " p' q 3 Αν στην θέση της βάλουµε την προσέγγιση δεν µπορούµε βέβαια να περιµένουµε οτι η συνάρτηση - r θα είναι εν γένει µηδέν για œ δηλ για άπειρες τιµές του γιατί οι άγνωστοι είναι πεπερασµένοι τα Μπορούµε όµως να αναγκάσουµε την συνάρτηση -r α BVPdoc 9//6: ΜΜ

να έχει εν γένει τιµές γύρω από το µηδέν Προς τούτο αρκεί να απαιτήσουµε να είναι: r d n 33 Η απαίτηση αυτή λέγεται απαίτηση Glern Επειδή τα φ µηδενίζονται έξω από το διάστηµα [ - ] οι σχέσεις αυτές σηµαίνουν ότι εξαναγκάζουµε το εµβαδόν της συνάρτησης -rφ στο διάστηµα [ - ] να µηδενισθεί Επειδή όµως η φ έχει στο - µόνο θετικές τιµές τούτο σηµαίνει ότι η - r πρέπει να έχει εκεί τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιµές και µάλιστα έτσι ώστε να µηδενίζεται το εµβαδόν της συνάρτησης - rφ Αν έχουν δοθεί οι συνοριακές συνθήκες τότε µπορούµε να ορίσουµε απ' ευθείας: : n : 3 Έτσι αποµένουν οι n- άγνωστοι n- και για τον προσδιορισµό τους αρκούν n- εξισώσεις Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο χρησιµοποιούµε τις εξισώσεις 33 µόνο για ως n- Αναλυτικότερα οι εξισώσεις αυτές έχουν την µορφή: " p ' q r d d d 3 και εποµένως r d [ ' ] ' ' p ' q d 36 όπου η τελευταία µορφή προκύπτει αν µετασχηµατίσουµε το ολοκλήρωµα της "φ ''φ χρησιµοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση Στην τελευταία αυτήν µορφή έχουν το σηµαντικό πλεονέκτηµα ότι είναι απαλλαγµένες από δεύτερη παράγωγο Αυτό µας επιτρέπει να επιλέξουµε για τη κατασκευή της συναρτήσεις φ που να µην έχουν δεύτερη παράγωγο Έτσι αντί των σχέσεων 3 µπορούµε να απαιτήσουµε να ισχύουν απ' ευθείας οι σχέσεις 36 και αντί για φ της µορφής 9 µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε φ της µορφής 3 που απλοποιούν τις ολοκληρώσεις τα φ ' ' είναι τότε τµηµατικώς σταθερές συναρτήσεις Στην περίπτωση των συνοριακών συνθηκών 6 χρησιµοποιούµε όπως είπαµε τις σχέσεις 36 µόνο για n- Αυτό µας επιτρέπει να παραλείψουµε από όλες τον όρο [ ' ] ' ' 37 BVPdoc 3 9//6: ΜΜ

γιατί για n- είναι φ φ Αντικαθιστώντας τώρα το µε βάση την 8 στις σχέσεις 36 έχουµε για n-: n ' ' p ' q r d d 38 Το σύστηµα αυτό είναι προφανώς γραµµικό ως προς τους αγνώστους Για να το λύσουµε πρέπει πρώτα να υπολογίσουµε είτε ακριβώς είτε προσεγγιστικά όλα τα παραπάνω ολοκληρώµατα και να λάβουµε υπόψη ότι : n : Αυτό σηµαίνει ότι για να γίνει διαχωρισµός αγνώστων από γνωστά µεγέθη οι προσθετέοι µε συντελεστή και n στο παραπάνω άθροισµα πρέπει να µεταφερθούν στο πρώτο µέρος των εξισώσεων Στην περίπτωση 7 όπου µας έχει δοθεί µια "µικτή" συνοριακή συνθήκη 'cd το n δεν µας είναι άµεσα γνωστό Έτσι οι εξισώσεις 36 ή 38 µε n- δεν αρκούν Εδώ ενδείκνυται να χρησιµοποιήσουµε την 36 και για n Τότε έχουµε την πρόσθετη σχέση: r n d ' d 39 ' n ' p ' n q n γιατί φ n Στην θέση του ' βάζουµε τώρα d-c d-c n µε βάση την σχέση ' d - c που προκύπτει από την µικτή συνοριακή συνθήκη Απαιτούµε δηλαδή να ισχύει και Υ' d-c Έτσι έχουµε µιαν πρόσθετη εξίσωση για τον προσδιορισµό του πρόσθετου άγνωστου n Παράδειγµα Εφαρµογής της Μεθόδου Πεπερασµένων Στοιχείων Να λυθεί το ίδιο όπως προηγούµενα πρόβληµα συνοριακών τιµών: " - ' ' - ' µε την µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων Λύση Αν διαλέξουµε και εδώ δηλαδή τους κόµβους έχουµε την προσέγγιση: H απαίτηση Glern παίρνει εδώ την µορφή: και εποµένως d " ' d BVPdoc 9//6: ΜΜ

[ ] ' ' ' ' d d όπου [ [ και φ για - Έτσι έχουµε τις εξισώσεις: ' ' ' d d ' ' ' d d ' ' ' d d όπου στην πρώτη εξίσωση είναι [ ] - ' - ' - - εξ αιτίας της συνοριακής συνθήκης: ' και στην τρίτη εξίσωση είναι [' ] ' ' εξ αιτίας της συνοριακής συνθήκης: ' Εδώ είναι: [] ] [ [ [ [ ] [ [ [ [ ] [ [ [ Ασκήσεις Να λυθεί το πρόβληµα συνοριακών τιµών: " - ' 3 ' - ' α µε την µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων β µε την µέθοδο πεπερασµένων διαφορών µε χρήση των κόµβων: /n n n µε n 3 BVPdoc 9//6: ΜΜ

Να λυθεί το πρόβληµα συνοριακών τιµών: " - ' 3 ' - 3 µε την µέθοδο πεπερασµένων διαφορών µε χρήση των κόµβων: /n n n µε n 3 3 Να λυθούν µε την µέθοδο πεπερασµένων διαφορών µε βήµα και συνοριακές συνθήκες τα ακόλουθα προβλήµατα συνοριακών τιµών Kopcenov-Mron σελ6: " 3 ' - ep- " ' - / c " 'sn / sn d " -/ ' BVPdoc 6 9//6: ΜΜ