SINTEZ~ A GEOMETRIEI de clasa a VII-a

Σχετικά έγγραφα
GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică

BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

Subiecte Clasa a VIII-a

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Varianta 1. SUBIECTUL I Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

Subiecte Clasa a VII-a

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Dreapta in plan. = y y 0

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

Subiecte Clasa a VIII-a

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr.

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

BAC 2007 Pro Didactica

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

Subiectul 1-similar cu subiectul 1 MEC

BAC 2007 Pro Didactica

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

Elemente de geometrie

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

Vectori liberi-seminar 1

PUNCTUL.DREAPTA. PLANUL

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

Capitole speciale de geometrie pentru profesori. Camelia Frigioiu

CERCUL. Prof. V Corcalciuc Scoala nr. 146 I.G. Duca Bucuresti ( Lectie facuta dupa manualul de clasa a 7-a Prof.Radu)

Integrala nedefinită (primitive)

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

3. REPREZENTAREA PLANULUI

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Subiecte Clasa a VI-a

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

Curs 4 Serii de numere reale

BISECTOAREI GLISANTE

Testul nr. 1. Testul nr. 2

BAC 2007 Pro Didactica

Convorbiri didactice Nr. 13

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

Algebra si Geometrie Seminar 9

MARCAREA REZISTOARELOR

Subiectul I Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele. 5p , , atunci numărul natural n este egal cu.

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

7. PROBLEME DE SINTEZĂ (punct, dreaptă, plan, metode)

Colegiul Tehnic Dimitrie Leonida Prof. Jiduc Gabriel. AutoCAD: Comenzi de desenare

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a

Curs 1 Şiruri de numere reale

P A R A D O X U R I M A T E M A T I C E U N D E E S T E G R E Ş E A L A?

Cercul de Matematică Gimnaziu, zona Balş 25 mai 2007 Şcoala cu clasele I-VIII Bobiceşti

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

Geometria triunghiului

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

P A + P C + P E = P B + P D + P F.

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

GA XI. 138 Să se calculeze produsul distanţelor unui punct oarecare al hiperbolei : d) ;

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

Conice şi cercuri tangente

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

Curs 2 Şiruri de numere reale

Transcript:

1 Asem`narea SINTEZ~ A GEOMETRIEI de clasa a VII-a 1) Teorema lui Thales : O paralel` la o latur` a unui triunghi determin` pe celelalte dou` laturi segmente propor\ionale. AD AE DE BC, sau alte variante. DB EC ) Reciproca teoremei lui Thales : Dac` o dreapt` determin` pe dou` laturi ale unui triunghi segmente propor\ionale, atunci ea este paralel` cu a treia latur` a triunghiului. AD DB AE EC DE BC. 3) Teorema fundamental` a asem`n`rii : O paralel` la o latur` a unui triunghi formeaz` cu celelalte dou` laturi un triunghi asemenea cu primul. DE BC ABC ADE din care > [n principal propor\ionalitatea laturilor : AB AD AC AE BC DE 4) Cazurile de asem`nare : Cazul I (UU) : Dac` <A <A' ]i <B <B', atunci ABC A'B'C'. Cazul II (LUL) : Dac` <A <A' ]i AB AC A' B' A'C', atunci ABC A'B'C'. Cazul III (LLL) : Dac` AB A' B' AC A'C' BC B'C', atunci ABC A'B'C'. 5) Raportul de asem`nare a dou` triunghiuri asemenea este egal cu raportul a dou` laturi corespunz`toare, sau a dou` [n`l\imi corespunz`toare, etc... l l' h m P... k h' m' P' unde l, l laturi corespunz`toare; h, h [n`l\imi corespunz`toare; m, m mediane corespunz`toare; P, P perimetre corespunz`toare, k valoarea raportului de asem`nare.

