Κατηγορική Θεωρία Galois

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Κατηγορική Θεωρία Galois ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αικατερίνη Π. Καραβασίλη Επιβλέπων: Παναγής Καραζέρης Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Aπρίλιος 2016

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Κατηγορική Θεωρία Galois ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αικατερίνη Π. Καραβασίλη Επιβλέπων: Παναγής Καραζέρης Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή τη 12η Aπριλίου 2016. Π.Καραζέρης Αν. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Π.Λεντούδης Επ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Π.Τζερμιάς Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Aπρίλιος 2016

Πανεπιστήμο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Αικατερίνη Π. Καραβασίλη 2016 - Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος.

Στους γονείς μου

Κατηγορική Θεωρία Galois ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ένα από τα παλαιότερα προβλήματα της Άλγεβρας ήταν το πρόβλημα εύρεσης των ριζών μίας πολυωνυμικής εξίσωσης. Από την αρχαιότητα σημειώθηκαν πολλές προσπάθειες επίλυσης αυτού του προβλήματος και τελικά στις αρχές του 1800 έχουμε την απόδειξη του αδυνάτου της λύσης της γενικής εξίσωσης πέμπτου βαθμού. Όμως έμεινε το πρόβλημα της εύρεσης των συνθηκών για τις οποίες μία εξίσωση μπορεί να λυθεί με ριζικά, το οποίο λύθηκε το 1832 απο τον νεαρό Γάλλο μαθηματικό Evariste Galois και δημοσιεύθηκε στη Γαλλική Ακαδημία το 1843. Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγουμε μερικές βασικές έννοιες, της άλγεβρας, της θεωρίας κατηγοριών και της τοπολογίας οι οποίες είναι χρήσιμες για τη συνέχεια. Στο δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας, αναφερόμαστε στα βασικά κομμάτια της θεωρίας Galois, καταλήγοντας στην αντιστοιχία μεταξύ διατεταγμένων συνόλων ενδιάμεσων επεκτάσεων σωμάτων, αφενός, και υποομάδων της ομάδας αυτομορφισμών της επέκτασης, αφεταίρου. Στο τρίτο κεφάλαιο αναφερόμαστε στη θεωρία Galois κατά Grothendieck, που επεκτείνει την κλασική αντιστοιχία Galois σε μία ανταλλοίωτη ισοδυναμία μεταξύ κατάλληλων κατηγοριών. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας μας αναφερόμαστε στην άπειρη θεωρία Galois, όπου οι επεκτάσεις που χρησιμοποιούμε είναι αυθαίρετες και όχι απαραίτητα πεπερασμένου βαθμού. Σε αυτήν την περίπτωση παίζει καθοριστικό ρόλο η τοπολογία της ομάδας Galois, αφού στη μία πλευρά της αντιστοιχίας εμφανίζονται τώρα οι κλειστές υποομάδες της ομάδας Galois. Και εδώ η αντιστοιχία Galois επεκτείνεται σε μία ανταλλοίωτη ισοδυναμία κατάλληλων κατηγοριών. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Επέκταση Galois, ανταλλοίωτος ισομορφισμός, προ-πεπερασμένη ομάδα i

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη ABSTRACT One of the oldest problems of Algebra has been the problem of determining the square root of a polynomial equation. Since antiquity there have been many attempts to provide a solution to this problem and finally, towards the end of 1800 we have proof of the inability to solve a general quintic equation (degree five equation). Nonetheless, the problem of determining the necessary and sufficient conditions under which an equation can be solved remained to be solved in 1832 by the young, French mathematician, Evariste Galois and then be published in French Academy in 1843. In the first chapter we introduce basic principles, of algebra, of category theory and of topology which are useful later. In the second chapter of the paper, we refer to the basic aspects of Galois theory, in particular the correspondence between the partially ordered sets of intermediate extensions, on the one hand, and subgroups of the group of automorphisms of the extension, on the other hand. In the third chapter we present the Galois theory of Grothendieck, which extends the classical Galois correspondence to a contravariant equivalence between suitable categories. In the fourth and last chapter of this work we elaborate on Galois theory, where the exceptions used are arbitrary and not necessarily of a finite degree. The decisive role here is played by the topology of the Galois group, since at the one side of the correspondence appear now the closed subgroups of the Galois group. The Galois correspondence also extends here to a contravariant equivalence between suitable categories. KEY WORDS Galois exception, contravariant isomorphism, profinite group ii

Κατηγορική Θεωρία Galois ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα εργασία αποτελεί διπλωματική εργασία στα πλαίσια του μεταπτυχιακού προγράμματος Μαθηματικά και Συγχρονές Εφαρμογές του τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών. Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον κ. Παναγή Καραζέρη, επιβλέποντα καθηγητή μου, για την πολύτιμη βοήθεια και καθοδήγηση που μου προσέφερε, για την αμέριστη συμπαράσταση του καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης και για τη συμβολή του στην επίλυση των επιμέρους δυσκολιών μου. Θα ήθελα να επισημάνω ακόμη ότι οι επιστημονικές του γνώσεις βελτίωσαν σημαντικά το περιεχόμενο της εργασίας μου καθώς και το πνευματικό μου επίπεδο. Τον ευχαριστώ πολύ για την συνεργασία μας. Στη συνέχεια, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Παύλο Τζερμιά και τον κ. Παύλο Λεντούδη που δέχθηκαν να γίνουν μέλη της τριμελούς επιτροπής μου καθώς και για τις γνώσεις που μου μετέδωσαν καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Ιδιαίτερες ευχαριστίες θέλω να εκφράσω προς τους γονείς μου Πασχάλη και Μαρία για τη συνεχή συμπαράσταση τους και την υλική και ηθική στήριξη των επιλογών μου. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους φίλους και συμφοιτητές μου για τη βοήθεια τους. iii

Περιεχόμενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1 1.1 Στοιχεία από την άλγεβρα.......................... 1 1.2 Στοιχεία από τη θεωρία κατηγοριών.................... 4 1.3 Προ-πεπερασμένοι τοπολογικοί χώροι................... 11 2 ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ GALOIS 21 2.1 Αλγεβρικές επεκτάσεις........................... 21 2.2 Διαχωρίσιμες επεκτάσεις.......................... 26 2.3 Κανονικές επεκτάσεις............................ 28 2.4 Galois επεκτάσεις.............................. 31 3 ΘΕΩΡΙΑ GALOIS TOY GROTHENDIECK 41 3.1 Άλγεβρα επι ενός σώματος......................... 41 3.2 Επέκταση βαθμωτών μίας άλγεβρας.................... 49 3.3 Διασπόμενες άλγεβρες........................... 53 3.4 Ισοδυναμία Galois............................. 60 4 ΑΠΕΙΡΗ ΘΕΩΡΙΑ GALOIS 73 4.1 Υποεπεκτάσεις Galois Πεπερασμένου Βαθμού.............. 73 4.2 Άπειρες ομάδες Galois........................... 78 4.3 Κλασική Άπειρη Θεωρία Galois...................... 88 4.4 Άπειρη επέκταση Θεωρίας Galois κατα Grothendieck........... 93 v

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη ΕΙΣΑΓΩΓΗ Από την αρχαιότητα οι μαθηματικοί κατάφεραν να λύσουν τις πολυωνυμικές εξισώσεις πρώτου και δευτέρου βαθμού. Αργότερα, κάπου στον 16ο αιώνα, βρέθηκαν μέθοδοι επίλυσης τριτοβάθμιων και τεταρτοβάθμιων εξισώσεων. Τελικά φτάσαμε στον 19ο αιώνα για να μπορέσουμε να καταλάβουμε τι γίνεται με τις εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 4. Αποδείχθηκε λοιπόν η αδυναμία επίλυσης με ριζικά της γενικής εξίσωσης με βαθμό τουλάχιστον 5 και βρέθηκαν μερικές μέθοδοι εύρεσης λύσεων με ριζικά όταν αυτό είναι δυνατό. Ο Galois και ο Abel έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη αυτής της θεωρίας. Στο πρώτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας παρουσιάζουμε μερικές βασικές έννοιες και αποτελέσματα από την άλγεβρα, τη θεωρία κατηγοριών και την τοπολογία που θα χρειαστούν στη συνέχεια για την κατανόηση και για την απόδειξη θεωρημάτων και προτάσεων. Στη συνέχεια αναφέρουμε το κεντρικό αποτέλεσμα το οποίο χρησιμοποιήθηκε από τον Galois για να αποδείξει το περίφημο θεώρημα. Μία επέκταση σώματος K L είναι επέκταση Galois όταν κάθε στοιχείο του σώματος L είναι ρίζα κάποιου πολυωνύμου p(x) K[X], το οποίο αναλύεται επί του L[X] σε γραμμικούς παράγοντες, οι ρίζες των οποίων είναι απλές. Η ομάδα Galois Gal[L : K] αυτής της επέκτασης είναι η ομάδα των αυτομορφισμών του σώματος L οι οποίοι κρατάνε σταθερά τα στοιχεία του σώματος K. Το κλασικό θεώρημα Galois μας εξασφαλίζει ότι για μία K L Galois επέκταση πεπερασμένου βαθμού, οι υποομάδες G Gal[L : K] της ομάδας Galois αντιστοιχίζονται στις ενδιάμεσες επεκτάσεις K M L. Την προσέγγιση λοιπόν της κλασικής θεωρίας Galois την παρουσιάζουμε στο δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας μας. Σκοπός λοιπόν αυτής της εργασίας είναι να γενικέυσουμε την κλασική θεωρία Galois και να αντικαταστήσουμε την ενδιάμεση επέκταση K M L με αντιμεταθετικές άλγεβρες επί ενός σώματος K. Για μία επέκταση K L μία K-άλγεβρα A διασπάται από το vi

