Oµογενής ράβδος Γ, βάρους w και µήκους L, είναι αρθρωµένη στο ένα άκρο της όπως φαίνεται στο σχήµα (), ενώ το άλλο άκρο της είναι δεµένο σε νήµα που διέρχεται από µικρή ακίνητη τροχαλία O, η οποία βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφη διεύθυνση που διέρχεται από το σηµείο της ράβδου και βρίσκεται σε απόσταση L πάνω από αυτό. Στο ελεύθερο άκρο του νήµατος δένε ται σφαιρίδιο βάρους w '= w /. i) Nα καθορίσετε την τιµή της γωνίας φ, για την οποία η ράβδος Γ ισορροπεί. ii) ii) Nα καθορίσετε το είδος της ισορροπίας της ράβδου. ΛYΣH: i) Eπί της ράβδου Γ ενεργεί το βάρος της w, η δύναµη T από το νήµα, κατά µέτρο ίση µε το βάρος w ' του σφαιριδίου και τέλος η δύναµη R από την άρθρωση. Λόγω της ισορροπίας της ράβδου πρέπει οι φορείς των τριών αυτών δυνάµεων να διέρχονται από το ίδιο σηµείο, που στην περίπτω Σχήµα σή µας είναι το µέσον M του νήµατος OΓ. Όµως το τρίγωνο OΓ είναι ισοσκελές, οπότε η διάµεσός του M θα είναι διχοτόµος και ύψος αυτού.
Eξάλλου, πρέπει το άθροισµα των ροπών όλων των δυνάµεων που δέχεται η ράβδος Γ, περί το άκρο της, να είναι µηδέν, δηλαδή πρέπει να ισχύει: w(l/)ηµφ - T(M) = 0 w(l/)ηµφ = w'lσυν(φ/) w ηµ(φ/)συν(φ/) = w συν(φ/) ηµ(φ/) = / φ/ = π/6 φ = π/3 ii) Eστω ότι η ράβδος Γ αποµακρύνεται από την θέση ισορροπίας της, ώστε η γωνία φ ν αυξάνεται. Tότε η ροπή του βάρους w της ράβδου, περί το άκρο, αυξάνεται ενώ η ροπή της τάσεως T του νήµατος ελαττώνεται, δηλαδή δηµιουργείται συνισταµένη ροπή επί της ράβδου που τείνει να την αποµακρύ νει ακόµη περισσότερο από την θέση ισορροπίας της. ς υποθέσουµε ακόµη ότι, η ράβδος Γ αποµακρύνεται από την θέση ισορροπίας της ώστε η γωνία φ να ελαττώνεται. Tότε η ροπή της T, περί το άκρο αυξάνεται, ενώ η αντίστοιχη ροπή του βάρους w ελαττώνεται, δηλαδή δηµιουργείται πάλι επί της ράβδου συνισταµένη ροπή, η οποία τείνει να την αποµακρύνει ακόµη περισσότερο από την θέση ισορροπίας της. Mε βάση τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι η ισορροπία της ράβδου είναι ασταθής. P.M. fysikos Στην κεντρική περιοχή του κυλινδρικού κορµού (τυµπάνου) ενός καρουλιού (κουβαρίστρας) µάζας m έχει περιτυλιχ θεί αβαρές και µη εκτατό νήµα, του οποίου το ελεύθερο άκρο είναι στερεωµένο σε ακλόνητο σηµείο Α όπως φαίνεται στο σχήµα (). Το καρούλι κάποια στιγµή αφήνεται επί λείου κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ=π/3 ως προς τον ορίζοντα, µε το νήµα παράλληλο προς το επίπεδο. i) Εάν η αντοχή θραύσεως του νήµατος είναι ίση µε το µισό του µέτ ρου του βάρους του καρουλιού, να βρεθεί η ελάχιστη τιµή του λόγου r/r ώστε το νήµα να µη σπάει όταν το καρούλι αφήνεται να κινηθεί πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο, όπου r η ακτίνα του τυµπάνου του καρουλιού και R η ακτίνα των κυκλικών του βάσεων (R>r). ii) Nα βρείτε την επιτάχυνση των σηµείων επαφής του καρουλιού µε το κεκλιµένο επίπεδο, σε συνάρτηση µε τον χρόνο κίνησής του. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mrR του καρουλιού ως προς τον γεωµε τρικό του άξονα και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Tο καρούλι κατά την κίνησή του πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο δέχε ται το βάρος του w που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπ εδο συνιστώσα w και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w, την τάση T του
νήµατος της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς το κεκλιµένο επίπεδο και τέλος την κάθετη αντίδραση N επί των κυκλικών του βάσεων που είναι σε επαφή µε το λείο κεκλιµένο επιπέδο (σχ. ). Υπό την επίδραση των δυνάµεων αυτών το καρούλι εκτελεί επίπεδη κίνηση της οποίας η µεν περιστροφική συνι στώσα σχετίζεται µε την ροπή της T περί τον γεωµετρικό του άξονα, η δε µετα φορική της συνιστώσα καθορίζεται από τις δυνάµεις T και w. Εφαρµόζοντας για την µεταφορική συνιστώσα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα και για την περιστροφική συνιστώσα τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρ νουµε την σχέσεις: w - T = ma# Tr = I " mgµ" - T = ma & Tr = mrr # ' T = mgµ" - ma & T = mr # ' () Σχήµα όπου a η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του καρουλιού κατά την τυχαία στιγ µή t και ' η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής του. Συνδυάζοντας µεταξύ τους τις σχέσεις () παίρνουµε: mgµ" - ma = mr # gµ" = a +R # () Όµως κάθε στιγµή κατά την διεύθυνση του νήµατος η επιτάχυνση του σηµείου επαφής Α του καρουλιού µε το νήµα είναι µηδενική και αυτό µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση a-ω r=0 µε αποτέλεσµα η () να γράφεται: gµ" = r # +R # " = g#µ r +R (3) πό την (3) προκύπτει ότι η περιστροφή του καρουλιού είναι οµαλά επιταχυ νόµενη και λόγω της a=ω r θα είναι οµαλά επιταχυνόµενη και η µεταφορική του κίνηση. Συνδυάζοντας την (3) µε την δεύτερη εκ των () έχουµε:
T = mgrµ" r +R = mgrµ(# / 3) r +R = mgr 3 r +R ( ) (4) Για να µη σπάει το νήµα όταν το καρούλι αφήνεται ελεύθερο πρέπει να ισχύει: T mg ( 4) mgr 3 ( r +R) mg R 3 r +R R 3 r +R R( 3 -) r r R 3 - r # = 3 - (5) " R min ii) H επιτάχυνση a των σηµείων επαφής Β του καρουλιού µε το κεκλιµένο επίπεδο θα προκύψει από την σύνθεση της επιτάχυνσής του a λόγω της µετα φορικής συνιστώσας της κίνησής του καρουλιού, της επιτρόχιας επιτάχυνσης a και της κεντροµόλου επιτάχυνσής του a λόγω της περιστροφικής του συνιστώσας (σχ. ), δηλαδή θα έχουµε: a = a + a + a " a = a i +a i +a " j a = a i + " R i +" R j (6) όπου η γωνιακή ταχύτητα του καρουλιού την στιγµή t που το εξετάζουµε και i, j τα µοναδιαία διανύσµατα κατά την διεύθυνση κίνησης του γεωµετρι κού άξονα του καρουλιού και κατά την κάθετη προς αυτήν διεύθυνση αντιστοί χως. Όµως έχουµε τις σχέσεις: a = " r # (3) a = grµ r +R, " R = gr#µ r +R και R = " t R # (3) & R = gµ ( ' r +R) οπότε η (6) παίρνει την µορφή: a = grµ" i + grµ" # i + gµ" r +R r +R r +R a = gµ # " ' g 3 i + & r +R µ # " * ) ( 3&, + & Rt Rt j Rt j
