Στην διάταξη του σχήµατος 1 η ορθογώνια σφήνα µάζας Μ, εφάπτεται µε την υποτείνουσα έδρα της λείου οριζόντιου εδάφους και φέρει στην κορυφή της µικρή και ευκίνητη τροχαλία το αυλάκι της οποίας περιβάλλεται µε αβαρές και µη εκτατό νήµα, Το ένα άκρο του νήµατος είναι σταθερό το δε άλλο του άκρο συνδέται µε σώµα Σ µάζας m, το οποίο µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή στην κεκ λιµένη έδρα της σφήνας, γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Να δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο, η σφήνα θα κινείται στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους µε επιτάχυνση a, της οποίας το µέτ ρο δίνεται από την σχέση: a = mgµ" 1 - #$" όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: H σφήνα υπό την επίδραση των δυνάµεων που δέχεται από το σώµα και το νήµα µετακινείται οριζοντίως σε σχέση µε το ακίνητο έδαφος και µάλι στα η µετακίνηση της προκαλεί µείωση του µήκους του οριζόντιου σκέλους του νήµατος. Όµως η µείωση αυτή είναι ίση µε την αύξηση του µήκους του κεκλι µένου σκέλους του νήµατος, που σηµαίνει ότι η προς τα κάτω σχετική µετατό πιση του σώµατος ως προς την κεκλιµένη έδρα της σφήνας έχει ίδιο µέτρο µε την µετατόπιση της σφήνας στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Αυτό ισοδυνα Σχήµα 1 µεί µε το ότι το µέτρο της σχετικής επιτάχυνσης a " του σώµατος ως προς την σφήνα είναι ίσο µε το µέτρο της επιτάχυνσης a της σφήνας στο σύστηµα αναφο ράς του εδάφους. Εξετάζοντας το σώµα ένας παρατηρητής που µετέχει της κινήσεως της σφήνας µη αδρανειακός παρατηρητής διαπιστώνει ότι αυτό δέχεται το βάρος του w που αναλύεται στην παράλληλη προς την έδρα συνι
στώσα w και στην κάθετη προς την έδρα συνιστώσα w y, την δύναµη στήριξης N από την έδρα που είναι κάθετη σ αυτήν, την τάση T του νήµατος που το συγκρατεί και τέλος την αδρανειακή δύναµη D Alembert -m a που κατευθύνε ται αντίθετα προς την κίνηση της σφήνας. Εφαρµόζοντας ο παρατηρητής αυτός για το σώµα τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατα την διεύθυνση της σχετικής του κίνησης ως προς την σφήνα, παίρνει την σχέση: w + ma"#$ - T = ma mgµ" + ma#$" - T = ma T = mgµ" - ma1 - #$" 1 Eξάλλου για τον παρατηρητή αυτόν το σώµα κατα την κάθετη προς την κεκλι µένη έδρα διεύθυνση y ισορροπεί, οπότε µπορεί να γράφει την σχέση: N + maµ" = mg#$" N = mg"#$ - maµ$ Eξετάζοντας ο παρατηρητής την σφήνα διαπιστώνει ότι αυτή ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους της M g, της κατακόρυφης δύναµης στήριξης A από το λείο οριζόντιο έδαφος, της τάσεως R του κεκλιµένου σκέλους του νήµατος, της τάσεως Q του οριζόντιου σκέλους του νήµατος, της δύναµης επαφής N ' από το σώµα που είναι αντίθετη της δύναµής N και τέλος της αδρανειακής δύναµης D Alembert -M a. Eφαρµόζοντας για την σφήνα συνθήκη ισορροπίας κατά την οριζόντια διεύθυνση παίρνει την σχέση: Q - R'- Ma + N' = Q - R"#$ - Ma + N'µ$ = 3 Επειδή η τροχαλία που είναι στερεωµένη στην κορύφη της σφήνας έχει αµελη τέα µάζα και το νήµα είναι αβαρές ισχύει Q=R=T, οπότε η 3 γράφεται: T - T"#$ - Ma + Nµ$ = T1 - "#$ + Nµ$ = Ma 4 Συνδυάζοντας τις σχέσεις 1, και 4 παίρνουµε: mgµ" + ma#$" - ma1 - #$" + mg#$" - maµ"µ" = Ma mgµ" + ma#$" - ma - mgµ"#$" - ma#$ " + ma#$" + +mg"#$µ$ - maµ $ = Ma mgµ" + ma#$" - ma + ma#$" = Ma mgµ" = Ma + ma - ma#$" a = mgµ" 1 - #$" 5 Παρατήρηση: O ακίνητος επί του εδάφους παρατηρητής αδρανειακός παρατηρητής αντιλαµ βάνεται ότι το σώµα κίνειται κατά την διεύθυνση µε επιτάχυνση a της οποίας το µέτρο είναι:
