Σύνολο ασκήσεων 5. Άσκηση 1 Υπολογίστε τις μερικές παραγώγους ως προς 1 ή,, (συμβολισμός ή,, ) για τις παρακάτω συναρτήσεις = 1 3 = ( 1 3 4 )= 1 1 3+5 3 +8ln( 1 )+ 4 = ( ) = +3 + +3 = ( ) = p ln ()+ + + Για τη συνάρτηση CES (σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης) = ( ) = +(1 ) 1 υπολογίστε τα και. Δώστε τα οριακά προϊόντα και ως συναρτήσεις του = () = () π.χ. +1 = = µ 1
Άσκηση 1. Υπολογίστε το διάνυσμα κλίσης O της συνάρτησης ( ) = Υπόδειξη: Ã! Ã! O = =.. Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε O = 0. Γράψτε την Εσσιανή μήτρα = 11 1 13 1 3 31 3 33 για την συνάρτηση ( 1 3 )= 1 3 Άσκηση 3 Υπολογίστε το οριακό (φυσικό) προϊόν του κεφαλαίου και της εργασίας = καθώς και τον οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης κεφαλαίου με εργασία και εργασίας με κεφάλαιο = = = = = = = για τις παρακάτω συναρτήσεις παραγωγής και σχολιάστε Υποκατάστατες εισροές με συγκεκριμένο παραμετρικό περιορισμό 0 1, = 1, 0, 0 1 Υποκατάστατες εισροές =, 0, 0 Τέλεια υποκατάστατες εισροές = +, 0
Άσκηση 4 Υπολογίστε την οριακή χρησιμότητα = και = των αγαθών, καθώς και τον οριακό λόγο υποκατάστασης του αγαθού με και του αγαθού με = = για τις παρακάτω συναρτήσεις χρησιμότητας: Τύπου Cobb-Douglas με περιορισμό στις σταθμίσεις προτίμησης των δύο αγαθών (υποκατάστατα αγαθά) ( ) = 1, 0 1 Τύπου Cobb-Douglas χωρίς περιορισμό στις σταθμίσεις προτίμησης των δύο αγαθών (υποκατάστατα αγαθά) ( ) =, 0 Λογαριθμικού τύπου Cobb-Douglas χωρίς περιορισμό στις σταθμίσεις προτίμησης των δύο αγαθών (υποκατάστατα αγαθά) ( ) = ln + ln, 0 Ημι-γραμμικού τύπου (υποκατάστατα αγαθά) ( ) = ln +, 0 Γραμμικού τύπου (τέλεια υποκατάστατα αγαθά) ( ) = +, 0 Μη-παραγωγίσιμη συνάρτηση (προσοχή). Τέλεια συμπληρωματικά αγαθά π.χ. αριστερό και δεξί παπούτσι ( ) =min{ } 3
Άσκηση 5 Έστω ένας καταναλωτής που ζεί δύο χρονικές περιόδους 1,. Η συνάρτηση χρησιμότητας εξαρτάται από την κατανάλωση 1, (την περίοδο 1 και αντίστοιχα). Σας δίνονται οι παρακάτω πιθανές συναρτήσεις χρησιμότητας ( 1 ) = ln 1 + ln ( 1 ) = ln 1 + ( 1 ) = 1 1 1 + 1 1 ( 1 ) = 1 + Θεωρήστε ότι 0 1αντιστοιχεί στις χρονικές προτιμήσεις του καταναλωτή. Καθώς 0, ο καταναλωτής γίνεται ολοένα και πιο ανυπόμονος και δεν επιλέγει ποτέ να καταναλώσει τη δεύτερη χρονική περίοδο ενώ καθώς 1 κατανέμει ισοβαρώς στην συνάρτηση χρησιμότητας την κατανάλωση των χρονικών περιόδων 1 και. Επίσης, θεωρήστε ότι η παράμετρος, όπου δίνεται, μετρά