Κατηγορική Θεωρία Galois L όταν κάθε στοιχείο του A είναι ρίζα του πολυωνύμου p(x) K[X] το οποίο αναλύεται σε ξένους γραμμικούς παράγοντες επί του L[X]. Επίσης, όταν η K L είναι έπέκταση Galois κάθε ενδιάμεση επέκταση K M L είναι K-άλγεβρα η οποία διασπάται από το L. Αντίστροφα, κάθε ενδιάμεση άλγεβρα K A L είναι σώμα. Για μία πεπερασμένης διάστασης επέκταση Galois K L το θεώρημα Galois, κατα Grothendieck, δίνει μία ανταλλοίωτη ισοδυναμία κατηγοριών. Οι εν λόγω κατηγορίες είναι, η κατηγορία των πεπερασμένης διάστασης K-αλγεβρών οι οποίες διασπώνται από το L και η κατηγορία των Gal[L : K]-συνόλων, τα οποία είναι πεπερασμένα σύνολα εφοδιασμένα με μία δράση της ομάδας Gal[L : K]. Το κλασικό θεώρημα Galois, ανακτάται μέσω της ισοδυναμίας κατηγοριών, αφού τα πηλίκα της δράσης της Gal[L : K] επί του εαυτού της (μέσω του πολλαπλασιασμού της ομάδας) είναι σε αντιστοιχία ένα προς ένα και επί με διασπόμενες υποάλγεβρες K A L, οι οποίες είναι ενδιάμεσα σώματα. Στο τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας μας αναφερόμαστε σε αυθαίρετες επεκτάσεις Galois K L οι οποίες δεν είναι απαραίτητα πεπερασμένου βαθμού. Σε αυτή την περίπτωση, εφοδιάζουμε την ομάδα Galois Gal[L : K] με την προπεπερασμένη τοπολογία η οποία έχει τη δομή συμπαγούς, Hausdorff, η τοπολογία της οποίας αποτελείται με μία βάση η οποία έχει κλειστά-ανοικτά υποσύνολα (= χώρου Stone). Η κλασική περίπτωση του θεωρήματος Galois τώρα ανάγεται στην περίπτωση όπου οι κλειστές υποομάδες προπεπερασμένων Galois ομάδων αντιστοιχίζονται σε ενδιάμεσες επεκτάσεις K M L. Το Θεώρημα Galois κατά Grothendieck μας εξασφαλίζει ότι υπάρχει μία ανταλλοίωτη ισοδυναμία μεταξύ της κατηγορίας K-αλγεβρών οι οποίες διασπώνται απο το L και της κατηγορίας των προπεπερασμένων Gal[L : K]-χώρων, με μία συνεχή δράση της ομάδας Galois. Η παρούσα εργασία ακολουθεί σε μεγάλο βαθμό την παρουσίαση του βιβλίου των Borceux και Janelidze [BJ]. Η γενίκευση της κλασικής αντιστοιχίας στην περίπτωση των επεκτάσεων που δεν είναι κατ ανάγκη πεπερασμένου βαθμού αντιμετωπίζεται και στο κλασικό σύγγραμμα [RJ]. Οι σχετικές ιδέες του Grothendieck βρίσκονται κυρίως στο έργο του [G]. Για την τοπολογία των χώρων Stone και μία συστηματική μελέτη του ρόλου της σε διάφορες ανταλλοίωτες ισοδυναμίες κατηγοριών, όπου το ένα σκέλος εμπλέκεται vii

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη μία αλγεβρική κατηγορία παραπέμπουμε στο επίσης κλασικό [PJ]. Οι ιδέες γύρω από τις διαδοχικές γενικεύσεις της κλασικής θεωρίας Galois προχωρούν πολύ πιο πέρα από το πλαίσιο που αντιμετωπίζουμε στην παρούσα εργασία και αποτελούν ζωντανό πεδίο έρευνας στις μέρες μας. Στο έργο κάποιων ερευνητών οι ιδέες αυτές γίνονται εργαλείο για την κατανόηση προβλημάτων στο πεδίο της μαθηματικής φυσικής και αντικείμενο φιλοσοφικής διερεύνησης [CP]. viii

Κεφάλαιο 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε μερικές βασικές έννοιες και αποτελέσματα από την άλγεβρα, τη θεωρία κατηγοριών και την τοπολογία που θα χρειαστούν στη συνέχεια. 1.1 Στοιχεία από την άλγεβρα Στο σύνολο της παρούσας εργασίας όλοι δακτύλιοι είναι μοναδιαίοι και αντιμεταθετικοί. Θεώρημα 1.1.1. Έστω K L μία αλγεβρική επέκταση και C είναι ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα. Κάθε ομομορφισμός δακτυλίων ϕ : K C μπορεί να επεκταθεί σε έναν ομομορφισμό L C. Απόδειξη: Έστω ότι S είναι το σύνολο των (N, f),όπου N είναι η ενδιάμεση επέκταση K N L και f/ K = ϕ ο περιορισμός της f στο σώμα K. Έχουμε ότι (K, ϕ) S, οπότε S. Το S είναι μερικώς διατεταγμένο σύνολο, δηλαδή αν S είναι το σύνολο των (N, f ) όπου N ενδιάμεση επέκταση K N L με N N και f / N = f έχουμε ότι (N, f) (N, f ). Για ένα ολικώς διατεταγμένο υποσύνολο {(N a, f a )} a A του S, το άνω φράγμα είναι N = a A N a. Καθώς τα N a είναι ολικώς διατεταγμένα, το N είναι σώμα. Έστω f : N C με f(x) = f a (x), για κάθε x N a. Επίσης, εαν x N b έχουμε ότι f(x) = f b (x). 1

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη Οπότε f a (x) = f b (x). Δηλαδή η f(x) είναι ανεξάρτητη της επιλογής του N a στο οποίο περιέχεται το x. Καθώς το S είναι ολικά διατεταγμένο έχουμε ότι (N a, f a ) (N b, f b ) ή (N b, f b ) (N a, f a ). Στην πρώτη περίπτωση όπου (N a, f a ) (N b, f b ) η f b περιορίζεται στην f a επί του N a (f b = f a / Na ) οπότε για κάθε x N a, f b (x) = f a (x). Στην άλλη περίπτωση όπου (N b, f b ) (N a, f a ) η f a περιορίζεται στην f b επί του N b (f a = f b / Nb ) οπότε για κάθε x N b, f a (x) = f b (x). Για x K μπορούμε να θεωρήσουμε ότι x N a και έτσι f(x) = f a (x) = ϕ(x) καθώς f a / K = ϕ, οπότε f/ K = ϕ. Προκειμένου να αποδείξουμε ότι η f είναι ένας ομομορφισμός δακτυλίων θεωρούμε x, y N και x, y N a. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι f(x + y) = f(x) + f(y) f(xy) = f(x)f(y). Δεδομένου ότι f(x) = f a (x) = ϕ(x) και f(y) = f a (y) = ϕ(y) και αφού ο ϕ είναι ομομορφισμός f(x + y) = f a (x + y) = ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) = f(x) = f(y), f(xy) = f a (xy) = ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = f(x)f(y). Άρα ο f είναι ομομορφισμός. Αφού f/ Na τα (N a, f a ). = f a το (N, f) είναι ένα άνω φράγμα για όλα Από το Λήμμα του Zorn, το S έχει maximal στοιχείο το (N, σ). Οπότε το N είναι σώμα τέτοιο, ώστε για K N L ενδιάμεση επέκταση και σ : N C ομομορφισμός τέτοιος, ώστε σ/ K = ϕ. Επίσης δεν υπάρχει επέκταση του σ σε έναν ομομορφισμό από μεγαλύτερο ενδιάμεσο σώμα στο C. Θα αποδείξουμε ότι N = L δηλαδή ότι η ϕ επεκτείνεται στο σώμα L. Εάν N L υπάρχουν x L με x / N. Τότε N N(x) είναι μία επέκταση πεπερασμένου βαθμού με βαθμό μεγαλύτερο του 1. Επεκτείνουμε τον σ σε έναν ομομορφισμό N(x) C. Έστω p(x) είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του x επί του N[X]. Υπάρχει ένας 2

