Ο Νόµος της Ζήτησης και της Προσφοράς Ισορροπία Αγοράς Τεχνικές αριστοποίησης και σύγχρονα εργαλεία µάνατζµεντ 1
Ο Νόµος της Ζήτησης Μια µείωση στην τιµή ενός αγαθού, ενώ όλα τα άλλα µεγέθη παραµένουν ως έχουν, θα προκαλέσει µια αύξηση στη ζητούµενη ποσότητα του αγαθού. Μια αύξηση στην τιµή ενός αγαθού, ενώ όλα τα άλλα µεγέθη παραµένουν ως έχουν, θα προκαλέσει µια µείωση στη ζητούµενη ποσότητα του αγαθού. 2
Μεταβολή της ζητούµενης ποσότητας Τιµή P 1 Μια αύξηση της τιµής προκαλεί µια µείωση της ζητούµενης ποσότητας. P 0 Q 1 Q 0 Ποσότητα 3
Μεταβολή της ζητούµενης ποσότητας Τιµή Μια µείωση της τιµής προκαλεί µια αύξηση της ζητούµενης ποσότητας. P 0 P 1 Q 0 Q 1 Ποσότητα 4
Μεταβολές της ζήτησης Μεταβολή των προτιµήσεων των αγοραστών Μεταβολή των εισοδηµάτων των αγοραστών Κανονικά αγαθά Κατώτερα αγαθά Μεταβολή του πλήθους των αγοραστών Μεταβολή της τιµής των συναφών αγαθών Υποκατάστατα αγαθά Συµπληρωµατικά αγαθά 5
Μεταβολή της ζήτησης Τιµή Μια αύξηση της ζήτησης απεικονίζεται µε µια προς τα δεξιά µετατόπιση της αγοραίας καµπύλης ζήτησης. P 0 Q 0 Q 1 Ποσότητα 6
Μεταβολή της ζήτησης Τιµή Μια µείωση της ζήτησης απεικονίζεται µε µια προς τα αριστερά µετατόπιση της αγοραίας καµπύλης ζήτησης. P 0 Q 1 Q 0 Ποσότητα 7
Ο νόµος της προσφοράς Μια µείωση της τιµής ενός αγαθού, ενώ όλα τα άλλα µεγέθη παραµένουν ως έχουν, θα προκαλέσει µια µείωση της προσφερόµενης ποσότητας του αγαθού. Μια αύξηση της τιµής ενός αγαθού, ενώ όλα τα άλλα µεγέθη παραµένουν ως έχουν, θα προκαλέσει µια αύξηση της προσφερόµενης ποσότητας του αγαθού. 8
Μεταβολή της προσφερόµενης Τιµή P 0 ποσότητας Μια µείωση της τιµής προκαλεί µια µείωση της προσφερόµενης ποσότητας. P 1 Q 1 Q 0 Ποσότητα 9
Μεταβολή της προσφερόµενης ποσότητας Τιµή Μια αύξηση της τιµής προκαλεί µια αύξηση της προσφερόµενης ποσότητας P 1 P 0 Q 0 Q 1 Ποσότητα 10
Μεταβολές της προσφοράς Μεταβολή της τεχνολογίας παραγωγής Μεταβολή των τιµών των εισροών Μεταβολή του πλήθους των πωλητών 11
Μεταβολή της προσφοράς Τιµή Μια αύξηση της προσφοράς απεικονίζεται µε µια προς τα δεξιά µετατόπιση της αγοραίας καµπύλης προσφοράς. P 0 Q 0 Q 1 Ποσότητα 12
Μεταβολή της προσφοράς Τιµή Μια µείωση της προσφοράς απεικονίζεται µε µια προς τα αριστερά µετατόπιση της αγοραίας καµπύλης προσφοράς. P 0 Q 1 Q 0 Ποσότητα 13
Ισορροπία της αγοράς Η ισορροπία της αγοράς προσδιορίζεται στο σηµείο τοµής της αγοραίας καµπύλης ζήτησης και της αγοραίας καµπύλης προσφοράς.. Η τιµή ισορροπίας προκαλεί την εξίσωση της ζητούµενης µε την προσφερόµενη ποσότητα. 14
Ισορροπία της αγοράς Τιµή D S P Q Ποσότητα 15
Ισορροπία της αγοράς Τιµή P 1 D 0 D 1 S 0 Μια αύξηση της ζήτησης θα προκαλέσει αύξηση της τιµής και της ποσότητας ισορροπίας. P 0 Q 0 Q 1 Ποσότητα 16