a = g 3 i + 3Rg t 4( r +R) g 3 j = # i + 3Rgt " r +R j ( ) & P.M. fysikos Mια λεπτή ράβδος, µήκους L και µάζας m, µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της O. ρχι κά η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορ ροπίας της και κάποια στιγµή προσκρούει σ αυτήν και ενσωµατατώ νεται βληµα που κινείται οριζοντίως σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής της ράβδου και σε απόσταση x από το άκρο της Ο. i) Εάν P είναι η ορµή του βλήµατος και η µάζα του είναι πολύ µικρή σε σχέση µε την µάζα της ράβδου, να εκφράσετε σε συνάρτηση µε την απόσταση x την γωνιακή ταχύτητα που θα αποκτήσει η ράβδος αµέ σως µετά την κρούση, η οποία διαρκεί πολύ µικρό χρόνο. ii) Να βρείτε για ποιά τιµή της απόστασης x η οριζόντια συνιστώσα της αντίδρασης του άξονα περιστροφής της ράβδου είναι µηδενική, στην διάρκεια της κρούσεως. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mL /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. ΛYΣH: i) Εξετάζοντας το σύστηµα βλήµα-ράβδος στην διαρκεια του πολύ µικρού χρόνου Δt εισχώρησης του βλήµατος, παρατηρούµε ότι οι εξωτερικές δύνάµεις που δέχεται το σύστηµα είναι το βάρος της ράβδου, το βάρος του βλήµατος και η αντίδραση του άξονα περιστροφής. Επειδή οι φορείς των τριών αυτών δυνάµεων διέρχονται από το Ο οι ροπές τους περί το Ο είναι µηδενικές Σχήµα 3 που σηµαίνει ότι η στροφορµή του συστήµατος περί το Ο δεν µεταβάλλεται κατά τον χρόνο Δt, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση:
(( ) (( ) L " # &' =L )µ"*+, µ-.# m v x + 0 = ( I+m x ) Px = ( ml /3+m x ) () όπου η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αµέσως µετά την εισχώρηση του βλή µατος, m β η µάζα του βλήµατος και v η ταχύτητά του την στιγµή που έρχεται σε επαφή µε την ράβδο. Όµως είναι m β <<m, οπότε η σχέση () µε ικανοποι ητική προσέγγιση γράφεται: Px ml /3 3Px/mL () ii) Eάν F x είναι η οριζόντια συνιστώσα της αντίδρασης του άξονα περιστροφής της ράβδου και F η µέση δύναµη κρούσεως από το βλήµα κατά τον χρόνο Δt, τότε εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας C της ράβδου κατά την οριζόντια διεύθυνση τον γενικευµένο νόµο του Νεύτωνα, έχουµε την σχέση: P C /t = F " +F x mv C = F "t+f x "t ml/ = F " #t+f x #t (3) Eφαρµόζοντας τον ίδιο νόµο για το βλήµα κατά τον χρόνο Δt έχουµε: P " /t = -F # m "x-p = -F # t όπου - F η µέση δύναµη κρούσεως που δέχεται το βλήµα από την ράβδο κατά τον χρονο Δt. Eπειδή η µάζα του βλήµατος είναι πολύ µικρή, η πιο πάνω σχέση µε καλή προσέγγιση παίρνει την µορφή: -P -F " #t P F " #t και η (3) γράφεται: m L () = P+F "t 3Px ml x ml = P+F 3Px t x L = P+F t (4) x Eάν απαιτήσουµε η δύναµη F x να είναι µηδενική στην διάρκεια του χρόνου Δt, τότε η (4) γράφεται: 3Px L = P x = L 3 P.M. fysikos
