Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Όταν μελετούμε έναν συγκεκριμένο μηχανισμό η μια φυσική διεργασία επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας στα φυσικά μεγέθη του μηχανισμού τα οποία μας ενδιαφέρει να παρακολουθούμε πως μεταβάλλονται. Τα φυσικά αυτά μεγέθη που είναι παράμετροι του μηχανισμού τα ονομάζουμε εξόδους. Οι μεταβολές στις εξόδους είναι η απόκριση στις μεταβολές κάποιων άλλων φυσικών μεγεθών στα οποία παρεμβαίνουμε εκ των έξω. Τα φυσικά μεγέθη τα οποία προκαλούν τις μεταβολές στις εξόδους τα οποία ονομάζομαι εισόδους. Το μηχανισμό αυτόν η οποιοδήποτε φυσική διεργασία στην οποία έχουμε καθορίσει τις εισόδους και εξόδους, το ονομάζουμε ΣΥΣΤΗΜΑ. Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι το σύστημα είναι στην πραγματικότητα ένα μοντέλό το οποίο καθορίζουμε «εμείς» και όχι κάτι που είναι αυθύπαρκτο. Το σύστήμα το καθορίζουμε τη στιγμή που ορίζουμε ποιες είναι οι είσοδοι και ποιες οι έξοδοι του. Με αυτή τη λογική μπορεί ο ίδιος «φυσικός» μηχανισμός να περιγραφεί με διάφορους τρόπους και ανάλογα με τις εισόδους και τις εξόδους που θα ορίσουμε να μας δώσει διαφορετικά συστήματα. Σε ένα σύστημα μπορεί να έχουμε πολλές εισόδους και πολλές εξόδους (σύστημα ΜΙΜΟ = Multiple Inputs Multiple Outputs), ή να αποτελεί ένα απλό σύστημα μια είσοδο και μία έξοδο (σύστημα SISO = Single Input Single Output). Ένα Σύστημα λέμε ότι το γνωρίζουμε πλήρως, όταν για κάθε μεταβολή της εισόδου που προκαλούμε σε αυτό, μπορούμε να βλέπουμε την απόκρισης της εξόδου. Αυτό μπορεί να γίνει αν έχουμε μπροστά μας το πραγματικό σύστημα του οποίου παρακολουθούμε τη συμπεριφορά. Για να μπορέσουμε να μελετήσουμε ένα σύστημα, να προβλέψουμε και να ελέγξουμε τη συμπεριφορά του πρέπει να μπορούμε να το περιγράψουμε με μαθηματικές εξισώσεις. Στην περίπτωση της μελέτης των συστημάτων μας ενδιαφέρει η δυναμική συμπεριφορά τους, δηλαδή πως μεταβάλετε η έξοδος αποκρινόμενη στις μεταβολές της εισόδου. Το μαθηματικό μοντέλο που μπορεί να περιγράψει δυναμικές καταστάσεις είναι οι διαφορικές εξισώσεις. Σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων με το οποίο περιγράφουμε ένα Σύστημα, οι συναρτήσεις των λύσεων (οι άγνωστες συναρτήσεις) είναι οι έξοδοι του συστήματος. Οι γνωστές συναρτήσεις στις διαφορικές εξισώσεις αποτελούν τις διεγέρσεις δηλαδή τις εισόδους του συστήματος. Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 14

