Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες, πολυώνυµα κλπ ) τα οποία ονοµάζουµε γενικά «διανύσµατα» στο οποίο έχουµε ορίσει δύο πράξεις Μία εσωτερική πράξη µεταξύ των στοιχείων του δχ την οποία θα ονοµάζουµε γενικά «πρόσθεση»: ( + ):V V V Και µία εξωτερική πράξη πραγµατικών αριθµών µε στοιχεία του δχ την οποία θα ονοµάζουµε γενικά «βαθµωτό πολλαπλασιασµό»: (): V V Σε αυτό το σύνολο θα πρέπει να ισχύουν οι ακόλουθες δέκα ιδιότητες u+ v V u, v V Κλειστότητα της πρόσθεσης u+ v= v+ u u, v V Αντιµεταθετικότητα : u+ = u u V Ύπαρξη ουδετέρου πρόσθεσης u V u V : u+ ( u) = Ύπαρξη αντιθέτου πρόσθεσης ( u+ v) + w= u+ ( v+ w) u, v, w V Προσεταιριστικότητα πρόσθεσης au V u V και a Κλειστότητα του πολαπλασιασµού au ( + v) = au+ av uv, Vκαι a Πρώτος επιµεριστικός κανόνας ( a+ b) u = au+ bu u V και a, b εύτερος επιµεριστικός κανόνας ( ab) u = a( bu) u V και a, b Προσεταιριστικότητα πολαπλασιασµού u = u u V Σύµβολα : για κάθε, υπάρχει, : τέτοιο ώστε, το µηδενικό διάνυσµα, το µηδέν του πολ\µου Για να αποδείξουµε ότι ένα σύνολο εφοδιασµένο µε τις πράξεις είναι δχ πρέπει να αποδείξουµε ότι ισχύουν όλες οι παραπάνω ιδιότητες Για να αποδείξουµε ότι ένα σύνολο εφοδιασµένο µε τις πράξεις δεν είναι δχ πρέπει να αποδείξουµε ότι έστω µία από παραπάνω ιδιότητες δεν ισχύει Παραδείγµατα συνόλων που, αποδεικνύοντας τις παραπάνω ιδιότητες, βλέπουµε ότι είναι δχ: Το σύνολο των -διάστατων διανυσµάτων, το οποίο συµβολίζουµε µε, εφοδιασµένο µε το σύνηθες άθροισµα διανυσµάτων και τον πολλαπλασιασµό αριθµού επί διάνυσµα Το σύνολο των m x πινάκων, το οποίο συµβολίζουµε µε M m, εφοδιασµένο µε το σύνηθες άθροισµα πινάκων και τον πολλαπλασιασµό αριθµού επί πίνακα Ο τετριµµένος χώρος V = { } µε το άθροισµα και το γινόµενο αριθµών

Κεφάλαιο 4 4 Το σύνολο των πολυωνύµων βαθµού το πολύ, το οποίο συµβολίζουµε µε P, εφοδιασµένο µε το άθροισµα πουλωνύµων και τον πολλαπλασιασµό αριθµού επί πολυώνυµο Εάν p( x) = a x + a x + + a x+ a και qx ( ) = bx + b x + + bx+ bτότε p( x) + q( x) = ( a + b ) x + ( a + b ) x + + ( a + b) x+ ( a + b ) και mp( x) = ma x + ma x + + ma x + ma 5 Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριµένη ευθεία y = kx η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων: {(, ):, } {(, ): } V = x y x y = kx = x kx x Ως πρόσθεση ορίζουµε ( x, kx ) + ( x, kx ) = ( x + x, kx + kx ) = ( x + x, k( x + x )) V και ως βαθµωτό πολλαπλασιασµό a( x, kx ) = ( ax, akx ) = ( ax, kax ) V Συµβολισµός : Τα διανύσµατα συνηθίζουµε να τα γράφουµε σε αγκύλες [ ] Ωστόσο όταν αναφερόµαστε σε σηµεία του επιπέδου ή του χώρου ( ή αντίστοιχα) θα χρησιµοποιούµε τις παρενθέσεις όπως κάνουµε στη γεωµετρική προσέγγιση Παραδείγµατα συνόλων που δεν είναι δχ: Ο τετριµµένος χώρος V = { } µε το άθροισµα και το γινόµενο αριθµών διότι += δεν ανήκει στο χώρο Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριµένη ευθεία y = kx+ m η οποία δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων {(, ):, } {(, ): } V = x y x y = kx+ m = x kx+ m x Ως πρόσθεση ορίζουµε ( x, kx+ m) + ( x, kx + m) = ( x+ x, kx+ kx+ m) = ( x+ x, k( x+ x) + m) V και δεν ικανοποιεί την εξίσωση στης ευθείας µιας Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που βρίσκονται στο πρώτο και στο V = ( x, y): y δεν είναι δχ εφόσον το (-,-) δεν δεύτερο τεταρτηµόριο { } ανήκει στο χώρο ενώ το (,) ανήκει Σε ένα διανυσµατικό χώρο ισχύουν τα ακόλουθα: a= a v= v V Αν av = a = ή v= 4 ( ) v=v v V 4 ιανυσµατικοί υπόχωροι Έστω W ένα µη κενό υποσύνολο ενός διανυσµατικού χώρου V Εάν το W εφοδιασµένο µε τις πράξεις του δχ είναι και αυτό διανυσµατικός χώρος τότε λέµε ότι είναι διανυσµατικός υπόχωρος του δχ V Για να δείξουµε ότι ένα υποσύνολο είναι υπόχωρος ενός δχ αρκεί να δείξουµε τη κλειστότητα των δύο πράξεων ως προς αυτόν το χώρο, δηλαδή: u+ v W u, v W, au W u W και a