Ένα λεπτό δοκάρι µάζας m και σταθερής διατο µής σε όλο το µήκος του έχει τοποθετηθεί επί δύο κυλίνδρων (Α) και (Β) ίδιας µάζας m και ίδιας ακτίνας r, oι οποίοι µπορουν να περιστρέ φονται περί τους γεωµετρικούς τους άξονες που είναι ακλόνητοι, βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και είναι µεταξύ τους παράλλη λοι. Κάποια στιγµή εφαρµόζεται επι του δοκαριού δύναµη F της οποίας ο φορέας διευθύνεται κατά µήκος του δοκαριού. Nα βρείτε την ταχύτητα του δοκαριού όταν αυτό έχει µετατοπιστεί κατά S, στις εξής δύο περιπτώσεις: i) τo µέτρο της δύναµης F είναι F=4µmg και ii) τo µέτρο της δύναµης F είναι F=8µmg όπου µ ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ δοκαριού-κυλίνδρων και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. H ροπή αδράνειας κάθε κυλίνδ ρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι=mr /. ΛΥΣΗ: Ας δέχθούµε ότι το δοκάρι δεν ολισθαίνει επί των επιφανειών των κυλίνδρων (Α) και (Β). Τότε τα σηµεία επαφής των κυλίνδρων µε το δοκάρι θα έχουν επιτρόχια επιτάχυνση ίση µε την επιτάχυνση a της µεταφορικής κινή σεως του δοκαριού, δηλαδή θα ισχύουν οι σχέσεις: a = r " = r " () όπου ", " οι γωνιακές επιταχύνσεις των κυλίνδρων (Α) και (Β) αντιστοί Σχήµα 5 χως. Εστιάζοντας στo δοκάρι παρατηρούµε ότι αυτό κινείται οριζοντίως µε την επίδραση της δύναµης F, της δύναµης επαφής από τον κύλινδρο (Α) που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην τριβή T και τέλος την δύναµη επαφής από τον κύλινδρο (Β) που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην τριβή T. Εφαρµόζοντας για το δοκάρι τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα παίρνουµε την σχέση:
F - T - T = ma () Εξάλλου ο µεν δίσκος (Α) περιστρέφεται υπό την επίδραση της ροπής περί τον άξονά του της τριβής T που δέχεται από το δοκάρι, ο δε δίσκος (Β) περιστρέφε ται υπό την επίδραση της ροπής της αντίστοιχης τριβής T και µάλιστα ισχύ ουν T =- T και T =- T, λόγω του αξιώµατος ισότητας δράσης-αντίδρασης. Εφαρµόζοντας για τους δύο περιστρεφόµενους δίσκους τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε τις σχέσεις: r T = I " r T = I " # rt = r m " / rt = r m " / # () T = ma/ " T = ma/ # (3) Η σχέση () λόγω των (3) γράφεται: F - ma/ - ma/ = ma F = 3ma a = F/3m (4) Συνδυάζοντας την σχέση (4) µε τις (3) παίρνουµε: T = T = F/ 6 (5) Όµως εξ αρχής δεχθήκαµε ότι το δοκάρι δεν ολισθαίνει πάνω στις δύο κυλιν δρικές επιφάνειες, που σηµαίνει ότι οι τριβές T, T είναι στατικές, δηλαδή πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: T µn " # T µn ( 5) F/ 6 µn F/ 6 µn " # ( + ) F/ 3 µ ( N +N ) (6) Επειδή το δοκάρι έχει µόνο οριζόντια κίνηση θα ισχύει: N +N = mg µε αποτέλεσµα η (5) να γράφεται: F/ 3 µmg F 6µmg (7) Η (7) αποτελεί την αναγκαία συνθήκη για να µην ολισθαίνει το δοκάρι πάνω στους δύο κυλίνδρους. Διακρίνουµε τώρα τα εξής: i) Εάν το µέτρο της δύναµης F είναι F =4µmg η σχέση (7) ικανοποιείται, που σηµαίνει ότι το δοκάρι δεν ολισθαίνει, δηλαδή οι τριβές επί του συστήµατος είναι οι στατικές και για την επιτάχυνση του δοκαριού ισχύει η σχέση (4), η οποία γράφεται: a = F/3m = 4µmg/3m = 4µg/3 (8)