Ισορροπία της αγοράς Τιµή D 1 P 0 D 0 S 0 Μια µείωση της ζήτησης θα προκαλέσει µείωση της τιµής και της ποσότητας ισορροπίας. P 1 Q 1 Q 0 Ποσότητα 17
Ισορροπία της αγοράς Τιµή D 0 S 0 S 1 P 0 P 1 Μια αύξηση της προσφοράς θα προκαλέσει µείωση της τιµής ισορροπίας της αγοράς και αύξηση της ποσότητας. Q 0 Q 1 Ποσότητα 18
Ισορροπία της αγοράς Τιµή D 0 S 1 S 0 P 1 P 0 Ποσότητα Q 1 Q 0 Μια µείωση της προσφοράς θα προκαλέσει αύξηση της τιµής ισορροπίας της αγοράς και µείωση της ποσότητας. 19
Τιµή ανά λίµπρα Εκατοµµύρια λίµπρες ετησίως ιάγραµµα 1-3 Η αγοραία καµπύλη ζήτησης αλουµινίου Η αγοραία καµπύλη ζήτησης αλουµινίου δείχνει ότι σε χαµηλότερες τιµές αλουµινίου οι αγοραστές αγοράζουν περισσότερη ποσότητα αλουµινίου. 20
Τιµή ανά λίµπρα Εκατοµµύρια λίµπρες ετησίως ιάγραµµα 1-4 Η αγοραία καµπύλη προσφοράς αλουµινίου Η αγοραία καµπύλη προσφοράς αλουµινίου δείχνει ότι σε υψηλότερες τιµές αλουµινίου οι πωλητές πωλούν περισσότερη ποσότητα αλουµινίου. 21
Πλεονάζουσα προσφορά Τιµ µή ανά λίµπρα Πλεονάζουσα ζήτηση Εκατοµµύρια λίµπρες ετησίως ιάγραµµα 1-5 Η τιµή ισορροπίας του αλουµινίου Η τιµή ισορροπίας του αλουµινίου είναι 1 δολάριο ανά λίµπρα και επιτυγχάνεται στο σηµείο τοµής της αγοραίας καµπύλης ζήτησης και της αγοραίας καµπύλης προσφοράς αλουµινίου. 22
Τιµή ανά λίµπρα Εκατοµµύρια λίµπρες ετησίως ιάγραµµα 1-6 Η επίπτωση µιας προς τα δεξιά µετατόπισης της καµπύλης ζήτησης αλουµινίου Μια προς τα δεξιά µετατόπιση της καµπύλης ζήτησης αλουµινίου οδηγεί σε µια αύξηση της τιµής ισορροπίας του αλουµινίου. 23
Τιµή ανά λίµπρα Εκατοµµύρια λίµπρες ετησίως ιάγραµµα 1-7 Η επίπτωση µιας προς τα δεξιά µετατόπισης της καµπύλης προσφοράς αλουµινίου Μια προς τα δεξιά µετατόπιση της καµπύλης προσφοράς αλουµινίου οδηγεί σε µια µείωση της τιµής ισορροπίας του αλουµινίου. 24
Τεχνικές αριστοποίησης Μέθοδοι για τη µεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση µιας αντικειµενικής συνάρτησης Παραδείγµατα Οι καταναλωτές µεγιστοποιούν τη χρησιµότητα αγοράζοντας έναν άριστο συνδυασµό αγαθών Οι επιχειρήσεις µεγιστοποιούν το κέρδος µε το να παράγουν και να πωλούν µια άριστη ποσότητα αγαθών Οι επιχειρήσεις ελαχιστοποιούν το κόστος παραγωγής τους χρησιµοποιώντας έναν άριστο συνδυασµό εισροών 25
Έκφραση των οικονοµικών σχέσεων Εξισώσεις: TR = 100Q - 10Q 2 Μη γραµµική σχέση Πίνακες: Q 0 1 2 3 4 5 6 TR 0 90 160 210 240 250 240 300 TR ιαγράµµατα: 250 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Q 26
Συνολικά, µέσα και οριακά έσοδα TR = PQ AR = TR/Q MR = TR/ Q Μια µεταβολή στο Q TR AR MR 0 0 - - 1 90 90 90 2 160 80 70 3 210 70 50 4 240 60 30 5 250 50 10 6 240 40-10 27
ΠΙΝΑΚΑΣ 2-1 Συνολικά έσοδα της επιχείρησης 28