Παραδείγµατα διανυσµατικών υπόχωρων γνωστών δχ ιανυσµατικοί Χώροι Για κάθε δχ ο τετριµµένος χώρος δχ V = { } είναι υπόχωρός του, όπως και ο ίδιος ο δχ είναι υπόχωρος του εαυτού του Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριµένη ευθεία y = kx η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων {(, ):, } {(, ): } V = x y x y = kx = x kx x είναι υπόχωρος του (το δείξαµε παραπάνω) Το σύνολο των διαγώνιων πινάκων x είναι διανυσµατικός υπόχωρος του δχ a c a+ c a ka M, Πράγµατι + = b d b+ d και k b = kb 4 Η τοµή W W δύο διανυσµατικών υπόχωρων WW, ενός δχ είναι διανυτσµατικός υπόχωρος του χώρου V Έστω uv, W W Επίσης έστω u W au W τότε έχουµε ότι u W W, a au W W, uv W au W uv, W u v W + u + v W W uv, W u+ v W τότε έχουµε ότι 5 Το σύνολο των σύνολο των πολυωνύµων µε βαθµό το πολύ είναι διανυσµατικός υπόχωρος του δχ P Πράγµατι εάν p( x) = ax + ax+ aκαι qx ( ) = bx + bx+ b τότε p( x) + q( x) = ( a + b ) x ++ ( a + b) x+ ( a + b ) και mp( x) = max + max + ma Παραδείγµατα υποσυνόλων γνωστών δχ οι οποίοι δεν είναι διανυσµατικοί υπόχωροι Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριµένη ευθεία y = kx+ m η οποία δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων Το δείξαµε παραπάνω Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που βρίσκονται στο πρώτο και στο V = ( x, y): y δεν είναι διανυσµατικός υπόχωρος δεύτερο τεταρτηµόριο { } εφόσον όταν το ( x, y ) ανήκει στο σύνολο το ( x, y) δεν ανήκει στο σύνολο V αφού y y 4 Γραµµικός συνδυασµός και spa Έστω v,, vm V διανυσµατικό χώρο Ένας γραµµικός συνδυασµός των v,, vm είναι ένα στοιχείο του V της µορφής av + + amvm, ai R

Κεφάλαιο 4 Θα λέµε ότι τα στοιχεία v,, vm παράγουν το χώρο V αν για κάθε v V υπάρχουν a,, am R τέτοια ώστε v= av + + amvm Συµβολίζουµε τότε ότι V = spa{ v, v,, vm} ηλαδή τα στοιχεία v,, vm παράγουν το V αν κάθε στοιχείο του V είναι γραµµικός συνδυασµός των v,, v m Έστω v,, vm V διανυσµατικό χώρο τότε το spa{ v, v,, v m} είναι διανυσµατικός υπόχωρος του V Γραµµικός συνδυασµός δύο διανυσµάτων 7 5 7 = 7 4 Για ποιους πραγµατικούς αριθµούς ισχύει ότι [,, ] [,,],[,,] a spa,[,,] ; a { } Θα πρέπει να υπάρχουν λ,λ,λ ώστε το σύστηµα = λ + λ α + λ να έχει λύση (να είναι συµβιβαστό) Στον επαυξηµένο πίνακα Γ ΓΓ α, από όπου συµπεραίνουµε ότι α + α = a b a b Έστω M c d τότε a b c d δηλαδή c d = + + + M = spa,,, 44 Γραµµική ανεξαρτησία και βάση Ένα σύνολο στοιχείων { },, m v v του δχ V είναι γραµµικά ανεξάρτητα εάν όταν ισχύει η σχέση av + + amvm=, όπου ai R, τότε αναγκαστικά έχουµε: a = a = = a m = ιανύσµατα τα οποία δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητα τα λέµε γραµµικά εξαρτηµένα ύο διανύσµατα του δχ V είναι γραµµικά εξαρτηµένα όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου 4

