KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση κάτω από ένα σύνολο m-περιορισµών µε τη µορφή ανισοτήτων min f(x) x R n x κάτω από g (x) b,,, m Για τον προσδιορισµό του ελαχίστου µπορεί να χρησιµοποιηθεί η θεωρία που αναπτύχθηκε για το πρόβληµα µε περιορισµούς ισότητες (πολλαπλασιαστές Lagrange). Γι αυτό εισάγεται µια συµπληρωµατική (slack) ή πλεονασµατική (surplus) µεταβλητή (που επίσης ονοµάζονται µεταβλητές απόκλισης) σε κάθε ανισότητα b - g (x) s 0 δηµιουργώντας έναν νέο περιορισµό µε µορφή ισότητας g (x) + s - b 0 Η επίλυση του προβλήµατος µε περιορισµούς ισότητες θα αποφέρει τις τιµές των νέων µεταβλητών s. Αν s 0 g (x) b J ενεργοί περιορισµοί λ 0 Αν s 0 g (x) b J ανενεργοί περιορισµοί λ 0 Όπως εξηγήθηκε στο Κεφάλαιο 3 ο πολλαπλασιαστής Lagrange εκφράζει τη µεταβολή της αντικειµενικής συνάρτησης λόγω µιας µεταβολής στο επίπεδο b του διαθέσιµου πόρου (περιορισµού). Αν ο περιορισµός είναι ανενεργός, η µεταβολή του b δεν επηρεάζει τη βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης και εποµένως λ 0. Το αντίθετο συµβαίνει αν ο περιορισµός είναι ενεργός και εποµένως λ 0. Στην γενική περίπτωση η συνάρτηση Lagrange γράφεται m L(x, s, λ) f(x) + min L(x, s, λ) x, s, λ i f i + m λ g i λ (g (x) + s - b ) x R n λ, s R m 0 i,,, n ()
λ s g (x) + s λ s 0 - b 0,,, m (),,, m (3) είτε λ 0 ανενεργός είτε s 0 ενεργός Ορίζεται J το σύνολο των p το πλήθος ενεργών περιορισµών (λ 0) J το σύνολο των m-p το πλήθος ανενεργών περιορισµών (λ 0) f g + λ 0 i,,, n n εξισώσεις () i J i g (x) b για J p εξισώσεις g (x) + s b για J m - p εξισώσεις () s > 0 για J (3) Οι σχέσεις ()-(3) αποτελούν σύστηµα n + m εξισώσεων µε τους εξής n + m αγνώστους: x i,,, n n άγνωστοι λ 0 J ενεργοί περιορισµοί p άγνωστοι s 0 J ανενεργοί περιορισµοί m - p άγνωστοι Όµως ο αριθµός των ενεργών περιορισµών δεν είναι γνωστός εκ των προτέρων και απαιτούνται διαδοχικές παραδοχές για να προσδιοριστεί η λύση του συστήµατος. Μπορεί να αποδειχθεί ότι για ελαχιστοποίηση απαιτείται λ 0, ενώ για µεγιστοποίηση λ 0. Τα παραπάνω γενικεύονται στις λεγόµενες συνθήκες Kuhn Tucker (K-T), που είναι οι αναγκαίες πρώτης τάξης συνθήκες για ακρότατο σηµείο σε πρόβληµα ελαχιστοποίησης µε περιορισµούς ισότητες και ανισότητες. min f(x) x R n x κάτω από g (x) 0,,, m h k (x) 0 k,,, p p m f h g k + λk + µ 0 i k i i i,,, n () h k (x) 0 k,,, p () µ g (x) 0 (3) µ 0 (4) Για πρόβληµα µεγιστοποίησης η (4) γράφεται µ 0.