ιάγραµµα 2-1 Η καµπύλη συνολικών εσόδων της επιχείρησης Η καµπύλη συνολικών εσόδων δείχνει τα συνολικά έσοδα (TR) της επιχείρησης για κάθε πωλούµενη ποσότητα (Q). Προκύπτει γραφικά µε απεικόνιση του Πίνακα τιµών 2-1 των συνολικών εσόδων. Παρατηρήστε ότι τα TRαυξάνονται µέχρι και Q=5 και στη συνέχεια µειώνονται. 29
Συνολικό, µέσο και οριακό κόστος Γιατί; AC = TC/Q MC = TC/ Q Μια µεταβολή στο Q TC AC MC 0 20 - - 1 140 140 120 2 160 80 20 3 180 60 20 4 240 60 60 5 480 96 240 30
ΠΙΝΑΚΑΣ 2-2 Συνολικό, µέσο και οριακό κόστος µιας επιχείρησης Και τα δύο µειώνονται αρχικώς και αυξάνονται µετά, αλλά το MC αυξάνεται πιο γρήγορα απ ότι το AC 31
ιάγραµµα 2-2 Καµπύλες συνολικού, µέσου και οριακού κόστους και η σχέση τους Το AC προκύπτει από την κλίση µιας ακτίνας που ξεκινάει από την αρχή των αξόνων και καταλήγει στην καµπύλη TC. Συνεπώς το ACµειώνεται µέχρι το σηµείο K (Q= 3,5) και αυξάνεται στη συνέχεια. Το MCπροκύπτει από την κλίση της καµπύλης TC. Συνεπώς το MCµειώνεται µέχρι το σηµείο Β (το σηµείο καµπής στο Q=2) και αυξάνεται στη συνέχεια. Όταν το MCείναι µικρότερο από το AC, το ACµειώνεται. Όταν το MCείναι 32 µεγαλύτερο από το AC, το AC αυξάνεται. MC=ACστο χαµηλότερο σηµείο της AC.
Γεωµετρικές σχέσεις Η κλίση της εφαπτοµένης σε κάθε σηµείο της συνολικής καµπύλης είναι ίση ή αντιπροσωπεύει την οριακή τιµή στο σηµείο αυτό Η κλίση της γραµµής που ξεκινάει από την αρχή των αξόνων και καταλήγει σε ένα σηµείο που βρίσκεται πάνω στη συνολική καµπύλη είναι ίση µε τη µέση τιµή στο σηµείο αυτό 33
Γεωµετρικές σχέσεις Μια οριακή τιµή είναι θετική, ίση µε το µηδέν ή αρνητική, αντίστοιχα, όταν µια συνολική καµπύλη έχει κλίση ανοδική,, είναι οριζόντια ή έχει καθοδική κλίση Μια οριακή τιµή είναι µεγαλύτερη, είναι ίση ή µικρότερη από µια µέση τιµή, αντίστοιχα, όταν η κλίση της µέσης καµπύλης είναι θετική, ίση µε το µηδέν ή αρνητική 34
TC = 10,65 + 0,94S TC = 182 + 56Q Γραµµική σχέση Σταθερό κόστος Οριακό κόστος Σταθερό Οριακό κόστος 35
56 ιάγραµµα 2-3 Καµπύλες TC, AC και MC του κλάδου χάλυβα στις ΗΠΑ Η καµπύλη συνολικού κόστους του κλάδου του χάλυβα στις ΗΠΑ κατά τη δεκαετία του 1930 εκτιµήθηκε ότι είναι γραµµική µε σταθερό κόστος 182 εκατοµµύρια δολάρια ετησίως. Συνεπώς το ACµειώνεται συνέχεια και το MCείναι σταθερό στο ύψος των 56 εκατοµµυρίων δολαρίων ανά επιπλέον εκατοµµύριο τόνους παραγόµενου χάλυβα (η κλίση της καµπύλης TC). 36
Μέγιστη TR µηδενική κλίση ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μέγιστη θετική διαφορά Σηµείο Καµπής Μέχρι το Β το MC µειώνεται ΜR =0 ΝΕΚΡΑ ΣΗΜΕΙΑ Μέγιστο Συνολικό καθαρό όφελος MR=MC (TC<TR) Μέγιστη Συνολική καθαρή ζηµιά MR=MC(TC>TR) ιάγραµµα 2-4 Η µεγιστοποίηση του κέρδους ως παράδειγµα αριστοποίησης Η επιχείρηση µεγιστοποιεί τα συνολικά κέρδη στο Q=3, όπου η θετική διαφορά ανάµεσα στα TRκαι το TC είναι η µέγιστη, MR=MCκαι η συνάρτηση π βρίσκεται στο υψηλότερο σηµείο της. 37
