Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Διοίκηση και Διαχείριση Έργων και Προγραμμάτων Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Διάλεξη #2 Παραδείγματα Μοντελοποίησης Γραμμικού Προγραμματισμού Ερμηνεία Λύσεων Γραμμικού Προγραμματισμού Το παράδειγμα της ΕΛΕΓΚΤΙΚΗΣ ΙΙ Από το πρόβλημα στο μοντέλο Μελέτη Περίπτωσης: ΑΣΚΗΣΗ 1 - ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΟΙΚΙΣΜΟΥ.docx (e-class) Ανάπτυξη Μοντέλου Επίλυση Ερμηνεία Λύσεων Επέκταση Μοντέλου Λύση Ερμηνεία Προβλήματα Μεταφοράς Προσδιορισμός δεδομένων Έμμεσες παραδοχές Μεταβλητές 2 διαστάσεων Π. Γ. Υψηλάντης ipsil@teilar.gr
Χρήση Μαθηματικών Μοντέλων Π ρ αγματικό Ε πιχειρησιακό Π ρ ό β λημα Μ αθηματικό Μ ο ν τ έ λο Π αραδοχές Μ ε θ ο δ ο λογία Λ ύ σ η Μ αθηματικού Μ ο ν τ έ λου Δ ε δ ο μ έ ν α Α ν άλυση / Ε ρ μ ηνεία Λύσης Μ αθηματικού Μ ο ν τ έ λου Υ λοποίηση Λ ύ σ ης
Γραμμικός Προγραμματισμός Ελεγκτική ΕΠΕ - Επέκταση Παραδείγματος Η Ελεγκτική ΕΠΕ έχει τώρα αναλάβει και ένα τρίτο έργο το έργο Γ (πέρα των άλλων δύο Α και Β). Επίσης, μετά από καθυστερήσεις που σημειώθηκαν στην παρακολούθηση των πρώτων έργων θεωρεί ότι στην ομάδα ελέγχου θα πρέπει να μετάσχει και ένας αναλυτής όχι κατά ανάγκη με πλήρη απασχόληση. Οι απαιτήσεις για κάθε έργο σε Ελεγκτές, Βοηθούς Ελεγκτές, Λογιστές και Αναλυτές καθώς και οι διαθέσιμες ώρες για τις 4 κατηγορίες ατόμων δίνονται στον παρακάτω πίνακα. ΕΡΓΟ Α ΕΡΓΟ Β ΕΡΓΟ Γ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΩΡΕΣ ΕΛΕΓΚΤΕΣ 1 1 1 55 ΒΟΗΘΟΙ 2 1 2 80 ΛΟΓΙΣΤΕΣ 2 3 3 150 ΑΝΑΛΥΤΕΣ 0,5 1 0,5 35 Το κέρδος της Ελεγκτικής ΕΠΕ έχει υπολογισθεί σε 300 την ώρα για το έργο Α, 400 για το έργο Β και 450 για το έργο Γ Η Ελεγκτική ΕΠΕ θεωρεί ότι για προφανείς λόγους η κάθε ομάδα θα πρέπει οπωσδήποτε να επισκεφθεί και τα 2 έργα για τουλάχιστον 10 ώρες το καθένα, αλλά εκ των πραγμάτων δεν μπορεί να εργαστεί περισσότερο από 25 ώρες στο κάθε έργο Ποιος είναι ο πιο αποδοτικός τρόπος κατανομής των ωρών στα τρία έργα;
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 2/5
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 3/5 Τιμές Επίλυσης
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 3/5 Κατάσταση: Με δέσμευση: Όταν ο περιορισμός εξαντλείται Χωρίς δέσμευση: Όταν υπάρχει περιθώριο (Αδράνεια) Αδράνεια: Ποσότητα Περιορισμού που δεν χρησιμοποιήθηκε
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5 Μειωμένο Κόστος (Reduced Cost): Αφορά τις μεταβλητές Μεταβλητή είναι πάνω από το όριο της Μειωμένο Κόστος = 0 Μεταβλητή είναι ακριβώς στο όριο Μειωμένο Κόστος 0 Αν δεν έχει τεθεί συγκεκριμένο όριο, θεωρείται ως όριο το μηδέν Μειωμένο Κόστος είναι η μεταβολή στο κέρδος αν η τιμή της αντίστοιχης μεταβλητής αυξηθεί κατά 1 μονάδα πάνω από το όριο. Π.χ. Στο Έργο Α δίνονται από την Επίλυση 10 ώρες (ακριβώς το ελάχιστο όριο). Προφανώς γιατί συμφέρει περισσότερο να δοθούν οι ώρες στα άλλα 2 έργα. Παρ όλα αυτά αν θα αυξάναμε το όριο στις 11 ώρες (+1 ώρα), αυτό θα είχε επίδραση στο κέρδος μείωση κατά 150.