3 Οι συνθήκες Kuhn Tucker είναι επίσης ικανές για µέγιστο, αν η f(x) είναι κοίλη και το σύνολο των περιορισµών κυρτό ή για ελάχιστο αν η f(x) είναι κυρτή και το σύνολο των περιορισµών κυρτό, σύµφωνα µε τις Προτάσεις 3 και 5 του Κεφαλαίου. Εποµένως η διαδικασία είναι να χρησιµοποιούνται οι συνθήκες ()-(4) για να εντοπίζονται κρίσιµα σηµεία και κατόπιν να ελέγχεται η κυρτότητα για να αποφασίζεται αν υπάρχει απόλυτο ακρότατο. Παράδειγµα 4. 4 max f(x) - x - x + x + 0 x κάτω από x g (x) e + x x + x 0 () x, x > 0 H(f) H(g) 4 0 x e 0 x -4 < 0, 48 x > 0 H(f) < 0 η f(x) είναι αυστηρά κοίλη x x e > 0, 4 e - > 0 H(g) > 0 η g(x) είναι αυστηρά κυρτή Αν εντοπιστεί τοπικό µέγιστο που ικανοποιεί τους περιορισµούς µε βάση την Πρόταση 4 της Ενότητας.3. θα είναι απόλυτο µέγιστο. Οι συνθήκες Κ-Τ γράφονται: x x x - 4 x + + µ ( e + x ) 0 ( µ 0) x 0.5-4 x 3 + 0 + µ (x + x ) 0 x (.5) /3.357 x µ ( e + x x + x - 0) 0 µ 0 Έστω () ανενεργός µ 0, οπότε x 0.5 x.357 Έλεγχος περιορισµού () ( e 0.5 + 0.5.357 +.357-0) -4.8 0 ικανοποιείται Άρα το σηµείο (0.5,.357) είναι απόλυτο µέγιστο. Παράδειγµα 4. min f(x) x + x x + x 0 x 0 x κάτω από g (x) x + x 5 0 () g (x) 3 x + x 6 0 () Όταν το πρόβληµα έχει µεταβλητές (n ) πολλές φορές είναι χρήσιµη η απεικόνιση του στο επίπεδο x - x ώστε να εµφανίζονται τα σηµεία προς διερεύνηση και να χαρακτηρίζονται οι περιορισµοί ως ενεργοί ή ανενεργοί.
0 9 8 7 6 5 4 3 A 0-4 -3 - - 0 B 3 4 5 6 7 8 9 0 - - -3-4 -5-6 -7 Ο () είναι εξίσωση κύκλου µε κέντρο το (0,0) και ακτίνα 5 και ο () εξίσωση ευθείας όπως φαίνεται στο σχήµα µε σηµεία τοµής Α και Β. Η εφικτή περιοχή είναι το εσωτερικό του κύκλου εκτός από το κυκλικό τµήµα µε χορδή ΑΒ και είναι κυρτή ως τοµή κυρτών συνόλων. Στα σηµεία Α, Β και οι δύο περιορισµοί είναι ενεργοί. Από το απόλυτο ελάχιστο χωρίς περιορισµούς f -5 στο (0,5), αυξάνοντας την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης γίνεται ενεργός µόνο ο () f -4.8, µετά µόνο ο () f -0 και µετά και οι δύο περιορισµοί f -9.53 στο Α. / 4 x + x 0 + µ x + 3 µ 0 / x + x 0 + µ x + µ 0 µ (x + x 5) 0 µ (3 x + x 6) 0 µ 0, µ 0 Έστω () και () ανενεργοί µ µ 0, 4 x + x 0 και x + x 0 x 0 και x 5, σηµείο εκτός του κύκλου, παραβιάζεται ο () Έστω () ανενεργός και () ενεργός µ 0 και 3 x + x 6 4 x + x 0 + 3 µ 0 4 x + x 0-3 µ x + x 0 + µ 0 x + x 0 - µ x - µ x 5 + ½ µ 3 x + x 6-3 µ + 5 + ½ µ 6-5 µ + 0 µ -/5 < 0 x /5 x 4/5 Έλεγχος περιορισµών () 3. /5 + 4/5 6 ικανοποιείται ο () ενεργός () (/5) + (4/5) 580/5 > 5 δεν ικανοποιείται Έστω () ενεργός και () ανενεργός x + x 5 και µ 0 4 x + x 0 + µ x 0 ( µ + 4) x + x 0 x + x 0 + µ x 0 x + ( + µ ) x 0