ιανυσµατικοί Χώροι 6 6 Γραµµικά εξαρτηµένα, αφού = 9 9 k Γραµµικά ανεξάρτητα, k αφού = k = k = /, k = που δεν 9 9 k µπορεί να συµβαίνει ταυτόχρονα ύο διανύσµατα του επιπέδου είναι γραµµικά εξαρτηµένα όταν ανήκουν στην ίδια ή σε παράλληλες ευθείες ύο διανύσµατα του χώρου είναι γραµµικά εξαρτηµένα όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο Ένα σύνολο στοιχείων { v,, vm} του V ονοµάζεται βάση του V αν έχει τις ιδιότητες a το { v,, v m} παράγει το V b αν ισχύει η σχέση av + + amvm=, όπου ai R, τότε αναγκαστικά έχουµε a = a = = a m = ηλαδή είναι γραµµικά ανεξάρτητα Ένας διανυσµατικός χώρος µπορεί να έχει παραπάνω από µία βάσεις ιάσταση ενός χώρου (συµβολίζεται dimv ) είναι ο αριθµός των γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων της βάσης Η διάσταση του τετριµµένου µηδενικού χώρου V = είναι { } Έστω { v,, v } µια βάση του V Τότε για κάθε v V, υπάρχουν µοναδικά a R µε v= av + + a v i Έστω dimv = Εάν v,, vm V είναι γραµµικά ανεξάρτητα τότε m Εάν W διανυσµατικός υπόχωρος του δχ V τότε dimw dimv Το σύνολο { e, e }, όπου [, ] e =, e = [,] είναι µια βάση του a το { e, e } παράγει το R, αφού αν [ a, a] R, τότε [ a, a] = [ a,] + [, a] = a[,] + a[, ] b αν ae + ae =, τότε [, ] a a = [,] a = a = Με παρόµοιο τρόπο, βλέπουµε ότι το σύνολο { } [,,, ] =, = [,,,, ],, = [,,,] e e e λέγεται η συνήθης βάση ή κανονική βάση του R R Πράγµατι, e,,, e όπου, είναι µια βάση του R Αυτή 5

Κεφάλαιο 4 a + b c d + + = a c = a =, b=, c=, d = c d ηλαδή οι πίνακες αυτοί είναι γραµµικά ανεξάρτητοι Οπότε αποτελούν και βάση του χώρου των πινάκων x M εφόσον τον παράγουν και η διάσταση του είναι 4 ο σύνολο των σύνολο των πολυωνύµων µε βαθµό το πολύ είναι διανυσµατικός υπόχωρος µε διάσταση Πράγµατι το σύνολο αυτό παράγεται από το σύνολο {,,,, } x x x αφού κάθε πολυώνυµο βαθµού το πολύ p( x) = ax + a x + + ax+ a γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των παραπάνω πολυωνύµων Τα στοιχεία του συνόλου αυτού είναι γραµµικά ανεξάρτητα µιας και λ x + λ x + + λ x+ λ = λ = λ = = λ = λ = dim R = Έστω ότι,, v vm R Αν τα v,, v m είναι γραµµικά ανεξάρτητα, τότε έχουµε m Αν τα,, v vm παράγουν το R, τότε έχουµε m Αν τα,, v vm αποτελούν βάση του R, τότε έχουµε m= Έστω {,, v v } R Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα Το σύνολο { v,, v } είναι µια βάση του Τα { v,, v } παράγουν το R Τα { v,, v } είναι γραµµικά ανεξάρτητα Έστω,, v v R και έστω Α ο πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το vi, i=,, Τότε τα,, v v αποτελούν βάση του R αν και µόνο αν de t A Έστω,, v v R και έστω Α ο πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το vi, i=,, Τότε τα,, v v αποτελούν βάση του R αν και µόνο αν το οµογενές σύστηµα Ax = έχει λύση µόνο τη µηδενική Έστω Α πίνακας εάν θεωρήσουµε ως την κάθε στήλη του ένα διάνυσµα του R Τότε τα v,, v είναι γραµµικά ανεξάρτητα εάν και µόνο εάν det A Όπου η στήλη i είναι το v, i=,, i Έστω,, m v v R και έστω Α ο m πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το vi, i=,, Τότε τα v,, v είναι γραµµικά εξαρτηµένα εάν και µόνο εάν η ορίζουσα κάθε υποπίνακα του Α είναι ίση µε R 6