την ελαστικότητα υποκατάστασης, δηλαδή πως μεταβάλεται ποσοστιαία ο λόγος των δύο εισροών 1 όταν μεταβληθεί κατά 1% ο οριακός λόγος υποκατάστασης ³ ln 1 ελαστικότητα υποκατάστασης = ln ( 1 ) ή ln ( 1 ) ln ³ 1 = 1 Υπολογίστε τις οριακές χρησιμότητες της κατανάλωσης ανά χρονική περίοδο, 1 και και τον οριακό λόγο υποκατάστασης 1 = 1 καιπροβείτεσεοικονομικήερμηνεία. 4
Παράδειγμα με ελαστικότητα υποκατάστασης = 1 Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας τύπου Cobb-Douglas Τότε ( 1 )= 1 Άρα δηλαδή οπότε και 1 = 1 1 = 1 1 1 = 1 1 1 1 = 1 = 1 µ ln ( 1 ) = ln +ln µ = ln ln ln ( 1 ) ³ = 1 ln 1 ³ ln 1 ln ( 1 ) = 1 µ 1 µ 1 Παράδειγμα με ελαστικότητα υποκατάστασης σε συνάρτηση παραγωγής Έστω οι συναρτήσεις παραγωγής () : = min { } (): = (): = ( + ) Βρείτε την ελαστικότητα υποκατάστασης. Έχουμε (I) συνάρτηση παραγωγής Leontief, ημεγαλύτερηδυνατήκαμπύλωσητων καμπυλών ίσου προϊόντος (έχουν σχήμα L) με ελαστικότητα υποκατάστασης =0 5
αφού μία μεταβολή στον δεν οδηγεί σε μεταβολή στον λόγο K 4 3.5 3.5 Q 3 1.5 Q 1 Q 1 0.5-0. -0.1 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9.1. L (II) συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas, βλ παραπάνω άσκηση χρησιμότητας = = 1 (III) Τέλεια υποκατάστατες εισροές. γραμμικές!! Οι καμπύλες ίσου προϊόντος είναι = µ ln ( )=ln ln ( ) ln =0 ln = ln ( ) = 6
-0. -0.1 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9.1. K 4 3.5 3.5 1.5 1 0.5 Q 3 Q 1 Q L Ανητιμήτου είναι μεγάλη, ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης δε μεταβάλλεται πολύ καθώς μεταβάλλεται η αναλογία μίγμα εισροών. Οι καμπύλες ίσου προϊόντος είναι σχετικά επίπεδες και η υποκατάσταση μεταξύ των εισροών είναι σχετικά εύκολη. Στην περίπτωση που οι εισροές (όπως εδώ) είναι τέλεια υποκατάστατες, η επιχείρηση θα χρησιμοποιεί μόνο εκείνη την εισροή που είναι σχετικά φτηνότερη. Η γραμμική συνάρτηση παραγωγής σπάνια συναντάται στην πράξη (π.χ. κάθε μηχάνημα χρειάζεται κάποιον εργάτη για να λειτουργήσει). Άσκηση 6 Υπολογίστε την Ιακωβιανή μήτρα πρώτων μερικών παραγώγων για τις παρακάτω δύο συναρτήσεις 1 = 1 ( ) = = ( ) =5+ (1 + ) δηλαδή βρείτε τα διανύσματα κλίσεων O 1 και O, αναστρέψτε τα (O 1 ) 0, (O ) 0 και τοποθετήστε τα σε μία μήτρα µ (O = 1 ) 0 (O ) 0 7