x 4µ 0µ + µ + 4 x 0 + 0µ 4µ + µ + 4 0µ 0 + 0µ x + x 5 5 4µ µ 4 + 4µ µ 4 + + + + 400 µ + 400 + 800 µ + 400 µ 5 (4 µ + µ + 4) Η τεταρτοβάθµια αυτή εξίσωση έχει τη λύση µ > 0 x x Έλεγχος περιορισµών () 3. + 5 6 ικανοποιείται ο () ανενεργός () () + () 5 ικανοποιείται ο () ενεργός 5 Στο σηµείο (, ) η συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο f* -0. 4 H(f) 4 > 0, 4 > 0 H(f) > 0 η f(x) είναι αυστηρά κυρτή Με βάση την Πρόταση της Ενότητας.3. θα είναι απόλυτο ελάχιστο. Παράδειγµα 4.3 min f(x) x + x + x 3 κάτω από g (x) x + x 5 0 () g (x) x + x 3 0 () g 3 (x) - x 0 (3) g 4 (x) x 0 (4) g 5 (x) - x 3 0 (5) x + µ + µ µ 3 0 () x + µ µ 4 0 () x x3 + µ µ 5 0 (3) 3 µ i g i (x) 0 µ i 0 A. Έστω όλοι ανενεργοί µ i 0 x i 0 άτοπο, παραβιάζεται ο (3)
Β. Έστω ο (3) ενεργός και οι άλλοι ανενεργοί x και µ µ µ 4 µ 5 0 Από () µ 3 > 0 () x 0 άτοπο, παραβιάζεται ο (4) Γ. Έστω ο (3) και ο (4) ενεργοί και οι άλλοι ανενεργοί x, x και µ µ µ 5 0 Από () µ 3 > 0 () µ 4 4 > 0 (3) x 3 0 στο σηµείο (,, 0) ικανοποιούνται όλες οι ικανές συνθήκες πρώτης τάξης. 4. ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Το πρόβληµα του Γραµµικού Προγραµµατισµού (Γ.Π.) είναι µια ειδική περίπτωση του προβλήµατος του γενικού προβλήµατος που διατυπώθηκε ήδη, στην οποία η αντικειµενική συνάρτηση και οι περιορισµοί είναι γραµµικές συναρτήσεις των µεταβλητών απόφασης. ηλαδή το γενικό πρόβληµα min f(x) x R n x κάτω από g i (x) b i i,,, m x 0 στο Γ.Π. διατυπώνεται στην εξής µορφή: x n minf(x) c x x R n κάτω από ένα σύνολο m γραµµικών περιορισµών n g i (x) aix b x 0 i i,,, m,,, n (Ι) πρωτεύουσες συνθήκες Στην περίπτωση αυτή, εάν το σύνολο που ορίζεται από τους περιορισµούς είναι ένα κυρτό σύνολο, οι αναγκαίες συνθήκες βελτιστοποίησης, οι συνθήκες Κ-Τ, είναι και ικανές συνθήκες. Σύµφωνα µε τους παραπάνω συµβολισµούς, είναι προφανές ότι στον Γ.Π.: f c και g i. a i Συµβολίζοντας τώρα τους πολλαπλασιαστές Lagrange (οι οποίοι στον Γ.Π. για λόγους που θα εξηγηθούν στο Κεφάλαιο 6 ονοµάζονται δυϊκές µεταβλητές) µε Y, Y,, Y m, οι συνθήκες Κ-Τ είναι οι εξής:
7 m f + Yi i Y i g i (x) 0 Y i 0 gi 0,,, n i,,, m ή m c + Yi ai 0,,, n () (ΙΙ) δευτερεύουσες συνθήκες i Y i g i (x) 0 i,,, m () Y i 0 (3) Κατά συνέπεια, η βέλτιστη λύση (, x ) x,...x n θα πρέπει, όχι µόνο να ικανοποιεί τους αρχικούς περιορισµούς του προβλήµατος (πρωτεύουσες συνθήκες), αλλά συνδυαζόµενη µε τις τιµές ( Y, Y,...Ym ) να ικανοποιεί όλες τις παραπάνω συνθήκες βελτιστοποίησης. Υπάρχει µια ιδιάζουσα σχέση µεταξύ των συνθηκών (I) και των συνθηκών (II). Αν η συνθήκες (II) ήταν οι πρωτεύουσες συνθήκες, αν δηλαδή είχαν τέτοια µορφή οι αρχικοί περιορισµοί του προβλήµατος Γ.