ιανυσµατικοί Χώροι 6 Γραµµικά εξαρτηµένα, αφού κάθε x υποορίζουσα είναι µηδενική 9 6 6 6 = = = = = = 9 9 9 Γραµµικά ανεξάρτητα, 9 αφού υπάρχει x υποορίζουσα 9 = Έστω,, v v R και έστω Α ο πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το vi, i=,, Μετασχηµατίζω µε κατάλληλες γραµµοπράξεις τον πίνακα Α σε πίνακα Β κλιµακωτής µορφής Βρίσκω ποιες στήλες του Β περιέχουν οδηγό στοιχείο Οι αντίστοιχες στήλες του Α αποτελούν γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα 4 Έστω V ο υπόχωρος του που παράγεται από τα διανύσµατα (,,,),(,,,),(,,,),(,,,) Να βρεθεί µια βάση και η διάσταση του V Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα δοσµένα διανύσµατα Με στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών βρίσκουµε την κλιµακωτή µορφή Γ >Γ Γ Γ >Γ +Γ Γ4>Γ4Γ Η πρώτη η δεύτερη και η τέταρτη στήλη περιέχουν οδηγά στοιχεία Σύµφωνα µε τα όσα είπαµε παραπάνω µια βάση του V είναι το σύνολο {[,,, ],[,,, ],[,,,] } ίνεται το υποσύνολο του : είναι υπόχωροι του R Έχουµε λοιπόν dimv = R [ ] V = {x+ y+ z, xz, yz, x, y, z } είξτε ότι και βρείτε µία βάση για τον καθένα 7

Κεφάλαιο 4 Επειδή [ x y z, x z, y z] x[,, ] y[,,] z[,, ] + + = + + έχουµε ότι το σύνολο V είναι το σύνολο όλων των γραµµικών συνδυασµών των [ ] [ ] [,,,,,,,, Άρα είναι διανυσµατικός υπόχωρος του ] R Για µία βάση του αρκεί να θεωρήσουµε τον πίνακα µε στήλες τις συντεταγµένες των παραπάνω γεννητόρων και να βρούµε µία κλιµακωτή µορφή του Όλες οι στήλες περιέχουν οδηγά στοιχεία Σύµφωνα µε τα όσα είπαµε παραπάνω µία βάση του V είναι τα διανύσµατα [,, ],[,, ], [,, ] είναι ίση προς Άρα V = R 45 Μηδενοχώρος, εικόνα και τάξη πίνακα Έστω ένας mx πίνακας Α τότε το σύνολο A { : } N = x Ax = ονοµάζεται µηδενοχώρος ή πυρήνας του πίνακα A Είναι εύκολο να δούµε ότι Ν Α είναι διανυσµατικός υπόχωρος του Έστω uv, NA τότε έχουµε ότι Au = Au + Av = A( u + v) = u + v N Av = Au = kau = A( ku) = ku N A k A και η διάσπαση του Η διάσταση του χώρου αυτού ονοµάζεται µηδενικότητα του πίνακα και συµβολίζουµε ( A) dim N A ν = Εάν η µοναδική λύση του οµογενούς συστήµατος είναι η µηδενική τότε ν ( A) = N = {} και A 8

Έστω ο πίνακας A = Η εύρεση του πυρήνα µας οδηγεί στο οµογενές σύστηµα x + x + x = µε επαυξηµένο 4 x x + x = 4 x + x x = 4 ιανυσµατικοί Χώροι γ γ γ γ γ γ > + > 4 6 από το οποίο έχουµε x =, x = x 4, x = x 4 (απειρία λύσεων) την [ k, k,, k] = k[,,,] Οπότε ν ( A) = και N A = spa{ } Έστω ο πίνακας A = Η εύρεση του πυρήνα µας οδηγεί στον επαυξηµένο πίνακας Μετά τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών Γ ΓΓ, Γ Γ Γ, Γ ΓΓ παίρνει τη µορφή Που έχει µόνο τη µηδενική λύση οπότε ν ( A) = Έστω ο πίνακας A = 4 6 6 9 Η εύρεση του πυρήνα µας οδηγεί στον επαυξηµένο πίνακας 9