Από την (8) προκύπτει ότι η κίνηση του δοκαριού είναι οµαλά επιταχυνόµε νη, οπότε το µέτρο της ταχύτητάς του όταν έχει µετατοπιστεί κατά S είναι: v = as ( 8) v = 8µgS/3 (9) ii) Εάν το µέτρο της δύναµης F είναι F =8µmg η σχέση (7) δεν ικανοποιείται, που σηµαίνει ότι το δοκάρι ολισθαίνει επί των κυλίνδρων, δηλαδή oι τριβές είναι τριβές ολίσθησης η σχέση (4) δεν ισχύει, όµως ισχύει η () η οποία γράφε ται:. 8µmg - µn - µn = ma 8µmg - µ ( N +N ) = ma 8µmg - mgµ = ma a = 3µg (0) δηλαδή η κίνηση του δοκαριού είναι οµαλά επιταχυνόµενη και το µέτρο της ταχύτητάς του όταν µετατοπιστεί κατά S θα είναι: v = as (0) v = 6µgS () Παρατήρηση: Στην περίπτωση που το δοκάρι ολισθαίνει επί των κυλίνδρων, τότε για δεδοµέ νη δύναµη F που το µέτρο της δεν ικανοποιεί την (7) το µεν δοκάρι κινείται οριζοντίως µε σταθερή επιτάχυνση οι δε κύλινδροι περιστρέφονται µε µεταβαλ λόµενες γωνιακές επιταχύνσεις, διότι οι τριβές T, T που δέχονται µεταβάλ λονται στην διάρκεια της κίνησης του δοκαριού, καθόσον µεταβάλλονται οι κάθετες αντιδράσεις N, N και µόνο το άθροισµα των µέτρων τους µένει σταθερό και ίσο µε mg. Είναι προφανές ότι στην περίπτωση αυτή παράγεται θερµότητα λόγω τριβών, ενώ στην περίπτωση που το δοκάρι δεν ολισθαίνει επί των κυλίνδρων ( F 6µmg) δεν παράγεται θερµότητα. P.M. fysikos Πρισµατική ράβδος µάζας M, φέρεται σε επαφή µε δύο όµοιους κυλίνδρους που συγκρατούνται επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ=π/6 ως προς τον ορίζοντα, µε τους άξονές τους παράλληλους σε κάποια απόσταση, οι οποίοι διευθύνονται κάθετα προς την γραµµή µέγιστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου. i) Nα βρεθεί η δύναµη, η οποία πρέπει να εφαρµοσθεί κατά µήκος της πρισµατικής ράβδου, ώστε αυτή να ανέρχεται επί του κεκλιµένου επι πέδου µε επιτάχυνση µέτρου g/, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτη τας. ii) Eάν η τριβή µεταξύ των κυλίνδρων και του κεκλιµένου επιπέδου είναι αρκούντως µεγάλη ώστε να είναι απαγορευτική η ολίσθησή τους
επί του κεκλιµένου επιπέδου, να βρεθεί η ελάχιστη τιµή του συντε λεστή οριακής τριβής µεταξύ της πρισµατικής ράβδου και των κυλίν δρων, ώστε η ράβδος να µη ολισθήσει κατά την ανοδική της κίνηση. H ροπή αδράνειας κάθε κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I=mR /, όπου R η ακτίνα και m η µάζα του, οι δε κύλιν δροι κυλίονται χωρίς ολίσθηση τόσο πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο όσο και πάνω στο δοκάρι. ΛΥΣΗ: i) Η πρισµατική ράβδος εκτελεί ανοδική µεταφορική κίνηση κατά µήκος της γραµµής µέγιστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου υπό