Κατηγορική Θεωρία Galois N-ισομορφισμός N(x) = N[X] < p(x) >. Εφαρμόζοντας τον σ ομομορφισμό στους συντελεστές του p(x) έχουμε το πολυώνυμο p σ (X) C[X]. Καθώς το C είναι αλγεβρικά κλειστό σώμα, το p σ (X) έχει ρίζα επί του C και έστω ότι αυτή είναι ρ. Έστω N[X] C συμπεριφέρεται επί του N όπως ο σ ομομορφισμός και στέλνει το X στο ρ. Αυτός είναι ένας ομομορφισμός δακτυλίων, ο οποίος στέλνει το p(x) στο p σ (ρ) = 0, οπότε έχουμε τον ομομορφισμό N[X] <p(x)> C ο οποίος συμπεριφέρεται όπως ο σ επί του N και στέλνει το X στο ρ. Συνθέτοντας αυτό με τον ισομορφισμό N(x) = N[X]/ < p(x) > έχουμε έναν ομομορφισμό τ : N(x) C ο οποίος συμπεριφέρεται όπως ο σ επί του N. Συνεπώς, (N, σ) (N(x), τ). Αυτό όμως είναι άτοπο αφού (N, σ) είναι maximal στοιχείο. Οπότε N = L. Πόρισμα 1.1.2. Έστω K ένα σώμα και i : K L ένας ομομορφισμός δακτυλίων σε ένα σώμα L τέτοιο ώστε i(k) L είναι μία αλγεβρική επέκταση. Για κάθε ομομορφισμό δακτυλίων ϕ : K C όπου K σώμα και C αλγεβρική θήκη, υπάρχει ένας ομομορφισμός δακτυλίων σ : L C τέτοιος ώστε σ i = ϕ. Απόδειξη: Καθώς K, L είναι σώματα, η απεικόνιση i : K L είναι ένα-προς-ένα. Τα K και i(k) είναι ισόμορφα εξαιτίας της i. Όπως στην απόδειξη του Θεωρήματος 1.1.1 έτσι και σε αυτό το σημείο θεωρούμε ότι S είναι το σύνολο των (N, f) όπου N είναι σώμα με i(k) N L και με f i = ϕ, f/ K = ϕ. Ορίζουμε τη σχέση μερικής διάταξης, (N, f) (N, f ) όταν N N και f / N = f. Το S ικανοποιεί τις συνθήκες του Λήμματος Zorn, οπότε έχει maximal στοιχείο όπως και προηγουμένως. Άρα υπάρχει ένας ομομορφισμός δακτυλίων σ : L C τέτοιος ώστε σ i = ϕ. Θεώρημα 1.1.3. Έστω K 1 και K 2 ισόμορφα σώματα και C 1, C 2 οι αλγεβρικές τους θήκες αντίστοιχα. Κάθε ισομορφισμός K 1 K 2 επεκτείνεται σε έναν ισομορφισμό C 1 C 2. Απόδειξη: Έστω f : K 1 K 2 ένας ισομορφισμός. Αν συνθέσουμε την f με τη συνάρτηση εγκλισμού i 2 : K 2 C 2 τότε έχουμε τον ομομορφισμό i 2 f : K 1 C 2. Εφαρμόζοντας το Πόρισμα 1.1.2 με L = C 1 και ϕ = i 2 f βλέπουμε ότι υπάρχει ένας 3

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη ομομορφισμός σ : C 1 C 2 τέτοιος ώστε σ i 1 = ϕ = i 2 f. Οπότε το παρακάτω διάγραμμα είναι αντιμεταθετικό. σ C 1 C 2 i 1 i 2 K f 1 K 2 Άρα σ(c 1 ) είναι αλγεβρικά κλειστό υπόσωμα του C 2 και σ(i 1 (K 1 )) = i 2 (f(k 1 )) = i 2 (K 2 ) = K 2. Καθώς C 2 είναι η αλγεβρική θήκη του K 2 έχουμε ότι σ(c 1 ) = C 2, οπότε ο σ είναι ισομορφισμός. 1.2 Στοιχεία από τη θεωρία κατηγοριών Ορισμός 1.2.1. Ένας συναρτητής F : C D είναι i) πλήρης αν για κάθε A, A C, η απεικόνιση C(A, A ) D(F A, F A ) f F f είναι επί ii) πιστός αν για κάθε A, A C, η απεικόνιση αυτή είναι ένα-πρός-ένα iii) ουσιωδώς επί στα αντικείμενα αν για κάθε B D, υπάρχει A C τέτοιο ώστε F A = B. 4

Κατηγορική Θεωρία Galois Ορισμός 1.2.2. Ενας συναρτητής F : C D είναι ισοδυναμία μεταξύ των δύο κατηγοριών = = αν υπάρχει G: D C και φυσικοί ισομορφισμοί η : id C GF και ϵ: id D F G. Ισοδύναμα, αν ο συναρτητής G είναι πλήρης, πιστός και ουσιωδώς επί στα αντικείμενα. Ορισμός 1.2.3. Έστω A, B δύο αντικείμενα μιας κατηγορίας C. Το γινόμενο των A, B ορίζεται ως ένα αντικείμενο C με τις εξής ιδιότητες: i) Υπάρχει ένα ζεύγος μορφισμών p A : C A, p B : C B ii) Αν D είναι ένα άλλο αντικείμενο της κατηγορίας, για το οποίο υπάρχουν μορφισμοί q A : D A, q B : D B, τότε υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός l : D C έτσι ώστε p A l = q A και p B l = p B. Για τα αντικείμενα A, B μπορεί και να μην υπάρχει γινόμενο, αν όμως αυτό υπάρχει είναι μοναδικά προσδιορισμένο, με προσέγγιση ισομορφισμού, και το συμβολίζουμε ως A B. Στην κατηγορία των συνόλων υπάρχει και δίνεται από το καρτεσιανό γινόμενο. Το ίδιο και σε κατηγορίες αλγεβρών, και δίνεται από το καρτεσιανό γινόμενο εφοδιασμένο με την κατά συντεταγμένη δομή. Ορισμός 1.2.4. Δυϊκά το συν-γινόμενο δύο αντικειμένων A και B είναι ένα αντικείμενο C, για το οποίο: i) υπάρχει ένα ζεύγος μορφισμών i A : A C, i B : B C έτσι ώστε ii) αν D είναι ένα άλλο αντικείμενο της κατηγορίας, για το οποίο υπάρχουν μορφισμοί k A : A D, k B : B D, τότε υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός l : C D έτσι ώστε l i A = k A και l i B = k B. Tο συν-γινόμενο δυο αντικειμένων A, B αν υπάρχει θα το συμβολίζουμε A B. Στην κατηγορία των συνόλων δίνεται από τη διαζευγμένη ένωση των δύο συνόλων. Ορισμός 1.2.5. Αν έχουμε δύο αντικείμενα και ένα ζευγάρι μορφισμών ανάμεσα τους, f, g : A B ορίζουμε ως εξισωτή των f, g ένα ζεύγος (E, e : E A), όπου 5

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη i) f e = g e ii) Αν το ζευγάρι (C, h : C A) ικανοποιεί τη σχέση f h = g h, τότε υπάρχει μοναδικός μορφισμός l : C E τέτοιος ώστε e l = h. Στην κατηγορία των συνόλων δίνεται από το σύνολο σύμπτωσης των δύο συναρτήσεων, {x X f(x) = g(x)}. Ορισμός 1.2.6. Αν έχουμε δύο αντικείμενα κι ένα ζευγάρι μορφισμών ανάμεσα τους, f, g : A B ορίζουμε τον συνεξισωτή των f, g ως το ζεύγος (Q, q : B Q), όπου i) q f = q g και i) αν το ζευγάρι (C, h : B C) ικανοποιεί τη σχέση h f = h g, τότε υπάρχει μοναδικός μορφισμός l : Q C τέτοιος ώστε l q = h. Στην κατηγορία των συνόλων δίνεται από το σύνολο πηλίκο του B δια την ελάχιστη σχέση ισοδυναμίας που περιέχει τα ζευγάρια (f(x), g(x)). Ορισμός 1.2.7. Έστω I μία μικρή κατηγορία και D : I C ένας συναρτητής στην κατηγορία C. i) Ένας κώνος για το διάγραμμα D είναι ένα ζευγάρι < L, λ i >, i I 0 τέτοιο ώστε λ θ1 α = D(α) λ θ0 α, για κάθε α : θ 0 α θ 1 α στην I. ii) Ο κώνος <L, λ i >, i I 0 λέγεται οριακός και το αντικείμενο L όριο του διαγράμματος αν, για κάθε άλλον κώνο < C, κ i >, i I 0, υπάρχει μοναδικός μορφισμός h : C L έτσι ώστε, για κάθε i I 0, κ i = λ i h. Δυϊκά με τα παραπάνω ορίζονται οι έννοιες του συν-κώνου και του συνορίου. Θεώρημα 1.2.8. Μία κατηγορία έχει όλα τα (πεπερασμένα) όρια αν και μόνο άν έχει (αντ. πεπερασμένα) γινόμενα και εξισωτές. 6

Κατηγορική Θεωρία Galois Απόδειξη: Προφανώς αν υπάρχουν όλα τα όρια υπάρχουν γινόμενα και εξισωτές ειδικότερα. Αντιστρόφως, έστω D : I X ένα διάγραμμα μέσα στην κατηγορία, παραμετρικοποιημένο από τη δείκτρια κατηγορία I. Κατασκευάζουμε το όριο του διαγράμματος ως έναν εξισωτή δύο κανονικά οριζόμενων μορφισμών ανάμεσα σε δύο γινόμενα. Συγκεκριμένα, θεωρούμε τα γινόμενα I 0 D(i) όλων των αντικειμένων D(i), όπου το i διατρέχει τα αντικείμενα της I και I 1 D(ϑ 1 α) όλων των αντικειμένων που είναι συν-πεδία κάποιου μορφισμού στο διάγραμμα. (Φυσικά κάθε αντικείμενο είναι συν-πεδίο του ταυτοτικού μορφισμού του, άρα κάθε αντικείμενο του διαγράμματος εμφανίζεται τουλάχιστον μία φορά στο γινόμενο. Το θέμα είναι ότι κάποια αντικείμενα ενδεχομένως εμφανίζονται στο γινόμενο αυτό περισσότερες φορές από μία φορές.) Υπάρχουν δύο κανονικοί μορφισμοί ανάμεσα σε αυτά τα γινόμενα. Για να τους περιγράψουμε αρκεί, από την καθολική ιδιότητα των γινομένων, να περιγράψουμε δύο οικογένειες μορφισμών, παραμετρικοποιημένες από το σύνολο των μορφισμών της I, προς τα διάφορα D(ϑ 1 α). Αν λοιπόν j = ϑ 1 α, οι οικογένειες αυτές είναι οι { I 0 D(i) D(j) id D(ϑ 1 α)} και { I 0 D(i) D(ϑ 0 α) D(a) D(ϑ 1 α)} Έχουμε λοιπόν μέσα στην κατηγορία X αντιμεταθετικά τετράγωνα: I 0 D(i) δ I 1 D(ϑ 1 α) p j p ϑ1 α D(j) id D(ϑ 1 α) 7