Κεφάλαιο 4 4 6 6 9 Μετά τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών Γ Γ + Γ, Γ Γ Γ παίρνει τη µορφή 4 6 6 9 από το οποίο έχουµε (απειρία λύσεων) την k l [, kl, ] = k[ /,,] + l[ /,, ] = k/[,, ] + l/[,,] Οπότε ν ( A) = και N A = spa{, } Ένας x πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος εάν και µόνο εάν N A = {} Έστω ένας mx πίνακας Α τότε το σύνολο ονοµάζεται εικόνα του πίνακα A A m { : για κάποιο } R = b Ax= b x m Είναι εύκολο να δούµε ότι R Α είναι διανυσµατικός υπόχωρος του Έστω uv R τότε για κάποια xy, έχουµε ότι, A Ax = u Ax + Ay = u + v A( x + y) = u + v u + v RA Ay = v Ax = u kax = ku A kx = ku ku R k ( ) A Η διάσταση του χώρου αυτού ονοµάζεται τάξη ή βαθµός (rak) του πίνακα και συµβολίζουµε rak A ( ) = dim R A Η τάξη ενός πίνακα είναι ίση µε τον αριθµό των οδηγών στοιχείων που υπάρχουν στην ανηγµένη κλιµακωτή µορφή που µπορούµε να φέρουµε τον πίνακα Για κάποιον mx πίνακα Α rak ( A) + ν ( A) = Ένας x πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος εάν και µόνο εάν rak ( A) =

ιανυσµατικοί Χώροι Ένα σύστηµα x Ax = b έχει τουλάχιστον µία λύση εάν και µόνο εάν ο επαυξηµένος πίνακας [ A b] και ο πίνακας Α έχουν την ίδια τάξη ο σύστηµα x+ y z = 4 x+ y+ z = x+ 5y 4z = Ο επαυξηµένος πίνακας είναι 4 5 4 µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών εύκολα βρίσκουµε ότι ο πίνακας µετατρέπεται στην κλιµακωτή µορφή Παρατηρούµε ότι [ ] 4 4 7 rak( A b ) = rak( A) = οπότε το σύστηµα έχει τουλάχιστον µία λύση, στη συγκεκριµένη την x =, y =, z = ο σύστηµα x+ y z = 6 x y+ 4z = 4x+ y z = 4 6 Ο επαυξηµένος πίνακας είναι 4 4 4 µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών εύκολα βρίσκουµε ότι ο πίνακας µετατρέπεται στην κλιµακωτή µορφή 6

Κεφάλαιο 4 Παρατηρούµε ότι [ ] rak( A b ) = rak( A) = οπότε το σύστηµα έχει τουλάχιστον µία λύση, στη συγκεκριµένη περίπτωση άπειρες ο σύστηµα x+ y z = x y+ z = 7 5x+ y 4z = Ο επαυξηµένος πίνακας είναι 7 5 4 µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών εύκολα βρίσκουµε ότι ο πίνακας µετατρέπεται στην κλιµακωτή µορφή 7 Παρατηρούµε ότι [ ] λύση = rak( A b ) rak( A) = οπότε το σύστηµα δεν έχει καµία Ασκήσεις πάνω στους διανυσµατικούς χώρους Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] z } {[ xyz,, ] y z= } Λύση ο σύνολο W= { [x,y,z] z } δεν είναι διανυσµατικός υπόχωρος του R, γιατί αν θεωρήσουµε το [,,] Τ W, τότε [,,] Τ = [,, ] Τ W ο σύνολο U= { [x,y,z] y z = } δεν είναι διανυσµατικός υπόχωρος του R, γιατί το µηδενικό διάνυσµα δεν ανήκει στο U Εξετάστε ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του είναι υπόχωροι του και δικαιολογείστε την απάντησή σας {,, 5 } [ ] U = x y z x+ y+ z =