Μεγιστοποίηση του κέρδους Q TR TC Profit 0 0 20-20 1 90 140-50 2 160 160 0 3 210 180 30 4 240 240 0 5 250 480-230 π = TR - TC Ζηµιά - ελάχιστο νεκρό σηµείο µέγιστο νεκρό σηµείο 38
Στάδια της αριστοποίησης Μαθηµατικός προσδιορισµός µιας αντικειµενικής συνάρτησης ως συνάρτηση µιας ή περισσότερων µεταβλητών Προσδιορισµός ενός ή περισσότερων περιορισµών σχετικά µε τις τιµές που θα λαµβάνει η αντικειµενική συνάρτηση Προσδιορισµός των τιµών των µεταβλητών που µεγιστοποιούν ή ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση, ενώ ταυτόχρονα πληρούνται όλοι οι περιορισµοί 39
Επίπεδα ρύπανσης ιάγραµµα 2-5 Το άριστο επίπεδο ρύπανσης Η καµπύλη MC απεικονίζει το ανερχόµενο οριακό κόστος ή τη ζηµία για την κοινωνία λόγω αύξησης των επιπέδων ρύπανσης. Η καµπύλη ΜΒ απεικονίζει το φθίνον οριακό όφελος για τον ρυπαίνοντα (και για την κοινωνία) µε το να είναι ελεύθερος να απορρίπτει όλο και µεγαλύτερες ποσότητες αποβλήτων. Όταν δεν υπάρχει έλεγχος, η απόρριψη αποβλήτων θα συντελείται στο ύψος Α, όπου ΜΒ=0. Το άριστο επίπεδο απόρριψης αποβλήτων είναι Q*, όπου οι καµπύλες ΜΒ και MCτέµνονται και ισχύει MB=MC. 40
Αριστοποίηση υπό περιορισµούς Περιορισµοί Επιχειρήσεων: Παραγωγική δυναµικότητα ιαθεσιµότητα έµπειρων στελεχών ιαθεσιµότητα κρίσιµων πρώτων υλών Νοµικοί και περιβαλλοντικοί περιορισµοί Τεχνητοί περιορισµοί 41
42
Νέα εργαλεία µάνατζµεντ Συγκριτική προτυποποίηση (benchmarking) ιοίκηση Ολικής Ποιότητας Ανασχεδιασµός (reengineering) Μαθησιακός οργανισµός 43
Συγκριτική προτυποποίηση (benchmarking) Πως κάποιες άλλες επιχειρήσεις πραγµατοποιούν κάτι καλύτερα ή µε χαµηλότερο κόστος και πως η επιχείρηση µας µπορεί να αντιγράψει και να βελτιώσει την τεχνική τους; Η τεχνική της συγκριτικής προτυποποίησης οδηγεί στην βελτίωση της παραγωγικότητας και της ποιότητας των προϊόντων. Προϋποθέσεις τεχνικής: Επιλογή της διαδικασίας προς βελτίωση και των επιχειρήσεων στόχων Επίσκεψη των στελεχών της επιχείρησης στις επιχειρήσεις στόχους 44
Συγκριτική προτυποποίηση (benchmarking) Γρήγορη συγκριτική προτυποποίηση: Η επιχείρηση δεν αναζητεί γενικές βελτιώσεις των λειτουργιών της αλλά χρήσιµες οµοιότητες σε άλλες επιχειρήσεις που µπορεί να την βοηθήσουν στην επίλυση ειδικών προβληµάτων που αντιµετωπίζει. 45
ιοίκηση Ολικής Ποιότητας Η τεχνική της ιοίκησης Ολικής Ποιότητας αποσκοπεί στην µεγιστοποίηση της ποιότητας και την ελαχιστοποίηση του κόστους µε αποτέλεσµα την αύξηση της προσφερόµενης αξίας στους πελάτες. 46