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη και I 0 D(i) τ I 1 D(ϑ 1 α) p ϑ1 α p ϑ0 α D(α) D(ϑ 0 α) D(ϑ 1 α) που ορίζουν τους μορφισμούς δ και τ, αντίστοιχα. Ισχυριζόμαστε λοιπόν τώρα ότι το όριο του διαγράμματος είναι ο εξισωτής lim D = Eq(δ, τ) I 0 D(i) I 1 D(ϑ 1 α) Πράγματι το ζευγάρι < Eq(δ, τ), p i e > αποτελεί κώνο του διαγράμματος D γιατί αν α : i = ϑ 0 α ϑ 1 α D(α) p i e = D(α) p ϑ0 α e = p ϑ1 α τ e = p ϑ1 α δ e = p j e, όπως επιθυμούσαμε. Επίσης ο παραπάνω είναι ο καθολικός κώνος γιατί κάθε άλλος κώνος < L, λ i >, i I 0 επάγει ένα μορφισμό l : L I 0 D(i) (τον μοναδικό μορφισμό με την ιδιότητα ότι p i l = λ i ) που εξισώνει τους μορφισμούς τ και δ (ο τελευταίος αυτός ισχυρισμός αποτελεί απλώς αναδιατύπωση του γεγονότος ότι το ζεύγος <L, λ i > αποτελεί κώνο του διαγράμματος). Άρα υπάρχει μοναδικός μορφισμός k : L Eq(τ, δ) έτσι ώστε l = e k. Αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι λ i = p i l = (p i e) k που μας δίνει απαραίτητη συνθήκη παραγοντοποίησης του τυχαίου κώνου μέσω του οριακού. 8

Κατηγορική Θεωρία Galois Δυϊκά έχουμε Πόρισμα 1.2.9. Μια κατηγορία έχει όλα τα (πεπερασμένα) συνόρια αν και μόνο άν έχει (αντ. πεπερασμένα) συν-γινόμενα και συνεξισωτές. Το Θεώρημα μας δίνει κι έναν αποτελεσματικό τρόπο για την περιγραφή των ορίων και των συνορίων στην κατηγορία των συνόλων. Έτσι το όριο ενός διαγράμματος D : I Set υπολογίζεται ως ένας εξισωτής δύο απεικονίσεων ανάμεσα σε καρτεσιανά γινόμενα. Ένας εξισωτής στην κατηγορία των συνόλων είναι απλώς το σύνολο ταύτισης των δύο συναρτήσεων. Επομένως το όριο του παραπάνω διαγράμματος είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου όλων των κορυφών D(i) του διαγράμματος. Οι δράσεις τώρα των απεικονίσεων δ και τ του προηγούμενου θεωρήματος είναι αντίστοιχα: δ(< x i i I 0 >) =< x i i = ϑ 1 α, α I 1 > και τ(< x i i I 0 >) =< D(α)(x i ) α I 1 >. Έτσι λοιπόν το όριο του διαγράμματος D είναι το σύνολο εκείνων των στοιχείων του I 0 D(i) πάνω στα οποία οι δ και τ ταυτίζονται. Δηλαδή, τελικά, lim D = {< x i > I 0 D(i) x j = D(x i ) α : i j} Η περιγραφή των συνορίων είναι, όπως θα περίμενε κανείς, πιο πολύπλοκη. Η δυϊκή εκδοχή του παραπάνω θεωρήματος μας λέει ότι το συνόριο ενός διαγράμματος σε μία κατηγορία δίνεται ως ένας συνεξισωτής ανάμεσα σε συν-γινόμενα D(ϑ 0 α) D(i) Coeq(δ, τ) = colim D I 1 I 0 9

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη Μία μικρή κατηγορία I λέγεται φιλτραρισμένη αν i) Δεν είναι κενή. ii) Για κάθε δύο αντικείμενα της i, j υπάρχει αντικείμενο k και μορφισμοί α ik : i k και α jk : j k. iii) Για κάθε δύο παράλληλους μορφισμούς της α, β : i j υπάρχει μορφισμός της γ : j k ώστε γ α = γ β. Ετσι, για παράδειγμα, μία μικρή κατηγορία, η οποία έχει πεπερασμένα συνόρια, είναι φιλτραρισμένη. (Είναι μη-κενή γιατί το συνόριο του κενού διαγράμματος, δηλαδή το αρχικό αντικείμενο, ανήκει στην κατηγορία, δύο οποιαδήποτε αντικείμενα απεικονίζονται από κοινού στο συν-γινόμενο τους και δύο παράλληλοι μορφισμοί συνεξισώνονται από τον συνεξισωτή τους.) Ειδικότερα, για μία έννοια αλγεβρικής δομής, που ορίζεται από πράξεις πεπερασμένου αριθμού ορισμάτων, η κατηγορία των πεπερασμένως παρουσιάσιμων δομών (με όλους τους ομομορφισμούς ανάμεσα τους) είναι μικρή φιλτραρισμένη κατηγορία. Αναφερόμαστε σε φιλτραρισμένα συνόρια εννοώντας τα συνόρια διαγραμμάτων που η δείκτρια κατηγορία τους είναι φιλτραρισμένη. Ειδική περίπτωση φιλτραρισμένης κατηγορίας αποτελεί ένα κατευθυνόμενο μερικώς (προ-)διατεταγμένο σύνολο. Πρόταση 1.2.10. Αν D : I Set είναι ένα διάγραμμα πάνω σε μία φιλτραρισμένη κατηγορία, τότε το συνόριό του δίνεται από το σύνολο i I 0 D(i)/, όπου x i x j αν x i D(i), x j D(j) και υπάρχουν μορφισμοί α ik : i k και α jk : j k ώστε D(α ik )(x i ) = D(α jk )(x j ). Η είναι σε αυτήν τη περίπτωση σχέση ισοδυναμίας. Απόδειξη: Η περιγραφή των συνορίων μας λέει ότι το συνόριο είναι το πηλίκο του συνγινομένου i I 0 D(i) δια της ελάχιστης σχέσης ισοδυναμίας που ταυτίζει τα x i, x j αν οι εικόνες τους μέσω μορφισμών του διαγράμματος συμπίπτουν. 10

Κατηγορική Θεωρία Galois D(i) D(j) 88888888888 8 D(k) Ομως στην περίπτωση που η δείκτρια κατηγορία είναι φιλτραρισμένη, η σχέση αυτή είναι ήδη σχέση ισοδυναμίας. 1.3 Προ-πεπερασμένοι τοπολογικοί χώροι Ορισμός 1.3.1. Αν Y είναι ένας τοπολογικός χώρος και f : X Y είναι μία συνάρτηση, ως αρχική τοπολογία για την οποία η f είναι συνεχής, εννοούμε εκείνη την τοπολογία επί του X με τα λιγότερα ανοικτά υποσύνολα, ως προς την οποία η f καθίσταται συνεχής. Αντίστροφα, Ορισμός 1.3.2. Αν X είναι ένας τοπολογικός χώρος και f : X Y είναι μία συνάρτηση, ως τελική τοπολογία για την οποία η f είναι συνεχής, εννοούμε εκείνη την τοπολογία επί του Y με τα περισσότερα ανοικτά υποσύνολα, ως προς την οποία η f καθίσταται συνεχής. Ορισμός 1.3.3. Ένας τοπολογικός χώρος είναι προ-πεπερασμένος όταν είναι το (προβολικό) όριο το οποίο προκύπτει από ένα συν-φιλτραρισμένο διάγραμμα, πεπερασμένων διακριτών τοπολογικών χώρων. Ορισμός 1.3.4. Ένας τοπολογικός χώρος καλείται ολικά μη συνεκτικός ή ολικά αντί-συνεκτικός όταν δύο ξένα μεταξύ τους σημεία έχουν ξένες μεταξύ τους γειτονιές οι οποίες είναι ταυτόχρονα ανοικτές και κλειστές. Ισοδύναμα: x y U X, U ανοικτό και κλειστό, x U, y / U. Κάθε ολικά μη συνεκτικός χώρος είναι χώρος Hausdorff. Υπενθυμίζουμε ότι ένας τοπολογικός χώρος καλείται χώρος Hausdorff εάν κάθε δύο σημεία του χώρου διάφορα με- 11