Λύση {,, 5 } {,, 5 } [ ] V = x y z x + y+ z = [ ] W = x y z x+ y+ z = [ ] Το U δεν είναι υπόχωρος του γιατί δεν περιέχει το,, ιανυσµατικοί Χώροι Το V δεν είναι υπόχωρος Πράγµατι, έχουµε για παράδειγµα αφού 5 ( ), αλλά,, =,, V αφού [,, ] V ( ) + 5 + = 6 + + = [ ] [ ] Τα W είναι υπόχωρος του Πράγµατι, για κάθε kl, και / / / [,, ],,, x yz x y z W, / / / / / / [,, ] +,, = +, +, + k x y z l x y z kx lx ky ly kz lz και / / / 5( kx + lx ) + ( ky + ly ) + ( kz + lz ) = k x y z l x y z / / / (5 + + ) + (5 + + ) = + = Άρα kxyz lx y z W / / / (,, ) + (,, ) Έστω Π ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων που έχουν βαθµό το πολύ Αποδείξτε ότι µια βάση του P είναι το σύνολο {, t, ( t) } και βρείτε την παράσταση του 5t + t+ως γραµµικό συνδυασµό των στοιχείων της παραπάνω βάσης Λύση Επειδή η διάσταση του P είναι, αρκεί να αποδείξουµε ότι το σύνολο {, t, ( t) } είναι γραµµικά ανεξάρτητο Έχουµε a + b( t ) + c( t ) = ct + ( b c) t+ ( a b+ c) c= b c= a b+ c= a= b= c= Για το δεύτερο ερώτηµα, λύνουµε την εξίσωση a + b( t ) + c( t ) = + t+ 5t δηλαδή την ct + ( b c) t + ( a b + c ) = 5t + t + Αυτή ισοδυναµεί µε το σύστηµα c = 5, b c=, a b+ c= Άρα a =, b=, c= 5 4 Αφού αποδείξτε ότι τα στοιχεία [,-,] Τ, [,,] Τ, [,,] Τ αποτελούν βάση του R, εκφράστε το [7,5,5] Τ ως γραµµικό συνδυασµό αυτών Λύση Τρία στοιχεία ενός διανυσµατικού χώρου διάστασης είναι βάση αν και µόνο αν αυτά είναι γραµµικά ανεξάρτητα Επειδή det =9,

Κεφάλαιο 4 τα δεδοµένα διανύσµατα αποτελούν µια βάση Λύνοντας το σύστηµα που προκύπτει από την ισότητα λ [,-,] Τ + λ [,,] Τ + λ [,,] Τ = [7,5,5] Τ λ = 4, δηλαδή το λ + λ + λ = 7 λ +λ +λ = 5 λ+ λ = 5, βρίσκουµε λ, λ = και = 5 (α) Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες τα διανύσµατα [,, ] a, [,, ],[,,] αποτελούν µια βάση του R (β) Για τις τιµές του a που βρήκατε πριν, να εκφράστε το [,, ] ως γραµµικό συνδυασµό των [,, ] a, [,, ],[,,] (γ) Να βρεθούν οι τιµές του b για τις οποίες έχουµε [ b] spa [ ] [ ],, {,,,,, } Λύση: α) Επειδή η διάσταση του R είναι, το δεδοµένο ερώτηµα ισοδυναµεί µε το να a βρεθούν τα α τέτοια ώστε det A, όπου A = Υπολογίζοντας βρίσκουµε ότι det A= a, οπότε a β) Για a, τα δεδοµένα στοιχεία του R αποτελούν µια βάση Ζητάµε να βρεθούν τα xyz,, τέτοια ώστε [ ] = x[ a] + y[ ] + z[ ],,,,,,,, x Λύνοντας το αντίστοιχο σύστηµα A y =, όπου Α είναι ο πίνακας του z προηγουµένου υποερωτήµατος, βρίσκουµε ότι a + x=, y =, z = ( a) ( a) ( a) γ) Ζητάµε τα b τέτοια ώστε να υπάρχουν xy, ώστε να έχουµε x,,,,,, Το αντίστοιχο σύστηµα είναι το B, όπου y = b B = Αυτό έχει λύση αν και µόνο αν οι λύσεις του συστήµατος x+ y =, x+ y =, δηλ x = 4 και y = - ικανοποιούν την τρίτη εξίσωση x + y = b Αυτό συµβαίνει όµως µόνο αν b = H απάντηση αυτή µπορεί να βρεθεί [ ] b = x[ ] + y[ ] 4