Στα μαθηματικά υπάρχουν πάρα πολλές μορφές διαφορικών εξισώσεων, η πιο εύκολη από αυτές τις μορφές είναι η γραμμική διαφορική εξίσωση. Όταν η περιγραφή ενός συστήματος γίνεται με γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, τότε το ονομάζουμε γραμμικό σύστημα. Μέχρι και σήμερα όλη η τεχνολογία στηρίχθηκε στα γραμμικά συστήματα, αυτό σημαίνει ότι τα μαθηματικά μοντέλα που δημιουργούμε για να μελετήσουμε οτιδήποτε είναι γραμμικά. Όλα αυτά γιατί μέχρι και τη δεκαετία του 1990 η επίλυση ακόμα και των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ήταν μια πάρα πολύ δύσκολη υπόθεση. Βέβαια η «φύση» είναι κατά κανόνα «μη γραμμική», τα γραμμικά συστήματα αποτελούν μια εξαιρετικά χονδροειδή προσέγγιση της. Κι όμως η προσέγγιση αυτή εξυπηρέτησε την ανθρωπότητα και ακόμα εξυπηρετεί την επιστήμη στην αντιμετώπιση των καθημερινών τεχνολογικών αναγκών. Σήμερα η μελέτη των μη γραμμικών συστημάτων δημιούργησε μια νέα επιστήμη. Το μέλλον σίγουρα ανήκει στα μη γραμμικά συστήματα και τα γραμμικά θα είναι πια ένα μικρό υποσύνολό τους. Για να διευκολύνουμε τη μελέτη των συστημάτων και την πρακτική εφαρμογή τους οι διαφορικές εξισώσεις μετασχηματίζονται και γράφονται με διάφορους τρόπους, ώστε να εξυπηρετούν κάποιες μεθόδους και τεχνικές. Με αυτό τον τρόπο προκύπτουν τα διάφορα μαθηματικά μοντέλα των συστημάτων τα οποία έχουν αναπτυχθεί κατά καιρούς στη θεωρία των ΣΑΕ. Δυο από τα πιο παλιά μοντέλα είναι, η Συνάρτηση Μεταφοράς (Transfer Function) και η περιγραφή στο χώρο καταστάσεως (state space). Η Συνάρτηση Μεταφοράς Η γραμμική διαφορική εξίσωση έχει τη μορφή: a y( t) a y( t)... a y( t) x a y( t) f ( t) n ( n) ( n1) n1 1 0 Αρχικές συνθήκες = οι τιμές της αγνωστής συνάρτησης στην χρονική στιγμή 0 δηλαδή: y(0)... y y (1) (2) (0)... ( n1) (0)...... y (0)... Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 15

Σημείωση : Μια διαφορική εξίσωση για να έχει πρακτικό νόημα (δηλαδή η λύση της να παριστάνει τις μεταβολές της εξόδου ενός συστήματος) πρέπει να έχουμε ορίσει τις αρχικές συνθήκες. Χωρίς τις αρχικές συνθήκες ή λύση που προκύπτει είναι καθαρά μαθηματική (γενική λύση) και δεν έχει πρακτικό νόημα. Έστω ότι ένα σύστημα με μια είσοδο και μία έξοδο περιγράφεται από μία γραμμική διαφορική εξίσωση. Η έξοδος του συστήματος είναι λύση της διαφορικής ενώ η είσοδος η γνωστή συνάρτηση του δευτέρου μέλους. ΕΙΣΟΔΟΣ f(t) ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΞΟΔΟΣ y(t) Μετασχηματίζουμε την διαφορική εξίσωση κατά Laplace αλλά αφού θεωρήσουμε ότι οι αρχικές συνθήκες έχουν όλες μηδενική τιμή. Τότε σύμφωνα με τα μαθηματικά ισχύει για το μετασχηματισμό Laplace το εξής: Αν μία συνάρτηση y( t) έχει Μ.L. Y( s) τότε ισχύει: y ( n) n έχει Μ.L s Y( s) Αρά η μετασχηματισμένη κατά Laplace διαφορική εξίσωση γίνεται: n a s Y ( s) a s Y ( s)... a sy ( s) a F( s) n n 1 n1 1 0 Τι πετύχαμε; διώξαμε από την εξίσωση τις αντιπαθητικές παραγώγους μετασχηματίζοντας την εξίσωση από διαφορική σε αλγεβρική. Ορίζουμε σαν Συνάρτηση Μεταφοράς το μετασχηματισμό Laplace της εξόδου προς το Μετασχηματισμό της εισόδου του συστήματος. Συνάρτηση Μεταφοράς : H( s) Ys () Fs () Όπως γίνεται κατανοητό, όταν γνωρίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος για κάθε είσοδο μπορούμε να υπολογίσουμε την έξοδο. Η διαδικασία είναι η εξής: Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 16