Άσκηση 7 Ελέγξτε αν οι παρακάτω ομάδες συναρτήσεων εξαρτώνται γραμμικά ή μηγραμμικά και 1 = + = exp 4 +8 3 +4 +3 3 +16 4ª 1 = + + = 1 ln + + 3 = 4 + Άσκηση 8 Βρείτε το ολικό διαφορικό των συναρτήσεων = ( ) = + + +ln( +5) = ( ) = + ( ) = Άσκηση 9 Είναι γνωστό ότι ln = () = δείχνει το ρυθμό μεγέθυνσης μίας μεταβλητής στο χρόνο αφού δίνει ποσοστιαία μεταβολή και () δίνει ποσοστιαία μεταβολή στο χρόνο. Για παράδειγμα αν () = τότε ln = () = (= ) δηλαδή σταθερή ποσοστιαία μεταβολή (100 )% στο χρόνο. Έστω η συνάρτηση παραγωγής = () ()() 8
όπου () παριστά τεχνολογική πρόοδο ή αύξηση της παραγωγικότητας με ρυθμό μεγέθυνσης, () το κεφάλαιο με ρυθμό μεγέθυνσης να δίνεται από το,και() η εργασία με ρυθμό μεγέθυνσης ίσο με το ρυθμό μεγέθυνσης του εργατικού δυναμικού ή του πληθυσμού. Τα δείχνουν μερίδια κεφαλαίου και εργασίας στη παραγωγή. Δείξτε ότι = + + δηλαδή ο ρυθμός μεγέθυνσης του προϊόντος δίνεται από το άθροισμα των ρυθμών μεγέθυνσης της τεχνολογίας, του κεφαλαίου και της εργασίας με τους δύο τελευταίους ρυθμούς να σταθμίζονται με τα αντίστοιχα μερίδια παραγωγής. Άσκηση 10 Έστω ότι Βρείτε τις ολικές παραγώγους Κατόπιν, για εξάσκηση, θέστε = ( 1 ) 1 = () = () =;, =; ( 1 )=( 1 ) με και 1 =5 +1 =ln() και υπολογίστε αναλυτικά τις ολικές παραγώγους =;, =; 9
Άσκηση 11 Έστω η συνάρτηση παραγωγής = ( Ω) = +(1 )Ω όπου ένα σοκ παραγωγικότητας και Ω οι ώρες εργασίας ενώ (1 ) το μερίδιο της εργασίας στην παραγωγή. Αν τα σοκ παραγωγικότητας μειώνουν τις ώρες εργασίας Ω = () με 0 0 τότε υπολογίστε την ολική παράγωγο και δείξτε ότι 1 υπονοεί 1. Απάντηση = + Ω Ω = + Ω Ω = + Ω 0 =1+(1 ) 0 Άρα =1+(1 )0 1 (1 ) 0 0 1 Άσκηση 1 Με βάση το θεώρημα των πεπλεγμένων συναρτήσεων βρείτε τις παρακάτω παραγώγους (μερικές ή ολικές) Άσκηση 13 ( ) =5 +=0 ( ) =ln(5 +)+3 +6 =0 ( ) = ln()+ln()+ =0 ( ) = 3 + + =0 ( ) =ln()+ 3 =0 ( ) = 3 + 3 + 3 6 =0 =; =; =; =; =; =; =; =; =; =; =; =; Έστω ότι το εθνικό προϊόν και το επίπεδο του επιτοκίου οι ενδογενείς μεταβλητές και 0 0 οι εξωγενείς μεταβλητές όπου 0 κρατικές δαπάνες που ελέγχονταιαπότοκράτοςκαι 0 η προσφορά χρήματος που ελέγχεται από την κεντρική τράπεζα. ( ) συμβολίζει τη ζήτηση χρήματος στην οικονομία όπου 0 και 0. Επίσης = 0 1, = ( ) 10
, 0 1 και 0. Για μία απλή κλειστή οικονομία, σας δίνεται το παρακάτω σύστημα εξισώσεων = ( )+()+ 0 () = Χρησιμοποιείστε ένα σύστημα πεπλεγμένων και βρείτε αν μία αυξηση των κρατικών δαπανών αυξάνει το επιτόκιο. Σημειώσεις: y = F όπου y =() και 1 = 0, = 0 ενώ 1 ( 0 0 ) = ( ( )) () 0 =0 ( 0 0 ) = () 0 =0 Δείτε ότι 1 =1 (1 ) µ 1 1 µ 0 0 µ µ 1 (1 ) 0 0 = = Ã 1 0 0 µ 1 0! 11