ιανυσµατικοί Χώροι και από τον ακόλουθο συλλογισµό: Επειδή η τάξη (rak) του πίνακα Β, που είναι, πρέπει να είναι ίδια µε την τάξη του επαυξηµένου πίνακα του συστήµατος, δηλαδή rak rak = =, b που ισχύει αν και µόνο αν βρίσκουµε ότι b = det = Υπολογίζοντας την ορίζουσα, b 6 ίνονται τα σύνολα : x x x x E = : x x x x4 ; E : x x x x4 x x + = + = + = 4 x x + 4 Να δείξετε ότι τα σύνολα E, E είναι διανυσµατικοί υπόχωροι του διανυσµατικού χώρου των πινάκων διαστάσεως x β) Να βρείτε τις διαστάσεις των υποχώρων E, E, E E Λύση: α) Επιλέγουµε δύο πίνακες X, Y του συνόλου E έστω x x y y X = E, Y E x x = 4 y y 4 όπου x+ x = x+ x4, y+ y = y+ y4 και στη συνέχεια ελέγχουµε αν ο πίνακας λ X + µ Y όπου λ, µ ανήκει στον χώρο x x y y λ x+ µ y λ x + µ y λ X + µ Y = λ x x + µ 4 y y = 4 λ x + µ y λ x4 + µ y 4 Πράγµατι παρατηρώ ότι ισχύει η ιδιότητα των πινάκων του χώρου : ( λ x+ µ y) + ( λ x + µ y) = λ ( x+ x) + µ ( y+ y) = λ ( x+ x4) + µ ( y+ y4) = ( λ + µ ) + ( λ + µ E x y x y 4 4 και συνεπώς ο πίνακας λ X + µ Y ανήκει στον χώρο Όµοια επιλέγουµε δύο πίνακες X, Y του χώρου E έστω x x y y X = E; Y E x x = 4 y y 4 όπου x+ x = x+ x4, y+ y = y + y4 και στη συνέχεια ελέγχω αν ο πίνακας λ X + µ Y όπου λ, µ ανήκει στον χώρο E = = ) E E 5

Κεφάλαιο 4 x x y y λ x+ µ y λ x + µ y λ X + µ Y = λ x x + µ 4 y y = 4 λ x+ µ y λ x4 + µ y 4 Πράγµατι παρατηρώ ότι ισχύει η ιδιότητα των πινάκων του χώρου : ( λ x+ µ y) + ( λ x+ µ y) = λ ( x+ x) + µ ( y+ y) = = λ ( x + x4) + µ ( y + y4) = = ( λ x + µ y ) + ( λ x + µ y ) 4 4 και συνεπώς ο πίνακας λ X + µ Y ανήκει στον χώρο x β) Παρατηρούµε ότι κάθε πίνακας X x x 4 x x + x = x + x x + x4 x x X = x x = x x = 4 4 = x x x4 + + όπου οι πίνακες X X X X, X, X x = x 4 E E γράφεται ως εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι γραµµικά ανεξάρτητοι και συνεπώς αποτελούν βάση του E Άρα dim E = y y Παρατηρούµε ότι κάθε πίνακας Y = γράφεται ως y y E 4 y 4 y y + y = y + y y + y4 y y Y = = y y = 4 y y4 = y y y4 + + όπου οι πίνακες Y Y Y Y, Y, Y συνεπώς αποτελούν βάση του E Άρα dim E = y y Κάθε πίνακας Y = E γράφεται ως y y E 4 y 4 y y + y = y + y y4 y Y = = y y y y y4 y = 4 y y + = + 4 = y y4 + Y Y εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι γραµµικά ανεξάρτητοι και όπου οι πίνακες Y, Y4 είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι είναι γραµµικά ανεξάρτητοι και συνεπώς αποτελούν βάση του E Άρα dim( E E ) = E E 4 7 Έστω και E οι παρακάτω διανυσµατικοί υπόχωροι του R, E {[,,, ] } {[,,, ], } E = x x x x x x + x = 4 4 E x x x x4 x x4 x x = = = Βρείτε τη διάσταση καθενός από τους υποχώρους 6