Έστω η γνωστή είσοδος : f( t) η έξοδος τότε υπολογίζεται ώς εξής: Υπολογίζουμε τον ML: Fs ( ) τότε ισχύει απο τον ορισμό : Y( s) F( s). H ( s) και τελικά η έξοδος ειναι ο αντίστροφος ML του Y( s) Σημείωση: To S της Συνάρτησης Μεταφοράς, είναι η μεταβλητή του Laplace, είναι μιγαδική μεταβλητή, και το ονομάζουμε Μιγαδική Συχνότητα. Ονομάζουμε Κέρδος η απολαβή τον σταθερό αριθμό στον οποίο τείνει η συνάρτηση όταν S 0. Το κέρδος μας δίνει μια εικόνα της μόνιμης κατάστασης του συστήματος και εκφράζει την μόνιμη τιμή της εξόδου προς τη μόνιμη τιμή της εισόδου. Ονομάζουμε πόλους του συστήματος, τις ρίζες του παρανομαστή, δηλαδή αν θέσουμε όπου S τις τιμές των πόλων η Συνάρτηση Μεταφοράς απειρίζεται. Ονομάζουμε μηδενικά του συστήματος, τις ρίζες του αριθμητή, δηλαδή αν θέσουμε όπου S τις τιμές των μηδενικών η Συνάρτηση Μεταφοράς μηδενίζεται. Οι πόλοι καθορίζουν την μεταβατική κατάσταση του συστήματος. Το πραγματικό μέρος των πόλων μας δείχνει την απόσβεση ενώ το φανταστικό την συχνότητα των ταλαντώσεων. Στο Σχήμα 1.1 Φαίνεται ο τρόπος με τον οποίο οι πόλοι καθορίζουν τη μεταβατική κατάσταση του συστήματος. Όπως γίνεται κατανοητό όταν το πραγματικό μέρος είναι θετικός αριθμός η μεταβατική κατάσταση είναι αύξουσα και επομένως το σύστημα είναι ασταθές. Όταν το σύστημα έχει περισσότερους από ένα πόλους η έξοδος επηρεάζεται σύνθετα από όλους τους πόλους. Αν ένας μόνο πόλος είναι θετικός είναι φανερό ότι θα οδηγήσει το σύστημα στην αστάθεια. Όταν οι πόλοι είναι μιγαδικοί τότε η απόκριση είναι αποσβενήμενη η αύξουσα ταλάντωση. Το πραγματικό μέρος καθορίζει την απόσβεση (σταθερά χρόνου) ενώ το φανταστικό μέρος την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης. Τα μηδενικά επηρεάζουν την μεταβατική κατάσταση του συστήματος, αλλά όχι με καθοριστικό τρόπο, δηλαδή η συχνότητα και ο χρόνος απόσβεσης που καθορίζονται από τους πόλους παραμένουν τα ίδια, εκείνο που επηρεάζεται είναι το πλάτος των ταλαντώσεων. Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 17

Amplitude 500 200-10 0 10-200 -500 2 1.8 1.6 1.4 Step Response Η αλλαγή στη μεταβατική κατάσταση Όταν το σύστημα έχει ένα ζεύγος πόλων μιγαδικών και αλλάζει το μιγαδικό μέρος Ίδια απόσβεση Η οποία δίδεται από το πραγματικό μέρος 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Time (sec) Διαφορετική συχνότητα η οποία παριστάνεται από το μιγαδικό μέρος Σχήμα 1.1 α : Πόλοι και μεταβατική απόκριση (μιγαδικοί πόλοι) Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 18