την επίδραση του βάρους της W, το οποίο αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα W και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα W, τις δυνάµεις επαφής από τους κυλίνδρους που αναλύονται στις στατικές τριβές Σχήµα 6 T, T αντίρροπες προς την κατεύθυνση κίνησής της και στις κάθετες αντιδρά σεις N, N και τέλος την ζητούµενη δύναµη F (σχ. 6). Εξάλλου κάθε κύλιν δρος δέχεται το βάρος του w που αναλύεται στην παράλληλη και στην κάθετη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w, w αντιστοίχως, τις δυνάµεις επα φής από την πρισµατική ράβδο που αναλύονται στις στατικές τριβές T, T αντίθετες των T, T αντιστοίχως (αξίωµα ισότητας δράσης-αντίδρασης) και στις κάθετες αντιδράσεις N, N αντίθετες των N, N αντιστοίχως και τέλος τις δυνάµεις επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο που αναλύονται στις στατικές τριβές f, f και στις κάθετες αντιδράσεις, (σχ. 7). Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση της πρισµατικής ράβδου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: F - W - T - T = Ma F - Mgµ ("/6) - T - T = Mg/ F - T - T = Mg/ +Mg/ F - T - T = Mg ()
όπου a η επιτάχυνση της ράβδου µε µέτρο g/. Επειδή οι κύλινδροι κυλίονται χωρίς ολίσθηση επί της ράβδου οι επιταχύνσεις των σηµείων επαφής τους µε την ράβδο κατά την διεύθυνση αυτής θα είναι ίσες µε a. Όµως οι κύλινδροι κυλίονται χωρίς ολίσθηση και πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο, οπότε οι επιτα χύνσεις των κέντρων µαζας τους θα είναι a /. Το γεγονός αυτό µας επιτρέπει για τους κυλίνδρους να γράψουµε τις σχέσεις: Σχήµα 7 T - w - f = ma " / # T - w - f = ma " / T - mgµ "/6 T - mgµ "/6 ( ) - f = mg/ 4 ( ) - f = mg/ 4 # T - f = mg/ 4 +mg/ " T - f = mg/ 4 +mg/# T - f = 3mg/ 4 " T - f = 3mg/ 4 # () Eξάλλου εφαρµόζοντας για την περιστροφική συνιστώσα της κίνησης κάθε κυλίνδρου τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης έχουµε: T R +f R = I " # T R +f R = I " T +f = m g/ 4 ( ) / ( ) / T +f = m g/ 4 T +f = mr " / # T +f = mr " / " T +f = mg/ 8 " # T +f = mg/ 8 # (3) Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις () παίρνουµε: ( T +T ) - ( f +f ) = 3mg/ (4) ενώ προσθέτοντας κατά µέλη τις (3) έχουµε: ( T +T ) + ( f +f ) = mg/ 4 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε:
( T +T ) = 7mg/ 4 T +T = 7mg/ 8 (6) H () λόγω της (6) γράφεται: F - 7mg/8 = Mg F = ( 8M+7m)g/ 8 (7) ii) Για να κυλίονται χωρίς ολίσθηση οι δύο κύλινδροι επί της πρισµατικής ράβδου κατά την ανοδική κίνηση της µε επιτάχυνση µέτρου g/, πρέπει τα µέτρα των τριβών T, T να δεσµέυονται µε τις σχέσεις: T " µ N # T " µ N ( + ) T + T " µ N + N ( ) T +T ( N +N ) ( 6) 7mg 8 µmg"# & ( ' 6) 7m 8 µm 3 µ 7 m 4 3 M µ = 7 min 4 3 m# " M όπου µ min η ζητούµενη ελάχιστη τιµή του συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ πρισµατικής ράβδου και κυλίνδρων. P.M. fysikos