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη ταξύ τους έχουν ανοικτές ξένες μεταξύ τους γειτονιές. Λήμμα 1.3.5. Στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων και συνεχών απεικονίσεων, ένα (προβολικό) όριο ολικά μη συνεκτικών χώρων είναι και αυτό ολικά μη συνεκτικό. Απόδειξη: Υπενθυμίζουμε οτι για ένα δοσμένο διάγραμμα D τοπολογικών χώρων, το (προβολικό) όριο L είναι ο χώρος L = {(x X ) X D Π X D X f D, f : X Y, f(x X ) = (x Y )} όπου η τοπολογία του γινομένου επάγει την τοπολογία του L. Ένας άλλος τρόπος να δούμε το παραπάνω όριο είναι να το εκφράσουμε διαμέσω της εφέλκυσης L Π f D Y α Π X D X (Π f D Y ) (Π f D Y ) = Π f D (Y Y ) όπου f : X Y να είναι ένας μορφισμός του διαγράμματος και η α να ορίζεται ως εξής α((x X ) X D ) = (f(x X ), x Y ) f D. Αυτό το διάγραμμα αντιπροσωπεύει το όριο ως την αντίστροφη εικόνα της διαγωνίου. Αρχικά, το τοπολογικό γινόμενο Π i I X i ενός ολικά μη συνεκτικού χώρου είναι ολικά μη συνεκτικό. Πράγματι, εάν (x i ) i I (y i ) i I υπάρχει ένα i o I με x io y io. Για το x io μπορούμε να βρούμε ξένες μεταξύ τους ανοικτές και κλειστές γειτονιές x io U io, y io V io. Εάν U i = X i = V i για i i o έχουμε δύο ξένες μεταξύ τους ανοικτές και κλειστές γειτονιές των (x i ) Π i I U i, (y i ) Π i I V i οι οποίες αποδεικνύουν ότι Π i I X i είναι ολικά μη συνεκτικός. Από την άλλη πλευρά, είναι εύκολο να δει κανείς ότι κάθε υπόχωρος ολικά 12

Κατηγορική Θεωρία Galois μη συνεκτικού χώρου είναι ολικά μη συνεκτικός. Λήμμα 1.3.6. Έστω X = lim i I X i είναι ένας προ-πεπερασμένος χώρος ο οποίος αναπαρίσταται ως το συν-φιλτραρισμένο όριο πεπερασμένων διακριτών χώρων X i. Οι παρακάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες: i) X είναι μη κενό, ii) για κάθε i I, X i είναι μη κενό. Απόδειξη: Η ύπαρξη της κανονικής προβολής p i : X X i του ορίου μας αποδεικνύει ότι i) ii). Αντίστροφα τώρα θέλουμε να αποδείξουμε ότι i I, X i μη κενό τότε και το X είναι μη κενό. Θεωρούμε το γινόμενο i I X i. Από το θεώρημα Tychonoff γνωρίζουμε ότι ο χώρος γινομένου Π i I X i είναι μη κενός συμπαγής χώρος Hausdorff. Για κάθε k I θεωρούμε το σύνολο C k = {(x i ) i I I X i i k x i = f ki (x k )} όπου f ki : X k X i είναι ο μορφισμός του διαγράμματος για k i. Το υποσύνολο C k είναι κλειστό ως τομή κλειστών υποσυνόλων. Θεωρούμε τα: C k,j = {(x i ) i I i I X i x j = f kj (x k )}, j k υποσύνολα του C k, τα οποία είναι κλειστά ως αντίστροφη εικόνα της διαγωνίου από τη συνεχή απεικόνιση (p j, f kj p k ) X X j X j, x (x j, f kj (x k )). Οπότε το C k είναι κλειστό. Κάθε C k είναι μη κενό. Πράγματι επιλέγοντας ένα τυχαίο x X k, με x i = f ki (x) για i k και x i X i αυθαίρετο για κάθε δείκτη, έχουμε ότι αυτή η οικογένεια (x i ) i I ανήκει στο C k. Για k l έχουμε ότι C k C l οπότε η οικογέ- 13

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη νεια (C k ) k I είναι συν-φιλτραρισμένη δεδομένου ότι και το σύνολο δεικτών I είναι συνφιλτραρισμένο. Καθώς σε έναν συμπαγή χώρο Hausdorff Π i I X i, η συν-φιλτραρισμένη τομή κλειστών και μη κενών υποσυνόλων είναι μη κενή, έχουμε ότι: X = lim X i = C k i I k I είναι μη κενό. Συνεπώς ii) i). Αποδείξαμε λοιπόν το ζητούμενο. Λήμμα 1.3.7. Έστω X = lim i I X i είναι ένας προ-πεπερασμένος χώρος, ο οποίος αναπαρίσταται ως το συν-φιλτραρισμένο όριο πεπερασμένων διακριτών χώρων. Συμβολίζουμε με p i : X X i τις προβολές αυτού του ορίου και με f ji : X j X i τον μορφισμό του διαγράμματος για j i. Για κάθε i I υπάρχει ένα j i τέτοιο, ώστε Imf ji = Imp i, όπου Im η εικόνα. Απόδειξη: Έστω i I σταθερό. Καθώς το όριο είναι συν-φιλτραρισμένο, ισοδύναμα μπορούμε να το υπολογίσουμε για j i. Δηλαδή θεωρούμε ότι το i είναι το τελικό αντικείμενο του μερικώς διατεταγμένου συνόλου I. Για δοσμένο x X i και για j i θέτουμε Y j (x) = f 1 ji ({x}) X j. Από το Λήμμα 1.3.6 και από την παραπάνω ισότητα έχουμε ότι p 1 i (x) = lim Y j (x). Οπότε j I x j I Imf ji j i Y j (x) lim j I Y j (x) p 1 i (x) x Imp i 14

Κατηγορική Θεωρία Galois Συνεπώς Imp i = j I Imf ji. Το δεξί μέρος αυτής της ισότητας είναι η συν-φιλτραρισμένη τομή πεπερασμένων υποσυνόλων X i και από το γεγονός ότι αυτά είναι πεπερασμένα το Imp i θα ισούται με ένα από αυτά τα υποσύνολα. Δηλαδή j I Imp i = Imf ji. Λήμμα 1.3.8. Έστω X = lim i I X i είναι ένας προ-πεπερασμένος χώρος, ο οποίος αναπαρίσταται ως το συν-φιλτραρισμένο όριο πεπερασμένων διακριτών χώρων X i. Για κάθε πεπεραμένο διακριτό χώρο Y έχουμε τον κανονικό μορφισμό σύγκρισης α : colim Cont(X i, Y ) Cont(lim i I X i, Y ) ο οποίος είναι ένα-πρός-ένα και επί με το Cont να είναι το σύνολο των συνεχών απεικονίσεων. Απόδειξη: Ο X i είναι διακριτός χώρος και Cont(X i, Y ) είναι το σύνολο των συνεχών απεικονίσεων από το X i στο Y. Η α είναι η μοναδική ανάλυση η οποία κάνει το παρακάτω διάγραμμα αντιμεταθετικό α colim Cont(X i, Y ) Cont(lim X i, Y ) i I s i Cont(p i, Y ) Cont(X i, Y ) 15

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη όπου s i είναι οι κανονικοί μορφισμοί του συνορίου δηλαδή s i : Cont(X i, Y ) colim Cont(X i, Y ) και p i είναι οι κανονικοί μορφισμοί του ορίου, δηλαδή p i : X i lim i I X i. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι η α είναι ένα-προς-ένα και επί. Καθώς το όριο είναι συνφιλτραρισμένο το συνόριο είναι φιλτραρισμένο. Υπενθυμίζουμε ότι αυτό το φιλτραρισμένο συνόριο είναι το πηλίκο της ξένης ένωσης i I Cont(X i, Y ) με τη σχέση ισοδυναμίας να δίνεται ως εξής (u Cont(X i, Y )) (v Cont(X j, Y )) k I, k i, k j, Cont(f ki, Y )(u) = Cont(f kj, Y )(v). Παρατηρούμε ότι X k f ki X i f kj u X j v Y Οπότε τελικά η παραπάνω σχέση γίνεται (u Cont(X i, Y )) (v Cont(X j, Y )) k I, k i, k j, u f ki = v f kj Αρχικά αποδεικνύουμε ότι η α είναι ένα-προς-ένα. Έστω δύο στοιχεία του συνορίου. Αυτά είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας [u], [v] των στοιχείων u, v αντίστοιχα, τα οποία δεδο- 16

Κατηγορική Θεωρία Galois μένου ότι είναι φιλτραρισμένα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι u, v Cont(X i, Y ). Έστω ότι α([u]) = α([v]). Θέλουμε να αποδείξουμε ότι [u] = [v]. Έχουμε ότι u p i = Cont(p i, Y )(u) = (α s i )(u) = α([u]) = α([v]) = (α s i )(v) = Cont(p i, Y )(v) = v p i. Από το Λήμμα 1.3.7 γνωρίζουμε ότι υπάρχει δείκτης j i με τον αντίστοιχο μορφισμό f ji : X j X i στο διάγραμμα έτσι ώστε Imp i = Imf ji. Οι προηγούμενες ισότητες μας δείχνουν ότι οι u και v συμπίπτουν στην Imp i οπότε συμπίπτουν και στην Imf ji. Οπότε u f ji = v f ji τα οποία ταυτίζονται στο συνόριο και έτσι [u] = [v]. Σε αυτό το σημείο αποδεικνύουμε ότι η α είναι έπι. Θεωρούμε τη συνεχή απεικόνιση f : lim X i Y. Θεωρούμε επίσης και το ζέυγος πυρήνα της f στην κατηγορία των i I τοπολογικών χώρων να είναι R r 1 X = lim r 2 i I X i καθώς και το ζεύγος πυρήνα της προβολής να είναι f Y, R = {(x, x ) f(x) = f(x )} r1 i R i X = lim r i 2 i I X i p i Y, Ri = {(x, x ) p i (x) = p i (x )}. Αυτό το ζεύγος μορφισμών σχηματίζει το όριο του διαγράμματος. Οι χώροι R και R i παρατηρούμε ότι είναι οι αντίστροφες εικόνες των διαγωνίων των Y και X i. R Y R i X i X X f f Y Y X X p i p i X i X i 17