ιοίκηση Ολικής Ποιότητας 5 είναι οι βασικοί κανόνες που ενισχύουν την εν λόγω τεχνική: Ο Γενικός ιευθυντής να ενθαρρύνει εµφανώς την τεχνική Τα αποτελέσµατα της τεχνικής να οδηγούν ξεκάθαρα σε οφέλη των πελατών και αύξηση της αξίας της επιχείρησης Η τεχνική πρέπει να απαντάει στο ερώτηµα «τι προσπαθεί να επιτύχει η επιχείρηση». Η τεχνική πρέπει να έχει γρήγορες οικονοµικές αποδόσεις και αποζηµιώσεις. Η τεχνική πρέπει να αφορά αποκλειστικά την επιχείρηση. 47
Ανασχεδιασµός (reengineering) Η τεχνική του ανασχεδιασµού απαντά στα παρακάτω ερωτήµατα: Αν η επιχείρηση σας ήταν µια εντελώς νέα επιχείρηση πως θα την οργανώνατε; Αν είχατε την δυνατότητα να ξεκινήσετε από την αρχή πως θα ενεργούσατε; Σε αντίθεση µε την τεχνική της διοίκησης ολικής ποιότητας όπου αναζητεί µεθόδους για να κάνει κάτι φθηνότερα, καλύτερα ή γρηγορότερα, η τεχνική του ανασχεδιασµού θέτει πρώτα το ερώτηµα αν πρέπει πρώτα να γίνει κάτι και ενδεχοµένως καταλήγει σε νεωτεριστικές λύσεις. 48
Ανασχεδιασµός (reengineering) Λόγοι για ανασχεδιασµό: Ο ανταγωνιστής µπορεί να προσφέρει νέα προϊόντα ή νέους µεθόδους επιχειρηµατικής δραστηριότητας που µπορούν να την βλάψουν Πλεονεξία της επιχείρησης αν θεωρεί ότι µε αυτό τον τρόπο θα αφανίσει τους ανταγωνιστές της. Επιχειρήσεις που αναζητούν τον ανασχεδιασµό: Χρηµατοοικονοµικές, τηλεπικοινωνιακές. 49
Ανασχεδιασµός (reengineering) Οριζόντιος ανασχεδιασµός: Παράδειγµα: Η ανάπτυξη ενός προϊόντος δεν βασίζεται σε πολλά τµήµατα (παραδοσιακού τύπου επιχείρηση), αλλά σε µια οµάδα στελεχών που χειρίζεται όλες τις πτυχές της εν λόγω ανάπτυξης. 50
Μαθησιακός οργανισµός Το ανταγωνιστικό πλεονέκτηµα προκύπτει από τη συνεχή µάθηση (Peter Senge). Συστατικά µαθησιακού οργανισµού: Τα άτοµα πρέπει να είναι διατεθειµένα να αλλάξουν ιδέες. Οι υπάλληλοι µιας επιχείρησης πρέπει να ακούνε τους άλλους και όχι να επιβάλλουν πάντα το δικό τους. Οι υπάλληλοι της επιχείρησης πρέπει να γνωρίζουν καλά πως λειτουργεί αυτή. Όλοι οι υπάλληλοι πρέπει να έχουν κοινό όραµα για αυτή. Μάθηση για όλους τους υπαλλήλους της επιχείρησης. 51
Άλλα εργαλεία µάνατζµεντ Ενιαίο µισθολογικό κλιµάκιο (broadbanding) Μοντέλο άµεσης συνεργασίας (εξαφάνιση ενδιάµεσων µεταξύ επιχείρησης και καταναλωτών π.χ., Dell) ικτύωση (ανάπτυξη συµµαχιών µε άλλες επιχειρήσεις) ιαχείριση της επίδοσης (επίτευξη στόχων απ όλους τους εµπλεκόµενους) Management ιαδικασίας [ο συντονισµός και ολοκλήρωση όλων των πρωτοβουλιών της επιχείρησης κάτω από µια οµπρέλα - Συγκριτική προτυποποίηση (benchmarking), ιοίκηση Ολικής Ποιότητας, Ανασχεδιασµός (reengineering), Μαθησιακός οργανισµός] 52