6) Raportul ariilor a dou` triunghiuri asemenea este egal cu p`tratul raportului de asem`nare. A ABC A A'B'C' k 7) Teorema bisectoarei : Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determin` pe latura opusa segmente propor\ionale cu laturile care formeaz` unghiul (]i reciproc).. AD < ABD < DBC DC AB BC Rela\ii metrice [n triunghiul dreptunghic : 1) Teorema lui Pitagora : a) pentru Ipotenuz` : Ip C 1 + C. b) pentru Catete : C 1 Ip _ C sau C Ip _ C 1. ) Teorema catetei : C 1 Ip Pr1 sau C Ip Pr. 3) Teorema [n`l\imii : H Pr 1 Pr sau H C 1 C Ip 4) Teorema medianei : Mediana corespunz`toare ipotenuzei (dus` din varful unghiului drept) este egal` cu 1/ din ipotenuz`. m(<bac) 90 o, BD DC > AD 1 BC 5) Teorema unghiului de 30 o : Dac` un triunghi dreptunghic are un unghi cu masura de 30 o, atunci cateta opus` acestui unghi este egal` cu 1/ din ipotenuz`. m(<bac) 90 o, m(<abc) 30 o > AC 1 BC

3 Func\ii trigonometrice : 1) Defini\ii : sin (<u o ) cateta opus` / ipotenuz` ; cos (<u o ) cateta al`turat` / ipotenuz` ; tg (<u o ) cateta opus` / cateta al`turat`; ctg (<u o ) cateta al`turat` / cateta opus`; sin (<B) AC / BC. cos (<B) AB / BC. tg (<B) AC / AB. ctg (<B) AB / AC. ) Tabelul valorilor func\iilor trigonometrice ale unghiurilor uzuale : 30 o 45 o 60 o sin 1 / / 3 cos tg ctg 3 / 3 / / 1 / 3 / 3 1 3 3 1 3 / 3 Arii ]i perimetre : Obs. : Dou` figuri geometrice care au ariile egale se numesc figuri echivalente. Nota\ii : aria ; P perimetrul 1) P`tratul : L ; P 4 L ; unde L latura p`tratului. ) Dreptunghiul : L l ; P L + l unde L lungimea ]i l la\imea. 3) Paralelogramul : B H ; sau l 1 l sin u ; P (l 1 + l ) unde B baza ; H [naltimea ; u unghiul ascu\it al paralelogramului. 4) Rombul: d1 d ; sau L H ; sau L sin u ; P 4 L unde d 1, d diagonalele ; L latura ; H [n`l\imea ; u unghi ascu\it. 5) Trapezul : ( B + b) H B + b ; P B + b + l 1 + l ; Liniamijlocie unde B baza mare ; b baza mic` ; H [n`l\imea ; l 1, l laturile neparalele. 5) Patrulater ortodiagonal (cu diagonalele perpendiculare) : d1 d ; P l 1 + l + l 3 + l 4

4 7) Patruleter convex oarecare : d1 d sin u unde u m(<d 1, d ). 8) Triunghiul : C1 C a) dreptunghic : Ip h ; sau ; P C 1 + C + Ip. L 3 b) echilateral : ; P 3 L 4. c) isoscel : B H ; P B + L unde B baza latura necongruent` ; L laturile congruente; H [n`l\imea corespunz`toare bazei (se calculeaz` cu teorema lui Pitagora \in@nd cont c` aceast` [n`l\ime este ]i median`). d) oarecare : B H ; unde B oricare latur` (cunoscut`) ; H [n`l\imea corespunz`toare ; l1 l sin u ; unde u unghiul dintre l 1 si l ; Formula lui Heron: p(p a)(p b)(p c) unde a, b, c laturile, iar p a + b + c semiperimetru. 9) Cercul : πr ; L π R ; S sector circular π R n 360 ; L arc de cerc π R n 180 Obs. : - Raza cercului circumscris unui triunghi se afl` cu formula : R a b c 4 A ; sau R a sina - Raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este egal` cu 1/ din ipotenuz` (centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei). - Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral se afl` cu