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη Καθώς οι χώροι X i και Y είναι διακριτοί, οι διαγώνιες στα παραπάνω διαγράμματα είναι ανοικτές και κλειστές, οπότε και τα R, R i είναι ανοικτά και κλειστά υποσύνολα του X X. Επιπλέον εάν j i, η αντιμεταθετικότητα του τριγώνου X j 888888888888888888 p j 8 lim i I X i f ij p i X i υποδηλώνει ότι Rj R i. Καθώς το I είναι ένα συν-φιλτραρισμένο σύνολο, το μερικώς διατεταγμένο σύνολο (R i ) i I των σχέσεων ισοδυναμίας, σύμφωνα με τον εγκλισμό, είναι και αυτό συν-φιλτραρισμένο. Παρατηρούμε επίσης ότι η διαγώνιος X X X του X είναι κλειστή, επειδή ο X είναι χώρος Hausdorff. Καθώς το R είναι μία σχέση ισοδυναμίας, X R. Από την άλλη πλευρά, από τον ορισμό του R i, έχουμε ότι X = i I R i. Επίσης ( ) ( ) = X X = R i X R i R = i I i I i I το οποίο μας αποδεικνύει οτι i I ( ) R i R, ( Ri R ) =. Καθώς (R i ) i I αποτελεί ένα συνφιλτραρισμένο μερικώς διατεταγμένο σύνολο, τότε το ( R i R ) θα αποτελεί ένα συνφιλτραρισμένο μερικώς διατεταγμένο σύνολο. Οπότε έχουμε μία συν-φιλτραρισμένη οικογένεια από κλειστά υποσύνολα του συμπαγή Hausdorff χώρου X X, όπου η τομή τους είναι κενή, ένα από αυτά τα υποσύνολα είναι το κενό. Οπότε j I, R j R = και j I, R j R. 18

Κατηγορική Θεωρία Galois Με άλλα λόγια j I x, x X, p j (x) = p j (x ) f(x) = f(x ). Αυτό αποδεικνύει την ύπαρξη της g στο ακόλουθο διάγραμμα. lim i I X i p j 8 Imp j f g 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 Y Αυτή η ανάλυση της g είναι συνεχής καθώς η Imp j είναι διακριτή, ώς υπόχωρος του X j. Εφαρμόζουμε άλλη μία φορά το Λήμμα 1.3.6, επιλέγοντας k j, έχουμε ότι Imp j = Imf kj. Αυτό παράγει την εξής σύνθεση f kj g X k Imf kj = Imp j Y με g f kj p k = f και Cont(p k, Y )(g f kj ) = f. Από τον ορισμό της α, α([g f kj ]) = f. Οπότε η α είναι επί. Αποδείξαμε λοιπόν ότι η α είναι ένα-προς-ένα και επί. 19

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη 20

Κεφάλαιο 2 ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ GALOIS Θα αναπτύξουμε σε αυτό το κεφάλαιο τη Θεωρία Galois πάνω σε σώματα. Αρχικά θα μελετήσουμε τις αλγεβρικές, διαχωρίσιμες, κανονικές και Galois επεκτάσεις σωμάτων και στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε την αντιστοιχία Galois μεταξύ επεκτάσεων Galois και ομάδων αυτομορφισμών σωμάτων. Σε αυτό το κεφάλαιο οι επεκτάσεις θα είναι πεπερασμένου βαθμού. 2.1 Αλγεβρικές επεκτάσεις Έστω K L μία επέκταση σώματος. Η σύνθεση K L L L L εφοδιάζει το σώμα L με τη δομή διανυσματικού χώρου επί του σώματος K, όπως επίσης και με τη δομή μιας K-αλγεβρας. Τη διάσταση του σώματος L αν το θεωρήσουμε K- διανυσματικό χώρο τη συμβολίζουμε ως [L : K] ή dim[l : K]. Θυμίζουμε επίσης ότι κάθε γνήσιο ιδεώδες I L ενός σώματος L είναι τετριμμένο. Πράγματι, αν i I με i 0, l = ii 1 l I για κάθε l L. Οπότε I = L. Καθώς ο πυρήνας ενός ομομορφισμού σώματος είναι ιδεώδες το οποίο δεν περιέχει τη μονάδα, αυτό το ιδεώδες είναι μηδενικό, οπότε κάθε ομομορφισμός σώματος είναι ένα-προς-ένα. 21

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη Γράφουμε Κ[X] για το δακτύλιο των πολυωνύμων με συντελεστές από το σώμα Κ. Ορισμός 2.1.1. Έστω K L μία επέκταση σώματος. Ένα στοιχείο l L είναι αλγεβρικό επί του σώματος Κ όταν υπάρχει ένα μη-μηδενικό πολυώνυμο p(x) K[X] τέτοιο ώστε p(l) = 0. Η επέκταση K L είναι αλγεβρική όταν όλα τα στοιχεία του L είναι αλγεβρικά επί του σώματος K. Πρόταση 2.1.2. Κάθε πεπερασμένης δίαστασης επέκταση σώματος είναι αλγεβρική. Απόδειξη: Έστω l L και μία ακολουθία στοιχείων l 0 = 1, l 1, l 2,..., l n,.... Καθώς η διάσταση της επέκτασης K L είναι πεπερασμένη, τα στοιχεία της ακολουθίας αυτής παράγουν μία σχέση εξάρτησης η οποία είναι η εξής: a n l n + a n 1 l n 1 +... + a 2 l 2 + a 1 l + a 0 = 0, a i K. Αν θεωρήσουμε p(x) = a n X n + a n 1 X n 1 +... + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 τότε για κάθε l L έχουμε ότι p(l) = a n l n + a n 1 l n 1 +... + a 2 l 2 + a 1 l + a 0. Άρα λόγω της παραπάνω σχέσης εξάρτησης έχουμε ότι p(l) = 0. Οπότε η επέκταση K L, η οποία είναι πεπερασμένης διάστασης, είναι αλγεβρική. Πρόταση 2.1.3. Έστω K L μία επέκταση σώματος και l L ένα αλγεβρικό στοιχείο επι του σώματος K. Τότε υπάρχει μοναδικό πολυώνυμο p(x) K[X] τέτοιο ώστε: i) ο συντελεστής του μεγιστοβαθμίου όρου να είναι 1, ii) p(l) = 0, iii) ο βαθμός του p(x) να είναι μικρότερος του βαθμού των πολυώνυμων q(x) K[X] για τα οποία ισχύει q(l) = 0. Το πολυώνυμο p(x) είναι ανάγωγο και καλείται ελάχιστο πολυώνυμο του l. Όταν q(x) K[X] και q(l) = 0 τότε το p(x) διαιρεί το q(x). 22

Κατηγορική Θεωρία Galois Απόδειξη: Σύμφωνα με τον Ορισμό 2.1.1 επιλέγουμε ένα πολυώνυμο p(x) K[X] το οποίο έχει ελάχστο βαθμό και το οποίο ικανοποιεί τη συνθήκη p(l) = 0. Επίσης δεν υπάρχει κανένας περιορισμός στο να θεωρήσουμε ότι ο συντελεστής μεγιστοβαθμίου όρου του p(x) είναι 1. Εάν το p(x) γραφεί ως γινόμενο δύο πολυωνύμων του K[X], βαθμού 1, τότε το l θα είναι ρίζα ενός εκ των δύο. Το γεγονός ότι ο βαθμός του p(x) είναι ο ελάχιστος των πολυωνύμων του K[X] υποδηλώνει ότι το p(x) είναι ανάγωγο επί του K[X]. Εάν έχουμε ένα άλλο πολυώνυμο q(x) K[X] όπως το ορίσαμε παραπάνω, μπορούμε να κατασκευάσουμε την Ευκλείδεια διαίρεση του q(x) από το p(x) ως εξής q(x) = p(x)α(x) + r(x), όπου ο βαθμός του r(x) πολυωνύμου είναι μικρότερος του βαθμού του p(x) πολυωνύμου. Καθώς q(l) = p(l) = 0, έχουμε ότι r(l) = 0 και από το γεγονός ότι ο βαθμός του p(x) είναι ο ελάχιστος έχουμε ότι r(x) = 0. Η μοναδικότητα του p(x) πολυωνύμου που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες προκύπτει από τα προηγούμενα και από τη συνθήκη i). Πρόταση 2.1.4. Στις συνθήκες της Πρότασης 2.1.3 το μικρότερο υπόσωμα K(l) του L το οποίο περιέχει το K και το l είναι ισόμορφο με το πηλίκο K[X], όπου < p(x) > K[X] <p(x)> είναι το κύριο ιδεώδες το οποίο παράγεται από το p(x). Επιπλέον, ο βαθμός της K(l) K επέκτασης είναι ίσος με τον βαθμό του ελαχίστου πολυωνύμου p(x) του l. Απόδειξη: Έστω πολυώνυμο p(x) = X n + α n 1 X n 1 + α n 2 X n 2 +... + α 1 X + a 0. Έχουμε τον εξής ισομορφισμό K[X] < p(x) > = {k n 1 X n 1 +... + k 1 X + k 0 k i K} 23