Άλλα εργαλεία µάνατζµεντ ύναµη καθορισµού τιµών (η δυνατότητα της επιχείρησης να καθορίζει την τιµή της) Υπόδειγµα µικρού κόσµου (η ιδέα ότι µια µεγάλη επιχείρηση µπορεί να λειτουργήσει ως µικρή για να βελτιωθεί η ροή των πληροφοριών και η αποτελεσµατικότητα της) Στρατηγική ανάπτυξη (η αξιολόγηση και η δράση πρέπει να βρίσκονται υπό συνεχή επανεξέταση) Εικονική ολοκλήρωση (η επιχείρηση συµπεριφέρεται σε προµηθευτές και πελάτες σαν να είναι µέρος της επιχείρησης µε αποτέλεσµα την µείωση των αποθεµάτων και καλύτερη διαχείριση της ζήτησης) Εικονικό µάνατζµεντ (εκτίµηση, µέσω της προσοµοίωσης, της συµπεριφοράς του καταναλωτή από τον µάνατζερ) 53
Παράρτηµα Κεφαλαίου 2 54
Κανόνες παραγώγισης Ο κανόνας της σταθερής συνάρτησης: Η παράγωγος µιας σταθερής συνάρτησης, Y = f(x) = a, είναι µηδέν για όλες τις τιµής του a (σταθερά). Y = f ( X ) = a dy dx = 0 55
Κανόνες παραγώγισης Ο κανόνας της εκθετικής συνάρτησης: Η παράγωγος µιας εκθετικής συνάρτησης, όπου a και b είναι σταθερές, ορίζεται ως εξής: b Y = f ( X ) = ax dy dx = b a X b 1 56
Κανόνες παραγώγισης Ο κανόνας των αθροισµάτων και των διαφορών: Η παράγωγος του αθροίσµατος ή της διαφοράς δύο συναρτήσεων,, U και V, ορίζεται ως εξής: U = g( X ) V = h( X ) dy du dv = ± dx dx dx Y = U± V 57
Κανόνες παραγώγισης Ο κανόνας παραγώγισης του γινοµένου: Η παράγωγος του γινοµένου δύο συναρτήσεων, U και V, ορίζεται ως εξής: U = g( X ) V = h( X ) Y = U V dy dv du = U + V dx dx dx 58
Κανόνες παραγώγισης Ο κανόνας του πηλίκου: Η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων, U και V, ορίζεται ως εξής: U = g( X ) V = h( X ) Y = ( du ) U( dv ) dy V = dx dx 2 dx V U V 59
Κανόνες παραγώγισης Ο κανόνας παραγώγισης της συνάρτησης άλλης συνάρτησης: Η παράγωγος µιας συνάρτησης που είναι συνάρτηση του Χ ορίζεται ως εξής: Y = f ( U ) U = dy dy du = dx du dx g( X ) 60
61
Αριστοποίηση συνάρτησης µιας µεταβλητής Με δεδοµένη την αντικειµενική συνάρτηση Y = f(x), βρείτε το Χ έτσι ώστε να ισχύει η σχέση dy/dx = 0 Κανόνες δεύτερης παραγώγου: Αν d 2 Y/dX 2 > 0, τότε το Χ είναι ελάχιστο. Αν d 2 Y/dX 2 < 0, τότε το Χ είναι µέγιστο. 62
Παράδειγµα 1 ίνεται TR = 100Q 10Q 2. Υπολογίστε την ποσότητα της εκροής (Q) που θα µεγιστοποιεί τα συνολικά έσοδα 63
Παράδειγµα 1 TR = 100Q 10Q 2 ΛΥΣΗ dtr/dq dq = 100 20Q = 0 Q* = 5 και d 2 TR/dQ 2 = -20 < 0 64
Παράδειγµα 2 ίνεται TR = 45Q 0.5Q 2. Υπολογίστε την ποσότητα της εκροής (Q) που θα µεγιστοποιεί τα συνολικά έσοδα 65
Παράδειγµα 2 TR = 45Q 0.5Q 2 dtr/dq dq = 45 Q = 0 ΛΥΣΗ Q* = 45 και d 2 TR/dQ 2 = -1 < 0 66
Παράδειγµα 3 ίνεται MC = 3Q 2 16Q + 57. Υπολογίστε την ποσότητα της εκροής (Q) που θα ελαχιστοποιεί το οριακό κόστος 67
Παράδειγµα 3 ΛΥΣΗ MC = 3Q 2 16Q + 57 dmc/dq dq = 6Q - 16 = 0 Q* = 2.67 και d 2 MC/dQ 2 = 6 > 0 68