Amplitude Amplitude 1 0.9 0.8 0.7-15 -10-5 -1 Step Response 10 9 8 7 15 10 5 Step Response 0.6 0.5 6 5 1 0.4 4 0.3 0.2 0.1 3 2 1 0 0 0 1 2 3 4 5 6 Time (sec) 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Time (sec) 0-15 -10-5 -1 1 5 10 15 Η αλλαγή στη μεταβατική κατάσταση Όταν το σύστημα έχει έναν πόλο πραγματικό αριθμό Σχήμα 1.1 β : Πόλοι και μεταβατική απόκριση (πραγματικοί πόλοι) Η Χρήση της προσομοίωσης στα ΣΑΕ Η διαδικασία σχεδιασμού ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου ακολουθεί συνήθως την παρακάτω διαδικασία. 1-Ανάλυση τους συστήματος Τεχνολογικός σχεδιασμός του συστήματος, δηλαδή εδώ αποφασίζουμε από τι ακριβώς μηχανισμούς θα αποτελείται το σύστημα μας. Εξαγωγή της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος. Εξαγωγή της εξόδου (επίλυση) για να δούμε πως συμπεριφέρεται το σύστημα που σχεδιάσαμε. 2-Αντιστάθμιση Τροποποίηση της Συνάρτησης μεταφοράς ώστε το σύστημα να έχει την συμπεριφορά που θέτουν οι προδιαγραφές. Δηλαδή οι εξισώσεις πρέπει να Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 19

δίδουν λύση η οποία να ανταποκρίνεται στις προδιαγραφές της μόνιμης και της μεταβατικής κατάστασης. Μετά την τροποποίηση επιλύουμε την νέα συνάρτηση. Αν πετύχουμε η έξοδος να είναι εντός των προδιαγραφών τότε προχωρούμε στο επόμενο στάδιο, αλλιώς προχωρούμε σε νέα τροποποίηση και νέα επίλυση. Το στάδιο αυτό επαναλαμβάνεται μέχρι να πετύχουμε την έξοδο που ανταποκρίνεται στις προδιαγραφές. Αφού πετύχουμε την έξοδο που θέλουμε, προσπαθούμε να δούμε αν οι τροποποιήσεις που κάναμε στην συνάρτηση μεταφοράς μπορούν να υλοποιηθούν στην πράξη. Αν αυτό είναι εφικτό, ο σχεδιασμός του συστήματα αυτομάτου ελέγχου τελειώνει, αν όχι πρέπει να επιστρέψουμε στο προηγούμενο στάδιο και να ψάξουμε για άλλη λύση τροποποίησης της συνάρτησης μεταφοράς. Η επίλυση των εξισώσεων έχουμε ήδη πει ότι είναι δύσκολη υπόθεση χωρίς την χρήση Η/Υ. Για το λόγο αυτό αναπτύχθηκαν μέθοδοι αντιστάθμισης οι οποίες παρέκαμπταν την επίλυση των εξισώσεων. Μια εναλλακτική εργαστηριακή μέθοδος αντιστάθμισης που χρησιμοποιήθηκε από την δεκαετία του 40 είναι «προσομοίωση των συστημάτων» με ηλεκτρονικά κυκλώματα. Η διαδικασία της αναλογικής προσομοίωσης συνίσταται στη δημιουργία ενός ηλεκτρονικού κυκλώματος το οποίο να έχει την ίδια ακριβώς συνάρτηση μεταφοράς με τη συνάρτηση μεταφοράς του προς μελέτη συστήματος. Η μεταβατική κατάσταση του προσομοιωμένου συστήματος, την οποία μπορούμε να δούμε σε παλμογράφο ή να καταγράψουμε σε καταγραφικό, είναι ακριβώς ή ίδια με την μεταβατική κατάσταση του πραγματικού συστήματος. Στην ουσία η απόκριση του προσομοιωμένου συστήματος είναι η λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης η οποία περιγράφει το πραγματικό σύστημα. Για τον λόγο αυτό οι συσκευές πάνω στις οποίες γινόταν οι προσομοιώσεις αυτές ονομάστηκαν αναλογικοί υπολογιστές. Οι αναλογικοί υπολογιστές, οι οποίοι όπως γίνεται φανερό προϋπήρξαν των ψηφιακών υπολογιστών, στηρίχθηκαν σε ένα από τα πιο θαυμαστά αναλογικά ηλεκτρονικά κυκλώματα, τον τελεστικό ενισχυτή (operational amplifier), ένα κύκλωμα του οποίου οι καταπληκτικές ιδιότητες κάνουν εφικτή και εύκολη τη διαδικασία της προσομοίωσης. Σήμερα η προσομοίωση μπορεί να γίνει μέσω κατάλληλου λογισμικού στον ψηφιακό υπολογιστή. Όπως είναι αυτονόητο τη ψηφιακή προσομοίωση δεν έχει καμιά σχέση από άποψη αρχής λειτουργίας με την αναλογική. Στη ψηφιακή προσομοίωση έχουμε αριθμητική επίλυση των διαφορικών εξισώσεων, ενώ στην αναλογική όπως είδαμε δημιουργούμε ένα σύστημα που να περιγράφεται από τις εξισώσεις που θέλουμε. Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 20