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5 Διακύμανση συντελεστών κέρδους: Αφορά τους συντελεστές κέρδους όλων των μεταβλητών Μέσα στα όρια της επιτρεπόμενης αύξησης / μείωσης οι τιμές των μεταβλητών δεν αλλάζουν. Το κέρδος προφανώς αλλάζει. Π.χ. Ο συντελεστής κέρδους για το έργο Α είναι 300 ανά ώρα. Το άνω όριο είναι 300+150 = 450. Το κάτω όριο είναι απεριόριστο. Επομένως αν το κέρδος ανά ώρα για το έργο Α είναι στα όρια [0 έως 450] η κατανομή των ωρών 10/20/20 δεν αλλάζει. Το προκύπτον κέρδος θα αλλάξει. Ποια είναι τα όρια για τους άλλους συντελεστές; Τι θα συνέβαινε αν το κέρδος για τον Α ξεπεράσει το όριο των 450;
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5 Διακύμανση συντελεστών κέρδους: Έργο Α : 300 [0 έως 450] Έργο Β : 400 [225 έως 900] Σε σχέση με το έργο Α [225/300 έως 900/300] [0,75 3,00] Έργο Γ : 450 [300 έως 800] Σε σχέση με το έργο Α [300/300 έως 800/300] [1,00 2,67] Έργο Β 3 2 1 Όρια συντελεστών Β & Γ 1 2 3 Έργο Γ
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5 Σκιώδεις τιμές (Shadow prices): Αφορά τους περιορισμούς Μη δεσμευτικός περιορισμός Σκιώδης τιμή = 0 Δεσμευτικός περιορισμός Σκιώδης τιμή 0 Σκιώδης τιμή είναι η αύξηση στο κέρδος αν η ποσότητα του περιορισμού αυξηθεί κατά 1 (αντίστοιχα με την μείωση). Π.χ. Ο περιορισμός των Ελεγκτών δεν είναι δεσμευτικός. Περισσεύουν 5 ώρες. Η σκιώδης τιμή είναι 0 γιατί και να προσθέσουμε μία ώρα επιπλέον (από 55 σε 56) το αποτέλεσμα είναι να περισσέψουν 6 ώρες. Αντίθετα ο περιορισμός Βοηθών Ελεγκτών είναι δεσμευτικός. Χρησιμοποιήθηκαν όλες οι διαθέσιμες ώρες. Αν είχαμε 1 επιπλέον ώρα (από 80 σε 81) θα υπήρχε αύξηση κέρδους κατά 167.
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5 Όρια αύξησης ή μείωσης των ποσοτήτων των πόρων Οι Σκιώδεις τιμές ισχύουν μέσα στα όρια επιτρεπόμενης αύξησης ή μείωσης κάθε πόρου. Π.χ. το επιπλέον κέρδος των 167 για κάθε ώρα Βοηθού ελεγκτή που προστίθεται ισχύει για το πολύ +7,5 ώρες δηλαδή έως 87,5. Η αντίστοιχη μείωση ισχύει έως αφαίρεση 15 ωρών, δηλαδή έως 65 ώρες. Η οριακή αξία της ώρας των Βοηθών Ελεγκτών είναι 167 στο διάστημα [65 έως 87,5] ώρες.