a = a "# - a = a - a"$ = a1 - "$ 6 εφαρµόζοντας δε κατά την διεύθυνση τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτω να παίρνει την σχέση: 6 mgµ" - T = ma # mgµ" - T = ma1 - #$" T = mgµ" - ma1 - #$" 7 O ίδιος παρατηρητής αντιλαµβάνεται ότι το σώµα κατα την διεύθυνση y κινεί ται µε επιτάχυνση a y ίση µε a y, διότι η σχετική του επιτάχυνση κατά την διεύθυνση αυτή είναι µηδενική, το δε µέτρο της είναι: a y = a y = a"µ# Σύµφωνα δε µε τον δευτερο νόµο της κίνησης του Νεύτωνα µπορεί ο παρατηρη τής να γράφει την σχέση: mg"#$ - N = maµ$ N = mg"#$ - maµ$ 8 Τέλος ο παρατηρητής αυτός εφαρµόζοντας τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα για την σφήνα, παίρνει την σχέση: Q - R'+N' = Ma Q - R"#$ + N'µ$ = Ma T - T"#$ + Nµ$ = Ma T1 - "#$ + Nµ$ = Ma 9 Oι σχέσεις 7, 8 και 9 είναι ίδιες µε τις σχέσεις 1, και 4 που βρήκε ο µη αδρανειακός παρατηρητής. P.M. fysikos Στην οροφή ενός κιβωτίου µάζας M, έχει στερε ωθεί αβαρές νήµα µήκους L, στο άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σφαιρίδιο µάζας m. Tο κιβώτιο βρίσκεται ακίνητο πάνω σε λείο ορι ζόντιο δάπεδο, το δε σφαιρίδιο είναι επίσης ακίνητο µε το νήµα κατα κόρυφο. Kάποια στιγµή ασκείται στο σφαιρίδιο ορίζοντια δύναµη βρα χείας διάρκειας, που του προσδίνει οριζόντια ταχύτητα v στο σύστη µα αναφοράς του εδάφους. Να βρεθούν: i H µέγιστη απόκλιση του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση, ii η µέγιστη επιτρεπόµενη τιµή του µέτρου της ταχύτητας v και iii η ταχύτητα του σφαιρίδιου όταν το νήµα ξαναγίνει κατακόρυφο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας.
ΛYΣH: i Την στιγµή t που η εκτροπή του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση έχει λάβει την µεγαλύτερη τιµή της φ ma το σφαιρίδιο έχει µηδε νική σχετική ταχύτητα ως προς το κιβώτιο, που σηµαίνει ότι η ταχύτητά του στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι ίδια µε την αντίστοιχη ταχύτητα του κιβωτίου. Εξάλλου το σύστηµα κιβώτιο-σφαιρίδιο είναι µηχανικά µονωµένο κατά την οριζόντια διεύθυνση, διότι δεν δέχεται εξωτερικές δυνάµεις κατά την διεύθυνση αυτή το βάρος του κιβωτίου και του σφαιριδίου, καθώς και η αντίδραση του δαπέδου αποτελούν κατακόρυφες εξωτερικές δυνάµεις για το σύστηµα. Άρα η ορµή του συστήµατος διατηρείται σταθερή κατά την οριζόντια διεύθυνση, που σηµαίνει ότι µπορούµε να γράψουµε την σχέση: mv = mv + MV V = mv m + M 1 Σχήµα όπου V η κοινή ταχύτητα του σφαιριδίου και του κιβωτίου την χρονική στιγµή t. Eφαρµόζοντας εξάλλου για το σύστηµα σφαιρίδιο-κιβώτιο τo θεώ ρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας παίρνουµε την σχέση: Mgh K + + mv = mv + MV + Mgh + mgl - L"#$ K ma όπου h K η απόσταση του κέντρου µάζας του κιβωτίου από το επίπεδο αναφο ράς της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας. Η παραπάνω σχέση µε βάση την 1 γράφεται: mv mv = m + M $ # " m + M v = mv m + M + 4gLµ # $ + mgl1 - ' ma " ma v - mv ' m + M = 4gLµ # $ " ma ' Mv m + M = 4gLµ # $ " ma # " µ ma = v # m + M ' $ ' 4gL $ M ' # µ " ma = v $ ' m + M gml ii H γωνία φ ma είναι αποδεκτή εφ όσον ισχύει:
µ " # ma 1 $ ' v m + M gml 1 v gml m + M 3 Από την 3 προκύπτει ότι η µεγαλύτερη τιµή που επιτρέπεται να λάβει το µέτρο της ταχύτητας v είναι: v ma = gml m + M iii Ας δεχθούµε ότι την στιγµή που το νήµα ξαναγίνεται κατακόρυφο το µεν σφαιρίδιο έχει ως προς το ακίνητο έδαφος ταχύτητα v και το κιβώτιο ταχύτητα V. Τα διανύσµατα των ταχυτήτων αυτών είναι οριζόντια και οι αλγεβρικές τους τιµές, συµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής θα ικανοποιούν την σχέση: mv = mv + MV mv - v = MV 4 Tην ίδια στιγµή το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µας επιτρέ πει να γράψουµε την σχέση: mv = mv + MV mv - mv = MV mv + vv - v = MV 5 Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις 4 και 5 παίρνουµε: v + v = V η οποία συνδυαζόµενη µε 4 δίνει: mv - v = Mv + v m - Mv = v v = m - M $ # v " 6 Aπό την 6 προκύπτει ότι η ταχύτητα v είναι οµόροπη της v, όταν m>m και αντίρροπή της v, όταν m<m. Eάν m=m, τότε v = δηλαδη το σφαιρίδιο στιγµιαία ακινητοποιείται στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Παρατήρηση: Tα έργα των αντίθετων δυνάµεων T και T ', που εξασκεί το νήµα στο κιβώτιο και στο σφαιρίδιο αντιστοίχως, έχουν άθροισµα ίσο µε µηδέν. Πράγµατι, εάν θεωρήσουµε µια στοιχειώδη µετατόπιση του συστήµατος, κατά την εξέλιξη της οποίας το σφαιρίδιο µετατοπίζεται κατά ds και το κιβώτιο κατά ds ', τότε τα αντίστοιχα έργα των T και T ' θα είναι T d S και T 'd S ', οπότε το συνολικό τους έργο θα είναι:
dw = T d S + T 'd S ' = T d S + - T d S ' = T d S - d S ' Oµως το διάνυσµα d S - d S ' αποτελεί την στοιχειώδη σχετική µετατόπιση του σφαιριδίου ως προς το κιβώτιο, η οποία όµως είναι κάθετη στην T, οπότε το εσωτερικό γινόµενο T d S - d S ' είναι µηδενικό, δηλαδή ισχύει dw=. P.M. fysikos Θεωρούµε το προηγούµενο σύστηµα κιβώτιο-νήµασφαιρίδιο και δεχόµαστε ότι την στιγµή t= που αφήνεται ελευθερο εκ της ηρεµίας το νήµα είναι τεντωµένο και βρίσκεται αριστερά της κατακόρυφης που διέρχεται από το σηµείο εξάρτησής του Ο, σχηµατί ζοντας γωνία φ µε αυτήν. i Να δείξετε ότι το µέτρο της ταχύτητας v του σφαιριδίου στο σύ στηµα αναφοράς του κιβωτίου µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει το νήµα µε την κατακόρυφη διεύθυνση σύµ φωνα µε την σχέση: v = gl ' "#$ - "#$ µ $ + ii Εάν φ =π/ να βρείτε την τάση του νήµατος την στιγµή που το νήµα γίνεται κατακόρυφο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i Tο σύστηµα κιβώτιο-σφαιρίδιο είναι µηχανικά µονωµένο κατά την οριζόντια διεύθυνση, διότι δεν δέχεται εξωτερικές δυνάµεις κατά την διεύθυνση αυτή το βάρος του κιβωτίου και του σφαιριδίου, καθώς και η αντίδ ραση του δαπέδου αποτελούν κατακόρυφες εξωτερικές δυνάµεις για το σύστη µα. Άρα η ορµή του συστήµατος διατηρείται σταθερή κατά την οριζόντια διεύθυνση, που σηµαίνει ότι µπορούµε κάθε χρονική στιγµή t να γράψουµε την σχέση: = Mv K + mv 1 όπου v K η ταχύτητα του κιβωτίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους κατά την στιγµή t και v η οριζόντια συνιστώσα της αντίστοιχης ταχύτητας v του σφαιριδίου. Εξάλλου εάν v είναι η σχετική ταχύτητα του σφαιριδίου ως προς το κιβώτιο το διάνυσµά της θα είναι κάθετο στο νήµα σχ. 3 και η οριζόντια συνιστώσα της v θα ικανοποιεί την σχέση: v = v - v K v = v + v K οπότε η 1 γράφεται: = Mv K + mv + v K v K = - mv 3