Π., τότε οι συνθήκες (I) θα ήταν δυϊκές συνθήκες. Παράδειγµα 4.4 Να γραφτούν οι συνθήκες βελτιστοποίησης του προβλήµατος: Maximize 300 x + 500 x Έτσι ώστε x 400 () x 600 () 3 x + x 800 (3) x, x 0 Έστω Y, Y και Y 3 οι δυϊκές µεταβλητές για τους τρεις περιορισµούς. Οι πρωτεύουσες συνθήκες είναι ακριβώς οι περιορισµοί του δοθέντος προβλήµατος. Οι δυϊκές συνθήκες είναι οι εξής : 300 + Υ + 3 Υ 3 0 (4) 500 + Υ + Υ 3 0 (5) Υ (x 400) 0 (6) Υ (x 600) 0 (7) Υ 3 (3 x + x - 800) 0
Υ, Υ, Υ 3 0 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι δεν µπορούµε να λύσουµε για το x χωρίς ταυτόχρονα να προσδιοριστεί και το Υ, και αντίστροφα. Για το παραπάνω παράδειγµα παρουσιάζεται η γραφική λύση του αρχικού στο Κεφάλαιο 6. Εδώ εφαρµόζεται η γενική µέθοδος για περιορισµούς ανισότητες. A. Έστω όλοι ανενεργοί Υ i 0 άτοπο, παραβιάζεται ο (4) Β. Έστω οι (), (3) ανενεργοί και ο () ενεργός Υ Υ 3 0 άτοπο, παραβιάζεται ο (4) Γ. Έστω οι (), (3) ανενεργοί και ο () ενεργός Υ Υ 3 0 άτοπο, παραβιάζεται ο (5). Έστω οι (), () ανενεργοί και ο (3) ενεργός Υ Υ 0 άτοπο, γιατί από τον (4) Υ 3-00, ενώ από τον (5) Υ 3-50 Ε. Έστω ο () ανενεργός και οι (), (3) ενεργοί Υ 0, Υ 0, Υ 3 0 Από (4) Υ 3-00, από (5) Υ -300, από () x 600, από (3) x 00 400, ικανοποιείται και ο (). Άρα το σηµείο (00, 600) είναι ακρότατο. ΣΤ. Έστω ο () ανενεργός και οι (), (3) ενεργοί Υ 0, Υ 0, Υ 3 0 Από (5) Υ 3-50, από (4) Υ 450 > 0 άτοπο. Ζ. ΣΤ. Έστω ο (3) ανενεργός και οι (), () ενεργοί Υ 3 0, Υ 0, Υ 0 Από (4) Υ -300, από (5) Υ -500, από () x 600, από () x 400, από (3) 3 400 + 600 400 > 800, παραβιάζεται ο (3), άτοπο. 4.3 ΓΕΝΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ Για το γενικό πρόβληµα µε µη γραµµική αντικειµενική συνάρτηση και µη γραµµικούς m-περιορισµούς µε τη µορφή ανισοτήτων και µη γραµµικούς p- περιορισµούς µε τη µορφή ισοτήτων min f(x) x R n x κάτω από g (x) 0,,, m h k (x) 0 k,,, p οι συνθήκες Kuhn Tucker, που είναι οι αναγκαίες πρώτης τάξης συνθήκες για ακρότατο σηµείο είναι:
9 p m f h g k + λk + µ 0 i k i i i,,, n () h k (x) 0 k,,, p () g (x) 0,,, m (3) µ g (x) 0 (4) µ 0 (5) Για πρόβληµα µεγιστοποίησης η (5) γράφεται µ 0. Για την επίλυση του προβλήµατος εφαρµόζεται η εξής υπολογιστική διαδικασία (αλγόριθµος): Βήµα Α. Επιλύονται οι εξισώσεις () και () ως προς τις µεταβλητές x i και λ k θεωρώντας ότι όλοι οι ανισοτικοί περιορισµοί είναι ανενεργοί, οπότε µ 0. Βήµα Β. Ελέγχεται εάν για τις τιµές των x i που υπολογίστηκαν πληρούνται όλοι οι ανισοτικοί περιορισµοί (3) και (5). Εάν ναι, τότε έχει εντοπιστεί σηµείο τοπικού ακρότατου και ο υπολογισµός