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5
Ανάλυση Απαντήσεων Ελεγκτική ΕΠΕ - Επέκταση Παραδείγματος Πόσες ώρες θα πρέπει να επισκεφτεί η ομάδα το κάθε έργο ώστε να είναι πιο αποδοτικό για την εταιρεία? Ποιοι από τους περιορισμούς που τίθενται είναι δεσμευτικοί; Αν μπορούσαμε να απασχολήσουμε βοηθούς λογιστές υπερωριακά με επιπλέον κόστος 50 την ώρα θα τα κάναμε; Για πόσες ώρες? Ποια θα ήταν η επίδραση στο αποτέλεσμα? Αν υποθέσουμε ότι ο ελάχιστος αριθμός των ωρών επίσκεψης σε κάθε έργο καθορίζονται σε 12, ποιες θα ήταν οι αναμενόμενες επιπτώσεις Τι θα συμβεί αν διαφοροποιηθούν οι συντελεστές κέρδους των έργων; Ποια είναι η σχέση τιμών για την οποία δεν θα υπάρξουν αλλαγές στην κατανομή των ωρών στα τρία έργα?
Από το Πρόβλημα στο Μοντέλο Οικιστική Ανάπτυξη Μεταβλητές.. Αντικειμενική Συνάρτηση... Περιορισμοί................,, Συνέχεια στο LP - Case 1 - Οικιστική Ανάπτυξη Solution
Προβλήματα Μεταφοράς & Δρομολόγησης Ένας εργολάβος οργανώνει την προμήθεια ready-mix μπετόν σε τέσσερεις τοποθεσίες. Εκτιμά ότι η συνολική ημερήσια ζήτηση στα τέσσερα εργοτάξια ανέρχεται σε 24 φορτία και έχει προσδιορίσει τρεις προμηθευτές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Στόχος του είναι να ελαχιστοποιήσει το κόστος προμήθειας και μεταφοράς του ready-mix μπετόν στα τέσσερα εργοτάξια.
Προβλήματα Μεταφοράς & Δρομολόγησης Ένας εργολάβος οργανώνει την προμήθεια ready-mix μπετόν σε τέσσερεις τοποθεσίες. Εκτιμά ότι η συνολική ημερήσια ζήτηση στα τέσσερα εργοτάξια ανέρχεται σε 24 φορτία και έχει προσδιορίσει τρεις προμηθευτές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Στόχος του είναι να ελαχιστοποιήσει το κόστος προμήθειας και μεταφοράς του ready-mix μπετόν στα τέσσερα εργοτάξια. Βήμα 1 Βασικά στοιχεία που πρέπει να ληφθούν υπ όψη στη μοντελοποίηση αυτού του προβλήματος? Τι είδους δεδομένα είναι απαραίτητα? Βήμα 2 Παραδοχές Βήμα 3 Αρχικό μοντέλο
Προβλήματα Μεταφοράς & Δρομολόγησης Στο προηγούμενο πρόβλημα ας υποθέσουμε ότι η μεταφορά γίνεται με διαφορετικά μεταφορικά μέσα το οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε όλες τις διαδρομές, αλλά έχουν διαφορετική χωρητικότητα και διαφορετικό κόστος? Πως θα άλλαζε το μοντέλο του προβλήματος
Homework Στο πρόβλημα μεταφοράς υποθέστε ότι οι διαθέσιμες ποσότητες από κάθε προμηθευτή είναι: S1: 4; S2: 8; S3:12, ενώ οι απαιτούμενες ποσότητες στα τέσσερα εργοτάξια είναι: A: 5, B: 2, C:10, D:7 Επίσης Συμφωνήθηκε ότι το κόστος μεταφοράς θα είναι ανάλογο της απόστασης από κάθε εργοτάξιο όπως στον πίνακα που ακολουθεί: A B C D S1 6 12 2 5 S2 18 21 13 12 S3 11 16 5 6 Με ποιο τρόπο θα ελαχιστοποιηθεί το κόστος προμήθειας του ready-mix μπετόν στα τέσσερα εργοτάξια. Επιλύστε το πρόβλημα λαμβάνοντας υπ όψη ότι το κόστος παραγωγής ανά μεταφερόμενο τόνο είναι διαφορετικό για κάθε προμηθευτή, δηλαδή S1: 110; S2: 100; S3:105,
End of Lecture