5 formula : R H, iar raza cercului [nscris cu formula : 3 r 1 H ; (Centrul cercului circumscris coincide cu 3 centrul cercului [ncris, cu ortocentrul ]i cu centrul de grutate al triunghiului.) - Raza cercului [nscris [ntr-un triunghi oarecare se afl` cu formula : A r P unde aria triunghiului ]i P perimetrul. Poligoane regulate : Triunghi echilateral Patrat Hexagon regulat L (latura) R 3 R R a (apotema) R (a r) S (aria) Alte formule R sau L R 3 3L 3 L 3 L 4 H L 3 R H3 ; r H 3 3 3 d L 1 Obs. : C@nd o coard` a unui cerc corespunde unui arc de : 10 o > atunci ea este egal` cu L 3 R 3 ; 90 o > este egal` cu L 4 R ; 60 o > este egal` cu L 6 R. Calcularea unei [n`l\imi dintr-un triunghi : D L d L 3 L 3 h 1. {n`l\imea unui triunghi echilateral se calculeaz` cu formula unde L lungimea laturii triunghiului.. {n`l\imea corespunz`toare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic se calculeaz` cu formula sau cu formula C C h 1 Ip h Pr 1 Pr, unde C 1 ]i C sunt lungimile catetelor triunghiului, iar Ip este lungimea ipotenuzei,, unde Pr 1 }i Pr sunt lungimile proiec\iilor catetelor pe ipotenuz`. 3. {n`l\imea corespunz`toare bazei unui triunghi isoscel ([n`l\imea principal`), se calculeaz` cu teorema lui Pitagora, \in@nd cont c` ea este ]i median` (are piciorul [n mijlocul bazei). Formula este: h L B, unde L este lungimea laturilor congruente, iar B este lungimea bazei.

6 4. {n`l\imea corespunz`toare uneia dintre laturile congruente ale unui triungi isoscel ([n`l\imea secundar`): Dup` ce se calculeaz` [n`l\imea corespunz`toare bazei ([n`l\imea principal`), conform indica\iilor anterioare, se aplic` formula: L 1 h 1 L h unde L 1 este lungimea bazei, iar h 1 este lungimea [n`l\imii corespunz`toare bazei, L este lungimea uneia dintre laturile congruente, iar h este lungimea [n`l\imii corespunz`toare acesteia (care trebuie aflat`). 5. O [n`l\ime dintr-un triunghi oarecare: a) Dac` se cunoa]te o alt` [n`l\ime, se aplic` formula: L 1 h 1 L h, unde h 1 este [n`l\imea cunoscut`, L 1 este lungimea laturii corespunz`toare ei, h este lungimea [n`l\imii de aflat, iar L este lungimea laturii corespunz`toare acesteia. b) Dac` lungimile laturilor sunt numere ra\ionale (f`r` radicali), se va afla aria triunghiului prin formula lui Heron: p( p a)( p b)( p c),unde a, b, c reprezint`lungimile laturilor triunghiului, iar p este m`rimea semiperimetrului triunghiului. Dup` aceea se va [nlocui valoarea g`sit` [n formula din care se va ob\ine lungimea [n`l\imii c`utate. (B este lungimea laturii corespunz`toare [n`l\imii c`utate.) B h c) Dac` se cunoa]te m`sura unui unghi al triunghiului (30 o, 45 o, 60 o, 10 o, 135 o, 150 o ), iar [n`l\imea c`utat` este latur` a unui triunghi dreptunghic din care face parte ]i unghiul cu m`sura cunoscut` (u < 90 o ), se va folosi defini\ia func\iei trigonometrice sinus, sau tangent`. Din aceast` defini\ie se va afla lungimea [n`l\imii c`utate ca al patrulea termen al unei propor\ii. (Dac` u > 90 o, atunci se va folosi [n acela]i fel suplementul s`u.) d) Dac` se cunoa]te m`sura unui unghi al triunghiului (30 o, 45 o, 60 o, 10 o, 135 o, 150 o ), se va afla aria triunghiului prin formula: L 1 L sin u, unde u este m`sura unghiului cunoscut, iar L1 ]i L sunt lungimile laturilor care formeaz` acest unghi. Dup` aceea se va [nlocui valoarea g`sit` [n formula B h, din care se va ob\ine lungimea [n`l\imii c`utate. (B este lungimea laturii corespunz`toare [n`l\imii c`utate.) e) Dac` nici una din variantele anterioare nu ne convine, se va folosi "procedeul cu x " : Dac` BC a ; AC b ; AB c ]i AD BC, Atunci not`m AD x ]i DC a - x. Apoi cu teorema lui Pitagora [n ABD AD AB BD c x, iar Cu teorema lui Pitagora [n ACD