Παράδειγµα 4 ίνονται οι σχέσεις: TR = 45Q 0.5Q 2 TC = Q 3 8Q 2 + 57Q + 2 Υπολογίστε το Q που µεγιστοποιεί το κέρδος (π): π = 45Q 0.5Q 2 (Q 3 8Q 2 + 57Q + 2) 69
Λύση 4 ου παραδείγµατος Μέθοδος 1η dπ/dq = 45 Q - 3Q 2 + 16Q 57 = 0-12 + 15Q - 3Q 2 = 0 Μέθοδος 2η MR = dtr/dq = 45 Q MC = dtc/dq = 3Q 2-16Q + 57 Θέτουµε MR = MC: 45 Q = 3Q 2-16Q + 57 Χρησιµοποιώντας τον τύπο επίλυσης δευτεροβάθµιων εξισώσεων παίρνουµε: : Q* = 4 70
Μαθηµατικός τύπος επίλυσης δευτεροβάθµιων εξισώσεων Γράφουµε την εξίσωση µε την παρακάτω µορφή: ax 2 + bx + c = 0 Οι λύσεις έχουν την εξής µορφή: ± 2 b b 4ac 2a 71
Πολυµεταβλητή αριστοποίηση Αντικειµενική συνάρτηση: Y = f(x 1, X 2,...,X k ) Βρείτε όλα τα X i ώστε να ισχύει η Y/ Y/ X i = 0 Μερική παράγωγος: Y/ Y/ X i = dy/dx i ενώ όλα τα X j (όπου j i) διατηρούνται σταθερά. 72
Παράδειγµα 5 Υπολογίστε τις τιµές του X και του Y που µεγιστοποιούν την παρακάτω συνάρτηση κερδών: π = 80X 2X 2 XY 3Y 2 + 100Y Λύση π/ X X = 80 4X Y = 0 π/ Y Y = -X 6Y + 100 = 0 Ταυτόχρονη επίλυση X = 16.52 and Y = 13.92 73
Αριστοποίηση υπό περιορισµούς Η µέθοδος της αντικατάστασης Αντικατάσταση των περιορισµών στην αντικειµενική συνάρτηση και στη συνέχεια µεγιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης Η µέθοδος του Lagrange Σχηµατισµός της συνάρτησης του Lagrange µε την άθροιση των µεταβλητών του Lagrange και των περιορισµών στην αντικειµενική συνάρτηση και στη συνέχεια µεγιστοποίηση της συνάρτησης του Lagrange 74
Παράδειγµα 6 Χρησιµοποίηση της µεθόδου της αντικατάστασης για τη µεγιστοποίηση της παρακάτω συνάρτησης κερδών: : π = 80X 2X 2 XY 3Y 2 + 100Y Υπό τον παρακάτω περιορισµό: X + Y = 12 75
Λύση 6 ου παραδείγµατος Αντικαθιστούµε την X = 12 Y στην εξίσωση του κέρδους: π = 80(12 Y) 2(12 Y) 2 (12 Y)Y 3Y 2 + 100Y π = 4Y 2 + 56Y + 672 Επιλύουµε ως συνάρτηση µε µία µεταβλητή: dπ/dy = 8Y + 56 = 0 Y = 7 και X = 5 76
Παράδειγµα 7 Χρησιµοποιούµε τη µέθοδο του Lagrange για να µεγιστοποιήσουµε την παρακάτω συνάρτηση κέρδους: : π = 80X 2X 2 XY 3Y 2 + 100Y Υπό τον εξής περιορισµό: X + Y = 12 77
Λύση του 7 ου παραδείγµατος Σχηµατίζουµε τη συνάρτηση του Lagrange L = 80X 2X 2 XY 3Y 2 + 100Y + (X + Y 12) Βρίσκουµε τις µερικές παραγώγους και επιλύουµε ταυτόχρονα dl/dx = 80 4X Y + = 0 dl/dy = X 6Y + 100 + = 0 dl/d = X + Y 12 = 0 Λύση: : X = 5, Y = 7, και = -53 78
Ερµηνεία του πολλαπλασιαστή λ του Lagrange Το λ είναι η παράγωγος της άριστης τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης ως προς τον περιορισµό Στο 7ο παράδειγµα: λ = -53 έτσι ώστε µία αύξηση κατά µία µονάδα της (µαθηµατικής) τιµής του περιορισµού (από 12 σε 11) θα προκαλέσει τη µείωση των κερδών κατά 53 µονάδες περίπου. Η πραγµατική µείωση είναι 66,5 µονάδες 79