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη όπου οι πράξεις στο δεξί μέλος ορίζονται modulo τη σχέση X n = α n 1 X n 1 α n 2 X n 2... α 1 X a 0. Παρατηρούμε ότι το K[X] επί του K έχει διάσταση n, όσο είναι και ο βαθμός του πολυωνύμου p(x). Η υπο-άλγεβρα K(l) L η οποία παράγεται από τα K και l είναι η εξής K(l) = {q(l) q(x) K[X]}. Χρησιμοποιόντας το ελάχιστο πολυώνυμο του l, κάθε l n μπορεί να αντικατασταθεί από τους όρους μικρότερης τάξης ως εξής K(l) = {k n 1 l n 1 +... + k 0 k i K}. Αυτό είναι ένας Κ-διανυσματικός χώρος με διάσταση το πολύ n. Πολλαπλασιάζοντας με α K(l) L, α 0 έχουμε έναν K-ενδομορφισμό επί του K(l), ο οποίος είναι ένα-προς-ένα καθώς το L είναι σώμα. Αφού ο βαθμός της επέκτασης K(l) K είναι πεπερασμένος, ο ενδομορφισμός αυτός είναι ένας γραμμικός ισομορφισμός, ο οποίος κάνει το α να είναι αντιστρέψιμο επί του K(l). Αυτή η υπο-άλγεβρα K(l) L είναι στην ουσία ένα υπόσωμα K(l) L το οποίο παράγεται από τα K και l. Θεωρούμε έναν ομομορφισμό δακτυλίων γ : K[X] < p(x) > K(l), q(x) q(l) όπου ο βαθμός του q(x) είναι μικρότερος του n. Αυτή η K-γραμμική απεικόνιση είναι ένα-προς-ένα καθώς q(l) = 0 οπότε q(x) = 0 επειδή ο βαθμός του πολυωνύμου q(x) σύμφωνα με την Πρόταση 2.1.3 είναι αυστηρά μικρότερος από τον βαθμό του ελαχίστου πολυωνύμου p(x). Επιπλέον είναι ένα-προς-ένα και επί επειδή ο πρώτος χώρος έχει διάσταση n και ο δεύτερος το πολύ n. Έτσι η γ είναι ισομορφισμός. 24 Ορισμός 2.1.5. Έστω K L μία επέκταση σώματος. Δύο στοιχεία l 1, l 2 L είναι συζυγή

Κατηγορική Θεωρία Galois επί του K όταν αυτά τα στοιχεία είναι αλγεβρικά επί του K και έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυμο. Σε αυτό το σημείο παραθέτουμε ένα παράδειγμα συζυγών μιγαδικών αριθμών. Παράδειγμα 2.1.6. Θεωρούμε την επέκταση R C. Για κάθε μιγαδικό αριθμό l = a + bi ο οποίος δεν είναι πραγματικός αριθμός, δηλαδή b 0, έχουμε ότι p(x) = (X (a + bi))(x (a bi)) = X 2 2aX + (a 2 + b 2 ) R[X] το οποίο είναι ανάγωγο πολυώνυμο επί του R καθώς είναι γινόμενο δύο πολυωνύμων επί του R[X]. Παρατηρούμε ότι ο βαθμός του πολυωνύμου p(x) είναι 2 και είναι ο ελάχιστος επί του R[X] με p(a + bi) = 0 καθώς a + bi δεν είναι πραγματικός αριθμός (αφού b 0). Παρατηρούμε επίσης ότι p(a bi) = 0 με a bi να μην είναι πραγματικός αριθμός (αφού b 0). Επιπλέον το p(x) είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του a + bi και του a bi. Άρα a + bi, a bi είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί επί του R. Ορισμός 2.1.7. Έστω K L μία επέκταση σώματος. Ένας ομομορφισμός σώματος f : L L καλείται K-ομομορφισμός όταν κρατάει σταθερά όλα τα στοιχεία του K. Δηλαδή f(k) = k για κάθε k K. Πρόταση 2.1.8. Έστω K L μία αλγεβρική επέκταση σώματος. Τότε κάθε K-ενδομορφισμός του L είναι απαραίτητα ένας αυτομορφισμός. Γράφουμε Aut K (L) για την ομάδα των K- αυτομορφισμών επί του L. Απόδειξη: Θεωρούμε l L με ελάχιστο πολυώνυμο p(x) επί του K. Για κάθε K- ενδομορφισμό f : L L έχουμε ότι p(f(l)) = f(p(l)) = f(0) = 0 το οποίο αποδεικνύει ότι το f(l) είναι συζυγές του l επί του K. Τότε η f επεκτείνει την απεικόνιση f l : {l L p(l ) = 0} {l L p(l ) = 0}, l f(l ). 25

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη Το σύνολο στο οποίο δρά η f l είναι πεπερασμένο και είναι το σύνολο των ριζών του p(x) επί του L. Η απεικόνιση f είναι ένα-προς-ένα, ως ομομορφισμός σωμάτων, και η κάθε f l είναι επιπλέον και επί, επειδή το συνολό μας είναι πεπερασμένο. Ειδικότερα, l = f l (l ) = f(l ) για l συζυγές του l, που αποδεικνύει ότι η f είναι επί. 2.2 Διαχωρίσιμες επεκτάσεις Έστω πολυώνυμο p(x) = a n X n + a n 1 X n 1 +... + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 επί του K[X]. Η παράγωγος αυτού του πολυωνύμου είναι το πολυώνυμο p (X) = na n X n 1 + (n 1)a n 1 X n 2 +... + 2a 2 X + a 1 Ο κλασικός τύπος της παραγώγου του αθροίσματος και του γινομένου ισχύει για τα πολυώνυμα πάνω σε ένα αυθαίρετο σώμα. Δηλαδη αν έχουμε τα πολυώνυμα p 1 (X) και p 2 (X) τότε (p 1 (X) + p 2 (X)) = p 1(X) + p 2(X) (p 1 (X)p 2 (X)) = p 1(X)p 2 (X) + p 1 (X)p 2(X) Παρατήρηση 2.2.1. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, όταν a n 0, το πολυώνυμο p(x) έχει βαθμό n. Ο αντίστοιχος συντελεστής na n του πολυωνύμου p (X) μηδενίζεται όταν n = 0 επί του K και αυτό συμβαίνει όταν η χαρακτηριστική του K διαιρεί το n. Το p (X) έχει βαθμό n 1 αν και μόνο αν, η χαρακτηριστική του επί του K δεν διαιρεί το n. Εδώ οι εκθέτες του πολυωνύμου επί του K[X] είναι φυσικοί αριθμοί και όχι στοιχεία του K. Υπολογίζοντας την παράγωγο, ο εκθέτης n ο οποίος είναι φυσικός αριθμός εισάγει τους συντελεστές της παραγώγου στη μορφή 1 + 1 +... + 1 (n φορές), 1 K, και το οποίο είναι στοιχείο του K, μπορεί και 0. 26

Κατηγορική Θεωρία Galois Πρόταση 2.2.2. Έστω ένα σώμα K, α K ένα στοιχείο και p(x) K[X] πολυώνυμο. Οι ακόλουθες δύο συνθήκες είναι ισοδύναμες: i) α είναι μία πολλαπλή ρίζα του p(x), ii) p(α) = 0 και p (α) = 0. Απόδειξη: Έστω ότι ισχύει η i) συνθήκη. Δηλαδή το α είναι μία πολλαπλή ρίζα του p(x). Μπορούμε να γράψουμε το p(x) ως p(x) = (X α) k q(x) δεδομένου οτι το α είναι πολλαπλή ρίζα με k 2. Άρα παραγωγίζοντας το p(x) έχουμε p (X) = k(x α) k 1 q(x) + (X α) k q (X). Αφού k 2 τότε k 1 1, έχουμε p (α) = 0. Ισχύει και ότι p(α) = 0. Άρα αποδείξαμε ότι i) ii). Αντίστροφα, έστω ότι ισχύει η ii) συνθήκη. Δηλαδή ότι p(α) = 0 και p (α) = 0. Τότε μπορούμε να γράψουμε το p(x) ως p(x) = (X α)q(x) με το α να είναι ρίζα του p(x). Τότε p (X) = q(x) + (X α)q (X). Αν αντικαταστήσουμε όπου X το α έχουμε ότι p (α) = q(α)+(α α)q (α) άρα q(α) = 0 δεδομένου ότι ισχύει η ii). Άρα q(x) = (X α)s(x) οπότε p(x) = (X α) 2 s(x) δηλαδή το α είναι μία πολλαπλή ρίζα του p(x). Οπότε αποδείξαμε ότι ii) i). Ορισμός 2.2.3. Μία επέκταση σώματος K L είναι διαχωρίσιμη όταν: i) η επέκταση είναι αλγεβρική, ii) οι ρίζες του ελαχίστου πολυωνύμου του l L είναι απλές. Πρόταση 2.2.4. Έστω K L μία επέκταση με χαρακτηριστική 0. Αν το l L είναι αλγεβρικό στοιχείο επί του K, όλες οι ρίζες του ελαχίστου πολυωνύμου του l επί του K είναι απλές. 27