7 AD AC CD b (a x). Egal@nd apoi cele dou` expresii ale lui AD ob\inem ecua\ia : b (a x) c x, care prin rezolvare d` lungimea segmentului BD ]i aplic@nd din nou teorema lui Pitagora [n ABD vom ob\ine ceea ce dorim (lungimea segmentului AD). ATEN IE: Cuno]tin\ele despre aflarea lungimii unei [n`l\imi dintr-un triunghi sunt foarte necesare la rezolvarea problemelor referitoare la distan\a de la un punct la o dreapt`, at@t [n cadrul geometriei plane c@t ]i [n cel al geometriei [n spa\iu. CERCUL defini\ii ]i teoreme Se nume]te loc geometric, mul\imea tuturor punctelor din plan sau spa\iu care satisfac o condi\ie dat`. Cercul este locul geometric al punctelor din plan situate la distan\a r (r > 0) fa\` de un punct fix. Punctul fix se nume]te centrul cercului. Distan\a de la centrul cercului la un punct de pe cerc se nume]te raza cercului. Nota\ia C(O; r) reprezint` cercul cu centrul O ]i raza r. C(O; r) {A AO r}. {F FO < r} Int C(O; r) este interiorul cercului. C(O; r) Int C(O; r) D(O; r) este discul cu centrul O ]i raza r. {E EO > r} Ext C(O; r) este exteriorul cercului. Coarda este segmentul determinat de dou` puncte distincte de pe cerc. De exemplu segmentul [DE] este coard`. Diametrul este coarda care trece prin centrul cercului. Segmentul [AB] este diametru. AB r. Diametrul este cea mai mare coard` dintr-un cerc. Arcul de cerc este por\iunea dintr-un cerc cuprins` [ntre dou` puncte distincte ale cercului. TEOREME REFERITOARE LA ARCE }I COARDE 1. {n acela]i cerc sau [n cercuri congruente la arce congruente corespund coarde congruente ]i reciproc, la coarde congruente corespund arce congruente. AB BC [AD] [BC].. Diametrul perpendicular pe o coard` [mparte coarda ]i arcele corespunz`toare [n p`r\i congruente. Ipotez`: EF r; EF DC; EF DC {M}. Concluzie: [DM] [MC] ]i DE EC. 3. Arcele de cerc cuprinse [ntre dou` coarde paralele sunt congruente. Ipotez`: AB CD; A, B, C, D C(O, r). Concluzie: AD BC. 4. Coardele egal dep`rtate de centru sunt congruente. Ipotez`: OP AD; ON BC; [OP] [ON]. Concluzie: [AD] [BC].