Συνδεσμολογίες συστημάτων Το στάδιο της ανάλυσης ενός συστήματος, η προσπάθεια δηλαδή να δημιουργήσουμε μία συνάρτηση μεταφοράς που να περιγράφει τη λειτουργία του συστήματος, είναι πάρα πολύ δύσκολη υπόθεση. Αλλωστε δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι η διαδικασία αυτή είναι μια προσπάθεια πολύ μεγάλων προσεγγίσεων, αφού η φύση είναι πάρα πολύ πολύπλοκη για να περιγραφεί από τις απλές γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Για να διευκολυνθούμε σε αυτή την διαδικασία συνήθως χωρίζουμε το σύστημα που μελετάμε σε επιμέρους ολοκληρωμένες ενότητες και προσπαθούμε να εξάγουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς του κάθε τμήματος. Για παράδειγμα αν έχουμε έναν ηλεκτρικό κινητήρα να εξάγουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς του, μπορούμε να μελετήσουμε το ηλεκτρικό του τμήμα και να καταλήξουμε σε κάποιες συναρτήσεις μεταφοράς, και στη συνέχεια να μελετήσουμε το μηχανολογικό του τμήμα. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας προκύπτουν επιμέρους συστήματα τα οποία στο τέλος φαίνονται συνδεδεμένα μεταξύ τους. Από τη συνδεσμολογία αυτή μπορούμε να εξάγουμε την συνάρτηση μεταφοράς του συνολικού συστήματος. Η μεθοδολογία της εξαγωγής της συνολικής συνάρτησης μεταφοράς από μια συνδεσμολογία συστημάτων ονομάζεται απλοποίηση συστημάτων. Τα σχέδια μιας συνδεσμολογίας συστημάτων στηρίζονται σε κάποιες βασικές σχεδιαστικές αρχές και σε δύο βασικά σύμβολα τα οποία παρατίθενται στα σχήματα 1.2 και 1.3 xt () xt () xt () xt () ΚΟΜΒΟΣ : το σήμα xt () το οποίο εισέρχεται στον κόμβο διακλαδίζεται ακριβώς το ίδιο σε διάφορες κατευθύνσεις Σχήμα 1.2 : Κόμβος Προσοχή: Στον κόμβο ενός σχεδίου διασύνδεσης συστημάτων έχουμε διαμοιρασμό μόνο του «σήματος» της πληροφορίας. Δεν πρέπει να συγχέεται ο κόμβος αυτός με τον κόμβο ενός ηλεκτρολογικού κυκλώματος, όπου έχουμε διαμοιρασμό ρευμάτων, Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 21

x() t yt () y( t) z( t) x( t) zt () ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ : Το σύμβολο αυτό δείχνει πρόσθεση σημάτων, έχουμε πολλά εισερχόμενα σήματα, αλλά πάντα ένα μόνο εξερχόμενο, το οποίο μας δίνει το αλγεβρικό άθροισμα. Προσοχή τα πρόσημα σημειώνονται στα εισερχόμενα σήματα. Σχήμα 1.3 : Αθροιστικό σημείο Στο σχήμα 2.4 δίνουμε το παράδειγμα μιας συνδεσμολογίας συστημάτων H () s 1 H () s 3 H () s 5 H () s 2 H () s 4 H () s 6 Σχήμα 1.4 : Παράδειγμα συνδεσμολογίας συστημάτων Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 22