σταµατά. Εάν όχι, τότε προχωρούµε στο Βήµα Γ. Βήµα Γ. Όλοι οι ανισοτικοί περιορισµοί που παραβιάζονται από τις τιµές των x i που υπολογίστηκαν θεωρούνται ενεργοί, δηλαδή λαµβάνονται σαν ισότητες. Βήµα. Επιλύεται το νέο σύστηµα εξισώσεων (), (), και ορισµένων από τις (3) για τις οποίες λαµβάνονται τα αντίστοιχα µ 0, ως προς τις µεταβλητές x i, λ k και µ 0. Βήµα Ε. Ελέγχεται και πάλι εάν για τις τιµές των x i που υπολογίστηκαν πληρούνται όλοι οι ανισοτικοί περιορισµοί (3) και (5). Εάν ναι, τότε το πρόβληµα έχει λυθεί και ο υπολογισµός σταµατά. Εάν όχι, τότε προχωρούµε στο Βήµα ΣΤ. Βήµα ΣΤ. Όλοι οι νέοι ανισοτικοί περιορισµοί που παραβιάζονται από τις νέες τιµές των x i που υπολογίστηκαν στο Βήµα Ε θεωρούνται ενεργοί, δηλαδή λαµβάνονται σαν ισότητες. Ταυτόχρονα αποενεργοποιούνται εκείνοι οι περιορισµοί που ήταν ενεργοί, αλλά οι τιµές των αντίστοιχων συντελεστών µ παραβιάζουν τις (5), δηλαδή οι σχετικές εξισώσεις από τις (3) παραλείπονται. Έτσι επανερχόµαστε στο Βήµα και συνεχίζεται ο υπολογισµός, έως ότου ευρεθεί λύση για σηµείο ακρότατου. Η παραπάνω αλγοριθµική διαδικασία αποδεικνύεται ότι συγκλίνει µετά από πεπερασµένο αριθµό βηµάτων, εφ όσον το πρόβληµα έχει λύση.
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ 4. (Ossenbruggen) - ιαστασιολόγηση εγκατάστασης επεξεργασίας αποβλήτων Μια χηµική διαδικασία επεξεργασίας βιοµηχανικών αποβλήτων απαιτεί χρόνο συγκράτησης τουλάχιστον 5 λεπτά. Η αντίδραση πραγµατοποιείται σε σύστηµα συνεχούς ροής µε παροχή ft 3 /sec. Σχεδιάστε έναν ανοικτό κυλινδρικό αντιδραστήρα ελαχίστου κόστους. Για απλοποίηση υποθέστε ότι το µοναδιαίο κόστος κατασκευής είναι συνάρτηση µόνο του εµβαδού της επιφάνειας της δεξαµενής. Η δεξαµενή θα έχει σταθερό πάχος τοιχίου. (α) ιαµορφώστε ένα µαθηµατικό υπόδειγµα για να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος κατασκευής. (β) Θεωρείστε ότι οι περιορισµοί είναι ενεργοί και χρησιµοποιείστε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange για να διαστασιολογήσετε τη δεξαµενή. (γ) Χρησιµοποιείστε τις συνθήκες Kuhn-Tucker για να επιλύσετε το πρόβληµα και να ελέγξετε για απόλυτο ελάχιστο. Επίλυση (α) Έστω r η ακτίνα της βάσης και l το ύψος της κυλινδρικής δεξαµενής. Για να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος κατασκευής αρκεί να ελαχιστοποιείται το συνολικό εµβαδόν της επιφάνειας της δεξαµενής. Α πrl + πr Για συνεχή ροή ο χρόνος συγκράτησης είναι ο όγκος της δεξαµενής δια της παροχής V/Q 5 min πr l 5 60 800 ft 3 Το µαθηµατικό υπόδειγµα είναι (παρόµοιο µε το Παράδειγµα.3): Min Α πrl + πr κάτω από - πr l + 800 0 () r, l 0 (β) L π r l + π r + λ (- πr l + 800) r l λ π l + π r - λ π r l 0 π l + π r - (/r) π r l 0 l * r * π r - λ π r 0 π r ( - λ r) 0 λ * /r - π r l + 800 0 π r r 800 r * (800/π) /3 8.304 ft A * 3 π r 3π (800/π) /3 A * 650 ft (γ) L π r l + π r + µ (- πr l + 800)
