ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Aπόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 53 Α Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδα 9 Α3 Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδα 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β α τρόπος: Aν z yi,,y, η σχέση () γράφεται yi yi 4 y y 4 y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β τρόπος: H σχέση () γράφεται: z z 4 z z z z 4 4 z z Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα
Β Χρησιμοποιούμε την άσκηση Α9 του σχολικού βιβλίου σελίδα, γνωστή ως κανόνα του παραλληλογράμμου αφού πρώτα την αποδείξουμε : Για κάθε z,z ισχύει ότι z z z z z z Απόδειξη: z z z z z z z z z z z z z z Άρα έχουμε ότι z z z z z z z z z z z z B3 w5w w5w w5w w5w 44 ww 5w 5w 5ww 44 w 5 w w 5 w 44 6 w 5 w w 44 3 Έστω w yi,,y τότε η σχέση 3 γίνεται: 6 y 5 yi yi 44 6 y 5 y yi y yi 44 6 6y 5 y 44 6 6y y 44 6 36y 44 y y 4 9y 36 9 4 3 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η παρακάτω έλλειψη με μήκος μεγάλου ημιάξονα 3 και μήκος μικρού ημιάξονα Είναι όμως γνωστό (μαθ κατεύθυνσης Β Λυκείου, σελίδα 4) ότι για οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης ισχύει ότι ή οι κορυφές της έλλειψης, τότε: Αν,,, Έτσι w 3 και ma min 3,, 3,,,,, w OB OB
Β4 Με βάση την τριγωνική ανισότητα και επειδή zw w z έχουμε: w z w z w z w wz w 4 Όμως λόγω του 3 είναι w 3, άρα: w και w 4 Τότε όμως η 4 γράφεται: wz 4 ΘΕΜΑ Γ Γ Η f είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων ' και παραγωγίσιμη με f ln ln,, Όταν, είναι ln Επίσης και Έτσι ln για κάθε, Όταν, είναι ln οπότε ln άρα,άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] για κάθε Επίσης είναι,, f για κάθε για κάθε Δηλαδή, Έτσι όμως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) Για = f'(), Από τα προηγούμενα προκύπτει ο επόμενος πίνακας μεταβλητών για την f : f + f min
Επειδή f γνησίως φθίνουσα στο (, ] Όμως lim f lim ln f,, Άρα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ:ΠΕΤΚΑΚΗΣ ΜΑΡΙΟΣ ΠΕΤΚΑΚΗΣ ΠΕΤΡΟΣ είναι f (,] f,limf Επίσης επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο, είναι f [, f, lim f Όμως lim f lim [() ln] Άρα f,, Από,προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της f είναι το, 3 Γ Η εξίσωση (επειδή η συνάρτηση y ln είναι γνησίως αύξουσα και άρα ) γράφεται ισοδύναμα: 3 ln ln ln f Από το Γ ερώτημα είναι: α) f,, άρα υπάρχει, ώστε είναι γνησίως φθίνουσα είναι, άρα η τιμή f και επειδή η f είναι μοναδική στο διάστημα β) f,,, άρα υπάρχει, ώστε, και επειδή η f f είναι γνησίως αύξουσα είναι και, άρα η τιμή είναι μοναδική στο διάστημα, Από α) και β) προκύπτει ότι η δοσμένη εξίσωση έχει ακριβώς θετικές ρίζες
Γ3 Θεωρούμε τη συνάρτηση h f με, Η h είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων Η h είναι παραγωγίσιμη στο, ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων με h f h f Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘRoll για την h στο,, h, ώστε h f f f f f f, οπότε υπάρχει Γ4 Είναι: g f ln ln για κάθε, g()= ( )ln g + + γιατι ln d ln d ln d ln d ln d Άρα: ln d ln d d 3 3 4 4 4 4 4 4
ΘΕΜΑ Δ Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση G ftdt,, f t dth, όπου η είναι παραγωγίσιμη στο, ως πολυωνυμική, άρα και η H f t dt Η f είναι συνεχής στο, Επίσης η y, άρα είναι παραγωγίσιμη στο είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων Επίσης παραγωγίσιμη είναι και η ως πολυωνυμική Έτσι, η G είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων με, για κάθε, G f Η συνάρτηση G είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για που είναι εσωτερικό σημείο του, Από το θεώρημα Frmat προκύπτει τότε ότι G f Επειδή η f συνεχής στο, και f για κάθε,, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, και επειδή f, είναι f,, Έτσι f f και από τη δοσμένη σχέση προκύπτει ln t t ln dt f f t ln t t Για τη συνάρτηση h dt f t ισχύει h για κάθε, διότι αν υπήρχε, ώστε h τότε θα ήταν ln επειδή για τη συνάρτηση ln ισχύει για κάθε, Αυτό όμως είναι άτοπο (σύμφωνα με τη γνωστή εφαρμογή στη σελίδα 66 του σχολικού βιβλίου) αλλά μπορεί και να αποδειχθεί: οπότε όπως προκύπτει από τον πίνακα μεταβολών της είναι για κάθε, + ma
(*) Η συνάρτηση f συναρτήσεων, ενώ προκύπτει ln ln t t dt f t ln lnt t dt f f t είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων Οι συναρτήσεις και στα δύο μέλη είναι παραγωγίσιμες οπότε: ln lntt dt ln ln f, άρα f t f f ln Αν θέσουμε g έχουμε g g f για κάθε, σύμφωνα με την εφαρμογή της σελίδας 5 του σχολικού βιβλίου είναι: ln g c, δηλαδή c f Για προκύπτει c c c f ln Άρα τελικά f ln,,, οπότε Δ Είναι: lim, Άρα lim ln lim ln, lim Τότε όμως lim f Αν θέσουμε u f έχουμε u και lim f f lim u lim lim DLH u u u u u ( u u)' f u u u (u )' u u lim lim u u u u
Δ3 Η F είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με F f και F f ln ln Επειδή ln και, για κάθε Άρα η F είναι κυρτή στο, Η σχέση τώρα F F3 F, γράφεται: είναι F, για κάθε F3 F F F F3FFF,, 3 Από ΘΜΤ για τη F στα διαστήματα, και F και,3 F ώστε F και F οπότε αρκεί να αποδειχθεί ότι F F,3 αντίστοιχα υπάρχουν F F3 3,, με 3 Η τελευταία είναι αληθής διότι η F είναι κυρτή και άρα η F γνησίως αύξουσα στο, Δ4 Θεωρούμε τη συνάρτηση h F F F3,, Η F είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, άρα και η h h F F3 h F F F3 Επειδή F f για κάθε, η Fείναι γνησίως φθίνουσα στο Έτσι από 3 F F 3 F F 3 h έπεται: Λόγω τώρα του Δ3 είναι h F F F3 Άρα h h, οπότε λόγω του θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει, ώστε h F F3 F, Η τιμή είναι μοναδική διότι η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα και άρα, αφού h F f, για κάθε,