Μεθοδολογία απλοποίησης συστημάτων Η μεθοδολογία απλοποίησης των συστημάτων στηρίζεται σε κάποιες βασικές αρχές και 3 απλές, βασικές συνδεσμολογίες για τις οποίες είναι εύκολο να υπολογίσουμε την ολική συνάρτηση μεταφοράς, την οποία από τώρα και στο εξής θα τη θεωρούμε δεδομένη. Οι 3 βασικές συνδεσμολογίες και οι ολικές συναρτήσεις μεταφοράς παρουσιάζονται στη συνέχεια : Συστήματα στη σειρά Λέμε ότι κάποια συστήματα είναι στη σειρά όταν η έξοδος του ενός γίνεται είσοδος του άλλου. Στην περίπτωση αυτή η Ολική συνάρτηση μεταφοράς είναι το γινόμενο όλων των επιμέρους συστημάτων. Είσοδος H () s H () s H () s 1 2 3 Έξοδος H ( s) H ( s). H ( s). H ( s) 1 2 3 Σχήμα 1.5 : Συστήματα στη σειρά Προσοχή: Δεν υπάρχει περιορισμός πόσα συστήματα στη σειρά θα έχουμε Είναι πολύ σημαντικό να τονίζουμε κάθε φορά ότι για να ισχύσουν οι τύποι υπολογισμού της ολικής συνάρτησης μεταφοράς σε ένα πρακτικό σύστημα, πρέπει όταν τα συστήματα συνδέονται μεταξύ τους, να μη αλλάζει η συνάρτηση μεταφοράς την οποία έχουν όταν είναι μεμονωμένα. Αυτό είναι ένα πάρα πολύ σημαντικό θέμα στην πράξη, διότι κάθε φορά που δυο συστήματα συνδέονται μεταξύ τους η συνάρτηση μεταφοράς τους, αλλάζει. Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 23

Λέμε σε αυτή την περίπτωση ότι το επόμενο σύστημα «φορτίζει» το προηγούμενο. Για να ισχύουν λοιπόν οι κανόνες συνδεσμολογίας συστημάτων θα πρέπει το ένα σύστημα να μη φορτίζει το άλλο, όπως λέμε στην τεχνική ορολογία τα συστήματα να είναι απομονωμένα μεταξύ τους. Αυτό στην πράξη ισχύει σε σπάνιες περιπτώσεις και έτσι και σε αυτή την περίπτωση προσπαθούμε να έχουμε μια καλή προσέγγιση Για να πούμε ότι κάποια συστήματα είναι στη σειρά δε θα πρέπει στις ενδιάμεσες συνδέσεις από την ολική είσοδο στην ολική έξοδο να υπάρχει ούτε κόμβος ούτε αθροιστικό σημείο Συστήματα παράλληλα Λέμε ότι κάποια συστήματα είναι συνδεδεμένα παράλληλα όταν έχουμε την ίδια είσοδο σε όλα τα συστήματα (κόμβος στην είσοδο) και οι έξοδοι οδηγούνται σε ένα αθροιστικό σημείο. Είσοδος H () s 1 Έξοδος H () s 2 H () s 3 H ( s) H1( s) H2( s) H3( s) Σχήμα 1.6 : Συστήματα παράλληλα Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 24

Προσοχή: Τα πρόσημα στον τύπο πρέπει να σημειώνονται δίπλα στο αθροιστικό σημείο Όπως και στη σύνδεση σειρά δεν υπάρχει περιορισμός πόσα συστήματα θα έχουμε συνδεδεμένα παράλληλα. Ισχύουν και εδώ η ίδιες παρατηρήσεις σχετικά με την απομόνωση των συστημάτων. Για να ισχύει στην πράξη ο τύπος της ολικής συνάρτησης της παράλληλης συνδεσμολογίας πρέπει τα συστήματα να είναι «απομονωμένα» Όπως και στην συνδεσμολογία σειρά για να είναι παράλληλα τα συστήματα μεταξύ ολικής εισόδου και ολικής εξόδου δεν πρέπει να υπάρχει άλλος κόμβος και άλλο αθροιστικό σημείο. Συστήματα συνδεδεμένα σε θετική και αρνητική ανάδραση (feedback) Η συνδεσμολογία της ανάδρασης δεν είναι απλά μία ακόμα συνδεσμολογία. Τα συστήματα αρνητικής ανάδρασης αποτελούν τη βάση των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου. Η ανάδραση είναι μια από τις σημαντικότερες λειτουργίες της φύσης την οποία ο άνθρωπος ανακάλυψε μόλις τον 19 ο αιώνα και την χρησιμοποίησε για να χτίσει πάνω της τους αυτοματισμούς. Η ανάδραση θα μας απασχολήσεις εκτεταμένα σε επόμενες εργαστηριακές ασκήσεις. Προς το παρών βλέπουμε την ανάδραση σαν μια ακόμα βασική συνδεσμολογία συστημάτων. Θετική ανάδραση έχουμε όταν τα πρόσημα στο αθροιστικό σημείο είναι ίδια (ομόσημα H () s 1 H () s 1 H () s 2 H () s 2 H () s H () s H () s 1 ( ). ( s) 1 H () s 1 1 H1( s). H 2( s) H1 s H2 Σχήμα 1.7 α : Συνδεσμολογία θετικής ανάδρασης Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 25