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη Απόδειξη: Έστω p(x) το ελάχιστο πολυώνυμο του l. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι l είναι μία απλή ρίζα του p(x). Αν l είναι μία πολλαπλή ρίζα του p(x), τότε το p(x) έχει βαθμό τουλάχιστον 2 και p (l) = 0 από την Πρόταση 2.2.2 και το p (X) πολυώνυμο θα έχει βαθμό τουλάχιστον 1 σύμφωνα με την Παρατήρηση 2.2.1, εξ αιτίας του ότι η χαρακτηριστική του σώματος είναι 0. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τη συνθήκη ότι το p(x) είναι ελάχιστο πολυώνυμο. Συνεπώς το l είναι μία απλή ρίζα του p(x). Πόρισμα 2.2.5. Σε περιοχές με χαρακτηριστική 0, κάθε αλγεβρική επέκταση είναι διαχωρίσιμη. Πρόταση 2.2.6. Έστω K M L μία επέκταση σώματος. Εαν K L είναι διαχωρίσιμη επέκταση, τότε και η M L είναι επίσης διαχωρίσιμη επέκταση. Απόδειξη: Προφανώς η M L είναι αλγεβρική επέκταση αφού για κάθε l L υπάρχει ένα πολυώνυμο με συντελεστές από το K L, έστω p(x), τέτοιο ώστε p(l) = 0. Αν p(x) είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του l επί του K και q(x) είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του l επί του M, τότε αφού το l είναι ρίζα και των δύο πολυωνύμων και p(x) K[X] M[X] πρέπει q(x) p(x) επί του K[X]. Άρα αν το l είναι πολλαπλή ρίζα του q(x), τότε θα είναι και πολλαπλή ρίζα του p(x), το οποίο είναι άτοπο καθώς η K L είναι διαχωρίσιμη, δηλαδή οι ρίζες του ελαχίστου πολυωνύμου πρέπει να είναι απλές εξ ορισμού. Άρα l είναι απλή ρίζα του q(x). Οπότε η M L επέκταση είναι διαχωρίσιμη. 2.3 Κανονικές επεκτάσεις Ορισμός 2.3.1. Μία επέκταση σώματος K L είναι κανονική όταν: i) η επέκταση είναι αλγεβρική, ii) για κάθε στοιχείο l L, το ελάχιστο πολυώνυμο του l επί του K εκφράζεται επί του L[X] ως γινόμενο πρωτοβαθμίων πολυωνύμων. Μία αλγεβρική επέκταση σώματος K L με L αλγεβρικά κλειστό σώμα είναι απαραίτητα κανονική. Υπενθυμίζουμε ότι αλγεβρικά κλειστό σώμα επί του σώματος K είναι αυτό το οποίο κάθε μη σταθερό πολυώνυμο επί του K[X] έχει μία ρίζα επί του K. 28

Κατηγορική Θεωρία Galois Πρόταση 2.3.2. Έστω K M L μία επέκταση σώματος. Εάν K L είναι κανονική επέκταση τότε και η M L είναι επίσης κανονική επέκταση. Απόδειξη: Η επέκταση M L είναι αλγεβρική αφού για κάθε l L υπάρχει p(x) τέτοιο ώστε p(l) = 0 και οι συντελεστές του p(x) είναι στο K M. Αν p(x) είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του l επί του K και q(x) το ελάχιστο πολυώνυμο του l επί του M, τότε αφού το l είναι ρίζα και των δύο πολυώνυμων p(x) K[X] M[X] πρέπει q(x) p(x) επί του M[X]. Άρα το q(x) εκφράζεται επί του L[X] ως γινόμενο πρωτοβαθμίων πολυωνύμων, όπως επίσης και το p(x). Άρα η M L είναι κανονική επέκταση. Πρόταση 2.3.3. Έστω K L μία κανονική επέκταση πεπερασμένου βαθμού. Για κάθε ενδιάμεση επέκταση K M L κάθε K-ομομορφισμός M L επεκτείνεται σε έναν K-αυτομορφισμό του L. Απόδειξη: Θεωρούμε μία ενδιάμεση επέκταση K N L και f έναν K-ομομορφισμό με f : N L: K N L f K L L Αρχικά θέλουμε να αποδείξουμε ότι ο f επεκτείνεται σε έναν K-ομομορφισμό N(l) L για οποιοδήποτε l L. Όταν N = L τότε η πρόταση μας ισχύει. Διαφορετικά, όταν N L, l L και l N θεωρούμε το ελάχιστο πολυώνυμο p(x) του l επί του K. Η [L : N] είναι πεπερασμένη, άρα από την Πρόταση 2.1.2 η N L είναι αλγεβρική επέκταση. Αν q(x) είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του l επί του N έχουμε ότι q(x) p(x) και αφού το p(x) αναλύεται σε πρωτοβάθμιους παράγοντες επί του L[X] το ίδιο συμβαίνει και με το q(x). Από την άλλη πλευρά, από τον ομομορφισμό f, μπορούμε να πάρουμε έναν ομομορφισμό δακτυλίων f : N[X] L[X] 29

Αικατερίνη Π. Καραβασίλη ο οποίος επεκτείνει τον f. Καθώς το πολυώνυμο q(x) διαιρεί το p(x) επί του N[X] και από το γεγονός ότι ο f είναι ένας ομομορφισμός δακτυλίων, έχουμε ότι f(q(x)) f(p(x)) επί του L[X]. Όμως f(p(x)) = p(x) καθώς ο f είναι ένας K-ομομορφισμός. Επίσης, δεδομένου ότι το πολυώνυμο p(x) εκφράζεται επί του L ως γινόμενο πρωτοβαθμίων πολυωνύμων, το ίδιο ισχύει και για το f(q(x)). Επιλέγουμε μία ρίζα l του f(q(x)) επί του L. Έτσι f(q(x)) ανήκει στο ιδεώδες του L[X] το οποίο παράγεται από το X l. Από την Πρόταση 2.1.4 έχουμε τον εξής K-ομομορφισμό N(l) = N[X] < q(x) > f ο οποίος επεκτείνει τον f K-ομομορφισμό. L[X] < X l > = L(l ) = L Επανερχόμαστε στην υπόθεση που κάναμε στην αρχή της απόδειξης και θεωρούμε τώρα ότι N = M. Συνεπώς, έχουμε μία K-επέκταση M(l) L. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία με N = M(l). Μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι N = L και αυτό γιατί [L : K] είναι πεπερασμένη. Πρόταση 2.3.4. Έστω K L μία κανονική επέκταση πεπερασμένου βαθμού. Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες. i) τα στοιχεία l 1, l 2 είναι συζυγή επί του K, ii) υπάρχει ένας K-αυτομορφισμός f : L L τέτοιος ώστε f(l 1 ) = l 2. Απόδειξη: Έστω ότι ισχύει η i) συνθήκη, δηλαδή ότι τα στοιχεία l 1, l 2 είναι συζυγή επί του K. Θεωρούμε το ελάχιστο πολυώνυμο p(x) των l 1, l 2. Εφαρμόζοντας την προηγούμενη πρόταση (Πρόταση 2.1.4) δύο φορές έχουμε έναν K-ισομορφισμό K(l 1 ) = K[X] < p(x) = K(l 2 ) ο οποίος απεικονίζει το l 1 στο l 2,. Από την Πρόταση 2.3.3 ο K-ισομορφισμός που έχουμε επεκτείνεται σε έναν K-αυτομορφισμό επί του L ο οποίος εξακολουθεί να απεικονίζει το l 1 στο l 2. Άρα υπάρχει ένας K-αυτομορφισμός f : L L τέτοιος ώστε f(l 1 ) = l 2. Άρα αποδείξαμε ότι i) ii). 30

Κατηγορική Θεωρία Galois Αντίστροφα τώρα, έστω ότι έχουμε έναν K-αυτομορφισμό f : L L τέτοιον ώστε f(l 1 ) = l 2. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι τα στοιχεία l 1, l 2 είναι συζυγή επί του K. Έστω ότι έχουμε p(x) το ελάχιστο πολυώνυμο του l 1 επί του K. Καθώς f είναι ένας ομομορφισμός έχουμε ότι p(l 2 ) = p(f(l 1 )) = f(p(l 1 )) = f(0) = 0. Αφού το p(x) είναι ανάγωγο, το p(x) είναι και το ελάχιστο πολυώνυμο του l 2, οπότε από τον Ορισμό 2.1.5 τα l 1, l 2 είναι συζυγή. Οπότε αποδείξαμε ότι ii) i). 2.4 Galois επεκτάσεις Ορισμός 2.4.1. Μία επέκταση σώματος K L είναι επέκταση Galois όταν είναι κανονική και διαχωρίσιμη. Η ομάδα Aut K (L) των K-αυτομορφισμών επί του L καλείται ομάδα Galois της επέκτασης K L και συμβολίζεται με Gal[L : K]. Πρόταση 2.4.2. Ας είναι K M L διαδοχικές επεκτάσεις σωμάτων. Αν K L είναι επέκταση Galois τότε και η M L είναι επέκταση Galois. Απόδειξη: Από τον ορισμό της επέκτασης Galois (Ορισμός 2.4.1) γνωρίζουμε ότι μία επέκταση είναι επέκταση Galois όταν είναι κανονική και διαχωρίσιμη. Από την Πρόταση 2.2.6 και την Πρόταση 2.3.2 προκύπτει το ζητούμενο. Σε αυτό το σημείο θα δούμε κάποιες παρατηρήσεις και μερικές κατασκευές που θα μας φανούν χρήσιμες στη συνέχεια. Έστω K L μία επέκταση Galois. Αν μας δωθεί μία ενδιάμεση επέκταση K M L τότε από την Πρόταση 2.4.2 έχουμε ότι αν K L είναι επέκταση Galois, τότε και η M L είναι επέκταση Galois. Άρα για την επέκταση M L, αφού είναι επέκταση Galois, γράφουμε Gal[L : M] = Aut M (L), η οποία είναι η ομάδα αυτομορφισμών επί του L όπου τα στοιχεία του M μένουν σταθερά. 31