ιανυσµατικοί Χώροι E, E, E+ E Λύση Έστω [x,x,x,x 4 ] ένα τυχαίο διάνυσµα του Ε Έχουµε x x x x x = = x + x + x = x + x + x 4 4 4 x x x x 4 4 ηλαδή τα διανύσµατα,, είναι γεννήτορες του Ε Αυτά είναι και γραµµικά ανεξάρτητα Πράγµατι, υπολογίζουµε τον βαθµό του πίνακα µε στήλες διανύσµατα,, Έτσι, Γ Γ Γ Γ Γ + Γ 4 Ο βαθµός του τελευταίου πίνακα είναι, άρα τα,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα Συνεπώς αποτελούν µια βάση του Ε, οπότε dimε = Όµοια διαπιστώνουµε ότι για το [x,x,x,x 4 ] Ε έχουµε x x x x = = x + x = xu + x, x x x x 4 άρα Ε = spa{u, } Επίσης τα u, είναι γραµµικά ανεξάρτητα, οπότε αποτελούν βάση του Ε Άρα dimε = Έχουµε E + E = spa{,,, u } Επειδή u είναι γραµµικά ανεξάρτητα Άρα dim(ε + Ε ) = 4 τα =, τα,,, 8Έστω a Θεωρούµε τα στοιχεία u = [,, ], v = [,, ], w= [, a, ] του Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες τα uvw,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα Να βρεθούν οι τιµές του α για τις οποίες το [,,] ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα uvw,, 7

Κεφάλαιο 4 Λύση Έστω λ u+ µ v+ νw=, λ, µ, ν Ζητάµε τα α για τα οποία η σχέση αυτή αληθεύει µόνο για λ = µ = ν = Έχουµε [ ] [ ] [ ] [ ] λ u+ µ v+ νw= λ,, + µ,, + ν, a, =,, λ + µ + ν = λ + µ + νa = λ + µ + ν = Ζητάµε τα α για τα οποία το σύστηµα έχει µοναδική λύση τη µηδενική Ο επαυξηµένος πίνακας α του συστήµατος µετά τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών Γ Γ Γ, Γ Γ Γ, Γ Γ Γ παίρνει τη µορφή λ + µ + ν = a Το αντίστοιχο σύστηµα είναι το µ + ( a ) ν = a ( a) ν = Βλέπουµε ότι η µηδενική λύση είναι µοναδική αν και µόνο αν a Ζητάµε τα α για τα οποία υπάρχουν λ, µν, τέτοια ώστε [ ] λ u+ µ v+ νw=,, Όπως πριν παίρνουµε το σύστηµα λ + µ + ν = λ + µ + νa = λ + µ + ν = Ζητάµε τα a για τα οποία το σύστηµα έχει λύση Ο επαυξηµένος πίνακας a του συστήµατος µετά τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών Γ ΓΓ, Γ Γ Γ, Γ ΓΓ παίρνει τη µορφή λ + µ + ν = a Το αντίστοιχο σύστηµα είναι το µ + ( a ) ν = a ( a) ν = Παρατηρούµε ότι το σύστηµα αυτό έχει λύση για κάθε a Σηµείωση: Παρατηρούµε ότι [ ],, = u v 9 Έστω P ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων που έχουν βαθµό το πολύ B =, x, ( x), ( x) είναι µια βάση του P Αποδείξτε ότι το σύνολο { } Να παρασταθεί το Β x σαν γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων της βάσης 8

ιανυσµατικοί Χώροι Λύση Επειδή dim P = 4, αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο Β είναι γραµµικά ανεξάρτητο ax ( ) + bx ( ) + cx ( ) + d= ( ) ( ) ( ) a x x + x + b x x+ + c x + d = + ( + ) + ( + ) + ( + + ) = ax a b x a b c x a b c d Έστω abcd,,, Τότε a = a + b = a b+ c= a+ b c+ d = Το σύστηµα είναι τριγωνικό και εύκολα βλέπουµε ότι η µηδενική λύση είναι η µοναδική Σηµείωση Ένας άλλος τρόπος επίλυσης είναι να θέσουµε x = στη σχέση ax ( ) + bx ( ) + cx ( ) + d= οπότε d = Τότε παίρνουµε ax ( ) + bx ( ) + cx ( ) = ax ( ) + bx ( ) + c=, οπότε θέτοντας πάλι x παίρνουµε c =, κοκ Έστω x = a( x ) + b( x ) + c( x ) + d a = Όπως πριν, το ισοδύναµο a + b = σύστηµα είναι το a b+ c= a+ b c+ d = Λύνοντάς το βρίσκουµε a =, b=, c=, d = ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνοµο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραµµα που διανέµεται και στην προτεινόµενη βιβλιογραφία του µαθήµατος Το περιεχόµενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραµµα των παραδόσεων του µαθήµατος Αποτελεί υλικό της διδασκαλίας του µαθήµατος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να µη χρησιµοποιηθεί και να µην αναπαραχθεί και διανεµηθεί για άλλο σκοπό 9