r l µ g(x) 0 µ 0 π l + π r - µ π r l 0 () π r - µ π r 0 () A. Έστω ο () ανενεργός µ 0 από () r 0, από () l 0, παραβιάζεται ο περιορισµός. Β. Έστω ο () ενεργός µ 0 επίλυση όπως στο µέρος (β) από () µ /r, από () l r. Από () r l 8.304 ft µ /8.304 > 0, οι συνθήκες ικανοποιούνται. Έλεγχος για απόλυτο ελάχιστο H(f) H(g) π π πl πr π 0 πr 0 π > 0, -4π < 0 H(f) < 0 η f(x) είναι αυστηρά κοίλη -πl < 0, -4π r < 0 H(g) < 0 4. (Stark-Nichols) min f(x) 6 x + 4 x - 4 x x - 3 x κάτω από g (x) e x + ½ x x + ½ x 5 () x, x 0 H(f) H(g) x x 4 e x / 4 8 / η f(x) δεν είναι τίποτε > 0, 80 > 0 H(f) > 0 η f(x) είναι αυστηρά κυρτή e x > 0, e x /4 > 0 H(g) > 0 η g(x) είναι αυστηρά κυρτή x - 4 x + µ (e x + ½ x ) 0 (µ 0) x 0.5 x 0.45 8 x - 4 x 3 + µ (½ x + x ) 0 µ (e x + ½ x x + ½ x - 5) 0 µ 0
Έστω () ανενεργός και x 0.5 x 0.45 Έλεγχος περιορισµού () (e 0.5 + 0.5 0.5 0.45 + 0.5 0.45-5) -3.77 0 ικανοποιείται Άρα το σηµείο (0.5, 0.45) είναι απόλυτο ελάχιστο. 4.3 (Stark-Nichols) min f(x) ½ x + ½ x x x κάτω από g (x) x + 3 x 6 0 () g (x) x + 4 x 5 0 () x, x 0 (3) H(f) 0 0 > 0, > 0 H(f) > 0 η f(x) είναι αυστηρά κυρτή Οι περιορισµοί είναι γραµµικοί και συνεπώς συνιστούν ένα κυρτό σύνολο. x x µ i g i (x) 0 µ i 0 x + µ + µ 0 x + 3 µ + 4 µ 0 () () A. Έστω όλοι ανενεργοί µ i 0 x x άτοπο, παραβιάζονται ο () και ο () Β. Έστω και οι δύο ενεργοί (), () x 9/5 x 4/5 () : 9/5 + µ + µ 0 µ + µ -4/5 µ 4/5 () : 4/5 + 3 µ + 4 µ 0 3 µ + 4 µ 6/5 µ -/5 άτοπο Γ. Έστω ο () ενεργός και ο () ανενεργός µ 0 x + µ 0 x - µ x 9/3 x + 3 µ 0 x - 3 µ x 0/3 x + 3 x 6 ( - µ ) + 3 ( - 3 µ ) 6 8-3 µ 6 µ /3 Έλεγχος περιορισµού (): 9/3 + 4. 0/3 5 0.84 0 άτοπο, παραβιάζεται ο (). Έστω ο () ενεργός και ο () ανενεργός µ 0 x + µ 0 x µ x 3/7 x + 4 µ 0 x - 4 µ x 8/7
x + 4 x 5 ( µ ) + 4 ( - 4 µ ) 5 9-7 µ 5 µ 4/7 Έλεγχος περιορισµού (): 3/7 + 3 8/7-6 0 -.9 0, ΟΚ στο σηµείο (3/7, 8/7) ικανοποιούνται όλες οι ικανές συνθήκες πρώτης τάξης και επειδή η συνάρτηση είναι κυρτή επί κυρτού συνόλου, το σηµείο είναι απόλυτο ελάχιστο. 4.3 Να διαµορφωθούν και να σχολιαστούν οι συνθήκες βελτιστοποίησης των παρακάτω δύο προβληµάτων: Maximize 6 x + 5 x + 9 x 3 Έτσι ώστε x + x + x 3 6 7 x +5 x + 3 x 3 5 x, x, x 3 0 3 Minimize 6 Y + 5 Y Έτσι ώστε Υ + 7 Υ 6 Υ + 5 Υ 5 Υ + 3 Υ 9 Υ, Υ 0 4.4 Εξετάστε το πρόβληµα µεγιστοποίησης της συνάρτησης max f(x, y) x + x + 4 y κάτω από τους περιορισµούς x + y, x 0, y 0.