Eφαρµόζοντας για το σύστηµα σφαιρίδιο-κιβώτιο τo θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας παίρνουµε την σχέση: mv K + mv + mv y - mgl"#$ = -mgl"#$ Mv K + mv + mv y = mgl"#$ - "#$ Mv K + mv + v K + mv y = mgl"#$ - "#$ Σχήµα 3 Mv K + mv + mv K + mv v K + mv y = mgl"#$ - "#$ v K + mv + v y + mv v K = mgl"#$ - "#$ +mv µ " = mgl#$" - #$" 3 v K + mv + mvv K "#$ = mgl"#$ - "#$ M+m - mv $ # + mv - m v " = mgl'-' mv + v M+m - mv = glm+m"#$-"#$ Mv + mv - v = gl"#$ - "#$ Mv + mv y = gl"#$ - "#$ Mv + mv µ " = gl#$" - #$" v = gl ' "#$ - "#$ µ $ + 4 όπου v y η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας v ίση µε την κατακό ρυφη συνιστώσα v y της ταχύτητας v.
ii Για ένα παρατηρητή του συστήµατος αναφοράς του κιβωτίου το σφαιρίδιο κινείται υπό την επίδραση του βάρους του w, της τάσεως T του νήµατος και της αδρανειακής δύναµης D Alembert -m a K η οποία είναι οριζόντια, διότι η επιτάχυνση a K του κιβωτίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι οριζόν τια σχ. 4. Την στιγµή που το νήµα είναι κατακόρυφο ο παρατηρητής εφαρµό Σχήµα 4 ζοντας για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύ θυνση του νήµατος παίρνει την σχέση: T - mg = mv /L T = mv /L + g 5 Όµως την στιγµή αυτή είναι φ= και για φ =π/ η 4 δίνει: v 1 - $ = gl # " M + οπότε η 5 γράφεται: gl T = m# " ML = gl M $ + g = mg# " M + 1 $ T = mg# m " M + 3 $ P.M. fysikos Στο προηγούµενο πρόβληµα να δείξετε τα έξής: i H αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης a K του κιβωτίου στο σύσηµα αναφοράς του εδάφους µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε την γωνία φ σύµφωνα µε την σχέση: a K = ml -"#$ d $ d$ + µ$ ' dt dt + ii Να δείξετε ότι η γωνία φ ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση:
d m"µ #$ d + dt "µ + ' dt + g L "µ ' "µ + = iii Για µικρή αρχική απόκλιση φ του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση, να δείξετε ότι η µετατόπιση του κιβωτίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: K = ml 1 - "#$t µε = g $ L 1 + m M ΛYΣH: i Στο προηγούµενο πρόβληµα αποδείχθηκε ότι η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας v K του κιβωτίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους ικανοποιεί κάθε στιγµή t την σχέση: " # ' v K = - mv όπου v η σχετική ταχύτητα του σφαιριδίου ως προς το κιβώτιο και φ η γωνία που σχηµατίζει το νήµα µε την κατακόρυφη διεύθυνση κατά την θεω ρούµενη χρονική στιγµή t. Παραγωγίζοντας την 1 ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης a K του κιβωτίου στο σύστη µα αναφοράς του εδάφους, δηλαδή θα έχουµε: 1 a K = dv K dt = d dt - mv $ # = " -m # " dv dt $ Σχήµα 5 Εάν για την κίνηση του σφαιριδίου ως προς το κιβώτιο χρησιµοποιήσουµε πολικές συντεταγµένες r, θ, τότε η ταχύτητα v µπορεί να εκφρασθεί σε συνάρτηση µε το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα e, που η κατεύθυνσή του σε κάθε σηµείο συµβατικά δηλώνεται µε την η φορά κατά την οποία η πολική γωνία θ αυξάνεται ή το ίδιο η γωνία φ µειώνεται. Έτσι θα έχουµε: " v = L d $ ' " e # dt = -L d $ ' e # dt 3 Όµως από το σχήµα 5 για το µοναδιαίο διάνυσµα e παίρνουµε την σχέση:
