Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Σκοπός είναι η κατανόηση των εννοιών πληθυσμός και δείγμα, τυχαία μεταβλητή ώστε να μπορεί ο φοιτητής να κατανοήσει τον ορισμό κατά Kolmogorov. Ακόμα ο φοιτητής θα πρέπει να έχει τη δυνατότητα εφαρμογής των παραπάνω. 4

Περιεχόμενα ενότητας Δειγματοληψία Τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητα κατά Kolmogorov Συναρτήσεις πιθανότητας για διακριτές μεταβλητές Συναρτήσεις πιθανότητας για συνεχείς μεταβλητές Συναρτήσεις κατανομής για διακριτές μεταβλητές Συναρτήσεις κατανομής για συνεχείς μεταβλητές 5

Πληθυσμός και δείγμα Ορισμός: Στατιστικός πληθυσμός ονομάζεται το σύνολο των πειραματικών μονάδων π.χ άνθρωποι, ζώα, επιχειρήσεις κ.λπ, οι οποίες συμμετέχουν στην έρευνα που πραγματοποιείται. Ο πληθυσμός διακρίνεται σε άπειρο και πεπερασμένο ανάλογα με τη φύση της έρευνας. Το πλήθος των πειραματικών μονάδων θα συμβολίζεται με n.

Ποιος είναι ο πληθυσμός; Ο καθορισμός του πληθυσμού δεν είναι πάντοτε σαφής: Π.χ. Οικονομική κατάσταση φοιτητών ΑΕΙ αν γίνει στο χώρο του Πανεπιστημίου παίρνουμε μόνο τους ενεργούς Π.χ. κάνουμε έρευνα που θέλουμε να μελετήσουμε δημογραφικά χαρακτηριστικά μακροχρόνια ανέργων πρέπει πρώτα από όλα να οριστεί τι εννοούμε με τον όρο μακροχρόνια άνεργος κάθε ορισμός δίνει και άλλο πληθυσμό

Πληθυσμός και δείγμα Δείγμα είναι συλλογή από στοιχειώσεις ή πρωταρχικές μονάδες δειγματοληψίας τις οποίες επιλέγουμε έτσι ώστε να αποτελούν μια αντιπροσωπευτική εικόνα του πληθυσμού

Απογραφή ή δειγματοληψία; Δεν είναι δυνατό να ρωτήσουμε την άποψη για ένα θέμα όλους τους ανθρώπους της γης

Προβλήματα ακόμα και στον πληθυσμό της απογραφής.. Απογράφονται όλοι είτε τουρίστες είτε μόνιμοι κάτοικοι: Προβλήματα: Πληθυσμιακές μετακινήσεις Μέχρι να καταχωρηθούν και να επεξεργαστούν τα αποτελέσματα αλλάζει ο πληθυσμός!

Περιπτώσεις μη ύπαρξης πληθυσμού! Πολλά προϊόντα πρέπει να εξεταστούν για την αντοχή τους που συνίσταται στην εκτίμηση σημείου κάμψης ή του σημείου πέραν του οποίου σπάνε. Προφανώς αυτό μπορεί να γίνει μόνο σε ένα δείγμα παραγωγής καθώς μια απογραφή σημαίνει καταστροφή του συνόλου της παραγωγής (Βιομηχανικός έλεγχος ποιότητας)

Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Κάθε κανόνας απεικόνισης (συνάρτηση) που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο ω του δειγματοχώρου Ω ένα πραγματικό αριθμό x, καλείται τυχαία μεταβλητή. Δηλαδή κάθε τυχαία μεταβλητή είναι μια συνολοσυνάρτηση με πεδίο ορισμού το Ω και πεδίο τιμών το R.

Είδη τυχαίων μεταβλητών

Πιθανότητα κατά Kolmogorov

Παράδειγμα

Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Αθροιστική συνάρτηση κατανομής

Παράδειγμα Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που αντιστοιχεί στην μεγαλύτερη τιμή μεταξύ δύο ζαριών. Να κατασκευαστεί η συνάρτηση πυκνότητας και κατανομής για την Χ καθώς και το διάγραμμα κατανομής.

Λύση

Παράμετροι τυχαίων μεταβλητών Μέση τιμή

Ιδιότητες Μέσης τιμής - Διακύμανσης

Λύση

Άλυτες Ασκήσεις

Τέλος Ενότητας