8 POZI IILE RELATIVE ALE UNEI DREPTE FA ~ DE UN CERC Dac` a este o drepat` ]i C un cerc, numim distan\` de la centrul cercului la dreapt` lungimea perpendicularei din centrul cercului pe dreapt`. OM a OM d(o; a) d. 1. Dac` d > r, dreapta a este exterioar` cercului.. Dac` d r, dreapta a este tangent` la cerc. 3. Dac` d < r, dreapta a este secant` la cerc. a C(O; r) d > r. a C(O; r) {A} d r. a C(O; r) {A; B} d r. Consecin\e: 1. O dreapt` care este tangent` la un cerc, este perpendicular` pe raza dus` la punctul de tangen\`.. Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce exact dou` tangente la acel cerc. 3. Lungimile celor dou` tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt egale. 4. Dac` un patrulater are toate laturile tangente la un cerc, atunci se nume]te patrulater circumscris cercului (cercul este [nscris [n patrulater). 5. Dac` un patrulater este circumscris unui cerc, atunci suma lungimilor laturilor sale opuse este aceea]i. 6. Dac` un patrulater are suma lungimilor a dou` laturi opuse egal` cu suma lungimilor celorlalte dou` laturi, atunci este un patrulater circumscriptibil. 1. Unghi la centru. UNGHIURI RAPORTATE LA UN CERC.. Unghi [nscris [n 3. Unghi cu v@rful [n cerc. interiorul cercului. 4. Unghi cu v@rful [n exteriorul cercului. m( AOB) m(ab) 1 m( AMB) m(ab) m( AMB) m( AMB) 1 1 [m(ab) + m(cd)] [m(ab) + m(cd)] Consecin\e: 1. Dou` unghiuri [nscrise [n acela]i cerc ]i care cuprind acela]i arc [ntre laturile lor sunt unghiuri congruente.. Un unghi [nscris [ntr-un semicerc are m`sura de 90 o. 3. M`sura unui unghi care are v@rful pe un cerc ]i este format de o coard` ]i o tangent` la un cerc este egal` cu jum`tate din m`sura arcului cuprins [n interiorul unghiului. 3. Un triunghi [nscris [ntr-un semicerc este dreptunghic (ipotenuza lui este diametrul cercului). 4. Patru puncte aflate pe uncerc se numesc puncte conciclice.

5. Dac` un patrulater are toate v@rfurile pe un cerc, atunci este un patrulater [nscris [n cerc. 6. Dac` un patrulater este [nscris [ntr-un cerc, atunci v@rfurile sale sunt egal dep`rtate de centrul cercului. 7. Dac` un patrulater este [nscris [ntr-un cerc, atunci unghiurile sale opuse sunt suplementare. 8. Dac` un patrulater este [nscris [ntr-un cerc, atunci orice unghi exterior al s`u este congruent cu unghiul opus interior. 9. Dac` un patrulater este [nscris [ntr-un cerc, atunci un unghi format de o diagonal` cu o latur` este congruent cu unghiul format de cealalt` diagonal` cu latura opus`. 10. Dac` un patrulater are una din propriet`\ile 6, 7, 8, 9, atunci este patrulater inscriptibil ]i are toate celelalte propriet`\i ale patrulaterului [nscris [n cerc. Triunghiul circumscris unui cerc are laturile tangente la acel cerc. Cercul care este tangent la laturile unui triunghi se nume]te cerc [nscris [n triunghi, iar centrul s`u I este intersec\ia bisectoarelor unghiurilor triunghiului. triunghiul ABC este triunghiul circumscris cercului C(I; r). C(I; r) este cercul [nscris [n triunghiul ABC. r este raza cercului [nscris: IM IN IP r. A r, unde A este aria triunghiului ABC, P iar P AB + AC + BC. Triunghiul [nscris [ntr-un cerc are v@rfurile situate pe cerc, iar laturile sunt coarde ale cercului. Cercul se nume]te cerc circumscris triunghiului ]i centrul s`u O este punctul de intersec\ie al mediatoarelor laturilor triunghiului. triunghiul ABC este triunghiul [nscris [n C(O; R). C(O; R) este cercul circumscris triunghiului ABC. R este raza cercului circumscris: a b c O OB OC R. R, unde 4 A a, b, c sunt lungimile laturilor, iar A este aria triunghiului ABC. 9

2024 © DocPlayer.gr Πολιτική Απορρήτου | Όροι Χρήσης | Σχόλια