e =- e "#$ i + e µ j e =- "#$ i + µ j 4 όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των καρτεσιανών αξόνων και y. Συνδυ άζοντας τις σχέσεις 3 και 4 έχουµε: " v = -L d $ ' - i + +µ j # dt v " d i +v y j = L $ ' i - +µ j # dt " v = L d $ ' dv # dt dt = L " d " d $ # dt ' - L+µ $ ' 5 # dt Mε βάση την 5 η γράφεται: a K = -ml, d d /. "#$ - µ + 1 - dt ' dt a K = ml -"#$ d $ d$ + µ$ ' dt dt + 6 ii Για ένα παρατηρητή του συστήµατος αναφοράς του κιβωτίου το σφαιρίδιο κινείται υπό την επίδραση του βάρους του w, της τάσεως T του νήµατος και της αδρανειακής δύναµης D Alembert F = -m a K η οποία είναι οριζόντια, Σχήµα 6 διότι η επιτάχυνση a K του κιβωτίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι οριζόντια σχ. 6. Eφαρµόζοντας o παρατηρητής αυτός για το σφαιρίδιο τον δεύ τερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης της κυκ λικής τροχιάς που διαγράφει ως προς αυτόν, παίρνει την σχέση: m dv dt = -F + w m d " d $ -L ' = -F + mg+µ dt # dt ml d 6 dt = -ma K"#$ - mgµ
L d dt = - ml"#$, -"#$ d d. + µ + dt ' dt -. / 1 1 - gµ L d dt = ml"#$ d ' dt - ml d +µ "#$' dt - g+µ ' 1 - m"# $ d $ m+µ$ "#$ d$ = - ' dt dt - g L +µ$ # $ µ " ' d " mµ" +" # d" = - dt $ dt' - g L µ" µ " d " d" = -mµ" #$" + dt ' dt - g µ" L d m"µ #$ d + dt "µ + ' dt + g L "µ ' "µ + = 7 Παρατήρηση: H σχέση 7 µπορεί να προκύψει µε παραγώγιση ως προς τον χρόνο t της σχέσεως: v = gl ' "#$ - "#$ µ $ + που αποδείχθηκe στην προηγούµενη άσκηση, iii Για µικρή αρχική απόκλιση φ του νήµατος από την κατακόρυφη διεύ θυνση µπορούµε µε ικανοποιητική προσέγγιση να δεχθούµε ηµφ φ, συνφ 1 και φdφ/dt, οπότε η 7 παίρνει την µορφή: µε d dt + m " d $ ' # dt d dt + g L " $ # ' = + g LM = d dt + " = 8 = g " $ ' = g " L # M L 1 + m $ ' # M Mε αρχικές συνθήκες φt==φ και [dφ/dt]t==, η διαφορική εξίσωση 8 δέχεται λύση της µορφής:
= "#$t d dt = - "#µ"t L d dt = - L"#µ"t v = - L"#µ"t οπότε η 1 γράφεται: v K = ml"#µ"t$ ' "ml#µ"t d K dt = "ml#µ"t d K = ml "µ#td#t 9 Oλοκληρώνοντας την 9 παίρνουµε την µετατόπιση K αλγεβρική τιµή του κιβωτίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους, δηλαδή θα είναι: K = - ml "#$t + C Aν δεχθούµε για το κιβώτιο ως αρχική συνθήκη K t==, τότε η σταθερά ολοκληρώσεως C θα είναι ίση µε φ ml/m+m και η πιο πάνω σχέση παίρνει την µορφή: K = - ml "#$t + ml = ml K 1 - "#$t P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος 7 η ράβδος µάζας Μ και µήκους L είναι αρθρωµένη στο σώµα Σ µάζας m, που µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. i Όταν στο σώµα εξασκείται οριζόντια δύναµη F αυτό κινείται µε σταθερή επιτάχυνση a και τότε η ράβδος κινείται παραµένοντας συνε χώς υπό σταθερή κλίση φ ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση. Να βρείτε την δύναµη F και την γωνία φ, θεωρώντας γνωστά τα µεγεθη Μ, m και a. ii Eάν επί του σώµατος δεν δρα η δύναµη F και η ράβδος κρατείται υπό κλίση φ ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση, να βρεθεί η επι τάχυνση εκκίνησης του σώµατος, όταν το σύστηµα αφεθεί ελευθερο. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=ΜL /3 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της και είναι κάθετος στην ράβδο επιτάχυνση g της βαρύτητας και. ΛΥΣΗ: i Εφ όσον η ράβδος παραµένει υπό σταθερή κλίση ως προς την κατα κόρυφη διεύθυνση η κίνησή της είναι µεταφορική, που σηµαίνει ότι κάθε στιγ
µή όλα της τα σηµεία θα έχουν την ίδια επιτάχυση, δηλαδή ίση µε a. Επί της ράβδου ενεργεί το βάρος της M g και η δύναµη από την άρθρωση που αναλύε ται στην οριζόντια συνιστώσα Q και στην κατακόρυφη συνιστώσα Q y. Σύµφω να µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύουν για την ράβδο οι σχέ σεις: Q = Ma " Q = Ma " 1 Mg - Q y = # Q y = Mg # Σχήµα 7 Εξάλλου στο σώµα Σ ενεργεί το βάρος του m g, η κατακόρυφη δύναµη στήριξης N από το λείο οριζόντιο έδαφος και η δύναµη από την άρθρωση, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα Q ' αντίθετη της Q και στην κατακόρυφη συνιστώ σα Q ' y, αντίθετη της Q y. Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: 1 F - Q' = ma F = Q + ma F = Ma+ ma F = M+ ma Eπειδή η ράβδος δεν περιστρέφεται η συνολική ροπή περί το κέντρο µάζας της C όλων των δυνάµεων που δέχεται είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: L Q "#$ - Q L y µ$ = "# = Q 1 Q y "# = Ma Mg = a g ii Εάν a, a C ειναι οι επιταχύνσεις του σώµατος Σ και του κέντρου µάζας C της ράβδου αντιστοίχως την στιγµή t= που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο, θα ισχύει η σχέση: a C = a O + '" OC = a # + '" OC 4 όπου ' η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου. Eφαρµόζοντας την στιγ 3
µή t= για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: " O = I O #' Mg L µ" = ML 3 #' '= 3g"µ# L 5 Σχήµα 8 Eάν i είναι το µοναδιαίο διάνυσµα του οριζόντιου άξονα O, η διανυσµατική σχέση 4 παίρνει την µορφή: $ a C = -a i + L 3g"µ# L ' $ i = -a + 3g"µ# ' 4 i 6 Όµως ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα δίνει για το κέντρο µάζας C της ράβδου την σχέση: 6 Q = Ma C $ Q = M -a + 3g"µ# ' 7 4 O ίδιος νόµος δίνει για το σώµα Σ την σχέση: Q = ma η οποία συνδιαζόµενη µε την 7 δίνει την σχέση: $ ma = M -a + 3g"µ# ' M+ ma 4 = 3Mg"µ# 4 a = 3Mg"µ# 4M+ m P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος 9 το σώµα Σ έχει µάζα Μ και µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σε οριζόντιο δάπε
δο. Στο σώµα έχει πακτωθεί λεπτή κατακόρυφη ράβδος αµελητέας µάζας, στην κορυφή O της οποίας έχει προσδεθεί το ένα άκρο αβα ρούς νήµατος µήκους L στο άλλο άκρο του οποίου έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m. Eκτρέπουµε το σφαιρίδιο από την θέση ισορρο πίας του, ώστε το νήµα να σχηµατίσει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ και αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο. Να βρεθεί η τάση του νήµατος: i αµέσως µετά την έναρξη της κίνησης του συστήµατος και ii την στιγµή που το νήµα γίνεται κατακόρυφο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Kατά