Αρνητική ανάδραση έχουμε όταν τα πρόσημα στο αθροιστικό σημείο είναι διαφορετικά (ετερόσημα) H () s 1 H () s 1 H () s 2 H () s 2 H () s H () s H () s 1 ( ). ( s) 1 H () s 1 1 H1( s). H 2( s) H1 s H2 Σχήμα 1.7 β : Συνδεσμολογία αρνητικής ανάδρασης Προσοχή: Στην ανάδραση έχουμε επιστροφή σήματος από την έξοδο στην είσοδο όπου το σήμα προστίθεται (θετική ανάδραση) ή αφαιρείται (αρνητική ανάδραση). Δηλαδή έχουμε ένα κύκλό του σήματος από την είσοδο στην έξοδο και πάλι στην είσοδο, γι αυτό το λόγο τα συστήματα ανάδρασης ονομάζονται και συστήματα κλειστού βρόχου. Δεν πρέπει να γίνεται μπέρδεμα με την παράλληλη συνδεσμολογία όπου το αθροιστικό σημείο είναι στην έξοδο και ο κόμβος στην έξοδο, ενώ στην ανάδραση είναι ανάποδα. Στη συνδεσμολογία της ανάδρασης λαμβάνουν μέρος μόνο 2 συστήματα σε αντίθεση με τις άλλες δύο συνδεσμολογίες όπου μπορούμε να έχουμε απεριόριστο αριθμό συστημάτων. Ισχύουν και εδώ η ίδιες παρατηρήσεις σχετικά με την απομόνωση των συστημάτων. Για να ισχύει στην πράξη ο τύπος της ολικής συνάρτησης της παράλληλης συνδεσμολογίας πρέπει τα συστήματα να είναι «απομονωμένα» Προσέξτε το πρόσημο του παρανομαστή στον τύπο της ανάδρασης. Στη θετική ανάδραση είναι μείον και στην αρνητική σύν. Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 26

Κανόνες για τους κόμβους και τα αθροιστικά σημεία Όταν έχουμε κόμβους δίπλα δίπλα τότε μπορούμε να τους τοποθετήσουμε στο ίδιο σημείο, η να τους αλλάξουμε θέση. Μπορούμε ακόμα να αναλύσουμε έναν πολλαπλό κόμβο σε μικρότερους επιμέρους. Παραδείγματα δίνονται στο σχήμα 1.8 Ισοδύναμα σχήματα με κόμβους Σχήμα 1.8 α : Ισοδύναμες συνδεσμολογίες με κόμβους Τα αθροιστικά σημεία όταν είναι δίπλα δίπλα μπορούν να αλλάζουν θέση η να έρχονται το ένα πάνω στο άλλο αρκεί οι συνολικές είσοδοι να είναι πάντα οι ίδιες και η έξοδος να βγάζει πάντα το ίδιο άθροισμα. ` yt () yt () xt () zt () xt () yt () zt () zt () xt () w( t) x( t) y( t) z( t) w( t) x( t) y( t) z( t) w( t) x( t) y( t) z( t) Ισοδύναμα σχήματα με αθροιστικά σημεία Σχήμα 1.8 β Ισοδύναμες συνδεσμολογίες με αθροιστικά σημεία Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 27

Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 28

Βιομηχανικός Αυτοματισμός Γιώργος Σούλτης 29