την κίνηση του συστήµατος το σώµα Σ και το σφαιρίδιο δε χονται µόνο κατακόρυφες εξωτερικές δυνάµεις, που σηµαίνει ότι η ορµή του συστήµατος κατα τον οριζόντιο άξονα διατηρείται σταθερή, δηλαδή κάθε στιγ µή ισχύει η σχέση: Mv + mv = v = -Mv /m 1 όπου v η ταχύτητα του σώµατος Σ που ο φορέας της είναι οριζόντιος και v η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας του σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου. Η 1 αναφέρεται στις αλγεβρικές τιµές των διανυσµάτων v και v και µας επιτρέπει να αναφερθούµε στις µεταβολές τους dv Σ και dv που αντι στοιχούν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, για τις οποίες θα ισχύει: dv = -Mdv /m dv dt = - M dv m dt a = -Ma /m Σχήµα 9 όπου a η επιτάχυνση του σώµατος Σ και a η οριζόντια συνιστώσα της επιτά χυνσης του σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου. Εξετάζοντας το σφαιρίδιο ένας παρατηρητής που µετέχει της κινήσεως του σώµατος Σ µη αδρανειακός παρατηρητής διαπιστώνει ότι αυτό διαγράφει κυκλική τροχιά κέντρου O και ακτίνας L υπό την επίδραση του βάρους του w, της τάσεως T του νήµατος και της αδρανειακής δύναµης D Alembert F = - m a, της οποίας ο φορέας είναι οριζοντιος. Την στιγµή t= της έναρξης της κινήσεως του συστή µατος ο µη αδρανειακός παρατηρητής αναγνωρίζει µηδενική κεντροµόλο επιτά
χυνση για το σφαιρίδιο, διότι την στιγµή αυτή η σχετική του ταχύτητα ως προς το Σ είναι µηδενική και εποµένως µπορεί να γράφει την σχέση: T + F r - w r = T + Fµ" - w#$" = T + m a "µ# - mg$# = 3 Την ίδια στιγµή ο παρατηρητής αναγνωρίζει για το σφαιρίδιο επιτρόχια επιτά χυνση a εφαπτοµενική επιτάχυνση της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο νήµα, η δε οριζόντια συνιστώσα της αποτελεί την αντίστοιχη συνιστώσα a " της σχετικής επιτάχυνσης του σφαιριδίου ως προς το σώµα Σ, δηλαδή ισχύει: a " = a - a # a " = -Ma # /m - a # = - M/m + 1a # a " = M/m + 1 a # 4 Ο παρατηρητής εφαρµόζοντας την στιγµή t= τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατα την διεύθυνση της εφαπτοµένης της τροχιάς παίρνει την σχέση: 4 w + F = ma mgµ"+ F#$" = m a ' /#$" mgµ" + m a # $" = m $" ' M m + 1, a # + mgµ"#$" = m M ' m + 1 + a, + ma, #$ " mgµ"#$" = M+ m - m#$ " a mgµ"#$" = M+ mµ " a a = mg"µ#$# M+ m"µ # 5 Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3 και 5 παίρνουµε: T + m gµ " #$" M+ mµ " - mg#$" = mµ $ T = mg"#$ - ' M+ mµ $ + 1 + T = mg"#$ M+ mµ $ -mµ $ + M+ mµ $
T = mmg"#$ M+ mµ $ 6 ii Tην στιγµή που το νήµα γίνεται κατακόρυφο η επιτάχυνση του σώµατος Σ στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου είναι µηδενική, διότι την στιγµή αυτή δεν δέχεται καµιά οριζόντια δύναµη, που σηµαίνει ότι µηδενική θα είναι και η αδρα νειακή δύναµη D Alembert που αντιλαµβάνεται ο επί του σώµατος παρατηρη τής. Έτσι την στιγµή αυτή ο παρατηρητής είναι αδρανειακός και εφαρµόζοντας τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνει την σχέση: T - mg = mv " / L T = mg + mv " / L 7 όπου v " η αντίστοιχη σχετική ταχύτητα του σφαιριδίουv ως προς το σώµα, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και η αλγεβρική της τιµή ικανοποιεί την σχέ ση: 1 v " = v - v # Συνδυάζοντας τις σχέσεις 7 και 8 έχουµε: v " = -Mv # /m - v # = - M/m + 1v # 8 T = mg + m# M " m + 1 $ L = m g + # M " m + 1 $ v' + - L, - v' 9 Eξάλλου για το σύστηµα σώµα-σφαιρίδιο συµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας παίρνουµε την σχέση: Σχήµα 1 -mgl"#$ = -mgl + Mv + mv 1 mgl1 - "#$ = Mv + m - Mv ' m + mgl1 - "#$ = Mv 1 + M + ' m m gl1 - "#$ = Mv m + M
v = m gl1 - "#$ M m + M 1 Η 9 λόγω της 1 γράφεται: T = m g + g M + # " m + 1 $ m 1 - '. - M m + M, - / T = mg[ 1 + m/m + 11 - "#$] P.M. fysikos Μια εύκαµπτη και οµογενής αλυσίδα µήκους L, συγκρατείται στο ένα άκρο της ώστε ένα τµήµα αυτής να βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, ενώ το υπόλοιπο τµήµα αυτής µήκους α α<l να κρέµεται κατακορύφως. Κάποια στιγµή η αλυσίδα αφήνε ται ελεύθερη, οπότε αρχίζει να κινείται. i Nα εκφράσετε την ταχύτητα και την επιτάχυνση κάθε κρίκου του κατακόρυφου τµήµατος της αλυσίδας σε συνάρτηση µε το µήκος του τµήµατος αυτού. ii Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε το µήκος την οριζόντια και την κατακόρυφη συνιστώσα της δύναµης που εξασκεί η γωνία του τραπε ζιού στην αλυσιδα και διατηρεί την µορφή της σε σχήµα αντεστραµ µένου L. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Εξετάζουµε την αλυσίδα κατά µια τυχαία στιγµή t που το µήκος του κατακόρυφου τµήµατός της είναι y. Εάν v είναι το µέτρο της ταχύτητας των κρίκων της αλυσίδας την στιγµή αυτή, τότε συµφωνα µε το θεώρηµα διατήρη σης της µηχανικής ενέργειας θα ισχύει η σχέση: -µg = µl v - µg y - g = Lv - y g v = g L y - µε " y " L 1 όπου µ η µάζα ανά µονάδα µήκους γραµµική πυκνότητα της αλυσίδας. Διαφο ρίζοντας την 1 παίρνουµε: = Lvdv - gydy = Lv dv dt - gy dy dt = Lv d y dt - gyv d y dt = g y µε " y " L L
Στην σχέση η δευτερη παράγωγος της µεταβλητής y ως προς τον χρόνο d y/dt αποτελεί την αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης των κρίκων του κατακό ρυφου τµήµατος της αλυσίδας. Σχήµα 11 ii Είναι σηµαντικό να παρατηρήσουµε ότι η δύναµη που δέχεται η αλυσίδα από την γωνία του τραπεζιού παίζει κυρίαρχο ρόλο στο να διατηρεί η αλυσίδα κατα την διάρκεια της κίνησής της σχήµα αντεστραµµένου L και θα αποτε λούσε σφάλµα η παράλειψή της στην περίπτωση που θα επιχειρούσε κάποιος να µελετήσει την κίνηση της αλυσίδας µε βάση τον δευτερο νόµο της κίνησης του Νευτωνα. Ας συµβολίσουµε µε F, F y την οριζόντια και την κατακόρυφη συνι στώσα αντιστοίχως της δύναµης αυτής κατά την χρονική στιγµή t και µε P, P y τις αντίστοιχες συνιστώσες της ορµής της αλυσίδας. Σύµφωνα µε τον δεύτε ρο νόµο του Νευτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις: F = dp dt = d [-µ L - yv ] F dt = -µ # L - y " dv dt - vdy $ dt και F = -µ L - y d y F y + w y dt + µ dy $ # " dt = dp y dt = d dt µyv F y + µgy = µ # v dy " dt + y dv $ dt 3 F y = -µgy + µ dy $ # " dt + µy d y dt 4 Συνδυάζοντας την σχέση 3 µε τις 1 και παίρνουµε: F = -µ L - y g L y + µ g L y - F = µg L -Ly + y - µε " y " L 5 Συνδυάζοντας εξάλλου την σχέση 4 µε τις 1 και παίρνουµε:
F y = -µgy + µ g L y - + µy g L y F y = µg L -Ly + y - µε " y " L 6 Από 5 και 6 προκύπτει: F = F y = µg L -Ly + y - µε " y " L P.M. fysikos